2.3 用反比例函数解决问题 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的应用这一核心知识点，系统梳理从待定系数法求解析式、与一次函数交点问题，到实际问题建模、跨学科应用及几何综合的递进内容，构建从基础到复杂的学习支架。 资料通过典例与变式结合，如跨学科的近视眼镜度数问题培养数学眼光，几何综合题发展推理能力，实际问题强化模型意识。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2.3 用反比例函数解决问题 内 容 导 航 题型1 待定系数法求反比例函数解析式 题型2 反比例函数与一次函数的交点问题 题型3 根据实际问题列反比例函数关系式 题型4 反比例函数的应用_跨学科问题 题型5 反比例函数的应用 题型6 反比例函数的应用_几何问题 题型7 反比例函数综合 题型8 反比例函数的函数综合 题型9 反比例函数_含绝对值 题型10 反比例函数_组合函数 题型11 反比例函数_复杂函数探究 题型12 反比例函数几何综合_基本型 题型13 反比例函数几何综合_存在型 题型14 反比例函数几何综合_最值型 题型15 反比例函数几何综合_运动型 题型16 反比例函数几何综合_变换型 题型17 反比例函数几何综合_面积型 考 点 演 练 题型1 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜知｜识 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例1】已知反比例函数的图象经过A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）中的两点，则反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 题型2 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜知｜识 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 【典例1】如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数的图象经过点C，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点C和点A． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积的，求点P坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（b，3）． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积． 【变式2】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出kx+b0时x的取值范围； （3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标． 题型3 根据实际问题列反比例函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 【典例1】电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【变式2】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（　　） A．（x＞0） B．（x≥0） C．y＝300x（x≥0） D．y＝300x（x＞0） 题型4 反比例函数的应用_跨学科问题 【典例1】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【变式1】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.2米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了　 　 度． 【变式2】嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点O，并可绕点O转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定一块300N的坠石，且OB＝1m．当横杆处于水平状态时，若改变OA的长l（单位：m，l≤2），图中人物竖直向下施加的拉力F（单位：N）也随之改变．（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） （1）求F与l的函数解析式； （2）当OA＝1.5m时，求拉力F； （3）如果拉力F不超过250N，那么OA的长应控制在什么范围？ 题型5 反比例函数的应用 【典例1】某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表： 时间x（分钟） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y（毫克） 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 题型6 反比例函数的应用_几何问题 【典例1】固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 B．圆的周长C随着半径r的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化 D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2，矩形的周长l随着边长a的变化而变化 【变式2】世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（2，64），B（m，100）两点． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求m的值，并解释它的实际意义． 题型7 反比例函数综合 【典例1】一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围． 【变式1】平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”． （1）求点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标； （2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标； （3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y（x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标． 题型8 反比例函数的函数综合 【典例1】一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标． 【变式1】如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 【变式2】如图，已知反比例函数与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点C，求∠ACO的度数； （3）结合图象直接写出，当y1＞y2时，x的取值范围． 题型9 反比例函数_含绝对值 【典例1】小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　 　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　 　 ，则不等式的解集为 　 ． 题型10 反比例函数_组合函数 【典例1】在平面直角坐标系中，点P坐标为（x，y），当x＞a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y+3），则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点（2，0）是点（﹣2，3）的0级变换点，点（﹣5，﹣7）是点（5，7）的1级变换点． （1）点（2，1）的1级变换点在反比例函数的图象上，k值为　　 ； （2）点（b﹣1，3）的1级变换点在直线y＝x+3上，求b值； （3）点M在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，点N是点M的2级变换点． ①设点N（m，n），求n与m的函数关系式； ②点A（﹣4，c），B（1，c），线段AB与①中的函数图象只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【变式1】我们规定：函数y（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a＝b＝0时，奇特函数y就是反比例函数y（k是常数，k≠0）． （1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数y的图象向右平移4个单位，再向上平移　　 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象； （4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 题型11 反比例函数_复杂函数探究 解｜题｜知｜识 1．有关化学式的计算或其逆运算，一定要按照相应的公式，进行准确地计算．用到的相对原子质量一定要用试卷上给出的数值来计算．还有，其中的原子个数一般是相应元素符号的右下角的数字（没有数字时，默认为是1）；但是，如果某元素在同一化学式中出现多次，那么该元素的原子个数应该是该元素符号右下角的数字之和；如果某元素符号被括号括起来了，那么该元素的原子个数应该是该元素符号右下角的数字与括号的右下角的数字的乘积． 2．有关化学式的推断，要先看是哪一种题型，然后，再按照相应的方法，细心地进行推断． 【典例1】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　 　 （填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　 　 ； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　 　 ． 【变式1】在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … a 2 5 b 5 2 1 … （1）写出表中a、b的值：a＝ 　　 ，b＝ 　　 ； （2）结合给出的函数图象，下列说法正确的有 　 　 ．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当x＞0时，y随x的增大而减小； ④若点A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝0； ⑤该函数图象与直线x＝﹣2、x＝2以及x轴围成区域的面积大于14； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集是 　 ． 题型12 反比例函数几何综合_基本型 【典例1】如图，在Rt△OAB中，OA＝8，AB＝10，点C在OA上，AC＝2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝　　 ． 【变式1】如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，1）． 其中正确结论的有　 　 ． 【变式2】关于x的方程k﹣1＝2（x﹣1）①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+m+8＝0②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为﹣p+1和﹣5+p，求m的值； （3）在（2）的条件下，若直线y＝kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图象上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成： ①BG•AE＝　　 ； ②求∠EOG的度数． 题型13 反比例函数几何综合_存在型 【典例1】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点） （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得△POD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】如图1，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线上经过C、D． （1）求k的值； （2）点P在双曲线y上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，∠THN的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 【变式2】如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求k的值； （2）点C在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求OC的长． 题型14 反比例函数几何综合_最值型 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与矩形交于D，E两点，点B的坐标为（6，3），BE＝1． （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点D的坐标． ②连接DE，AC，求证：△DBE∽△CBA． （3）若P为x轴上一动点，则DP+EP的最小值为 　 　 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值． 题型15 反比例函数几何综合_运动型 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2． （1）求k，m的值； （2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第一象限交于点C，且AB＝3BC． （1）求k的值． （2）D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时， ①求点D的坐标； ②求四边形BODC的面积． 【变式2】已知点A（3，m+2），B（m+4，2）都在反比例函数y的图象上． （1）求m，k的值； （2）如图①，已知反比例函数y的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且0＜x1＜x2＜3，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M1，M2，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为N1，N2．若记四边形P1M1ON1和四边形P2M2ON2的周长分别为C1，C2，试比较C1和C2的大小，并说明理由． （3）如图②，若点B关于原点O对称点为C，点Q为双曲线AB段上任一动点，试探究∠ACQ与∠ABQ大小关系，并说明理由． 题型16 比例函数几何综合_变换型 【典例1】小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）将三角板OAC沿x轴正方向平移得到△O′A′C′，当（2）中旋转后的点D在△O′A′C′内部时（包含边界），O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的取值范围是　 　 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交AB于点G． （1）填空：k的值等于　　 ． （2）请判断OF与FG的位置关系，并说明理由． （3）在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D，以CD为边作正方形ABCD，反比例函数的图象在第一象限经过点A． （1）直接写出点C、D、A的坐标及k的值； （2）如图②，将直线OA向下平移得到直线EF，交x轴于点E，交y轴于点F，交的图象于点G，若S△AOG＝6，求直线EF的解析式； （3）如图③，将直线OA绕点O顺时针旋转45°后与第一象限的双曲线交于点P，求点P的横坐标． 题型17 反比例函数几何综合_面积型 【典例1】将正六边形OABCDE按如图方式摆放在直角坐标系中，其中点A（2，0），点D在y轴上，反比例函数的图象F经过CD的中点M． （1）求k的值，并判断图象F是否经过正六边形OABCDE的中心（不说理由）； （2）若该反比例函数图象与AB边交于点N． ①求AB所在直线的解析式； ②直接写出点N的坐标． 【变式1】如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　 ； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 过 关 验 收 1．如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为　 　 ． 2．如图，已知四边形AOCB为矩形，且B点坐标为（6，4），反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且BE＝3CE，连接DE． （1）求反比例函数的解析式； （2）求DE的长． 3．已知反比例函数的图象经过点A（1，4）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图象； （3）当1＜x＜4时，y的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，a），，点C，D在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，B，C，D能构成矩形，且该矩形的面积为4． （1）求a的值； （2）求反比例函数的解析式． 5．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C，直线BD垂直平分线段AC，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（　　） 观点1：当n＝4时，线段AC的长为1； 观点2：若四边形ABCD是正方形，则AB的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 6．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点，则（　　） A．k1k2＜0 B．k1k2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1+k2＞0 7．正比例函数y＝kx与反比例函数的图象如图所示．若，则x的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3 8．如图，直线y＝x+1与双曲线y交于第一象限的点A，与y轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D．y 10．某段公路全长200km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所行速度v（km/h）和时间t（h）间的函数关系为 v＝　 ．若限定汽车行驶速度不超过80km/h，则所用时间至少要 　 　 h． 11．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为　 　 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 12．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为1m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 13．在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系．经测定，当S＝0.5m2时，P＝20Pa，则P与S之间的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 14．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 15．在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． （1）设菱形的两条对角线的长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求它的另一条对角线长． 16．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝CD． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）P是x轴上的一点，当△PAB为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 用反比例函数解决问题 内 容 导 航 题型1 待定系数法求反比例函数解析式 题型2 反比例函数与一次函数的交点问题 题型3 根据实际问题列反比例函数关系式 题型4 反比例函数的应用_跨学科问题 题型5 反比例函数的应用 题型6 反比例函数的应用_几何问题 题型7 反比例函数综合 题型8 反比例函数的函数综合 题型9 反比例函数_含绝对值 题型10 反比例函数_组合函数 题型11 反比例函数_复杂函数探究 题型12 反比例函数几何综合_基本型 题型13 反比例函数几何综合_存在型 题型14 反比例函数几何综合_最值型 题型15 反比例函数几何综合_运动型 题型16 反比例函数几何综合_变换型 题型17 反比例函数几何综合_面积型 考 点 演 练 题型1 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜知｜识 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例1】已知反比例函数的图象经过A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）中的两点，则反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：把A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）代入得， k＝﹣2×3＝﹣6，k＝1×（﹣6）＝﹣6，k＝2×5＝10， ∴反比例函数y经过A，B两点， 故选：B． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上， 过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBE＝90°． ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBE， ∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵AB＝5， ∴， 在△ABO和△BCE中， ∵∠OAB＝∠CBE，∠AOB＝∠BEC，AB＝BC， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴点C的坐标为（3，1）， ∵反比例函数的图象过点C， ∴k＝xy＝3×1＝3， ∴反比例函数的表达式为， 故选：D． 【变式2】已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数中，k＝3＞0， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， ∴点A，B在第三象限，点C在第一象限， ∴x1＜x2＜0＜x3， ∴x1•x2＞0，x1•x3＜0，x2•x3＜0，x1+x2＜0， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A． 题型2 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜知｜识 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 【典例1】如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数的图象经过点C，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点C和点A． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积的，求点P坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）P（15，﹣1）或（﹣15，1）． 【解答】（1）解：∵A（0，2），B（0，﹣3）， ∴BC＝AB＝5， ∴C（5，﹣3）， 把C（5，﹣3）代入y得：﹣3， ∴k＝﹣3×5＝﹣15， ∴反比例函数解析式为y； 把A（0，2），C（5，﹣3）代入一次函数y＝ax+b得： ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）设P点的坐标为（x，y）， ∵S△OAPS正方形ABCD， ∴丨x丨＝25， 解得：x＝±15， 当x＝15时，y＝﹣1； 当x＝﹣15时；y＝1 ∴P（15，﹣1）或（﹣15，1）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（b，3）． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积． 【答案】（1），； （2）△ABD的面积为1． 【解答】解：（1）把B（b，3）代入y＝2x+2中，得3＝2b+2， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥x轴于点G，设BC交y轴于点K， ∴BG∥DH， ∴△BCG∽△DCH， ∴， ∴， 把y＝1代入中， ， ∴； 设直线BD的解析式为y＝k′x+b′， 把，代入得： ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴K（0，4）， ∴AK＝4﹣2＝2， ∴若BD＝2CD，则． 【变式2】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出kx+b0时x的取值范围； （3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y1＝﹣2x+4；， （2）x＜﹣1或0＜x＜3； （3）点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 【解答】解：（1）由题意可得： 点B（3，﹣2）在反比例函数图象上， ∴，则m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为， 将A（﹣1，n）代入， 得：，即A（﹣1，6）， 将A，B代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， ∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4； （2）由图可得：x＜﹣1或0＜x＜3时，kx+b0； （2）∵点P在x轴上， 设点P的坐标为（a，0）， ∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2， ∴直线AB与x轴交于点（2，0）， 由△ABP的面积为4，可得： |a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4， 解得：a＝1或a＝3， ∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 题型3 根据实际问题列反比例函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 【典例1】电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 【变式1】某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【答案】B 【解答】解：由题意得：xy＝300， ∴， 故选：B． 【变式2】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（　　） A．（x＞0） B．（x≥0） C．y＝300x（x≥0） D．y＝300x（x＞0） 【答案】A 【解答】解：∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x， ∴这些煤能烧的天数为y（x＞0）， 故选：A． 题型4 反比例函数的应用_跨学科问题 【典例1】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【答案】D 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 【变式1】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.2米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了　 　 度． 【答案】300． 【解答】解：设y关于x的函数解析式为y（k≠0）， 把（0.2，500）代入y（k≠0）， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为y， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了500﹣200＝300（度）， 故答案为：300． 【变式2】嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点O，并可绕点O转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定一块300N的坠石，且OB＝1m．当横杆处于水平状态时，若改变OA的长l（单位：m，l≤2），图中人物竖直向下施加的拉力F（单位：N）也随之改变．（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） （1）求F与l的函数解析式； （2）当OA＝1.5m时，求拉力F； （3）如果拉力F不超过250N，那么OA的长应控制在什么范围？ 【答案】（1）（0＜l≤2）； （2）200N； （3）1.2≤l≤2． 【解答】解：（1）∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂， ∴Fl＝300×1， ∴F与l的函数解析式为（0＜l≤2）， （2）当OA＝1.5m时即l＝1.5，拉力； （3）当F＝250时，， 解得l＝1.2， ∵拉力F不超过250N，l≤2， ∴1.2≤l≤2． 题型5 反比例函数的应用 【典例1】某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表： 时间x（分钟） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y（毫克） 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx， 则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k， 解得：k， 故函数解析式为：yx（0≤x＜8）， 由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y， 则将（12，4）代入得：a＝48， 故函数解析式为：y（x≥8）． 故函数图象D正确． 故选：D． 【变式1】某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数， ∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两学校的优秀人数相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选：C． 【变式2】如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 【答案】B 【解答】解：由题意可设v， 将（0.3，80）代入得，k＝0.3×80＝24， ∴v． 当v＝120时，t0.2， 当v＝60时，t0.4， ∴通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h，不低于0.2h，综观各选项，只有B符合题意． 故选：B． 题型6 反比例函数的应用_几何问题 【典例1】固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：∵描述甲、丙两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象下面，点丁在反比例函数图象上面， ∴乙瓶的xy的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丁瓶的xy的值最大，即糖水中含糖固体质量最多， 故选：D． 【变式1】下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 B．圆的周长C随着半径r的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化 D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2，矩形的周长l随着边长a的变化而变化 【答案】B 【解答】解：A、S＝x2是二次函数，故此选项不符合题意； B、C＝4x是正比例函数，故此选项符合题意； C、∵ah＝20， ∴a，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、∵矩形的一边长为a，则它的邻边为a+2， ∴矩形的周长l＝2（a+a+2）＝4a+4，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（2，64），B（m，100）两点． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）求m的值，并解释它的实际意义． 【答案】（1）y与S之间的函数表达式为：y（S＞0）； （2）当面条的横截面积为1.28mm2时，面条长度为100m． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为：y（S＞0）， 将（2，64）代入可得：k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为：y（S＞0）； （2）将（m，100）代入y可得m＝1.28， 实际意义：当面条的横截面积为1.28mm2时，面条长度为100m． 题型7 反比例函数综合 【典例1】一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围． 【答案】（1）； （2）216； （3）小矩形宽的范围为． 【解答】解：（1）设函数关系式为， ∵函数图象经过（10，2） ∴ ∴k＝20， ∴ ∵0＜x＜16，0＜y＜8， ∴0＜x＜16，08， ∴x＜16； （2）∵ ∴xy＝20， ∴SE＝S正＝162﹣2×20＝216； （3）当x＝6时，， 当x＝12时，， ∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为． 【变式1】平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”． （1）求点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标； （2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标； （3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y（x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x＝﹣2，y＝2×（﹣2）+3＝﹣1， ∴P′（，﹣1）； （2）设P（a，b），则P′（a，ka+b） ∴， ∴k＝2， ∴2a+b＝6． ∵a、b为正整数 ∴P′（1，4）、（2，2）； （3）∵B的“关联点”是A， ∴A（a，a+b）， ∵点A还在反比例函数y的图象上， ∴（a+b）（a）＝﹣4， ∴（ba）2＝12， ∵ba＞0， ∴ba＝2， ∴ba+2； ∴B在直线yx+2上． 过Q作yx+2的垂线QB1，垂足为B1， ∵Q（0，4），且线段BQ最短， ∴B1即为所求的B点， 由△MB1Q∽△MON 得， ∵ON＝2，OM＝2， ∴MN＝4． 又∵MQ＝2， ∴B1Q，MB1＝3 在Rt△MB1Q中，B1Q•MB1＝MQ•hB1， ∴hB1， ∴xB1， ∴B（，）． 题型8 反比例函数的函数综合 【典例1】一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝45°，求点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可知，点A（m，6）在一次函数y＝2x+4的图象上，则 6＝2m+4，解得m＝1， ∵点A（1，6）在反比例函数的图象上， ∴，解得k＝6， 则m＝1，k＝6； （2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图， 则∠AME＝∠AND＝90°， ∴ME∥ND， ∴△MAE∽△NAD， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵xD＝4，xA＝1， ∴DN＝3， 则，解得ME＝1， ∴xE＝1+1＝2， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数y＝2x+4的图象与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∵CM＝1， ∴M（0，3）， 过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图， 则∠AGC＝∠CKP＝90°， ∵∠GAC+∠ACG＝∠ACG+∠PCK＝90°， ∴∠GAC＝∠PCK， ∵∠BAN＝45°， ∴△ACP为等腰直角三角形， ∴AC＝CP， 则△GAC≌△KCP（AAS）， ∵点A（1，6），C（0，4） ∴AG＝CK＝1，CG＝PK＝2， ∵CM＝1， ∴点M与点K重合，OM＝3， ∴点P（2，3）， 设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ，解得， ∴y＝﹣3x+9， 设点N（m，﹣3m+9）， ∵四边形OMDN是平行四边形， ∴xD＝0+m﹣0＝m，yd＝3﹣3m+9＝﹣3m+12， 则D（m，﹣3m+12）， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【变式1】如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y；一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）P（﹣5，0）或（，0）． 【解答】解：（1）把A（1，4）代入y得4， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（4，m）代入y得m1， ∴B（4，1）， ∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）设P（m，0）， ∵点D与点A关于点O对称，A（1，4）， ∴OA＝OD， ∵直线AB与x轴交于C（5，0） ∴OC＝5， ∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD， ∴或， ∴或， ∴OP＝5，OP， ∴P（﹣5，0）或（，0）． 【变式2】如图，已知反比例函数与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点C，求∠ACO的度数； （3）结合图象直接写出，当y1＞y2时，x的取值范围． 【答案】（1），y＝x+1； （2）∠ACO＝45°； （3）0＜x＜1，x＜﹣2． 【解答】解：（1）∵S△AOB＝1， 则， 则反比例函数的解析式：， ∴A（1，2），D（﹣2，﹣1）， 设一次函数的解析式为y＝kx+b，则， ， 解得：． ∴一次函数的解析式为：y＝x+1； （2）由直线y＝x+1可知，C（﹣1，0）， 则BC＝OB+OC＝2，AB＝2， 所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO1， 故∠ACO＝45°； （3）由图象可知，当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜1． 题型9 反比例函数_含绝对值 【典例1】小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　 　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　 　 ，则不等式的解集为 　 ． 【答案】（1）m＝4，描点连线绘制函数图象见解答； （2）③④； （3）①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 【解答】解：（1）m4， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：4； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确， 故答案为：③④； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）； ②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2， 故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 题型10 反比例函数_组合函数 【典例1】在平面直角坐标系中，点P坐标为（x，y），当x＞a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y+3），则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点（2，0）是点（﹣2，3）的0级变换点，点（﹣5，﹣7）是点（5，7）的1级变换点． （1）点（2，1）的1级变换点在反比例函数的图象上，k值为　　 ； （2）点（b﹣1，3）的1级变换点在直线y＝x+3上，求b值； （3）点M在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，点N是点M的2级变换点． ①设点N（m，n），求n与m的函数关系式； ②点A（﹣4，c），B（1，c），线段AB与①中的函数图象只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1）2； （2）7； （3）①； ②﹣5≤c＜﹣3或1≤c≤4． 【解答】解：（1）由1级变换点的定义可知，点（2，1）的1级变换点是（﹣2，﹣1）， ∵点（2，1）的1级变换点在反比例函数的图象上，将（﹣2，﹣1）代入得： ﹣1， 解得：k＝2， 故答案为：2； （2）分两种情况讨论： 当b﹣1＞1时，即b＞2， 点（b﹣1，3）的1级变换点是（1﹣b，﹣3）， ∵点（1﹣b，﹣3）在直线y＝x+3上， ∴﹣3＝1﹣b+3， 解得b＝7； 当b﹣1≤1时，即b≤2， 点（b﹣1，3）的1级变换点是（1﹣b，0）， ∵点（1﹣b，0）在直线y＝x+3上， ∴0＝1﹣b+3， 解得b＝4，不合题意，舍去， 综上所述，b的值是7； （3）①当﹣m＞2时，即m＜﹣2， 则点M（﹣m，﹣n）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上， ∴﹣n＝m2+4m+3， 即n＝﹣m2﹣4m﹣3； 当﹣m≤2时，即m≥﹣2， 则点M（﹣m，﹣n+3）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上， ∴﹣n+3＝m2+4m+3， 即n＝﹣m2﹣4m． ∴n与m的函数关系式为； ②c的取值范围为1≤c≤4或﹣5≤c＜﹣3；理由如下： 如图所示，n＝﹣（m+2）2+4（m≥﹣2）， 当m＝﹣2时，n最大＝4； n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2）， 当m＝﹣2时，n最大＝1； 当1≤c≤4时，线段AB与图象只有一个交点； n＝﹣（m+2）2+4（m≥﹣2）， 当m＝1时，n＝﹣5； n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2）， 当m＝﹣4时，n＝﹣3． 当﹣5≤c＜﹣3时，线段AB与图象只有一个交点． 综上所述，c的取值范围为1≤c≤4或﹣5≤c＜﹣3． 【变式1】我们规定：函数y（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a＝b＝0时，奇特函数y就是反比例函数y（k是常数，k≠0）． （1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数y的图象向右平移4个单位，再向上平移　　 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象； （4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）＝8． 即3+y， ∴y3． 根据定义，y是奇特函数． （2）如图1， 由题意得：B（6，3）、D（3，0）， 设直线OB的解析式为y＝mx， 则有6m＝3， 解得：m， ∴直线OB的解析式为yx． 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ， 解得：， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3． 解方程组，得 ， ∴点E（2，1）． 将点B（6，3）和E（2，1）代入y得 ， 解得：， ∴奇特函数的表达式为y． （3）∵y2． ∴把反比例函数y的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位， 就可得到奇特函数y的图象； 故答案为：2． （4）满足条件的点P的坐标为（2，4）或（28，）． 提示：①若点P在点B的左边，如图2①， 以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系， 在该坐标系下该奇特函数的解析式为y′，点B的新坐标为（2，1）． ∵直线PQ与双曲线y′都是以点M为对称中心的中心对称图形， ∴MP＝MQ． ∵MB＝ME， ∴四边形BPEQ是平行四边形， ∴S▱BPEQ＝4S△BMP＝16， ∴S△BMP＝4． 过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得： S△PGM＝S△BHM2＝1， ∴S△BMP＝S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM＝S梯形BHGP＝4， 设点P在新坐标系中的坐标为（x′，）， 则有S梯形BHGP（1）•（2﹣x′）＝4， 解得x1′＝﹣4﹣2（舍去），x2′＝﹣4+2， 当x＝﹣4+2时，2， 即点P在新坐标系中的坐标为（﹣4+2，2）， ∴点P在原坐标系中的坐标为（﹣4+24，2+2）即（2，）； ②若点P在点B的右边，如图2②， 同理可得： 点P在原坐标系中的坐标为（4+24，2+2）即（28，）． 题型11 反比例函数_复杂函数探究 解｜题｜知｜识 1．有关化学式的计算或其逆运算，一定要按照相应的公式，进行准确地计算．用到的相对原子质量一定要用试卷上给出的数值来计算．还有，其中的原子个数一般是相应元素符号的右下角的数字（没有数字时，默认为是1）；但是，如果某元素在同一化学式中出现多次，那么该元素的原子个数应该是该元素符号右下角的数字之和；如果某元素符号被括号括起来了，那么该元素的原子个数应该是该元素符号右下角的数字与括号的右下角的数字的乘积． 2．有关化学式的推断，要先看是哪一种题型，然后，再按照相应的方法，细心地进行推断． 【典例1】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　 　 （填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　 　 ； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　 　 ． 【答案】（1）②③； （2）3或﹣1； （3）n≤1． 【解答】解：（1）∵点 到x轴的距离为2，大于1， 不是反比例函数 图象的“1阶方点”， ∵点（﹣1，﹣1）和点（1，1）都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都为1， ∴（﹣1，﹣1）和（1，1）是反比例函数 图象的“1阶方点”， 故答案为：②③； （2）作正方形四个顶点坐标分别为（2，2），（2，﹣2），（﹣2，2），（﹣2，﹣2），如图： 当a＞0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（﹣2，2）或（2，﹣2）， 把（﹣2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝﹣2a﹣3a+1， 解得a（舍去）； 把（2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝2a﹣3a+1， 解得：a＝3； 当a＜0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（2，2）或（﹣2，﹣2）， 把（2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝2a﹣3a+1， 解得：a＝﹣1； 把 （﹣2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝﹣2a﹣3a+1， 解得：a（舍去）； 综上，a的值为3或﹣1； 故答案为：3或﹣1； （3）∵二次函数 y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点坐标为（n，﹣2n+1）， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点在直线y＝﹣2x+1上移动， ∴y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，﹣n），（﹣n，n），（﹣n，﹣n）的正方形有交点， 如图， 当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+过点（n，﹣n） 时， 将（n，﹣n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1得：﹣n﹣（n﹣n）2﹣2n+1， 解得：n＝1， 当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 过点（﹣n，n）时， 将（﹣n，n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 得：n＝﹣（﹣n﹣n）2﹣2n+1， 解得：n或n＝﹣1（舍去）， 由图可知，若关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：n≤1． 故答案为：n≤1． 【变式1】在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … a 2 5 b 5 2 1 … （1）写出表中a、b的值：a＝ 　　 ，b＝ 　　 ； （2）结合给出的函数图象，下列说法正确的有 　 　 ．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当x＞0时，y随x的增大而减小； ④若点A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝0； ⑤该函数图象与直线x＝﹣2、x＝2以及x轴围成区域的面积大于14； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集是 　 ． 【答案】（1）1，10； （2）①②③④⑤； （3）x＜﹣1或2＜x＜3． 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，； 当x＝0时，； 故答案为：1，10； （2）根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法正确； ②由于函数的图象在x轴上方，即图象不过第三象限，说法正确； ③当x＞0时，y随x的增大而减小，说法正确； ④点A（m，c），B（n，c）为关于y轴对称，即m+n＝0，说法正确； ⑤如图，图象与直线x＝﹣2、x＝2以及x轴围成区域的面积大于黑色边框圈出的面积，即大于14，说法正确； 说法正确的为①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤； （3）由图象可知：不等式的解集为x＜﹣1或2＜x＜3， 故答案为：x＜﹣1或2＜x＜3． 题型12 反比例函数几何综合_基本型 【典例1】如图，在Rt△OAB中，OA＝8，AB＝10，点C在OA上，AC＝2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝　　 ． 【答案】5 【解答】解：∵在Rt△OAB中，OA＝8，AB＝10， ∴OB6． 设⊙P与边AB，AO分别相切于点F、E，连接PE、PF、AP，如图所示，则PF⊥AB，PE⊥OA，PE＝PF． ∵∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，AC＝2， ∴OC＝6＝OB，AB＝10． ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． ∴∠EPC＝45°＝∠ECP． ∴PE＝CE． ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴AC•OBAB•PFAC•PE． ∴2×610×PE2×PE． 解得：PE＝1． ∴CE＝PE＝1． ∴OE＝OC﹣CE＝6﹣1＝5． ∴点P的坐标为（5，1）． ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点P（5，1）， ∴k＝5×1＝5． 故答案为：5． 【变式1】如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，1）． 其中正确结论的有　 　 ． 【答案】①③④ 【解答】解：设正方形OABC的边长为a， 得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）， 在△OCN和△OAM中， ， ∴△OCN≌△OAM（SAS），结论①正确； 根据勾股定理，ON，MN|a2﹣k|， ∴ON和MN不一定相等，结论②错误； ∵S△ODN＝S△OAM， ∴S△MON＝S△ODN+S四边形DAMN﹣S△OAM＝S四边形DAMN，结论③正确； 过点O作OH⊥MN于点H，如图所示， ∵△OCN≌△OAM， ∴ON＝OM，∠CON＝∠AOM， ∵∠MON＝45°，MN＝2， ∴NH＝HM＝1，∠CON＝∠NOH＝∠HOM＝∠AOM＝22.5°， ∴△OCN≌△OHN（ASA）， ∴CN＝HN＝1， ∴1，即k＝a， 由MN|a2﹣k|得，2|a2﹣a|， 整理得：a2﹣2a﹣1＝0， 解得：a1±（舍去负值）， ∴点C的坐标为（0，1），结论④正确， 则结论正确的为①③④， 故答案为：①③④ 【变式2】关于x的方程k﹣1＝2（x﹣1）①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+m+8＝0②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为﹣p+1和﹣5+p，求m的值； （3）在（2）的条件下，若直线y＝kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图象上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成： ①BG•AE＝　　 ； ②求∠EOG的度数． 【答案】（1）k≥﹣1且k≠2；（2）4；（3）图形见解析，①1，②45°． 【解答】解：（1）由题意得： k﹣1＝2（x﹣1）①， 化简得：2x＝k+1， 解得：x， ∵方程①的根为非负数， ∴0， ∴k≥﹣1， 又∵一元二次方程中，2﹣k≠0， ∴k≠2， ∴k≥﹣1且k≠2； （2）由（1）知，当k为最小整数时，k＝﹣1， 此时，一元二次方程为：3x2+3mx+m+8＝0， ∴﹣p+1﹣5+p， ∴m＝4； （3）如图即为所求， 由题意可知，直线AB的解析式为：y＝﹣x+1， 反比例函数的解析式为：y， ①作EQ⊥x轴，GP⊥y轴，分别交x轴于点Q，交y轴于点P， 由题意知：y＝﹣x+1与x轴的交点坐标为A（1，0），B（0，1）， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∴△BPG与△EQA为等腰直角三角形， ∴BGPGCD，AEEQCF， ∵C为双曲线上的一点， ∴CD•CF＝xy＝x， ∴BG•AECDCF＝2CD•CF＝21， 故答案为：1； ②由①知，BG•AE＝1， 又∵OA＝1，OB＝1， ∴OA•OB＝1， ∴， 又∵∠OBG＝∠OAE， ∴△BOG∽△AEO， ∴∠BOG＝∠AEO， ∵∠AOE+∠AEO＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BOG+∠AOE＝135°， ∴∠EOG＝∠BOG+∠AOE﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°， 题型13 反比例函数几何综合_存在型 【典例1】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点） （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得△POD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），m＝1； （2）S△DOC＝7.5； （3）在x轴上存在一点P，使得△POD是等腰三角形；点P的坐标为，，P3（8，0），． 【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，将C（1，4）代入得： 4， 解得：k＝4， ∴反比例函数的解析式为， ∴将D（4，m）代入得：m1； （2）由（1）得：D（4，1）， 将点C，点D的坐标分别代入y＝ax+b得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， 当y＝0时，得：﹣x+5＝0， 解得：x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∴； （3）在x轴上存在一点P，使得△POD是等腰三角形；理由如下： 设P点坐标为（n，0）， ∵D（4，1）， ∴OD2＝42+12＝17，OP2＝n2，DP2＝（4﹣n）2+12， 当OD＝OP时，OD2＝OP2， ∴n2＝17， 解得：或， ∴，； 当OD＝DP时，OD2＝DP2， ∴（4﹣n）2+12＝17， 解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝8， ∴P3（8，0）； 当OP＝DP时，OP2＝DP2， （4﹣n）2+12＝n2， 解得：， ∴． 综上所述，在x轴上存在一点P，使得△POD是等腰三角形；点P的坐标为，，P3（8，0），． 【变式1】如图1，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线上经过C、D． （1）求k的值； （2）点P在双曲线y上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，∠THN的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 【答案】（1）k的值为4； （2）点Q的坐标为或或或；理由见解答过程； （3）∠THN的度数不发生改变；∠THN＝45°；理由见解答过程． 【解答】解：（1）已知点A（﹣1，0），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点， ∴xD＝1， 设D（1，t），C（m，n）， ∴AC、BD的中点坐标相同， 依题意得：， 解得：， ∴C（2，t﹣2）， ∵双曲线经过C、D，将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴k的值为4； （2）点Q的坐标为或或或；理由如下： 若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形， 设， 则，，AB2＝12+22＝5， ①当∠ABP＝90°时，由勾股定理得：AP2＝AB2+BP2， ∴， 解得：， 当时，得：； 当时，得：， ∴或． 设Q（x，y）， 当时， 依题意得：， 解得：， ∴； 当时， 依题意得：， 解得：， ∴； 当∠PAB＝90°时，由勾股定理得：AP2+AB2＝BP2， ∴， 解得：， 当时，得：； 当时，得：， ∴或， 设Q（x，y）， 当时， 依题意得：， 解得：， ∴； 当时， 依题意得：， 解得：， ∴； 当∠APB＝90°时， 设直线AB解析式为y＝k1x+b1， 则， 解得， ∴y＝﹣2x﹣2， 设平行于AB且与有唯一交点Q的直线为y＝﹣2x+b2， 联立得：， 整理得：2x2﹣b2x+4＝0， ∴Δ4×4×2＝0， 解得：b2＝±， ∴直线为y＝﹣2x﹣4或y＝﹣2x+4， 当y＝﹣2x﹣4时， 联立得：， 解得：， ∴， ∴QA2+QB225﹣10， ∵12， ∴，即， 又∵AB2＝5， ∴QA2+QB2＞AB2， ∴∠AQB＜90°， ∴不存在点P，使∠PAB＝90°， 同理，当时，不存在点P，使∠PAB＝90°， ∴不存在∠APB＝90°， 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）∠THN的度数不发生改变；∠THN＝45°；理由如下： 连接FH，NT，NH，过N作PQ⊥BH于Q，交AF于P，如图3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAF＝45°，AF∥BH，∠F＝∠FBH＝90°， ∴四边形HQPA是矩形， ∴AP＝HQ，∠APN＝90°， ∴∠ANP＝45°＝∠PAN， ∴NP＝AP＝HQ， ∵M是HT的中点，MN⊥HT， ∴NT＝NH， 在Rt△NPT和Rt△HQN中， ， ∴Rt△NPT≌Rt△HQN（HL）， ∴∠TNP＝∠NHQ， ∵∠NHQ+∠HNQ＝90°， ∴∠TNP+∠HNQ＝90°， ∴∠TNH＝90°， 又∵NT＝NH， ∴∠THM＝∠MTH＝45°． 【变式2】如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求k的值； （2）点C在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求OC的长． 【答案】（1）8 （2）2． 【解答】解：（1）∵AB⊥x轴， ∴∠OBA＝90°， 在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB， ∴OB＝4， ∴A（4，2）， ∵点A在反比例函数y的图象上， ∴k＝4×2＝8； （2）如图，延长CA交x轴于D， ∵∠BAC＝135°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝45°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABD＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝45°， ∴BD＝AB＝2， ∴OD＝6， ∴D（6，0）， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵点A（4，2），D（6，0）在直线AC上， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①， 由（1）知，k＝8， ∴反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，或， ∴C（2，4）， ∴OC2， 即OC的长为2． 题型14 反比例函数几何综合_最值型 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与矩形交于D，E两点，点B的坐标为（6，3），BE＝1． （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点D的坐标． ②连接DE，AC，求证：△DBE∽△CBA． （3）若P为x轴上一动点，则DP+EP的最小值为 　 　 ． 【答案】（1）； （2）①点D的坐标为（4，3）；②见解析； （3）． 【解答】（1）解：∵OABC是矩形，B（6，3），BE＝1， ∴E（6，2）， ∵反比例函数的图象过点E， ∴， 解得：k＝12， ∴反比例函数的表达式为； （2）①解：∵OABC是矩形，AB与x轴平行，BC与y轴平行，则点B与点D纵坐标相同， ∴D点的纵坐标为3， ∵反比例函数的图象过点D， ∴将y＝3代入得：， 解得：x＝4， ∴D（4，3）； ②证明：∵D（4，3），E（6，2），B（6，3），BE＝1， ∴BD＝2，AB＝3，BC＝6， ∵，∠ABC＝90°， ∴△DBE∽△CBA； （3）解：如图，作点D关于x轴对称点D′，连接D′P， 则D′（4，﹣3），DP＝D′P， 当D′，P，E三点共线时，D′P+EP有最小值，即DP+EP有最小值，此时D′P+EP＝D′E， ∵E（6，2）， ∴， ∴DP+EP的最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：A（1，2）在反比例函数y2的图象上， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数的解析式为y2， ∵B（﹣2，m）在反比例函数y2的图象上， ∴m1， ∴B（﹣2，﹣1）， 把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得： ， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝x+1； （2）由函数图象可知：y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜1； （3）∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动， 设AB的中点为Q， 当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）， ∴AB3， ∴PQAB， ∵AB的中点为Q， ∴Q（，）， ∴OQ， ∴OP＝PQ﹣OQ， 故OP的最小值为． 题型15 反比例函数几何综合_运动型 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2． （1）求k，m的值； （2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】（1）k＝2，m＝12； （2）（，22）或（1，2）． 【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， 则﹣k+2＝0， 解得：k＝2， ∴直线l的解析式为y＝2x+2， ∵点C在直线l上，点C的横坐标为2， ∴点C的纵坐标为2×2+2＝6， ∴点C的坐标为（2，6）， ∴m＝2×6＝12； （2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，）， ∴DE＝|2n+2|， ∵OB∥DE， ∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∵直线y＝2x+2与y轴交于点B， ∴OB＝2， ∴|2n+2|＝2， 当2n+22时，n1，n2（舍去）， 此时，点D的坐标为（，22）， 当2n+22时，n11，n21（舍去）， 此时，点D的坐标为（1，2）， 综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，22）或（1，2）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第一象限交于点C，且AB＝3BC． （1）求k的值． （2）D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时， ①求点D的坐标； ②求四边形BODC的面积． 【答案】（1）； （2）①点D的坐标是（4，0）； ②四边形BODC的面积为10． 【解答】解：（1）∵与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣4，0），B（0，3）， ∴AO＝4，BO＝3． ∵AB＝3BC， ∴， 如图，过点C作CF⊥x轴于点F，则BO∥CF， ∴△AOB∽△AFC， ∴， ∴， ∴，CF＝4， ∴， ∴． ∵双曲线过点C， ∴； （2）①设点D的坐标是（m，0）． ∵AE平分△ACD的面积， ∴E为CD的中点， ∴． ∵点E在双曲线上， ∴， 解得m＝4， ∴点D的坐标是（4，0）； ②∵D（4，0），A（﹣4，0），，B（0，3）， ∴AD＝8， ∴． 【变式2】已知点A（3，m+2），B（m+4，2）都在反比例函数y的图象上． （1）求m，k的值； （2）如图①，已知反比例函数y的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且0＜x1＜x2＜3，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M1，M2，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为N1，N2．若记四边形P1M1ON1和四边形P2M2ON2的周长分别为C1，C2，试比较C1和C2的大小，并说明理由． （3）如图②，若点B关于原点O对称点为C，点Q为双曲线AB段上任一动点，试探究∠ACQ与∠ABQ大小关系，并说明理由． 【答案】（1）m＝2，k＝12； （2）C1＞C2； （3）∠ACQ＝∠ABQ． 【解答】解：（1）∵点A（3，m+2），B（m+4，2）在反比例函数图象上， ∴3（m+2）＝2（m+4）， 解得m＝2， ∴k＝12； （2）∵k＝12， ∴y， ∵P1（x1，y1）， ∴C1＝2x1+2y1＝2（x1）， ∵P2（x2，y2）， ∴C2＝2x2+2y2＝2（x2）， ∴C1﹣C2＝2（x1﹣x2）＝2（x1﹣x2）（1）， ∵0＜x1＜x2＜3， ∴x1﹣x2＜0，0＜x1•x2＜9 当1时，x1•x2≥12，此时没有x的值满足不等式； 当1时，x1•x2＜12，此时存在x满足不等式， ∴10， ∴C1﹣C2＞0， ∴C1＞C2； （3）∵B（6，2）， ∴C（﹣6，﹣2）， 设Q（m，）， 过点A作l∥y轴，C点关于直线l的对称点C'（12，﹣2），Q点关于直线l的对称点Q'（6﹣m，）， 连接BC'，C'Q'，BQ'， ∵AB与AC关于直线l对称， ∴A、B、C'共线， 由对称性可知∠AC'Q'＝∠ACQ， 设直线C'Q'的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+2， 设直线BQ的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴yx+2， ∴BQ∥C'Q'， ∴∠Q'C'B＝∠ABQ， ∴∠ACQ＝∠ABQ． 题型16 比例函数几何综合_变换型 【典例1】小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）将三角板OAC沿x轴正方向平移得到△O′A′C′，当（2）中旋转后的点D在△O′A′C′内部时（包含边界），O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的取值范围是　 　 ． 【答案】（1）； （2）D（﹣1，4）； （3）． 【解答】解：（1）由条件可知k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）由条件可知CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． （3）当O′C′经过点D时，如图，过点 D作DE⊥x轴，垂足为点E， 由条件可知O'E＝DE＝1， ∴O′O＝3； 此时O′A′与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为， 当O′A′经过点D时，此时O′A′与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交AB于点G． （1）填空：k的值等于　　 ． （2）请判断OF与FG的位置关系，并说明理由． （3）在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）2； （2）OF⊥FG；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点G的坐标为， ∴， 点F的坐标为（1，2）， ∴，BF＝3． ∴， ∵， ∴OG2＝OF2+FG2， ∴△OFG为直角三角形， ∴OF⊥FG； （3）或． 【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2）， ∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4， △ODE是由△OAB旋转得到的，即△ODE≌△OAB， ∴∠COF＝∠AOB， ∴△COF∽△AOB， ∴， ∴， ∴CF＝1． ∴点F的坐标为（1，2）， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 解得k＝2． 故答案为：2； （2）OF⊥FG；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点G的坐标为， ∴， 点F的坐标为（1，2）， ∴，BF＝3． ∴， ∵， ∴OG2＝OF2+FG2， ∴△OFG为直角三角形， ∴OF⊥FG； （3）设点P（m，0）， 由（2）可知， 点F的坐标为（1，2），点G的坐标为，， ∴， ∵FG为腰的△PFG是等腰三角形，故分一下两种情况， 当GF＝PF时，即， 解得，（负值已舍去）； 当GF＝PG时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点P的坐标为或． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D，以CD为边作正方形ABCD，反比例函数的图象在第一象限经过点A． （1）直接写出点C、D、A的坐标及k的值； （2）如图②，将直线OA向下平移得到直线EF，交x轴于点E，交y轴于点F，交的图象于点G，若S△AOG＝6，求直线EF的解析式； （3）如图③，将直线OA绕点O顺时针旋转45°后与第一象限的双曲线交于点P，求点P的横坐标． 【答案】（1）C（1，0），D（0，2），A（2，3），k＝6； （2）； （3）． 【解答】解：（1）C（1，0），D（0，2），A（2，3），k＝6；理由如下： 一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D， 当x＝0时，得：y＝2； 当y＝0时，得：﹣2x+2＝0， 解得：x＝1， ∴C（1，0），D（0，2）， ∴OC＝1，OD＝2， ∵以CD为边作正方形ABCD， ∴，∠ADC＝90°， 如图①，过点A作AL⊥y轴于点L，则∠ALD＝∠DOC＝∠ADC＝90°， ∴∠ADL＝90°﹣∠ODC＝∠OCD， 在△ALD和△DOC中， ， ∴△ALD≌△DOC（AAS）， ∴AL＝OD＝2，DL＝OC＝1， ∴OL＝OD+DL＝2+1＝3， ∴A（2，3）， ∵点A（2，3）在反比例函数图象上， ∴k＝xy＝2×3＝6， ∴C（1，0），D（0，2），A（2，3），k＝6； （2）如图②，连接AE， ∵将直线OA向下平移得到直线EF，则AO∥EF， ∴点E到AB的距离等于点G到AB的距离，且△AOE，△AOG同底， ∴S△AOE＝S△AOG＝6， 又∵，A（2，3）， ∴， ∴OE＝4， ∴E（4，0）， 设直线OA的解析式为y＝mx（m≠0），将点A的坐标代入得： 2m＝3， 解得：， ∴直线OA的解析式为， 又∵AO∥EF， ∴， 设， 又∵过点E（4，0）， ∴， ∴n＝﹣6， ∴； （3）过A作AM⊥OA交OP的延长线于点M，作x轴的平行线，交y轴于点G，过M作y轴的平行线，交AG于点H，如图③， ∴∠AGO＝∠MHA＝90°， 又∵AM⊥OA， ∴∠OAM＝90°， 又∵∠AOP＝45°， ∴∠AMO＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠AOM＝∠AMO＝45°， ∴AO＝AM， 又∵∠GOA+∠GAO＝90°，∠GAO+∠HAM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GOA＝∠HAM， 在△GAO与△HMA中， ， ∴△GAO≌△HMA（AAS）， ∴HM＝AG＝2，AH＝OG＝3， ∴GH＝5， ∴M（5，1）， 设OM的解析式为y＝fx（f≠0），将点M的坐标代入得： 5f＝1， 解得：， ∴OM的解析式为， 联立得：， ∴， 又∵x＞0， ∴， ∴点P的横坐标是． 题型17 反比例函数几何综合_面积型 【典例1】将正六边形OABCDE按如图方式摆放在直角坐标系中，其中点A（2，0），点D在y轴上，反比例函数的图象F经过CD的中点M． （1）求k的值，并判断图象F是否经过正六边形OABCDE的中心（不说理由）； （2）若该反比例函数图象与AB边交于点N． ①求AB所在直线的解析式； ②直接写出点N的坐标． 【答案】（1），图象F不经过正六边形OABCDE的中心； （2）①； ②点N的坐标为． 【解答】解：（1）如图，连接AD， ∵六边形OABCDE为正六边形， ∴， ∴∠OAD＝60°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠ADO＝30°， ∵A（2，0）， ∴OA＝2， ∴AD＝2OA＝4， ， 根据正六边形的性质得，CD∥OA，CD＝OA＝2，且点M是线段CD中点， ∴， ∴，代入得， ， ∴， ∴， 如图所示，令点P为正六边形OABCDE的中心，连接PA，PO，过点P作PK⊥OA于点K， ， ∴△OPA为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当x＝1时，， ∴图象F不经过正六边形OABCDE的中心； （2）①如图，过点B作BG⊥x轴于点G， ∵， ∴∠ABG＝90°﹣∠BAG＝30°， ∴，， ∴OG＝OA+AG＝2+1＝3， ∴， 假设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将点A（2，0），代入解析式得， 解得 ∴若该反比例函数图象与AB边交于点N，则直线AB的解析式为； ②联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式得， 解得，（负值已舍）， ∴若该反比例函数图象与AB边交于点N，则点N的坐标为． 【变式1】如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　 ； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）k＝12，一次函数表达式为：yx+1； （2）x＞4或﹣6＜x＜0； （3）点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝﹣6×（﹣2）＝12， 则k＝12，m＝3， 即反比例函数的表达式为：y，点A（4，3）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：yx+1； （2）观察函数图象知，不等式的解集为x＞4或﹣6＜x＜0， 故答案为：x＞4或﹣6＜x＜0； （3）设点P（x，x+1），则点Q（x，）， 则△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6， 解得：x＝0（舍去）或6或﹣8或﹣2， 即点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）． 过 关 验 收 1．如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设反比例函数的解析式是， 由函数图象可知点M（﹣2，1）在函数图象上， ∴， 解得：k＝﹣2， ∴反比例函数的表达式是， 故答案为：． 2．如图，已知四边形AOCB为矩形，且B点坐标为（6，4），反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且BE＝3CE，连接DE． （1）求反比例函数的解析式； （2）求DE的长． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y； （2）． 【解答】解：（1）∵四边形AOCB为矩形， ∴∠BAO＝∠B＝∠BCO＝90°， ∵B点坐标为（6，4）， ∴AB＝OC＝6，OA＝BC＝4， ∵BE＝3CE， ∴CEBC＝1， ∴E（6，1）， ∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点， ∴1， ∴m＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵比例函数y的图象与矩形交于D点， ∴D点的纵坐标为4， ∴4， ∴x， ∴AD， ∴BD＝AB﹣AD， ∴DE． 3．已知反比例函数的图象经过点A（1，4）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图象； （3）当1＜x＜4时，y的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的关系式为y； （2）函数图象见解析过程； （3）1＜y＜4． 【解答】解：（1）将点A（1，4）代入y得， k＝4， 所以反比例函数的关系式为y． （2）函数y得图象如图所示， ． （3）当x＝1时，y＝4； 当x＝4时，y＝1， 所以当1＜x＜4时，y的取值范围是1＜y＜4． 4．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，a），，点C，D在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，B，C，D能构成矩形，且该矩形的面积为4． （1）求a的值； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1）a＝±1； （2）过点C，D的反比例函数解析式为y或y． 【解答】解：（1）由题知， ∵A（a，0），B（0，a），， ∴， 解得a＝±1， 故a的值为±1． （2）当a＝1时， 则A（1，0），B（0，1）， ∴AB． ∵矩形ACDB的面积为4， ∴AC． 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∴∠CAM＝∠BAO＝45°， ∴AM＝CM＝2． ∴OM＝1+2＝3， ∴点C坐标为（3，2）． 又∵点C在反比例函数y的图象上， ∴k＝3×2＝6， ∴过C，D两点的反比例函数解析式为y（x＞0）． 当a＝﹣1时， 同理可得，点C坐标为（2，1）， 将点C坐标代入反比例函数解析式得， k＝2×1＝2， ∴过C，D两点的反比例函数解析式为y（x＞0）． 综上所述，过点C，D的反比例函数解析式为y或y． 5．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C，直线BD垂直平分线段AC，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（　　） 观点1：当n＝4时，线段AC的长为1； 观点2：若四边形ABCD是正方形，则AB的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 【答案】A 【解答】解：由题意，当n＝4时， ∵点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C， ∴A（4，），C（4，）． ∴AC1，故观点1正确． 由题意得，A（n，），C（n，）， ∵直线BD垂直平分线段AC， ∴B、D纵坐标（）． 又∵B在反比例函数（x＞0）的图象上，D在反比例函数的图象上， ∴B的横坐标为，D的横坐标为． ∴BD与AC互相平分，BDn． ∵AC， ∴若四边形ABCD是正方形，则AC＝BD， ∴n． ∴n2＝5，则n（负值舍去）． ∴AC＝BD． ∴ABBD，故观点2错误． 故选：A． 6．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点，则（　　） A．k1k2＜0 B．k1k2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1+k2＞0 【答案】A 【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y的图象没有公共点， ∴k1与k2异号，即k1•k2＜0． 故选：A． 7．正比例函数y＝kx与反比例函数的图象如图所示．若，则x的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】D 【解答】解：∵当﹣2＜x＜0或x＞2时，y＝kx的图象在的图象下方， ∴的解集为﹣2＜x＜0或x＞2， ∴D项符合题意． 故选：D． 8．如图，直线y＝x+1与双曲线y交于第一象限的点A，与y轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：作AD⊥y轴于D，如图， ∵AC⊥x轴， ∴四边形ADOC为矩形， ∴S矩形ADOC＝2S△ABC＝2×2＝4， ∵|k|＝4， 而k＞0， ∴k＝4． 故选：C． 9．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D．y 【答案】C 【解答】解：设y， 400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m， ∴k＝0.25×400＝100， ∴y． 故选：C． 10．某段公路全长200km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所行速度v（km/h）和时间t（h）间的函数关系为 v＝　 ．若限定汽车行驶速度不超过80km/h，则所用时间至少要 　 　 h． 【答案】；2.5 【解答】解：由题意得：速度v（km/h）和时间t（h）间的函数关系为v， ∴当v＝80时，t＝2.5h． 故本题答案为：v；2.5． 11．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为　 　 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【解答】解：∵某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），使用的天数为y（单位：天）， ∴y与x的函数关系式为：y． 故答案为：y． 12．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为1m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设P， 由题意知， 所以k＝96， 故P； （2）当V＝1m3时，P96（kpa）； （3）当P＝140kPa时，V0.69（m3）． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3． 13．在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系．经测定，当S＝0.5m2时，P＝20Pa，则P与S之间的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系． 根据压强公式，可知当S＝0.5m2，P＝20Pa时， ，即F＝10， ∴P与S的函数关系式为， 当S＝0.1时，P＝100， ∴P与S之间的函数图象可能是选项A中的图象． 故选：A． 14．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【解答】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.25时，y400， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了400﹣200＝200（度）， 故选：B． 15．在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． （1）设菱形的两条对角线的长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求它的另一条对角线长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为y，这个函数是反比例函数，比例系数是48； （2）另一条对角线长为8cm． 【解答】解：（1）∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm， ∴S菱形4×12＝24， ∵菱形的两条对角线的长分别为x，y， ∴S菱形xy＝24， ∴y关于x的函数表达式为y， ∴这个函数是反比例函数，比例系数是48； （2）∵菱形的面积为48cm2，且其中一个菱形的一条对角线长为6cm， ∴另一条对角线长为8（cm）． 16．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝CD． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）P是x轴上的一点，当△PAB为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标． 【答案】（1）k＝12，B（3，4）； （2）； （3）（，0）或（，0）或（5，0）或（﹣5，0）． 【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线上， ∴m＝﹣4， 解得m＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣4）， ∵A（﹣3，﹣4）在y上， ∴k＝12， ∴y， ∵直线和双曲线均关于原点对称， ∴A、B关于原点对称， ∴B（3，4）； （2）∵BC＝CD， ∴C点是BD的中点， ∴C点的纵坐标为2， ∴C（6，2）， 作B点关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G， ∴BG＝B'G， ∴BG+CG＝B'G+CG≥B'C， ∴当B'、G、C三点共线时，BG+CG的值最小， ∴B'（﹣3，4）， ∴B'C， ∴BG+CG的最小值为； （3）设P（x，0）， ∴PA2＝（x+3）2+16，PB2＝（x﹣3）2+16，AB2＝100， ①当∠PAB＝90°时，（x﹣3）2+16＝（x+3）2+16+100， 解得x， ∴P（，0）； ②当∠PBA＝90°时，（x+3）2+16＝（x﹣3）2+16+100， 解得x， ∴P（，0）； ③当∠APB＝90°时，100＝（x+3）2+16+（x﹣3）2+16， 解得x＝±5， ∴P（5，0）或（﹣5，0）； 综上所述：P点坐标为（，0）或（，0）或（5，0）或（﹣5，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $