湖南省多校联考2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

HUN202609 高二数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查直线的倾斜角， 解析直线x=cos180°的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2.答案A 命题透析本题考查向量共线。 解析因为向量a,6不共线，所以若向量a+b与a-3动共线，则宁=3即k=-分 3.答案A 命题透析本题考查直线斜率的应用. 解析由三点共线得“=kc,}二=20解得a=2 4.答案C 命题透析本题考查空间线面位置关系的判定 解析对于A,若⊥B,m⊥a,则m∥B或mCB,故A错误； 对于B,若m∥a,n⊥m,则n与a的位置关系可能是平行、相交或nCa,故B错误； 对于C,由线面平行的性质定理知，m∥n,故C正确； 对于D,若mC,nCB,ax∥B,则m与n可能平行，也可能异面，故D错误. 5.答案B 命题透析本题考查投影向量： 解析向量6在向量a上的投影向量为之·台3名a=(号一宁号》 6.答案D 命题透析本题考查正四面体的表面积与体积的计算. 解析设正四面体为A-BCD,并将其补形成正方体（如图），设正方体AEDF-HBGC的棱长为a,则正四面体 4-B00的楼长为a,所以化a=mrm4-m=d-4×兮×宁×。写=号解得a=1,从而正 四面体A-BGD的棱长为5，侧该正四面体的表面积为4×车×(D)?=-2,尽 一1 7.答案B 命题透析本题考查解三角形的综合应用. 解析由正弦定理得sinA-sinB=2(sin Acos C+sin Ccos A),又因为A+B+C=T,所以sin(A+C)=sin(T- B)=sinB,故sinA-sinB=2sin(A+C)=2sinB,故sinA=3sinB,易得a=3b.由题知三个内角均为锐角，由余 弦定理，得cosA=尽+c-a>0,代人a=36,得c2>86,又c0sC=。+2-c>0,所以2<106，因此86< 2bc 2ab c1o,1-后则8<1c0,于是mc:兰.0心兰-号-后的取值范为0，》 2ab 8.答案C 命题透析本题考查空间向量的数量积运算及最值的求解 解析设m=a+b+c,由题意，得Id-ml=1.将d拆分为d=m+(d-m),代入所求数量积，得d·（a+b)= [m+(d-m)]·（a+b)=m·(a+b)+(d-m)·（a+b).因为向量a,b,c两两互相垂直，所以任意两个不 同向量的数量积为0，所以m·(a+b)=(a+b+c)·(a+b)=1a2+Ib12+2a·b+a·c+b·c=1+1+0+ 0+0=2,又(d-m)·(a+b)≤1d-ml·|a+bl,其中ld-ml=1,且1a+b1=√1a2+lb2+2a·b= √个+1+0=√2，因此(d-m)·(a+b)≤1×2=5，则d·(a+b)≤2+2，当且仅当d-m与a+b同向时取等 号，故最大值为2+2. 二、选择题 9.答案AC 命题透析本题考查复数、共轭复数的概念和运算 解析对于A,设z=a+bi(a,beR),由lz=1得a2+b2=1,于是z·z=(a+bi)(a-bi)=2+b2=1,故A 正确； 对于B,当a=0,b=1时，22=（-i)2=-1,故B错误； 对于C,结合A项可知z+=2+2=(a+bi)+(a-bi)=2a,2a是实数，故C正确； 对于D,对于方程+2=0，由求根公式得该方程的根为：生，计算根的模为 (+( 2 √2，不满足Iz=1,因此z不可能是该方程的根，故D错误. 10.答案AB 命题透析本题考查基底的概念， 解析由题知a,b,c不共面. 对于A,假设存在实数x,y,z,使得xa+y(a+b)+z(a+b+c)=0,即(x+y+z)a+（y+z)b+zc=0,则x=y= z=0,即a,a+b,a+b+c不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B,假设存在实数x,y,z,使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0,即(x+z)a+(x+y)b+（y+z)c=0,则 x=y=z=0,即a+b,b+c,c+a不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C,因为(a-b)+(b-c)=-（c-a),所以a-b,b-c,c-a共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D,因为(a+b)-(a-b)=2b=子×3b,所以a+b,a-b,3b共面，不能构成空间的一个基底，故D错误 11.答案ACD 命题透析本题考查圆锥的结构特征和有关表面积、线面角、二面角的计算. 解析以底面圆心O为坐标原点，以直线OB、底面内垂直于OB的直线、直线OS分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，则0(0,0,0)，A(-2,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),设C(2cos0,2sin0,0),0e(0,2m)且0≠ π，由E为SC的中点，得E(cos0,sin0,1). 对于A,易知OA=OB=OC=OS=2,即点O到三棱锥S-ABC的四个顶点的距离相等，故点O即为三棱锥S- ABC外接球的球心，外接球半径为R=2,所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4πR=4π×22=16π，为 定值，故A正确. 对于B,若直线OE⊥平面SBC,则OE⊥BC,易知S0⊥BC,S0∩OE=O,所以BC⊥平面SC0,则BC⊥SC,在 △SBC中，由SB=SC,可知BC⊥SC不可能成立，所以不存在点C,使得直线OE⊥平面SBC,故B错误 对于C,易知平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),直线0E的方向向量为0龙=(cos0,si0,1),设直线0E 与平面SAB所成的角为，则sin a= o应，l=lsin叫 1021lnl√cos8+sin20+1下√2 下=0，当1m01=1,即0=号或7受时， 对应点C的坐标为(0，±2,0)，符合题意，此时sina取得最大值万二2，故C正确， 对于D,平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),当LB0C=60时，不妨设点C的坐标为(1,5,0)，则S=(2, rm.S3=2x-2z=0, 0,-2),S元=(1，N5,-2);设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),则 令x=5,得z= lm.S元=x+5y-2z=0, 后，，用平看c份-个黄间量为m:(51,).测11-器·7中示 ?故平面$B与平面SBC夹角的余弦值为，故D正确 一3 ◆2 三、填空题 12.答案0.92 命题透析本题考查相互独立事件的概率计算. 解析因为P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.6=0.48,所以 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92. 13.答案（填120也对） 命题透析本题考查空间向量夹角的计算， 解析由已知得lal=√22+12+(-2)2=3，(a+c)·c=a·c+c2=a·c+4=1,所以a·c=-3,cos(a,c〉= 8治3号分所以a.e(填120也对. a·c 14答案公 14 命题透析本题考查利用空间向量求点到直线的距离、求三角形面积的最小值 解析以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 42 C E B D C y B 由棱长为2，得B(2,2,0),D,(0,0,2),E(2,1,2),F(1,2,0).由P为线段BD,上的动点，可设B=tBD(tE [0,1]),又BD=(-2,-2,2),得BP=(-2t,-2t,2),所以点P的坐标为P(2-2t,2-2t,2t).△PEF的面积 可表示为Sr=方·EFd,其中EF为定值，d为点P到直线EF的距离，因此△PEF的面积最小等价于d最 一4 小因为4=1s成，=11√个-心录，=_.，序-(-1,1，-2，成： 1E2 (-26,1-26,21-2),所以1E12=(-1)2+12+(-2)2=6,1E212=（-2)2+(1-2)2+(26-2)2=122- 12+5,3.=-2·(-1)+(1-2)1+(24-2)·(-2)=5-4,,2-5-42 1E12 6 1-含0+25，所以4=√22-12+5-6-0+五 /562-32t+ 6 6 6 ,因为f)=石(56f-3+5)= 四、解答题 15.命题透析本题考查频数分布表和古典概型的概率计算. 解析（1)各组区间的中点值依次为25,35,45,55,65， 则样本平均数为元=25×4+35×6+45X18+5×14+65×8=48.2(分)， 50 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟. …（4分) (2)学习时长不足40分钟的学生分布在[20,30)和[30,40)两组，频数分别为4和6，总人数为4+6=10. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为品=之， …（5分） 因此，从[20,30)组抽取4×7=2人，从[30,40)组抽取6×分=3人…（(7分) 记[20,30)组抽取的2人分别为a,b,[30,40)组抽取的3人分别为c,d,e. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为2={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),（c,d), (c,e),（d,)},共10个样本点.…（10分) “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件={(a,b),(c,d),(c,e),(d,e)},共4个样本点。 …（12分) 故所求概率P=0-号… 42 …(13分) 16.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)由题意知P元=花-市-+元-=b+之a-c=之a+b-c.…(5分) (2)因为M为PB的中点，所以成=2（市+）=之(a+c). …（6分） 由(1)知4花=b+2a 因为P=APi,所以A-A=A(A-A),则Ad=入Ad+(1-入)A=b+(1-A)c.…(8分) 因为A,M,N,C四点共面，所以存在实数x,y满足A市=xA+yA心， 一5 即b+(1-Ac=受(a+c)+(0+之，整理得b+(1-Ac=生a+b+受c,…(1分) x+y=0, 2 因为a,b,c不共面，所以{入=y, 解得入=y=2,x=-2.… (13分) 1-A=受， 当A=2时，P咏=2Pi,则点N在PD的延长线上且PN=2PD.…(15分) 17.命题透析本题考查线面垂直的证明和空间向量的应用. 解析如图，连接AC,交BD于点O.以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，过点O且平行于AA1的 直线为z轴，建立空间直角坐标系。 由AB=2,∠BAD=60°，得0A=5,0B=1,又AA1=6,所以A(5,0,0),B(0,1,0),C(-5,0,0),D(0,-1, 0A(50,6),c(-5.06),01,} …（3分) （(1)d-(-51,）4t=(-250,-6.… (5分) 设异面直线AE与A,C所成的角为0， A应.AC 6-6 则cos0= IAEIIA CI 11 √3+1+×2+6 即异面直线AE与A,C所成角的余弦值为 11 …（7分） (2)因为A1t=(-25,0,-6),DC=(-5,1,6),Di=(0,2,0),…(9分) 所以AC.DC=(-25,0,-6)·(-5,1,6)=(-25)×(-5)+0+(-6)×5=0, A.Di=(-2F,0,-6)…(0,2,0)=0,…（13分) 所以AC⊥DC1,A,C⊥DB, 一 6 又DB∩DC1=D,DB,DC1C平面BDC1,所以A,C⊥平面BDC1.…（15分) 18.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)由题意知O,O1分别是AB,AB,的中点，连接OB1,OP,如图. 因为P是BC的中点，所以OP∥AC,又ACC平面AAC,OP￠平面AAC,所以OP∥平面A,AC.·（1分) 由圆台的性质可知，A1B1∥AB,且A1B,=4,A0=4,所以A,B1∥A0,且A,B,=A0,所以四边形A1AOB1是平行 四边形，所以AA1∥OB,,又AA,C平面AAC,OB,丈平面A,AC,所以OB1∥平面A1AC.·（3分) 又OB1∩OP=0,OB1,OPC平面OPB1,所以平面OPB1∥平面A1AC, 又B,PC平面OPB1,所以B1P∥平面A1AC.… …（5分)） (2)如图，以0为坐标原点，过点0且垂直于直线AB的直线为x轴，OB,O01所在直线分别为y,z轴建立空间 直角坐标系，由题意知001=25，则0(0,0,0)，A(0,-4,0),B(0,4,0),C(25,-2,0),B,(0,2,2√3) …（7分）》 所以AB=(0,6,25),A元=(23,2,0). rn·AB=0,r6y+25z=0, 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z),则 即以 n.A元=0,25x+2y=0, 令x=1,得y=-5,z=3,即平面AB,C的一个法向量为n=(1,-√5,3).…(9分) 因为应=(0,8,0)，所以点B到平面AB,C的距离d=.mL_10x1+8x(-)+0x318型 √12+(-5)2+32 131 即点B到平面AB,C的距离为8 13 （11分） (3)由(2)知平面AB,C的一个法向量为n=(1,-√5,3). 易得AA=0B=(0,2,25). rm·Ad=0,25a+2b=0, 设平面A,AC的法向量为m=(a,b,c),则 即 m·Ad=02b+25c=0, 令a=1,得b=-√3，c=1,故平面A1AC的一个法向量为m=(1,-√5,1).…（14分) 设平面A,AC与平面AB,C的夹角为0， 一7 则cos8sm:n川=号 11×1+(-5)×(-5)+1×3 1=16 √12+(-5)2+12×√12+(-5)2+32 65 故平面A,AC与平面AB,C夹角的余弦值为7⑤ （17分) 65 19.命题透析本题考查新定义及利用空间向量解决线面角、二面角问题. 解析(1)由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB,故折叠后有CD⊥SD,CD⊥BD, 因为SD∩BD=D,且SD,BDC平面SBD,所以CD⊥平面SBD, 又SBC平面SBD,所以CD⊥SB.… (2分) 因为SC⊥BD,CD⊥BD,且SC∩CD=C,SC,CDC平面SCD,得BD⊥平面SCD, 又SDC平面SCD,所以BD⊥SD.…(3分)》 又CD⊥SD,BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,所以SD⊥平面BCD, 又BCC平面BCD,所以SD⊥BC. 综上，三组对棱两两垂直，故四面体S-BCD为对垂四面体.…（(5分) (2)由(1)知DB,DC,DS两两互相垂直.以D为坐标原点，DB,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),所以Ci=(0,-2,0),S8=(2,0,-1),SC=(0,2,-1) rn·S2=0,r2x-z=0, 设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则 即 n.St=0,l2y-z=0, 令z=2,得x=1,y=1,故n=(1,1,2).…(8分) 设直线CD与平面SBC所成的角为a,则sin&=n·C 。1-21 一=6 1nl1Ci1√1+1+4×26， 故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为 6 …(10分) 0 B (3器=A得P0+器=A,得（子0，士 所以亦-(0，++)成=（子0,4 (12分) 8 rt.D=0,2y+z=0, 设平面DPQ的法向量为t=(x,y,z),则 即 t.D0=0,2x+z=0, 令y=1,得x=入2，z=-2入，故t=（入2,1，-2入).…（14分) 易知平面DBC的一个法向量为m=(0,0,1). 锐二面角0满足cos0=:m=I-2AL 2入 1tm√+1+4XF√+4λ2+1 2 分子分母同除以入（入>0），得cos0= R+京+4 由基本不络式，得+京2√公·京=2，当且仅当=京即入1时取等号 因此，cos0≤乙=号，即入=1时，os9取得最大值6 31 …（17分） 一9HUN202609 高二数学 注意事项： 1,答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题日的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.直线x=cos180°的倾斜角为 A.0 B.459 C.90 D.135° 2.已知平面向量a,b不共线，若向量ka+b与a-3b共线，则实数k的值为 A-号 B号 C.-3 D.3 3.若A(0,1),B(2,0),C(-2,a)三点共线，则实数a= A.2 B.3 C.4 D.5 4.设α，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A.若a⊥B,m1a,则m∥B B.若m∥a,n⊥m,则n⊥a C.若mCB,a∩B=n,m∥&，则m∥n D.若mCa,nCB,a∥B,则m∥n 5.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,1,1),则向量b在向量a上的投影向量为 A(合g) B(层3别 C.(2,-1,2) D.(1,1,1) 6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为 A. B29 C.5 D.25 数学第1页（共4页） 7.已知锐角△MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,6c,且，=co+ccsA,则cosC的 取值范围是 A0,) B(0 c.(3) (分 8.已知空间向量a,b,c两两互相垂直，且lal=1b|=1cl=1,向量d满足Id-a-b-cl=1. 则d·(a+b)的最大值为 A.1+2 B.1+3 C.2+2 D.2+3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数x的共轭复数为z,若1z=1,则 A.2…z=1 B.2=1 C:+上一定是实数 D,:可能是方程x2-x+2=0的根 10.已知4，b,c是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有 A.a,a+b,a+b+c B.a+b,b+c.c+a C.a-b,b-c,c-a D.a+b,a-b,3b 11.如图，圆锥S0的底面圆心为O,高S0=2,AB为底面直径，且AB=4,点C为底面圆周上异 于A,B的动点，E为母线SC的中点，则下列说法正确的是 A.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为定值 B.存在点C,使得直线OE⊥平面SBC C直线0B与平面s4B所成角的正弦值的最大值为号 D.若LB0C=60°，则平面SAB与平面SBC夹角的余弦值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立，则P(AUB)= 13.已知向量a=(2,1,-2),向量c满足Icl=2,(a+c)·c=1,则向量a与c的夹角为 14.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别为棱AB,BC的中点，P为线段 BD上的动点，则△PEF面积的最小值为 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学 习时长（单位：分），将所有数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]分成 5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分》 [20,30) [30.40) [40,50) [50.60) [60,70] 频数 4 6 18 14 8 (1)估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数：（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表】 (2)现采用比例分配的分层随机轴样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人 进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来 自同一学习时长区间的概率 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥CD,AB=2CD.设AB=a,AD=b, AP=c. (1)试用基底{a,b,c表示向量P元. (2)设M为PB的中点，点N在直线PD上，且P丽=AP元.若A,M,N,C四点共面，求实数 入的值，并说明此时点N的位置， 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD为菱形，∠BMD=60°，AB=2,AM,=6, E为棱BB,的中点 (1)求异面直线AE与A,C所成角的余弦值： (2)求证：A,C⊥平面BDC 18.(17分) 如图，圆台O0,的轴截面为等腰梯形ABB,A,上、下底面半径分别为2,4，母线与底面所成 的角为号，C是下底面圆周上一点，且AC=4,P是BC的中点 (1)求证：B,P∥平面A,AC: (2)求点B到平面AB,C的距离： (3)求平面A,AC与平面AB,C夹角的余弦值， ”” 19.(17分) 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在△ABC 中，CD为AB边上的高，AD=1,BD=2,CD=2.将△ACD沿CD折起，得到四面体S-BCD (点A对应点S),且满足SC⊥BD, (1)求证：四面体S-BCD为对垂四面体： (2)求直线CD与平面SBC所成角的正弦值： (3)设点P在棱SC上，点Q在校SB上，且满足部=兴=A(a>0),记平面DP0与平面 PC=OS BCD所成的锐二面角为6，求cs9的最大值及此时A的值. 数学第4页（共4页）