数学(五) 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习40分钟周测卷（A苏闽湘冀渝川鄂黑吉辽蒙陕甘宁青云新藏贵赣豫晋皖鲁粤专版）

数学（五）函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 (建议用时40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=一log2x一x2+4的零点所在区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 2.卫知函数f)=(传)厂 一lnx,若xo是函数f(x)的零点，且0<x1<xo,则f(x1)的值 A.恒为正数 B.等于0 C.恒为负数 D.不能确定正负 3.用二分法求函数f(x)=lnx十2x一6在(2,3)内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复 相同步骤的次数至少为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知x=1是函数f(x)=(x-a)(2x一b)一1的零点，若a>1,b>2,则a十b的最小值为 A.7 B.6 C.4 D.5 5.牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 0℃，环境温度为0，℃，则t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足：0=0。十(01一0)e.已知环境 温度为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降至80℃，那么大约 再经过( )分钟，温度降至35℃， A.10 B.20 C.30 D.40 6.已知函数f(x)=2·log2(2x-2)-1,g(x)=3·1og3(3.x-3)-1,h(x)=1og(5x-5)-5 的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>ac D.c>b>a 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在（一∞，0）内单调递减，则函数y=f(x+1) +1的图象可能是 B D 数学（五）第1页（共4页） 8.下列说法正确的是 A.函数f(x)=x2十2√5x十5可以用二分法求零点的近似值 B.已知x1,x2分别是函数f(x)=e十x-2,g(x)=lnx十x-2的零点，则e十lnx2=2 C.若函数f(x)=a(2 x 十b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则函 数g(x)=f(x)-1的零点为1，-1 D.若直线y=2a与函数f)=|口-1川的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是(0，】 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若函数f(x)=m.x2一2x+1有两个零点x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数m的取值范围 为 10.若m满足e十x=2,n满足e3-x-x=一1，则m十n= 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2. (1)当a=一1时，求f(x)的零点； (2)“若f(x)在区间(0,3)内恰有一个零点，求实数α的取值范围”.某同学给出了如下解答：由 f0)f(3)=2(3a-1)<0,解得a<号所以，实数a的取值范围是(-，号)上述解答正确吗？ 若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 数学（五）第2页（共4页） >40分钟·A 12.(本小题满分15分) 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源， 目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道 上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速80k/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小 时耗电量Q(单位：Wh)与速度x(单位：km/h)的部分数据如下表所示： 0 10 40 60 Q 0 825 24004200 为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模 型供选择：①Q,(x)=+ar+c;②Q,(e)=100·(号}+a:③Q,(z)=301cg+a (1)当0≤x≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出 相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度 为30k,求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 数学（五）第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=a(x2-4x)+1十，1（其中a为常数）. T 4-7 (1)当a=0时，求函数f(x)在(0,4)上的最小值； (2)证明：函数f(x十2)为偶函数； (3)若对于任意m∈(1,2)，关于x的方程f(x)十m=0在(0,4)上有解，求实数a的取值范围. 数学（五）第4页（共4页） 》40分钟·A40分钟·A ·数学· 数学（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 判断零点所在的 1 选择题 5 易 0.85 区间 函数的性质与函数 选择题 易 0.75 的零点 二分法求方程近 3 选择题 5 似解 L 易 0.72 根据零点求函数解 4 选择题 5 析式中的参数、条件 / 中 0.68 等式求最值 利用指数型模型解 5 选择题 5 中 0.65 决实际问题 指、对数函数图象的 6 选择题 应用、函数与方程的 中 0.55 综合应用 7 选择题 6 函数图象的识别 易 0.72 函数与方程、函数图 8 选择题 6 中 0.65 象综合 二次函数零点的 9 填空题 5 易 0.80 分布 指数函数的性质综 10 填空题 5 中 0.65 合、求零点的和 求函数的零点、根据 11 解答题 13 函数零点的个数求 中 0.68 参数范围 利用给定函数模型 12 解答题 15 中 0.60 解决实际问题 奇偶性、根据二次函 13 解答题 20 数零点的分布求参 中 0.55 数的范围 ·17· ·数学· 参考答案及解析 香考答条及解析 一、选择题 二、选择题 1.D【解析】因为f(x)=一log2x一x2十4在 7.AC【解析】令g(x)=f(|x十1|)十1，其中x∈ (0,十∞)上单调递减，而f(1)=3>0,f(2)=-1< R,则g(-1-x)=f(|-1-x+1|)+1 0,所以函数的零点所在区间是(1,2).故选D. f(|x|)+1,g(-1+x)=f(|-1+x+1|)+1= 2.A【解析】：函数fx)=(日）广-nr在0，+∞) f(|x|)十1，则g(-1-x)=g(-1十x),故函数 上单调递减，且x。是函数∫(x)的零点，∴·∫(x0) g(x)=f(|x+1|)十1的图象关于直线x=-1对 0,∴在(0，x)上，有f(x)>0,0<x1<x0, 称，排除B选项；因为函数∫(x)是定义在R上的奇 ·(x)>0.故选A. 函数，且函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，故函数 3.B【解析】原始区间长度为3一2=1，第一次，区间长 f(x)在(0，十o∞)上单调递减，故当x>-1时，x十1 度减半，为0.5>0.1，第二次，区间长度减半，为0.25 >0,此时g(x)=f(x十1)十1，故函数g(x)在 >0.1,第三次，区间长度减半，为0.125>0.1，第四 (一1，十o∞)上单调递减，排除D选项.故选AC 次，区间长度减半，为0.0625<0.1，故至少需要重复 四次.故选B. 8.BCD【解析】对于A,因为f(x)=x2十2V5x十5= 4.D【解析】由题意得(1一a)(2-b)=1,即(a-1)(b (x十√5)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值，故 -2)=1,则a十b=(a-1)十(b-2)十3≥ A错误：对于B,由题意知=2，所以， 2/(a-1)(b-2)+3=5,当且仅当a-1=b-2=1 In z2=2-x2 时取等号，所以a十b的最小值为5.故选D. 分别为y=e、y=lnx与直线y=2-x交点的横坐 5.B【解析】由已知0=0。十(81一0。)e“,又环境温度 标，因为y=e与y=lnx关于直线y=x对称，y=2 为20℃，一块面包从温度为140℃的烤箱里拿出，经 过10分钟温度降为80℃，即0。=20,01=140,0=80， 小=1'所以 之关于直线=对称，由多 t=10,代入可知80=20十(140-20)e1,则e= x1十x2=2,所以e1十lnx2=2-x1十2-x2=4 2,设再经过t分钟，温度可由80℃降为35℃，即35 (x1十x2)=2,故B正确；对于C,根据题意可得 =20十(80-20)e“,即e:=4=22=e20,即t=20. 故选B. f0)=a(分）”+b=0→a十b=0,根据f(x)的图象 6.A【解析】令f(x)=0,则log2(2x-2)=2x,化 与y=2无限接近，且不相交，所以b=2,故a=-2, 简得log22+log2(x-1)=21,即1og2(x-1)=2 -1,换底后得到lg(x-1)=lg2×(2-1);令 因此f()=-2(号)”+2，令g(x)=f0-1= g(x)=0,则log:(3x一3)=3，化简得log3十 l1og8(x-1)=3,即1og:(x-1)=3x-1,换底后 0,则f(x)=1,故1=-2（分）”+2→（）” 得到lg(x-1)=1g3×(3-x-1);令h(x)=0,则 1 logs(5x-5)=5x,化简得1og:5十log:(x-1)= 之，故x=1,解得x=士1，故C正确：对于D,当a 5,即1og:(x-1)=51-1,换底后得到1g(x-1) >1时，函数f(x)=|a-1|的图象如图所示， =1g5×(5一1)，分别画出它们的图象，如图，由图 y 可以看出a>b>c.故选A. y=lg3(3-x-1) y= y=1g5(5x1) y=f(x) y=g2(2x1) 1 cba2 0 当0<a<1时，函数f(x)=|a-1|的图象下图 y=lg(x-1) 所示， ·18· 40分钟·A ·数学· 12,解：1由题意显然述择Q.()=r十br十c (3分) y=1 40 ×103+b×10+c×10=825 yf(x) 由表中数据，可得 ×402+6X402+c×40=2400 0 40 1b=-2 解得 (6分) c=100 则当0<2a<1时，直线y=2a与函数f(x)= 1口-1川的图象有两个公共点，所以0<a<分，实数 8Qx)=品-2r+100z (7分) a的取值范围是(0，)，放D正确，故选BCD, （2)设车速为，国道上行旋30km所用时间为碧. (8分) 三、填空题 9.(0,1)【解析】由题意得mf(1)<0,即m(m-1) 则所耗电量为f()= 30 ·Q(v) <0,解得0<m<1. 10.3【解析】由e3-x一x=-1得e3-十3-x=2,所以 -0( -2+100u) m是e十x=2的根，3-n也是方程e十x=2的根， 又函数f(x)=e十x是增函数，所以m=3一n,则 f-60o+30 m十n=3. 3 =年(w-40)2+180, (12分) 四、解答题 0≤≤80， 11.解：(1)当a=-1时，f(x)=-x2十x十2， .当v=40时，f(o)im=f(40)=1800Wh, 令f(x)=0,解得x=2或x=-1, ∴.当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h时，该 所以函数f(x)的零点为-1,2. (4分) 车的总耗电量最少，最少为1800Wh. (15分) (2)上述解答不正确. 当a=0时，f(x)=-x十2， 1B解：D由a=0,得fx)=+己 令f(x)=0得x=2∈(0,3). (2分) 即当a=0时，f(x)在(0,3)内恰有一个零点. =[x+(4-x)](日+） (6分) 当a≠0时，4=(2a十1)2-8a=(2a-1)2, +，号+ 若△=0，即a=2’ 1 ≥(+W后 =1, 则函数∫(x)的图象与x轴交于点(2,0)， 故f(x)的最小值为1，当且仅当x=2时取到最小 即x=2是(0,3)内的唯一零点； (8分) 值. (5分) 若4>0，即a≠子， (2)函数y=f(x十2)的定义域为{xx≠士2}，关 于原点对称。 (6分) 当f0)f(3)=2(3a-1)<0时，解得a<3, 1 fx)=a(r-4)+1+ 即a<3且a≠0， (10分) 4 =a(x2-4x)十 x(4-x) 当f3)=0,即a=号时，f(x)=子- 3x+2 =a(x-2)2-4a+4-(x-2) 4 号(r-5x十6)，解得=2，=3， 则f(x+2)=a(x+2-2)2-4a+4-(x+2-2) x=2是(0,3)内的唯一零点， 综上可得a的取值范用是(-，号]U(侵)。 =a.r2-4a+4-x' 4 4 (13分) f(-x+2)=a(-x+2-2y-4如+4-（-+2-2) ·19· ·数学· 参考答案及解析 =ar-4a+, (8分) 即a=4d-mw在u∈(-o,-子]上有解。 所以f(x+2)=f(-x+2), 因为m∈(1,2) 即f(x十2)为偶函数. (9分) 所以a=4-mu在u∈(-o,一子]上单调递减， (3)y=f(x)十m 4 =a(x-2)2-4a+4-(r-2)十m, 所以4w-mue[片+兴，十o∞)， (16分) 令t=x2-4x=(x-2)2-4∈[-4,0)， 因为m∈(1,2)， 则f(x)十m=0在(0,4)上有解等价于at-生十m t 所以+婴∈（分，）： =0在t∈[-4,0)上有解， (11分) 则a=4r-mu在u∈(-o,-子] 上有解可得a 即a=产-m·在∈[-4,0)上有解。13分) ∈[是+o∞) 令=子， 即a的取值范围为[子，十o)】 (20分) 则由[-4,0)可得u=∈(-o,-子]， ·20·