专题5.2 平面向量的数量积及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习

专题5.2 平面向量的数量积及其应用 知识点1：平面向量的数量积 （1）向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． （2）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （3）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. （4）向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点2：数量积的性质与坐标运算 （1）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【跟踪训练】 2．（2026高三上·全国·专题练习）如图，圆O是边长为4的正方形的内切圆，是圆O的内接正三角形，若绕着圆心O旋转，则的最大值是（    ） A． B．     C． D． 题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角问题 题型三：平面向量的模长问题 题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 题型七：平面向量与三角函数的交汇 题型八：平面向量的实际应用 题型一：平面向量的数量积运算 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 2．（25-26高三下·辽宁沈阳·期末）如图，圆为的外接圆，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 3．（25-26高三下·辽宁·期末）在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高三下·安徽安庆·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 题型二：平面向量的夹角问题 5．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·陕西西安·期中）已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________． 7．（25-26高三下·广东深圳·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D． 8．（26-27高三上·重庆·开学考试）正方形的边的中点为，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型三：平面向量的模长问题 9．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知向量，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高三下·湖南衡阳·期末）已知向量，，，则____________ 11．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知向量，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·山东济南·开学考试）已知平面向量，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 题型四：平面向量的投影、投影向量 13．（26-27高三上·河南·开学考试）已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 15．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三下·重庆·期中）已知向量，. (1)若，求； (2)若，，求在上的投影向量坐标. 题型五：平面向量的垂直问题 17．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）设向量，，．若，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三下·陕西西安·期末）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值． 题型六：建立坐标系解决向量问题 21．（26-27高三上·河北石家庄·开学考试）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形． (1)若，求线段的长； (2)当在对角线上运动时，用向量法证明始终有且． 22．（25-26高三下·天津·期末）在直角梯形中，已知，动点分别在线段和上，和交于点，且．    （1）当时，的值是___________； （2）的取值范围是___________． 23．（25-26高三下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 题型七：平面向量与三角函数的交汇 25．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）在中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为的面积，且满足如下条件：． (1)求角A； (2)若，，求面积的最大值； 26．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 27．（25-26高三下·上海徐汇·期末）已知，，记． (1)求函数的解析式，并求在上的单调减区间； (2)若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 28．（25-26高三下·江苏南京·期中）设向量，（，）函数，. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. (3)在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 题型八：平面向量的实际应用 29．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置，从绳结处引出三条绳索，，，固定点，并使得与铅垂线成夹角，处悬挂拉力为的重物，处连接测力器，与铅垂线成夹角．当时，记C处的拉力为，当时，记处的拉力为，则（     ）    A． B． C． D． 30．（25-26高三下·青海西宁·期末）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 31．（25-26高三下·四川凉山·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三下·安徽阜阳·期末）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．当________时，游船能到达处，需要航行的时间为________h．    1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）平面向量的夹角为，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，且，则（     ） A．2 B． C． D． 5．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 7．（25-26高三下·陕西汉中·期中）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六边形开口，另一端是封闭的底，巢中被封盖着的是浓缩成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 8．（2026·安徽·模拟预测）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·山东济宁·阶段检测）（多选）已知向量，，则（     ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．若与夹角为锐角，则的取值范围为 D．当时，向量在向量上的投影向量为 10．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（     ） A．的面积的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若的面积为面积的，则 D．当为中点时， 11．（25-26高三下·广东深圳·期末）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D．若，则 12．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 13．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设中，，则的值为________. 14．（25-26高三下·福建龙岩·期中）如图，在中，分别为边上的点，且，AE与CD交于点P，记，，．若，，，求的余弦值为___________． 15．（25-26高三下·北京·期末）已知向量，，设． (1)若，，求的值． (2)若，求的最小值，及此时实数的值． (3)若，求的取值范围. 16．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知平面向量，，. (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值； (3)若与的夹角为，且向量，求实数m与n的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 平面向量的数量积及其应用 知识点1：平面向量的数量积 （1）向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． （2）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （3）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. （4）向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 在上的投影向量为． 知识点2：数量积的性质与坐标运算 （1）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【跟踪训练】 2．（2026高三上·全国·专题练习）如图，圆O是边长为4的正方形的内切圆，是圆O的内接正三角形，若绕着圆心O旋转，则的最大值是（    ） A． B．     C． D． 【答案】D 【分析】由题意，利用两个向量的数量积的定义求得，再求得，又由即可求解. 【详解】由题意，可得， 又由，所以， 又因为, 所以， 当时，取得最大值. 所以的最大值为. 题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角问题 题型三：平面向量的模长问题 题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 题型七：平面向量与三角函数的交汇 题型八：平面向量的实际应用 题型一：平面向量的数量积运算 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】3 【分析】首先利用，得到.利用向量在向量上的投影向量公式得到，最后即可求解的值为3. 【详解】因为，所以. 由向量在向量上的投影向量公式得， 所以，. 2．（25-26高三下·辽宁沈阳·期末）如图，圆为的外接圆，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】利用垂径定理得到向量在上的投影为对应弦长的一半，展开点积分别计算后求和. 【详解】取的中点，的中点，连接、， 由圆的垂径定理可知，，, 则， ，在中， 所以，同理可得， 因为，， 所以. 3．（25-26高三下·辽宁·期末）在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量投影的定义，由，得到，求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，因为为的垂心，可得点落在边的垂线上，    则向量在方向上的投影，恰好等于在方向上的投影，即， 因为，可得，即， 又因为，且，可得，解得，即， 又由余弦定理得， 所以. 4．（25-26高三下·安徽安庆·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，将向量数量积转化为坐标运算，结合正六边形的几何性质确定动点横坐标的范围即可求解． 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为2，所以，，则 ， 设，则，所以， 由正六边形的性质可知，，所以点的横坐标为，点的横坐标为 ， 因为是正六边形的内部以及边界上任意一点，观察图形可知，点的横坐标的最小值为点的横坐标，最大值为点的横坐标， 所以，即， 所以 的取值范围为． 题型二：平面向量的夹角问题 5．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出 ，结合夹角范围 得到具体角度. 【详解】由，得， 所以，所以 在 上的投影向量为：，所以 由①②得，所以，即， 所以，因为，所以. 6．（25-26高三下·陕西西安·期中）已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】不妨设，，利用向量夹角余弦的坐标公式求解即可. 【详解】不妨设，， 则，， 所以，， 设与夹角为， 则. 7．（25-26高三下·广东深圳·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】利用两个向量夹角相等则其余弦值相等的性质，结合向量点积公式、模长公式列方程求解参数. 【详解】由，，，得. 因为，且向量夹角的取值范围为， 所以. 因为，， 所以，化简得， 即，化简得， 解得. 8．（26-27高三上·重庆·开学考试）正方形的边的中点为，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，求出可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴的 正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则， 所以， 所以， 可得. 题型三：平面向量的模长问题 9．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知向量，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标运算求出的坐标，再把转化为关于的三角函数求最值. 【详解】因为，所以， 所以= =，当时取等号，所以的最大值为3. 10．（25-26高三下·湖南衡阳·期末）已知向量，，，则____________ 【答案】 【分析】由向量数量积的坐标运算可得，进而可得，即可得模长. 【详解】因为，所以，解得， 即，可得， 所以 11．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知向量，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，又，则， 所以. 12．（26-27高三上·山东济南·开学考试）已知平面向量，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，. 由 ，条件 两边平方得 ①. 又由 ，可得 ②. 将②代入①得. 因为 ，所以. 故 . 题型四：平面向量的投影、投影向量 13．（26-27高三上·河南·开学考试）已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 14．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 【答案】 【详解】因为， 所以当时，取到最小值， 所以， 因为，所以， 所以在上的投影向量为. 15．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，再用向量的投影公式求出向量在向量方向上的投影，因为投影向量的模就是其投影的绝对值，所以问题解决． 【详解】因为向量，向量，所以， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 因为向量在向量方向上的投影向量的模就是其投影的绝对值，所以向量在向量方向上的投影向量的模为． 16．（25-26高三下·重庆·期中）已知向量，. (1)若，求； (2)若，，求在上的投影向量坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知向量，，则， ，，代入坐标得：. ，. （2）， 已知，， 则，则. 则所求投影向量为，其中，， 则投影向量为. 题型五：平面向量的垂直问题 17．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 18．（26-27高三上·贵州遵义·开学考试）已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义可得，将数据代入计算，即可得到答案； 【详解】由，得， ，于是， 因此在方向上的投影向量为. 19．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）设向量，，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，由得， 即，解得． 20．（25-26高三下·陕西西安·期末）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积公式求出两向量的数量积，展开求出并开方求出模； （2）利用向量垂直构造关于的方程，解方程求出． 【详解】（1）因为，，， 则，所以 ． （2）若向量与相互垂直， 则 ，即， 解得， 所以实数的值为． 题型六：建立坐标系解决向量问题 21．（26-27高三上·河北石家庄·开学考试）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形． (1)若，求线段的长； (2)当在对角线上运动时，用向量法证明始终有且． 【答案】(1) (2)证明:由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到各点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得 ①， 又 ②， 由①②得，故点的坐标为． 所以线段的长为. （2）略 22．（25-26高三下·天津·期末）在直角梯形中，已知，动点分别在线段和上，和交于点，且．    （1）当时，的值是___________； （2）的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标法求解. （1）设，由三点共线得，再由三点共线得，解方程组可得所求值； （2）由题中所给条件分别解得，，进而可得，再结合二次函数的性质可得取值范围. 【详解】因为，所以以点为原点，分别以所在直线为轴建立直角坐标系， 如图：    则. （1）当时，，，所以， 因此，所以. 因为和交于点，所以三点共线，设， 则，， 得， 又因为三点共线，设， 因此，得，解得. 因此当时，. （2）由题意和（1）： ， 所以，即. 又因为，且， 所以，. 所以， ， 由分别在线段上，得. 二次函数开口向上，对称轴， 所以函数有最小值，故， 最大值在端点处，故， 因此的取值范围为. 23．（25-26高三下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 24．（25-26高三下·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【详解】（1）如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； （3）因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 题型七：平面向量与三角函数的交汇 25．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）在中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为的面积，且满足如下条件：． (1)求角A； (2)若，，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用边角转化结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的线性关系结合面积公式计算，最后应用基本不等式求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，整理得， 由余弦定理，得，又，所以． （2）由，得， 化简得到：． 从而， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 从而，所以面积的最大值为． 26．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据数量积和射影定理化简，再跟据时取最大值，解即可. （2）先由的值，利用余弦定理得到边的关系，再利用重心的向量性质，将用三角形顶点对应向量表示，展开点积后结合余弦定理和基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）， 由三角形射影定理可得，代入后化简， 已知时取最大值，而正弦函数最大值为1，因此，得； 此时最大值条件满足，又是三角形内角，故. （2）设中点为，由重心性质可知，同时，， 故，结合，， 再由余弦定理，代入得 ， 将其代入， 由基本不等式，代入，得，即，当且仅当时取等号， 因此，最大值为. 27．（25-26高三下·上海徐汇·期末）已知，，记． (1)求函数的解析式，并求在上的单调减区间； (2)若，恰有2个零点，，求实数的取值范围和的值． 【答案】(1)； (2) ； 【分析】（1）根据向量的数量积的运算公式，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解； （2）化简得到，转化为有两个根，即可求得的取值范围，再由正弦函数的对称性，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 可得 ， 因为，可得， 令，解得， 所以函数在上的单调减区间. （2）解：由， 因为，所以 ， 当时，即时，函数单调递增； 当 时，即时，函数单调递减， 且当时，可得，可得， 当时，可得，可得 ， 当 时，可得，可得 ， 因为在恰有2个零点，则 有两个根， 即有两个根，则 ，解得 ， 即实数的取值范围为 ， 由函数在恰有2个零点，即在的两个根， 令，可得 ，即在 的两个根， 又由 的图象关于直线对称，所以，即 ， 即 ，所以，所以. 28．（25-26高三下·江苏南京·期中）设向量，（，）函数，. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. (3)在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 【答案】(1)； (2)选条件②，； (3) 【分析】（1）根据三角恒等变形化简得，再代值求即可； （2）由，则不存在，故选条件②，由单调性可知时取最小值，再代入结合求参数即可； （3）由题可知，再得到，根据，结合二倍角及正弦和角公式求解． 【详解】（1）， 若，则有，因为，则； （2）由（1）知，则不存在， 故选条件②，则可知时取最小值，故有， 即，即， 又由得，即， 解得，，所以； （3）由得，因为是锐角，所以， 因此，所以， 所以 . 题型八：平面向量的实际应用 29．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置，从绳结处引出三条绳索，，，固定点，并使得与铅垂线成夹角，处悬挂拉力为的重物，处连接测力器，与铅垂线成夹角．当时，记C处的拉力为，当时，记处的拉力为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立平面直角坐标系，从而根据三角函数得到，，处拉力的坐标表示，再根据平衡状态求出，的坐标，进而根据坐标公式法即可求向量的模． 【详解】依题意，以绳结处为原点，水平方向、竖直方向为轴、轴建立如下图平面直角坐标系，    设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 又根据题意有，即， 则当时，有，得，此时处的拉力为； 当时，有，得，此时处的拉力为． 所以． 30．（25-26高三下·青海西宁·期末）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】由题意可知，行李包处于平衡状态，则 ， 所以， 故A错误； 又 ,所以其中， 当角越大时，越小，越大，越费力，故B错误； 当时， ，故 C 正确； 时，，故D错误. 31．（25-26高三下·四川凉山·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设船垂直河岸实际渡河速度的大小为，， 所以，解得， . 32．（25-26高三下·安徽阜阳·期末）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．当________时，游船能到达处，需要航行的时间为________h．    【答案】 / / 【分析】根据游船抵达正对岸的条件，令船速沿水流反方向的分速度抵消水流速度求出，再算出垂直河岸分速度，最后用河宽除以垂直分速度得到渡河用时. 【详解】要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时． 1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，根据向量的数量积运算及模长公式求解即可. 【详解】， 因为，所以， ，解得. 2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量，夹角，，， ， 数量积：， 代入得： 化简得：， 因式分解：， 是非零向量，，所以. 3．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）平面向量的夹角为，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得：. 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，且，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以， 所以，所以，又，，所以， 解得. 5．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】，，，且，． 6．（26-27高三上·广西桂林·阶段检测）若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系， 由等边边长为，可得各点坐标：，，， 因为为中点，故的坐标为， 设，其中， 则，， 由向量数量积的坐标运算得： ， 该式为开口向上的二次函数，对称轴为， 在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得： 当时，，故最大值为. 7．（25-26高三下·陕西汉中·期中）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六边形开口，另一端是封闭的底，巢中被封盖着的是浓缩成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算、数量积以及投影向量的概念逐项判断即可. 【详解】对于A， ，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，设正六边形的边长为，则，， 因为，所以， 根据投影向量的定义可知，在上的投影向量为，所以C错误； 对于D，连接，连接与交于点， 易知为等边三角形，根据对称性可得， 所以为的中点，故， 又，，所以， 所以，故D正确. 8．（2026·安徽·模拟预测）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 9．（25-26高三下·山东济宁·阶段检测）（多选）已知向量，，则（     ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．若与夹角为锐角，则的取值范围为 D．当时，向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若与夹角为锐角，则， 解得且，故C错误； 对于D，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 10．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（     ） A．的面积的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若的面积为面积的，则 D．当为中点时， 【答案】AD 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线结合与面积比等于即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D. 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故B错误． 对于C，由在上，设且， 因为与面积比等于， 由得，故C错误． 对于D，当为中点时，， 则，故D正确． 11．（25-26高三下·广东深圳·期末）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，因为， 所以， ． 又因为，所以，即，D正确． 12．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 【答案】 【详解】因为向量，的夹角为，，，则， 所以. 13．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设中，，则的值为________. 【答案】 【分析】提取向量，利用向量加法法则化简，再用余弦定理求出，代入求值. 【详解】因为， . 在中，由余弦定理：， 代入，解得，即， 所以原式. 14．（25-26高三下·福建龙岩·期中）如图，在中，分别为边上的点，且，AE与CD交于点P，记，，．若，，，求的余弦值为___________． 【答案】 【分析】先以为基底表示，算出基底的模与数量积，再求出和两向量模长，最后用向量夹角公式求得的余弦值. 【详解】因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以． 15．（25-26高三下·北京·期末）已知向量，，设． (1)若，，求的值． (2)若，求的最小值，及此时实数的值． (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为，此时 (3) 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，再结合可得出的值； （2）当时，求出向量的坐标，进而可得出向量的坐标，再结合平面向量的模长公式求解即可； （3）由平面向量的模长公式、三角恒等变换化简得出关于的表达式，利用正弦型函数的基本性质以及的取值范围可得出的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，，， 所以，整理可得，故. （2）若，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故最小值为，此时. （3）因为， 当时，，则， 所以， 即当时，的取值范围是. 16．（25-26高三下·陕西汉中·期中）已知平面向量，，. (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值； (3)若与的夹角为，且向量，求实数m与n的值. 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）向量垂直用数量积为 0，先求向量和再列式解方程；（2）向量平行用坐标交叉相乘相等，求出参数后代入夹角公式计算余弦值；（3）利用夹角公式求出x，再由向量相等建立方程组求解m，n. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，解得. （2）由题意可得， 又因为，且，所以， 解得，所以，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. （3）由题意得，即，解得， 所以，，， 因为，所以解得 所以实数，. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $