专题02 二次函数与一元二次方程、不等式 【培优练习】2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题02 二次函数与一元二次方程、不等式【培优】 26.3二次函数与一元二次方程 知识点1. 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点与判别式的关系 二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax²+bx+c=0的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点与方程ax2+bx+c=0的关系 Δ = b2 - 4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 二次函数 y = ax²+bx+c 图象 a＞0 a＜0 二次函数y = ax²+bx+c 的图象与x轴的公共点情况 有两个公共点：(x1 ，0)， (x2，0) 有一个公共点： （- ，0） 没有公共点 一元二次方程 ax²+bx+c = 0 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根x1 = x2 = - 没有实数根 求方程 ax²+bx+c=h（h为常数）的根，即二次函数 y=ax²+bx+c 与直线 y=h 交点的横坐标. 知识点2. 一元二次方程的近似解 ① 构造二次函数 y=ax²+bx+c； ② 取值计算，根据函数值正负交替锁定根的取值区间； ③ 逐步细化自变量取值，缩小区间范围； ④ 根据精度要求，确定方程的近似实数根.（由于作图或观察存在误差，由图像求得的根一般是近似的）。 知识点3. 二次函数与不等式（组） 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 Δ=b2-4ac的取值 Δ>0 Δ=0 Δ<0 a>0 y=ax2+bx+c与x轴的交点情况 两个交点 一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 a＜0 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 两个交点 一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 2. 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围； 的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 【题型练习】 题型01 二次函数与坐标轴的交点个数问题 【例题】(24-25九上·广东广州花都区·期中)已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【变式3】(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 题型02 二次函数图象与坐标轴的交点坐标 【例题】（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 题型03利用函数图象求方程的根 【例题】(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为 ． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【变式3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 题型04 一元二次方程的解的估算 【例题】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【变式2】（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型05根据交点确定不等式的解集 【例题】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【变式3】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 题型06二次函数、一次函数与不等式 【例题】(24-25九上·广东广州知用学校·期末)如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式2】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 题型07 二次函数与一元二次方程的关系综合 【例题】(24-25九上·广东汕尾·期末)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】(23-24九上·广东广州南沙区·期末)二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【变式3】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与一元二次方程、不等式【培优】 26.3二次函数与一元二次方程 知识点1. 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点与判别式的关系 二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax²+bx+c=0的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点与方程ax2+bx+c=0的关系 Δ = b2 - 4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 二次函数 y = ax²+bx+c 图象 a＞0 a＜0 二次函数y = ax²+bx+c 的图象与x轴的公共点情况 有两个公共点：(x1 ，0)， (x2，0) 有一个公共点： （- ，0） 没有公共点 一元二次方程 ax²+bx+c = 0 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根x1 = x2 = - 没有实数根 求方程 ax²+bx+c=h（h为常数）的根，即二次函数 y=ax²+bx+c 与直线 y=h 交点的横坐标. 知识点2. 一元二次方程的近似解 ① 构造二次函数 y=ax²+bx+c； ② 取值计算，根据函数值正负交替锁定根的取值区间； ③ 逐步细化自变量取值，缩小区间范围； ④ 根据精度要求，确定方程的近似实数根.（由于作图或观察存在误差，由图像求得的根一般是近似的）。 知识点3. 二次函数与不等式（组） 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 Δ=b2-4ac的取值 Δ>0 Δ=0 Δ<0 a>0 y=ax2+bx+c与x轴的交点情况 两个交点 一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 a＜0 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 两个交点 一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 2. 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围； 的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 【题型练习】 题型01 二次函数与坐标轴的交点个数问题 【例题】(24-25九上·广东广州花都区·期中)已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时x的值的情况． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是， ∴，即， ∴根的情况为求x的值情况， 由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 【变式1】(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线与轴一定有交点，理由见解析 (2)当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、交点坐标的求法以及最小值问题． （1）让函数值为，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就与x轴有几个交点即可． （2）令，则，解方程求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，最小，得出当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴一定有交点，理由如下： 令，则， ， 无论取何值，， 故抛物线与轴一定有交点； （2）令，则， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为，， 两交点之间的距离为， 当两交点间的距离最短时，最小， ， 当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为． 题型02 二次函数图象与坐标轴的交点坐标 【例题】（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【变式3】已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，抛物线与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）当时，求出的两个根，相减后取绝对值即可． 【详解】（1）证明：当时，， ， 无论取任何实数，，即， 关于的一元二次方程一定有实数根， 无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； （2）解：当时，抛物线为，当时，， 解得， ． 题型03利用函数图象求方程的根 【例题】(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：一元二方程变形为， ∵方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标， ∵二次函数 的图象与直线相交于点和点， ∴的解是，， 故答案为：，． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 题型04 一元二次方程的解的估算 【例题】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式2】（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 【变式3】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键． 根据，，，，由函数值的正负变换即可求解． 【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，， ∴当一元二次方程的一个近似解的范围是， 故选：B ． 题型05根据交点确定不等式的解集 【例题】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【答案】A 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0． 故选：A． 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C 【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0）， 从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 题型06二次函数、一次函数与不等式 【例题】(24-25九上·广东广州知用学校·期末)如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括交点问题，确定不等式的解集及平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将点代入求解即可； （2）根据题意先确定函数与x轴的交点，然后结合图象求解即可； （3）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后将交点问题转化为一元二次方程根的问题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴． ∴； （2）令， 解得： 结合图象可知，不等式的解集为：． （3）由（2）得， ∵直线相交于点A和点． ∴， 解得： ∴， 设新抛物线： 即， ∵只有一个交点， ∴， ． 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 【变式2】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 【变式3】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 题型07 二次函数与一元二次方程的关系综合 【例题】(24-25九上·广东汕尾·期末)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向以及与y轴的交点情况可对①进行判断；根据对称轴的位置结合开口方向，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，的取值范围是，所以④正确； 故选：C． 【变式1】(23-24九上·广东广州南沙区·期末)二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与方程、不等式的关系．利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质，二次函数与方程、不等式的关系逐个进行判断． 【详解】由表可知，二次函数图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数为， ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 把代入二次函数中，得， ∴ ∵二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为，， ∴不等式的解集为，故③正确； ∵方程即为， 整理为， 解得，， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确． 综上所述，说法正确的共有3个． 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④/④③ 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 【变式3】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【规范解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $