单元(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（A 冀鄂黑吉辽蒙宁青陕赣豫晋甘黔皖滇鲁粤专版）

单元（二）一元二次函数、方程和不等式 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.设全集U=R,集合A={xx2-5x+4>0},集合B={x2x<8},则(CA)∩B= A.(1,3] B.[1,3) C.[3,4) D.[3,4] 2.已知x>0,则2x√4一x的最大值为 A.0 B.2 C.4 D.8 3.“>√”是“1>1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若正实数y满足+3=2，则x十3y的最小值为 y A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知集合A=(x∈Zx>-1,B={≤1，则AnB的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 6.已知关于x的不等式2r2+bx十c<0的解集是(-？0），设f(x)=ar2+bx+c,则函数y= f(x)的大致图象不可能为 A. D 7.在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯 有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸、 妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则更合算 的是 A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定 设实数x,y满足x2,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x+y122-3y恒成 的最大值为 A.12 B.24 C.32 D.48 第1页（共4页) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知非零实数a,b,c满足a>b>c,则 A.11 b ·a-cb-c B.2+1>c2+1 C.a2027>c2027 D.a+2b>c 10.已知函数f(x)=√mx2一mx十3，则下列选项正确的是 A.若f(x)的定义域为R,则m∈[0,12] B.若j)的定义域为[-2,3]，则m=司 C.若f(x)的值域为[0，十∞)，则m∈(12，十∞) D.若f(x)在(3，十c∞)上单调递增，则m∈(0，十o∞) 1.已知m>0,>0,且+”=m十，则 mn 8 A.m+n≤16 B.mn≤4 mn C.m+n≤4 D.mz+nz≥4√2 班级 姓名」 分数 题号 5 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若“x∈[1,4]，ax2-2x≤0”为真命题，则实数a的取值范围是 13.已知2<a十b<3,-2<a-b<-1,则a+2b的取值范围为 14.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有着广泛 的应用.现给出-个二维柯西不等式：(a+6)(十)≥(ac+d°，当且仅当号-号时等号成 立.根据柯西不等式，已知x>0,y∈R,且x2十xy一x十5y=30,则√2一x十√30-3y的最大值 为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知集合A={x|2-3a<x<2+a},B={x|(x2+1)(x-1)(x-4)≥0}. (1)若A∩B=0,求a的取值范围： (2)若“x∈A”是“x∈（CRB)”的必要不充分条件，求a的取值范围. 数学·二 第2页（共4页） 囚 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=a.x2+2a.x+1+5b在区间[-2,2]上的最大值为1，最小值为-8. (1)求a与b的值； (2)若a>0,且函数y=f(x)+m,x在区间[一2,2]上是单调函数，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 设正数a,b满足a十b=2. 证明：(1)a2+2ab-b<4; 告者≥2 第3页（共4页) 数学·三 18.(本小题满分17分) 近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项 目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客x(千人)，需另投人成 x2十x,0<x<6, 本C(x)(万元)，且C(x)= 10x+100-40,x≥6， 市场调研知，每人收费90元，且每年内接待 的游客当年能全部服务完 (1)求出2026年的利润L(x)(万元)关于年接待游客量x(千人)的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少千人时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. 参考数据：√129≈11.36，√29≈5.39. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x十m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x; (3)记不等式f)≥0的解集为A,若[-号，2]=A,求实数m的取值范围。 第4页（共4页） 回·数学· 单元（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 元二次不等式的解 1 选择题 法，集合交、补运算 易 0.80 利用基本不等式求积 选择题 易 0.78 式的最值 选择题 充分必要性的判定 易 0.72 利用基本不等式求 4 选择题 5 最值 √ L 中 0.65 解分式不等式，子集个 5 选择题 5 中 0.55 数问题 6 选择题 二次函数的图象 书 0.45 作差比较法的实际 7 选择题 / 分 0.40 应用 不等式恒成立与基本 8 选择题 秘 0.28 不等式的综合 9 选择题 6 不等式的性质 易 0.72 二次函数与根式函数 10 选择题 6 0.40 复合的函数性质 L 由条件等式结合基本 11 选择题 6 中 0.35 不等式求最值 12 由存在量词命题的真 填空题 S 易 0.78 假求参 利用不等式的性质求 13 填空题 S 0.45 代数式的取值范围 √ 分 与不等式有关的数学 14 填空题 0.35 文化题 分 由充分必要性及集合 15 解答题 13 中 0.65 运算求参 16 解答题 15 二次函数性质的综合 0.60 利用基本不等式证明 17 解答题 15 中 0.50 不等式 ·%5 ·数学· 参考答案及解析 基本不等式、一元二次 18 解答题 17 中 0.45 不等式的实际应用 由二次不等式解集为 19 解答题 17 R求参，解含参的一元 / / / / / 中 0.40 二次不等式 春考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】解不等式x2-5x十4>0得x<1或x> 1+(-)=- b=1 实数根，可得 ,解得 4,所以A=(-∞，1)U(4,十∞)：解不等式2<8得 ×(-)= c0所以 x<3,所以B=(-o∞，3)，所以CA=[1,4],所以 f(x)=a.x2+x.当a=0时，f(x)=x,故A符合题 (CA)∩B=[1,3).故选B. 意：当a>0时，二次函数f(x)=a.x2十x的图象开口 2.C【解析】因为x>0,要使根式有意义，则4一x≥ 向上，由f(x)=a.x2十x=x(a.x十1)=0，解得x=0 0,又x>0,所以0<x≤2.又2x√4-x2= 或x= 24-≤2×+4一工=4，当且仅当r=4 合所以✉)的零点为0和-日，月-日 2 <0,故B符合题意，而C不符合；当a<0时，二次函 一x2,即x=√2时等号成立，所以2x/4-x的最大 数f(x)=a.x十x的图象开口向下，f(x)的零点为 值为4.故选C. 0和-，且->0，故D符合题意.故选C 3.D【解析】由vV:>√y,得x>y≥0，当x>y>0时， 7.A【解析】设第一次买的大米是x元/斤，第二次买 士←号故”不是士>号的充分条件：当 的大米是y元/斤，依题意，x≠y,则爸爸两次买的大 x =2y=3时，显然>号但区<厅，即v反>5不 米共(9)斤，妈妈两次买的大米共用了(10x 10y)元，设爸爸两次买米的平均单价为M元/斤，妈 成立，故“匠>”不是“1>1”的必要条件，综上 妈两次买米的平均单价为V元/厅.则M=100 50+50 所述，“F厅是>”的既不充分也不必要条 x y y 件.故选D. 2,N=10x10y=,x≠y,由M-N= x十y 20 2 (+)u+3) 兴安1”-<0即M 2 2(x+y) 4.B【解析】由题意x十3y= <V,所以爸爸买米的方式更合算.故选A. 3y+3x+1+9 /3y.3x +10 8B【解析】由>号>3变形可得2x-3>0y-3 2 =8,当且仅当3型 >0,令a=2x-3>0,b=y-3>0,则k(2x-3)(y =3,结合1十三=2，即x=y=2时取等号，所以x 3)≤8x3十y3-12x2-3y2转化为k≤ T V 8.x3+y2-12x2-3y2 十3y的最小值为8.故选B. 23)0,即4 y32—3≥，其中4 -3 5.C【解析】由不等式<1可得骨-1 x-1 十2x-3 =a+3)+b+3)≥2a)+ b -≤0，解得1<x≤4，即A=(0,1,2,…},B= x-4 2画)=12（会+2）≥24√分·吾=24，当且 {x|1<x≤4}，所以A∩B={2,3,4},所以A∩B的 a=3 真子集的个数为23一1=7.故选C. 仅当b=3 ,即x=3,y=6时取等号，所以不等式 6.C【解析】由题知-合，0是2x+b6x十c=0的两个 b a A ·数学· 4x2 )—3十2-3≥k恒成立，只需k≤24，故选B, 三、填空题 12.(-o∞，2]【解析】设f(x)=ax2-2x,x∈[1,4]， 二、选择题 由题意得f(x)≤0在x∈[1,4]上有解，则a.x2≤ 9.ABC【解析】对于A,,a>b>c,.a-c>b-c>0, 1<1 2,由x∈[1,4]变形得a≤2当e[1,4幻时，号 ac<6-A正确：对于B,“a>b,且。有>0， ∴4>中故B正确：对于C,:a>c,四> ∈[3,2]所以a≤2 c227,C正确：取a=-1,b=-2,c=-2.5,则a十2b 18.(3号) 【解析】设a十2b=m(a十b)十n(a-b) =-5<-2.5=c,D错误.故选ABC 10.AB【解析】对于A,由f(x)的定义域为R,得Hx =(m+n)a十(m-n)b,即{m+n=1 mn=2'解得 ∈R,mx2-m.x十3≥0成立，当m=0时，3≥0成立， m= 2 /m>0 则m=0;当m≠0时， 4=m2-12m≤0，解得0<m ,所以a十2b=号(a+6)-子(a-b).因 n一2 ≤12，因此0≤m≤12，A正确：对于B,由f(x)的定 为2<a+b<3,-2<a-b<-1,所以3< 义域为[-2,3]，得[-2,3]是不等式m.x2-m.x+3 3 ≥0的解集，则m<0,且一2,3为方程mx2-mx十3 号(a+b)<号，名<-子a-6)<1,所以号<a =0的两根，-2X3=是解得加=一合B正确：对 +6<号 于C,由f(x)的值域为[0，十o∞)，得函数y=mx2一 14.2√6【解析】由x2十xy-x十5y=30,得x2-x mx+3的值域包含[0，十o),则m>0 30十xy+5y=0,即(x十5)(x十y-6)=0,由x>0, △=m2-12m0 得x十y=6,则√2-x+√30-3y=√2-x十 解得m≥12.C错误：对于D,由f(x)在（分十∞） w√/12+3x=√2-x十√3·√/4十x,由x>0,2-x≥ m>0 0,得0<x≤2，由柯西不等式得（√2一x十√5· 上单调递增，得 m≥0解得0<m≤12，D错 31 √/4+x)2≤[12+（√5）2]·[(2-x)2+ (√4十x)2]=24,因此√/2-z十√3·√4+x≤ 误.故选AB. 11.ABD【解析】对A,由+”=m产，得8(m十m) 26,当且仅当更-②，即x=之时取等 1 mn 8 =mn(m+)≥n.m),则mn(m十n）≤ 号，所以√/2一x十√30-3y的最大值为2√6 2 四、解答题 16,即网十≤品，当且仅当m==2时等号成立， 15.解：(1)由题意知B={xx1或x≥4}， (1分) 当2-3a≥2十a,即a≤0时，A=⑦， 故A正确：对B,因为16≥mn(m十n)≥2(mm)产，所 此时A∩B=⑦，符合题意； (3分) 以mn≤4，当且仅当m=n=2时等号成立，故B正 当2-3a<2十a,即a>0时， 确；对C,因为8(m十n)=n[(m十n)2-2mn],所 因为A∩B=必， 以(m十n)=8(mm+2mm≥2√ 8(m千n）.2mn (a>0 n n 所以{2-3a≥1， =8√m十n,解得m十n≥4，当且仅当m=n=2时 2十a4 等号成立，故C错误；对D,由函数f(x)=x的图 解得0Ka≤号 象知，该函数为凹函数，则根据琴生不等式有 m≥f("2）,即m+≥2· 综上a的取值范围是(-0，]， (7分) (2)CRB={x1<x<4}, ()产≥4，当且仅当m=n=2时等号成立， 因为“x∈A”是“x∈(CmB)”的必要不充分条件， 所以CRB是A的真子集， 则D正确.故选ABD. /2-3a1, 所以 且等号不能同时取得， 12+a≥4， ·数学· 参考答案及解析 解得a≥2， 8 ab-3 -2ab+2, 所以a的取值范围是[2，十∞). (13分) 16.解：(1)f(x)=a.x2+2a.x+1十5b=a(x+1)2+5b 因为a长( ）=1(当且仅当a=b=1时取等 -a十1， 若a=0,则f(x)=1十5b,不符： (2分) 号)， 若a>0,则f(x)在(-2，-1)上单调递减，在 所以634ab≥-ab≥-1 (-1,2)上单调递增， 则f(x)mx=f(2)=8a十5b十1=1，f(x)m= 所以b3写一2a6+2≥8×号-2+2=2， f(-1)=5b-a+1=-8, 即名≥2 (15分) 解得a=16=-号： (4分) 18.解：(1)当0<x<6时，L(x)=9x-(x2十x)-12 若a<0,则f(x)在(-2，一1)上单调递增，在 =-x2+8x-12; (1分) (-1,2)上单调递减， 当x≥6时，L(x)=9.x-(10x+100-40）-12 则f(x)m=f(2)=8a十5b十1=-8，f(x)mx= f(-1)=5b-a+1=1, =-(+19)+28, (3分) 解得a=-1,6=一号 (6分) (-x2+8x-12,0x6 所以L(x)= (5分) 综上所述a=16一号或a=-16= -(x+100) x +28,x≥61 (2)当0<x<6时， (7分) L(x)=-x2+8.x-12=-(x-4)2十4， (2)由a>0,得a=1,b=- 当x=4时，L(x)x=4万元： (7分) 即f(x)=x2十2x-7, 当x≥6时， 则y=f(x)十mx=x2十(2十m)x一7在区间 L(x)=-(x+100 [一2,2]上是单调函数， +28≤-2V.l 十28=8， 则-2m≥2或-2m≤-2， 当且仅当x=100,即x=10时，L(x)=8万元， (10分) 2 2 因为8>4， 若-2m≥2，则m≤-6： 2 (12分) 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为 若2生”≤-2，则m≥2 10千人时取得。 (11分) (14分) (3)当0x<6时，由(2)知L(x)≤4， 综上所述，m的取值范围是（一∞，一6]U[2,十∞）. 因此当0<x<6时，无法达到盈利5万元.(13分) (15分) 当x≥6时，由L(x)≥5， 17.解：(1)因为a>0,b>0,且a十b=2, 即-(x+109)+28≥5>r-23x+100<0. 所以b=2-a>0, 所以0<a<2, 解方程x2-23.x十100=0， 而a2+2ab-b=a2+2a(2-a)-(2-a)=-a2+ 得两根为4-23-2四≈5.82，-23+y1西、 2 2 5a-2, 17.18, 因为0<a<2,y=-a+5a-2在(0,2)上单调 递增， 由于x≥6， 所以-a2+5a-2<-22+5×2-2=4, 所以6≤x≤17.18， (16分) 即a2+2ab-b<4成立. 综上，当年接待游客量在[6,17.18]千人范围内时， (7分) (2)+b+B+a=a3+(2-a)6+(2-b) 该乡村至少盈利5万元. (17分) a+1Tb十1-a十1 b+1 19.解：(1)函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1, =a2+2-a-b+2 2 不等式f(x)<1台(m十1)x2-(m-1)x十m-2<0, +十b+1 当m十1=0，即m=-1时，2x-3<0x<名，不合 =a+6r-96+80德-9 题意； (2分) ·8· ·数学· 当m十1≠0时，由(m十1)x2-(m-1)x十m-2<0 当m>一1时，原不等式的解集为 的解集为R, 得m+10 ≤0或1以 (12分) 1△=(m-1)2-4(m+1)(m-2)<01 即/m<-1 (3张题意，Vx[-号，号]，不等式(m+1Dr 5m-2m一9>0解得m< (m-1)x十m-1≥0台m(x2-x+1)≥-x2-x+1, 所以实数加的取值粒图是（一，1号）.(4分 而-x+1=(合}广+>0， (2)不等式f(x)≥(m十1)x台(m十1)x2-2mx十m 则x[分]m≥=-1中 -1≥0台[(m十1)x-(m-1)](x-1)≥0，(5分) 2(1-x) x2-x+11 (15分) 当m十1=0，即m=-1时，解得x≥1： (6分) 当m1>0,即m>-1时，(》x-10≥0 令1-=e[2] 册号-1一名<1，解得号或≥1：8分剂 则片-0币币 当m+1<0即m<-1时，(：一号）x-1≤0， 1一1 +-1 分1名>1，解得1<0 (10分) 当且仅当t=1,即x=0时取等号， 所以当m<一1时，原不等式的解集 为1≤≤}： 因此当=0时，(）=1，则m21 所以实数m的取值范围为[1，十∞). (17分) 当m=一1时，原不等式的解集为{xx≥1： ·%9·