第二章 特殊三角形【素养培优卷】2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用）

第二章 特殊三角形【素养培优卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．如图，在 3×3 的方格纸中（每个小正方形的边长均为 1），已有 4 个小方格涂成阴影。若再涂黑一个空白小方格，使涂黑的 5 个小方格组成的图形是轴对称图形，则共有（　　）种不同的涂法。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 2．如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，将 △ABC 沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C′ 处，折痕交 AC 于点 D。则 ∠BDC′ 的度数为（　　） A．70°　　B．75°　　C．80°　　D．85° 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D。若 AD＝4，则 BC 的长为（　　） A．2　　B．3 C．4　　D．4 4．如图，以 Rt△ABC 的三条边为边分别向外作正方形，再把其中较小的两个正方形按图的方式叠放在最大的正方形内（两个小正方形分别靠着大正方形同一条边的两个角）。若大正方形中被小正方形覆盖区域之外的三块空白部分的面积分别为 S1、S2、S3，则两个较小正方形的重叠部分的面积等于（　　） A．S1＋S2＋S3　　B．S1＋S2－S3 C．S2＋S3－S1　　D．S1－S2－S3 5．下列关于命题、逆命题与逆定理的说法中，正确的是（　　） A．任何命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理 B．一个命题与它的逆命题不可能同时是假命题 C．若原命题是真命题，则它的逆命题一定是真命题 D．逆定理就是把原定理的条件与结论互换后得到的命题 6．如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，D 是边 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，且 DE＝DC，AE＝AC。若 AB＝15，BC＝9，则 DE 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 7．如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点 D 在边 BC 上。将 △ACD 沿直线 AD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 C′ 处。则 CD 的长为（　　） A．6－6　　B．3－3 C．6－3　　D．3 8．如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点 P 在直线 AB 上（不与点 A、B 重合）。若 △ACP 是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（　　） A．3 个　　B．4 个　　C．5 个　　D．6 个 9．如图，有一个长方体盒子，它的长为 4，宽为 2，高为 3，A 与 B 是长方体的一组相对的顶点。一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点 A 爬到顶点 B，则它爬行的最短路程是（　　） A．3　　B． C．　　D．7 10．如图，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点 D 在边 BC 上（不与 B、C 重合），连结 CE。给出下列结论：①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③∠DCE＝90°；④若 AB＝4，则 BD²＋CD² 的值恒为 16。其中正确的有（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在 5×5 的正方形网格中（每个小正方形的边长均为 1），点 A、B 都在格点上，且 AB＝4。若点 C 也是格点，且 △ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，则满足条件的点 C 共有＿＿＿＿＿个。 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，E 是斜边 AB 的中点。若 ∠ACD＝35°，则 ∠DCE 的度数为＿＿＿＿＿＿。 13．在 △ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与直线 AC 相交所成的锐角为 50°， 则 ∠B 的度数为＿＿＿＿＿。 14．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》中用四个全等的直角三角形拼成正方形 ABDE，证明了勾股定理，其中 Rt△ABC 的斜边 AB 恰好是正方形 ABDE 的一边。若 Rt△ABC 的周长为 24，斜边 AB＝10， 则正方形 ABDE 中未被四个直角三角形覆盖的部分的面积为＿＿＿＿＿。 15．如图，在 △ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，点 D 是边 AC 上一点，过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F。若 DE＝2，则 DF 的长为＿＿＿＿＿，四边形 DEBF 的周长为＿＿＿＿＿。 16．如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，BC＝5。将 △ABC 沿 AB 所在的直线翻折，得到 △ABC′（点 C 的对应点为 C′），则 CC′ 的长为＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（6分）写出命题「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题。若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例。 18．（6分）如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE＝CF。 （1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）若 BC＝12，BE＝2，求 △ABC 的周长。 19．（6分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D、E 都在边 BC 上，且 BD＝CE，连结 AD、AE。 （1）求证：△ADE 是等腰三角形； （2）若 AD＝5，DE＝6，求 △ADE 的面积。 20．（6分）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、C 都在格点上，直线 l 是网格中横坐标为 2 的那一列格点所在的直线。 （1）在图 1 中画出 △ABC 关于直线 l 成轴对称的 △A′B′C′（点 A、B、C 的对应点分别为 A′、B′、C′）； （2）在图 2 中，点 P 是直线 l 上的一个格点，请在直线 l 上确定点 P 的位置，使 PA＋PB 的值最小，并求出这个最小值。 21．（7分）阅读材料：能作为直角三角形三条边长的三个正整数叫做一组勾股数，例如 3、4、5 就是一组勾股数。把勾股数按较小的直角边从小到大排列，可以得到下面这些：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…… （1）请直接写出排在第 5 位的那一组勾股数； （2）若第 n 组勾股数中较小的直角边是 2n＋1，请用含 n 的代数式分别表示另外两条边； （3）20、21、29 是不是一组勾股数？请说明理由。 22．（7分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是斜边 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，连结 CD。 （1）求 ∠B 的度数，并说明 △CDB 是等腰三角形； （2）若 AC＝6，求 BE、DE 的长； （3）求 △CDE 的面积。 23．（7分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 AC 于点 F。 （1）求证：DE＝DF； （2）若 AB＝4，求四边形 AEDF 的面积； （3）若 BE＝1，求 EF 的长。 24．（7分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 P 是边 BC 上一点（不与 B、C 重合），连结 AP。 【探究】当 △ABP 是等腰三角形时，求 BP 的长； 【拓展】若点 Q 在射线 AC 上，且 △BCQ 是等腰三角形，求 CQ 的长。 说明：本卷 24 道试题均据本章母题改编整合，答案、评分标准与各题给分点见配套《答案解析》。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形【素养培优卷】 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） —— 参考答案与解析 —— （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母填在题后括号内） 1．【答案】C 【解析】阴影的 4 个小方格分别位于方格纸最左一列和最右一列中与底边相邻的两个位置，中间一列的三个小方格都还是空白的。 要使 5 个小方格组成的图形成为轴对称图形，可以取中间一列所在的竖直直线为对称轴，此时左侧两格与右侧两格恰好关于这条直线成轴对称。 因此在中间一列中任选一格涂黑即可：涂最下面一格、涂中间一格、涂最上面一格，共 3 种。 若改涂左列或右列最上面的那一格，则这一格在对称轴的另一侧找不到与之对应的方格，所得图形不是轴对称图形。 所以共有 3 种不同的涂法。故选 C。 2．【答案】B 【解析】因为 AB＝AC，所以 ∠ABC＝∠C＝＝70°。 由折叠可知，射线 BC 与射线 BC′ 关于折痕 BD 对称，所以 ∠C′BD＝∠CBD＝∠ABC＝35°。 又点 D 在折痕上，折叠时它不动，所以 DC′＝DC，∠BC′D＝∠BCD＝70°。 在 △BDC′ 中，由三角形内角和定理得∠BDC′＝180°－∠C′BD－∠BC′D＝180°－35°－70°＝75°。故选 B。 3．【答案】A 【解析】因为 ∠C＝90°，∠A＝30°，所以 ∠ABC＝60°。 因为 BD 平分 ∠ABC，所以 ∠ABD＝∠DBC＝30°。 在 △ABD 中，∠A＝∠ABD＝30°，由等角对等边得 BD＝AD＝4。 在 Rt△BCD 中，∠DBC＝30°，所以它所对的直角边 CD＝BD＝2，由勾股定理得 BC＝＝＝2。故选 A。 4．【答案】A 【解析】设 Rt△ABC 的两条直角边为 a、b，斜边为 c，则三个正方形的面积分别为 a²、b²、c²，且 a²＋b²＝c²。 把面积为 a²、b² 的两个正方形（它们的面积之和恰为 c²）叠放到面积为 c² 的大正方形内，两个小正方形的总面积恰好等于大正方形的面积，而它们覆盖的总面积（并集）比总面积少了一个重叠部分的面积。 大正方形中未被覆盖的部分就是 S1、S2、S3 三块，其面积之和为 c²－(a²＋b²－S重叠)＝c²－(c²－S重叠)＝S重叠， 所以重叠部分的面积等于 S1＋S2＋S3。故选 A。 5．【答案】A 【解析】A 项正确。任何命题都可以把条件与结论互换，得到它的逆命题；但只有当逆命题也是真命题时，才把这条逆命题叫做原定理的逆定理。例如「对顶角相等」的逆命题「相等的两个角是对顶角」是假命题，它不是逆定理。 B 项错误。例如「若 a＝b，则 a²＝b²」是假命题，它的逆命题「若 a²＝b²，则 a＝b」也是假命题，两者可以同为假命题。 C 项错误。例如「全等三角形的面积相等」是真命题，但它的逆命题「面积相等的两个三角形全等」是假命题。 D 项错误。把条件与结论互换得到的只是逆命题；只有这个逆命题为真时才能称为逆定理，所以逆定理是「条件与结论互换且为真」的命题，D 项漏掉了「为真」这一关键条件。故选 A。 6．【答案】B 【解析】在 Rt△ADE 和 Rt△ADC 中，因为 ∠AED＝∠ACD＝90°，AD＝AD（公共边），DE＝DC，所以 Rt△ADE≌Rt△ADC（斜边、直角边），得 AE＝AC。 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC＝＝＝＝12，所以 AE＝12，BE＝AB－AE＝15－12＝3。 因为 DE＝DC，设 DE＝DC＝x，则 BD＝BC－DC＝9－x。 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 BE²＋DE²＝BD²，即 3²＋x²＝(9－x)²，展开得 9＋x²＝81－18x＋x²，解得 x＝4。 所以 DE＝4。故选 B。 7．【答案】A 【解析】因为 ∠C＝90°，AC＝BC＝6，所以 AB＝＝6，∠B＝45°。 由折叠可知 AC′＝AC＝6，∠AC′D＝∠ACD＝90°，即 C′D⊥AC′。 又点 C′ 在边 AB 上，A、C′、B 三点共线，所以 C′D⊥AB，即 ∠BC′D＝90°。 在 △BC′D 中，∠BC′D＝90°，∠B＝45°，所以 ∠BDC′＝180°－90°－45°＝45°，由等角对等边得 C′D＝BC′。 而 BC′＝AB－AC′＝6－6，所以 C′D＝6－6。 再由折叠得 CD＝C′D，所以 CD＝6－6。故选 A。 8．【答案】A 【解析】因为 ∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，所以 AB＝＝4，∠A＝∠B＝45°。点 P 在直线 AB 上，分三种情况讨论： ①若 AC＝AP，则 AP＝4。直线 AB 上到点 A 的距离等于 4 的点有两个，分别在点 A 的两侧；因为 AB＝4≠4，这两个点都不与 B 重合，共 2 个； ②若 AC＝CP，则 CP＝4。因为 CA＝CB＝4，所以直线 AB 上到点 C 的距离等于 4 的点恰为 A、B 两点；而题设要求点 P 不与 A、B 重合，故共 0 个； ③若 AP＝CP，则点 P 是线段 AC 的垂直平分线与直线 AB 的交点。点 C 到直线 AB 的垂线段长为 2，小于 4，该垂直平分线与直线 AB 有且只有一个交点，且它不是 A、B，共 1 个。 所以满足条件的点 P 共有 2＋0＋1＝3 个。故选 A。 9．【答案】B 【解析】把长方体相邻的两个面展成一个平面，蚂蚁沿表面的最短路线在展开图中是一条线段。 蚂蚁要跨过两个面，展平后这段路线所在直角三角形的两条直角边分别是「长方体两条棱长之和」与「第三条棱长」，所以只需比较三种展开方式： ①(4＋2)²＋3²＝36＋9＝45；②(4＋3)²＋2²＝49＋4＝53；③(2＋3)²＋4²＝25＋16＝41。 因为 41＜45＜53，所以最短距离的平方为 41，最短路程为 。故选 B。 10．【答案】C 【解析】因为 ∠BAC＝∠DAE＝90°，所以 ∠BAD＝90°－∠DAC，∠CAE＝90°－∠DAC，从而 ∠BAD＝∠CAE。 又 AB＝AC，AD＝AE，所以 △ABD≌△ACE（边角边），①正确。 由全等三角形的对应边相等得 BD＝CE，②正确；同时 ∠ACE＝∠ABD。 因为 AB＝AC 且 ∠BAC＝90°，所以 ∠ABC＝∠ACB＝45°，于是 ∠ACE＝45°，从而 ∠DCE＝∠DCA＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，③正确。 ④：设 AB＝AC＝4，则 BC＝4，CD 随点 D 在 BC 上的位置变化而变化，所以 BD²＋CD² 不是定值。取 D 为 BC 的中点，此时 BD＝CD＝2，BD²＋CD²＝8＋8＝16；再取 BD＝，则 CD＝3，BD²＋CD²＝2＋18＝20≠16。所以④错误。 所以正确的结论是①②③，共 3 个。故选 C。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】5 【解析】△ABC 以 AB 为底边的等腰三角形，说明 CA＝CB，即点 C 到 A、B 两点的距离相等。 到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上，所以点 C 是 AB 的垂直平分线与网格线的交点中的格点。 取 A（0，0）、B（4，0），则 AB 的垂直平分线是经过点（2，0）且与 AB 垂直的直线，也就是网格中横坐标为 2 的那一列格点所在的直线。 在这条直线上，5×5 网格内横坐标为 2 的格点共 6 个，但它们中有一个恰好落在 AB 上，此时 A、B、C 三点共线，不能组成三角形，必须舍去。 所以满足条件的点 C 共有 6－1＝5 个。 12．【答案】20° 【解析】在 Rt△ACD 中，因为 CD⊥AB，所以 ∠ADC＝90°，从而 ∠A＝90°－∠ACD＝90°－35°＝55°。 因为 E 是斜边 AB 的中点，由「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」得 CE＝AE，所以 △ACE 是等腰三角形，∠ACE＝∠A＝55°。 又 ∠ACD＝35°，所以 ∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝55°－35°＝20°。 13．【答案】70° 或 20° 【解析】AB 的垂直平分线与 AB 垂直，所以它与直线 AB 所成的角是 90°。 设 ∠A 为顶角，分两种情况讨论： ①当 ∠A 是锐角时，直线 AC 与直线 AB 所成的锐角就是 ∠A，所以 90°－∠A＝50°，解得 ∠A＝40°，此时 ∠B＝＝70°； ②当 ∠A 是钝角时，直线 AC 与直线 AB 所成的锐角为 180°－∠A，垂直平分线与直线 AC 所成的锐角为 ∠A－90°，所以 ∠A－90°＝50°，解得 ∠A＝140°，此时 ∠B＝＝20°。 所以 ∠B 的度数为 70° 或 20°。 14．【答案】4 【解析】设 Rt△ABC 的两条直角边长分别为 a、b（a＜b）。 由勾股定理得 a²＋b²＝AB²＝100。 由周长得 a＋b＝24－10＝14。 因为 (a＋b)²＝a²＋b²＋2ab，所以 14²＝100＋2ab，解得 ab＝48。 四个全等的直角三角形的面积之和为 4×ab＝2ab＝2×48＝96。 正方形 ABDE 的面积为 AB²＝100，所以未被覆盖的部分的面积为 100－96＝4。 15．【答案】DF＝4，四边形 DEBF 的周长为 12 【解析】因为 ∠ABC＝90°，DE⊥AB，DF⊥BC，所以四边形 DEBF 的三个角都是直角，DEBF 是矩形。 连结 BD。△ABD 与 △BCD 的面积之和等于 △ABC 的面积，即 ×AB×DE＋×BC×DF＝×AB×BC。 代入 AB＝BC＝6、DE＝2 得 ×6×2＋×6×DF＝×6×6，即 6＋3DF＝18，解得 DF＝4。 所以矩形 DEBF 的周长＝2(DE＋DF)＝2×(2＋4)＝12。 16．【答案】5 【解析】由翻折（轴对称）可知 AC′＝AC＝5，且 ∠C′AB＝∠CAB＝120°。 取 CC′ 的中点 H，连结 AH。 在 △ACC′ 中，因为 AC＝AC′，所以 AH⊥CC′，且 AH 平分 ∠CAC′，即 ∠CAH＝×120°＝60°，从而 ∠ACH＝180°－90°－60°＝30°。 在 Rt△AHC 中，∠ACH＝30°，所以它所对的直角边 AH＝AC＝，由勾股定理得 CH＝＝。 所以 CC′＝2CH＝2×＝5。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．【答案】逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。它是真命题，证明见解析。 【解析】逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 判断：这个逆命题是真命题。 证明：如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且 AD＝BC。 因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 D 是 BC 的中点，BD＝DC＝BC。 又 AD＝BC，所以 AD＝BD＝DC。 在 △ABD 中，由 AD＝BD 得 ∠B＝∠BAD；在 △ADC 中，由 AD＝DC 得 ∠C＝∠DAC。 所以 ∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠B＋∠C。 在 △ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，所以 2∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，即 △ABC 是直角三角形。所以这个逆命题是真命题。 【给分点】（1）写出逆命题「如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形」得 2 分（条件与结论互换各 1 分），判断它是真命题得 1 分；（2）由 AD 是 BC 边上的中线得 BD＝DC＝BC，结合 AD＝BC 得 AD＝BD＝DC 得 1 分，用等边对等角得 ∠B＝∠BAD、∠C＝∠DAC 得 1 分，推出 ∠BAC＝∠B＋∠C 并结合内角和定理得 ∠BAC＝90° 得 1 分。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC 的周长为 48 【解析】（1）证明：因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以 ∠DEB＝∠DFC＝90°，△BDE 和 △CDF 都是直角三角形。 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，因为 BD＝CD（D 是 BC 的中点），BE＝CF，所以 Rt△BDE≌Rt△CDF（斜边、直角边定理），得 DE＝DF。 又 DE⊥AB，DF⊥AC，所以点 D 到 AB、AC 两边的距离相等，从而 AD 平分 ∠BAC，∠DAE＝∠DAF。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，因为 AD＝AD，DE＝DF，所以 Rt△ADE≌Rt△ADF（斜边、直角边定理），得 AE＝AF。 所以 AB＝AE＋EB＝AF＋FC＝AC，即 △ABC 是等腰三角形。 （2）由（1）得 AB＝AC。因为 D 是 BC 的中点，BC＝12，所以 BD＝6。 由（1）得 △ABC 是等腰三角形，所以 AD⊥BC。在 Rt△BDE 中，DE＝＝＝4。 设 AB＝AC＝x，则 AD²＝AB²－BD²＝x²－36。 因为 E 在 AB 上，所以 AE＝AB－EB＝x－2，在 Rt△ADE 中，由勾股定理得 AE²＋DE²＝AD²，即 (x－2)²＋32＝x²－36。 展开得 x²－4x＋4＋32＝x²－36，即 －4x＝－72，解得 x＝18。 所以 △ABC 的周长为 18＋18＋12＝48。 【给分点】（1）由 BD＝CD、BE＝CF 用「斜边、直角边」证 Rt△BDE≌Rt△CDF 得 2 分；由全等得 DE＝DF，结合 DE⊥AB、DF⊥AC 得出 AD 平分 ∠BAC 得 1 分；再由 AD＝AD、DE＝DF 用「斜边、直角边」证 Rt△ADE≌Rt△ADF 得 AE＝AF，从而 AB＝AC 得 1 分；（2）求得 BD＝6、DE＝＝4 得 1 分，列方程 (x－2)²＋32＝x²－36 解得 AB＝AC＝18、并得出周长为 48 得 1 分。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）△ADE 的面积为 12 【解析】（1）证明：因为 AB＝AC，所以 ∠B＝∠C。 在 △ABD 和 △ACE 中，因为 AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，所以 △ABD≌△ACE（边角边），得 AD＝AE，即 △ADE 是等腰三角形。 （2）因为 △ADE 是等腰三角形，且 AD＝AE，所以 DE 是它的底边。 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，由等腰三角形「三线合一」得DH＝EH＝DE＝3。 在 Rt△ADH 中，AH＝＝＝4。 所以 S△ADE＝×DE×AH＝×6×4＝12。 【给分点】（1）由 AB＝AC 得 ∠B＝∠C 得 1 分，用「边角边」证 △ABD≌△ACE 得 1 分，由全等得 AD＝AE、从而 △ADE 是等腰三角形得 1 分；（2）由等腰三角形「三线合一」得 DH＝EH＝3 得 1 分，在 Rt△ADH 中用勾股定理求得 AH＝4 得 1 分，算得 S△ADE＝12 得 1 分。 20．【答案】（1）作图见解析；（2）点 P 为（2，2），PA＋PB 的最小值为 2 【解析】（1）分别作点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A′、B′、C′，依次连结 A′B′、B′C′、C′A′，所得 △A′B′C′ 即为所求。 其中 A（1，4）的对称点为 A′（3，4），B（1，0）的对称点为 B′（3，0），C（0，2）的对称点为 C′（4，2）。 （2）因为点 A、B 在直线 l 的同侧，所以作点 A 关于直线 l 的对称点 A′（3，4），连结 A′B 交直线 l 于点 P，则点 P 就是使 PA＋PB 最小的点。 理由：由轴对称得 PA＝PA′，所以 PA＋PB＝PA′＋PB，而两点之间线段最短，当 A′、P、B 三点共线时 PA′＋PB 最小。 直线 A′B 经过 A′（3，4）与 B（1，0），它恰好经过格点（2，2），即点 P 的坐标为（2，2）。 此时 PA＋PB＝A′B＝＝＝＝2。 所以 PA＋PB 的最小值为 2。 【给分点】（1）分别作出 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A′、B′、C′ 并依次连线，每作出一个对称点得 1 分，共 3 分；（2）作点 A 关于 l 的对称点 A′、连结 A′B 交 l 于点 P 得 1 分，说明当 A′、P、B 三点共线时 PA＋PB 最小（其值为 A′B）得 1 分，求出点 P 为（2，2）与 PA＋PB 的最小值 2 得 1 分。 21．【答案】（1）11、60、61；（2）较大的直角边是 2n²＋2n，斜边是 2n²＋2n＋1；（3）是，理由见解析 【解析】（1）观察给出的前四组勾股数，每组中较小的直角边依次为 3、5、7、9，较大的直角边依次为 4、12、24、40，斜边依次为 5、13、25、41。 所以第 5 组中较小的直角边是 11，对应的较大直角边是 60、斜边是 61，即第 5 组勾股数为 11、60、61。 （2）当较小的直角边为 2n＋1 时，由上述规律得较大的直角边为 2n²＋2n，斜边为 2n²＋2n＋1。 验证：因为 (2n＋1)²＋(2n²＋2n)²＝4n²＋4n＋1＋4n⁴＋8n³＋4n²＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1，而 (2n²＋2n＋1)²＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1，两者相等，所以这三条边能作为同一个直角三角形的三边。 （3）因为 20²＝400，21²＝441，20²＋21²＝841，而 29²＝841，所以 20²＋21²＝29²。 由勾股定理的逆定理可知，以 20、21、29 为边的三角形是直角三角形，所以 20、21、29 是一组勾股数。 【给分点】（1）写出第 5 组勾股数 11、60、61 得 2 分；（2）写出较大的直角边为 2n²＋2n 得 1 分，写出斜边为 2n²＋2n＋1 得 1 分，展开验证 (2n＋1)²＋(2n²＋2n)²＝(2n²＋2n＋1)² 得 1 分；（3）算出 20²＋21²＝841＝29² 得 1 分，由勾股定理的逆定理判断 20、21、29 是一组勾股数并说明理由得 1 分。 22．【答案】（1）∠B＝45°，△CDB 是等腰三角形，理由见解析；（2）BE＝3，DE＝3；（3）△CDE 的面积为 【解析】（1）因为 AC＝BC，∠ACB＝90°，所以 ∠B＝∠A＝＝45°。 因为 CD 是斜边 AB 上的中线，由「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」得 CD＝AB＝BD，所以 △CDB 是等腰三角形。 （2）因为 AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，所以 AB＝＝6，DB＝AB＝3。 因为 DE⊥BC，所以 ∠DEB＝90°。在 Rt△BDE 中，∠B＝45°，所以 ∠BDE＝45°，由等角对等边得 BE＝DE。 由勾股定理得 BE²＋DE²＝DB²＝18，即 2BE²＝18，BE²＝9，所以 BE＝3，DE＝3。 （3）因为点 E 在边 BC 上，所以 CE＝BC－BE＝6－3＝3。 又 DE⊥BC，所以 DE⊥CE，即 ∠CED＝90°。 所以 S△CDE＝×CE×DE＝×3×3＝。 【给分点】（1）由 AC＝BC、∠ACB＝90° 求得 ∠B＝45° 得 1 分；由斜边上的中线性质得 CD＝AB＝BD，判定 △CDB 是等腰三角形得 1 分；（2）求得 AB＝6、DB＝3 得 1 分，由 ∠B＝45° 与 DE⊥BC 判定 △BDE 是等腰直角三角形得 1 分，求得 BE＝DE＝3 得 1 分；（3）求得 CE＝BC－BE＝3 得 1 分，由 ∠CED＝90° 算得 S△CDE＝ 得 1 分。 23．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 AEDF 的面积为 4；（3）EF＝ 【解析】（1）证明：因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点，所以由等腰三角形「三线合一」得 AD⊥BC，AD 平分 ∠BAC，从而 ∠ADC＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°。 又 ∠C＝＝45°，所以 ∠DAE＝∠C。 因为 DF⊥DE，所以 ∠EDF＝90°。 于是 ∠ADE＝90°－∠ADF，∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－∠ADF，所以 ∠ADE＝∠CDF。 在 △ADE 和 △CDF 中，因为 ∠DAE＝∠C，AD＝CD（D 是 BC 的中点且 AD⊥BC），∠ADE＝∠CDF，所以 △ADE≌△CDF（角边角），得 DE＝DF。 （2）由（1）得 △ADE≌△CDF，所以四边形 AEDF 的面积＝S△ADE＋S△ADF＝S△CDF＋S△ADF＝S△ADC。 因为 BC＝＝4，D 是 BC 的中点，所以 AD＝BC＝2，且 AD⊥BC，S△ADC＝×DC×AD＝×2×2＝4。 所以四边形 AEDF 的面积为 4。 （3）由（1）得 △ADE≌△CDF，所以 AE＝CF。 因为 AB＝AC＝4，BE＝1，所以 AE＝AB－BE＝3，从而 CF＝3，AF＝AC－CF＝4－3＝1。 在 Rt△AEF 中，∠A＝90°，所以 EF＝＝＝。 【给分点】（1）由等腰三角形「三线合一」得 AD⊥BC 且 AD 平分 ∠BAC（∠DAE＝45°）得 1 分；由 ∠C＝45° 得 ∠DAE＝∠C，并由 DF⊥DE 推得 ∠ADE＝∠CDF 得 1 分；用「角边角」证 △ADE≌△CDF，从而 DE＝DF 得 1 分；（2）由全等把四边形 AEDF 的面积转化为 S△ADC 得 1 分，求得 AD＝DC＝2 并算得面积为 4 得 1 分；（3）由全等得 AE＝CF＝3、从而 AF＝1 得 1 分，在 Rt△AEF 中用勾股定理求得 EF＝ 得 1 分。 24．【答案】【探究】BP＝5 或 ；【拓展】CQ＝5 或 6 【解析】取 BC 的中点 O，则由 AB＝AC 得 AO⊥BC，BO＝CO＝3，所以 AO＝＝4。 【探究】点 P 在 BC 上，设 BP＝x（0＜x＜6），则 OP＝|x－3|。分三种情况讨论 △ABP 是等腰三角形： ①若 AB＝BP，则 x＝5。此时 0＜5＜6，符合题意，所以 BP＝5； ②若 AB＝AP，则由 AB＝5 得点 P 到点 A 的距离为 5，而 A 到直线 BC 的垂足为 O，AO＝4＜5，所以直线 BC 上到点 A 的距离等于 5 的点满足 OP＝＝3，即 x－3＝3 或 x－3＝－3，解得 x＝6 或 x＝0，此时点 P 与 C 或 B 重合，不符合题意，舍去； ③若 AP＝BP，则 ＝x，两边平方得 (x－3)²＋16＝x²，即 x²－6x＋9＋16＝x²，解得 x＝。 因为 0＜＜6，符合题意。 所以当 △ABP 是等腰三角形时，BP＝5 或 。 【拓展】点 Q 在射线 AC 上，设 CQ＝y（y≥0），则 Q 在过 A、C 的直线上，且当 y＝0 时点 Q 与点 C 重合（不合题意）。 ①若 QC＝BC，则 y＝6，此时点 Q 在点 C 远离点 A 的一侧，符合题意； ②若 QB＝QC，则点 Q 在线段 BC 的垂直平分线上，而这条垂直平分线恰好就是直线 AO，它与射线 AC 的交点是 A，此时 y＝AC＝5，符合题意； ③若 QB＝BC，则点 Q 到点 B 的距离为 6。设 AQ＝u（u≥0），则点 Q 到直线 BC 的距离与点 Q 到 BC 中点 O 的水平距离都与 u 有关，由勾股定理得 QB²＝(3＋u)²＋(4－u)²＝25－u＋u²。令 25－u＋u²＝36，整理得 5u²－14u－55＝0，解得 u＝5 或 u＝－2.2（舍去）。当 u＝5 时点 Q 恰好与点 C 重合，A、B、C 三点不能组成三角形，舍去。所以③无满足条件的点。 所以当 △BCQ 是等腰三角形时，CQ＝5 或 6。 【给分点】【探究】由 AB＝AC 得 AO⊥BC、BO＝CO＝3，求得 AO＝4 得 1 分；求得 BP＝5 得 1 分；说明 AB＝AP 时求出的两个点恰与 B、C 重合、必须舍去得 1 分；由 AP＝BP 列方程解得 BP＝ 得 1 分。【拓展】求得 CQ＝6 得 1 分；求得 CQ＝5（Q 在射线 AC 上到 B、C 距离相等）并说明理由得 1 分；说明 QB＝BC 的情形无解（解得 u＝－2.2 舍去、u＝5 时点 Q 与点 C 重合须舍去）得 1 分。 学科网（北京）股份有限公司 $