2.4 有理数的加法与减法 易错专题讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版（2024） · 有理数的加法与减法 2.4有理数的加法与减法 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 班级：________________ 姓名：________________ 本专题打破教材顺序，按有理数加减法的真实易错原因重新聚合题目，分为加法符号与绝对值、减法变号、混合运算统一成加法、绝对值化简、含绝对值求值分类讨论五个模块。每个模块由一道精讲例题搭配即时巩固与文末综合检测，即学即练，聚焦符号判断与变号细节，适合课堂讲评与课后纠错。 目录 易错点1：异号相加符号与绝对值混淆 易错点2：减法忘记变为加相反数 易错点3：混合运算去括号漏变号 易错点4：去绝对值不看内部正负 易错点5：含绝对值求值漏讨论 易错点1：异号相加符号与绝对值混淆 学习目标 · 能正确判定异号相加的结果符号 · 会区分同号与异号加法的绝对值处理 纠错指引 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；同号相加符号不变，绝对值相加。 精讲例题 例题1．（2024秋•天津期末）·【基础】计算5+（﹣12）的结果等于（　　） A．17 B．﹣17 C．7 D．﹣7 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 异号相加符号随大绝对值 · 同号相加绝对值直接相加 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2026•市中区模拟）·【基础】计算：﹣3+2＝（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 即时巩固2．（2025秋•桂平市校级月考）·【基础】计算（﹣3）+（﹣5）的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．15 D．﹣15 即时巩固3．（2024秋•桥西区校级期中）·【基础】下列运算结果为1的是（　　） A．（+1）+（﹣2） B．（﹣1）+2 C．（+1）+（﹣1） D．（﹣3）+2 即时巩固4．（新教材同步题）·【基础】（1）加法交换律：a+b＝　 　 ， 例：3+（﹣2）＝　 　 ； （2）加法结合律：（a+b）+c＝a+（ 　 　 ）， 例：[（﹣5）+（﹣31）]+（+31）＝（﹣5）+[　 　 ]． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：减法忘记变为加相反数 学习目标 · 能叙述减法法则并正确变号 · 会列温差、比较类实际问题的算式 纠错指引 减去一个数，等于加上这个数的相反数；温差=最高气温−最低气温，列式后把减号变成加号并改变后面数的符号。 精讲例题 例题2．（2023秋•宁乡市期末）·【基础】长沙地区冬季某一天最高气温6℃，最低气温﹣2℃，则这一天最高气温比最低气温高（　　） A．﹣8℃ B．8℃ C．6℃ D．2℃ 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 减法变号后加相反数 · 温差=高−低易列反 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固5．（2025秋•莱州市期末）·【基础】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为7℃，山顶平均气温为﹣1℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　） A．﹣6℃ B．﹣8℃ C．6℃ D．8℃ 即时巩固6．（2024•昆山市模拟）·【基础】如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃ 即时巩固7．（2024•碑林区校级四模）·【基础】2024年春节期间，我市某天的最低气温为﹣3℃，最高气温为7℃，则这天最高气温比最低气温高（　　） A．10℃ B．7℃ C．4℃ D．﹣3℃ 即时巩固8．（2024秋•东阳市期末）·【基础】比﹣3小1的数是　 　 ． 即时巩固9．（新教材同步题）·【基础】（﹣1）﹣（+2）＝　 　 ． 即时巩固10．（2023秋•武汉期末）·【基础】冬季某一天的温差是3℃，这天最低气温是﹣2℃，最高气温是 　 　 ℃． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：混合运算去括号漏变号 学习目标 · 能把加减混合统一成加法 · 去括号时准确变更各项符号 纠错指引 加减混合运算先统一成加法（代数和），括号前是“−”号时，去括号后里面各项都要变号；再按交换律、结合律分组计算。 精讲例题 例题3．（2026•河东区校级模拟）·【基础】将式子7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．7+3﹣5﹣2 B．7﹣3﹣5﹣2 C．7+3+5﹣2 D．7+3﹣5+2 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 括号前负号去括号全变号 · 减号变加号再改动符号 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固11．（新教材同步题）·【基础】下列计算正确的是（　　） A．﹣2﹣3＝﹣6 B．﹣2﹣（﹣3）＝﹣6 C．（） D． 即时巩固12．（新教材同步题）·【基础】计算（﹣3.68）+19+（﹣5.32），下列简便运算正确的是（　　） A．[（﹣3.68）+19]+（﹣5.32） B．（﹣3.68）+[19+（﹣5.32）] C．（﹣19）+（3.68+5.32） D．[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19 即时巩固13．（2025秋•息县期中）·【基础】如图，在应用有理数减法法则计算﹣2﹣（﹣3）时，需要把“﹣”变成“+”的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 即时巩固14．（2025秋•观山湖区校级月考）·【基础】学习情境•过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（　　） ① ② ③ A．① B．③ C．② D．④ 即时巩固15．（2023秋•唐县期末）·【提升】把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 即时巩固16．（2025秋•通州区校级月考）·【基础】根据添括号法则填空：（ 　 　 ）． 即时巩固17．（2025秋•德惠市校级期中）·【提升】把算式：写成省略“+”和的形式为：　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：去绝对值不看内部正负 学习目标 · 会判断绝对值内式子的正负 · 能正确去掉绝对值符号 纠错指引 去掉绝对值前先判断里面整体的正负：为正直接去，为负则取相反数；借助0点比较大小再决定。 精讲例题 例题4．（2025秋•晋江市期中）·【基础】化简|π﹣4|＝　 　 （结果保留π）． 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 去绝对值先看内外正负 · 负数绝对值等于其相反数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固18．（2023秋•洛宁县期中）·【基础】绝对值大于3而小于8的所有整数之和是 　 　 ． 即时巩固19．（2025秋•驿城区校级期中）·【提升】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①|23﹣47|＝　 　 ； ②　 　 ； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　 　 ；当a＜b时，|a﹣b|＝　 　 ； （3）计算：． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：含绝对值求值漏讨论 学习目标 · 能由绝对值回推原数并分类 · 讨论时做到不重不漏 纠错指引 |a|=k 时 a=±k 两种情况都要考虑；结合已知的不等关系筛选，逐类计算，避免漏掉一种解。 精讲例题 例题5．（2025秋•昆明期中）·【基础】若|a|＝8，|b|＝3，且a＜b，则a﹣b的值（　　） A．﹣11 B．﹣5 C．﹣5或5 D．﹣11或﹣5 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 绝对值回推有正负两解 · 分类讨论易漏一种 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固20．（2025秋•巫山县校级月考）·【基础】若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，那么a﹣b的值是（　　） A．5或1 B．﹣5或1 C．5或﹣1 D．﹣5或﹣1 即时巩固21．（2025春•肇源县期中）·【基础】若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 即时巩固22．（2024秋•江都区月考）·【基础】已知|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a+b的值为 　 　 ． 即时巩固23．（2025秋•曲靖期中）·【基础】已知|a|＝5，|b|＝3，且a＜b，求a+b的值． 本专题错因自查清单 ☐ 异号相加符号随绝对值大的数 ☐ 减法忘记变成加相反数 ☐ 混合运算去括号漏变号 ☐ 去绝对值不看里面正负 ☐ 含绝对值求值漏讨论情况 过关测试（综合检测） 1．（2024秋•海城市期中）·【基础】比﹣2小3的数是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 2．（2026•颍泉区校级一模）·【基础】计算：（﹣1）＝　 　 ． 3．（2025秋•泗洪县期中）·【基础】已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 　 　 （填序号）． 4．（2024秋•普陀区校级月考）·【基础】若|a|＝1，|b|＝2，a＞0＞b，则a+b＝ 　 　 ． 5．（新教材同步题）·【基础】|﹣21.76|﹣7.263＝　 　 ． 6．（新教材同步题）·【基础】计算：　 　 ，3﹣|﹣5|＝　 　 ． 7．（新教材同步题）·【基础】完成下面的表格： 加数 加数 和的组成 和 符号 绝对值 ﹣14 5 ﹣ 14﹣5 　 　 16 ﹣7 　 　 　 　 　 　 ﹣5 ﹣8 　 　 　 　 　 　 14 7 　 　 　 　 　 　 加数 加数 和的组成 和 符号 绝对值 ﹣14 5 ﹣ 14﹣5 　 　 16 ﹣7 　 　 　 　 　 　 ﹣5 ﹣8 　 　 　 　 　 　 14 7 　 　 　 　 　 　 8．（新教材同步题）·【基础】计算：5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]＝　 　 ． 9．（2025秋•天河区校级期中）·【基础】计算：2+（﹣9）﹣（﹣3）+5． 10．（2025秋•海淀区校级月考）·【基础】计算：． 11．（2025秋•商南县月考）·【基础】观察以下计算过程： ﹣1（） ＝﹣1（第一步） ＝（﹣1+2）+（）（第二步） （第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正． 12．（2025秋•徐州月考）·【提升】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　 ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　 ． （2）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 　 ，满足条件的所有整数x的和为 　 　 ． （3）请写出当x＝　 　 时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值为 　 　 ． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作 　 　 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　 　 米． 苏科版（2024） · 有理数的加法与减法 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 有理数的加法与减法 2.4有理数的加法与减法 苏科版（2024）七上易错专题 苏科版（2024） 本专题打破教材顺序，按有理数加减法的真实易错原因重新聚合题目，分为加法符号与绝对值、减法变号、混合运算统一成加法、绝对值化简、含绝对值求值分类讨论五个模块。每个模块由一道精讲例题搭配即时巩固与文末综合检测，即学即练，聚焦符号判断与变号细节，适合课堂讲评与课后纠错。 目录 易错点1：异号相加符号与绝对值混淆 易错点2：减法忘记变为加相反数 易错点3：混合运算去括号漏变号 易错点4：去绝对值不看内部正负 易错点5：含绝对值求值漏讨论 易错点1：异号相加符号与绝对值混淆 学习目标 · 能正确判定异号相加的结果符号 · 会区分同号与异号加法的绝对值处理 纠错指引 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；同号相加符号不变，绝对值相加。 精讲例题 例题1．（2024秋•天津期末）·【基础】计算5+（﹣12）的结果等于（　　） A．17 B．﹣17 C．7 D．﹣7 【分析】把括号去掉，用加法的法则计算． 【解答】解：原式＝5﹣12＝﹣7， 故选：D． 教学提示：板书强调异号相加“符号看大、绝对值相减”，用温度计类比正负，让学生先判符号再算数值。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 异号相加符号随大绝对值 · 同号相加绝对值直接相加 即时巩固 即时巩固1．（2026•市中区模拟）·【基础】计算：﹣3+2＝（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 【分析】根据有理数法则，异号两数相加，取绝对值较大的符合，再把绝对值相减即可得出答案． 【解答】解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1， 故选：A． 教学提示：让学生口述“异号相加，取大符号、大减小”，纠正常把−3+2算成−5或1的错误。 即时巩固2．（2025秋•桂平市校级月考）·【基础】计算（﹣3）+（﹣5）的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．15 D．﹣15 【分析】根据有理数的加法法则进行计算，即可作答． 【解答】解：由题意，根据有理数的加法法则可得， （﹣3）+（﹣5）＝﹣8． 故选：B． 教学提示：同号相加是“符号不变、绝对值相加”，用(−3)+(−5)说明别把两个负号抵消。 即时巩固3．（2024秋•桥西区校级期中）·【基础】下列运算结果为1的是（　　） A．（+1）+（﹣2） B．（﹣1）+2 C．（+1）+（﹣1） D．（﹣3）+2 【分析】根据有理数的加法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（+1）+（﹣2）＝﹣1，故A不符合题意； B、（﹣1）+2＝1，故B符合题意； C、（+1）+（﹣1）＝0，故C不符合题意； D、（﹣3）+2＝﹣1，故D不符合题意； 故选：B． 教学提示：引导学生逐个代入选项验算，体会加法结果的符号由绝对值大小决定。 即时巩固4．（新教材同步题）·【基础】（1）加法交换律：a+b＝　 　 ， 例：3+（﹣2）＝　 　 ； （2）加法结合律：（a+b）+c＝a+（ 　 　 ）， 例：[（﹣5）+（﹣31）]+（+31）＝（﹣5）+[　 　 ]． 【分析】依据题意，由有理数的加法法则逐个进行判断可以得解． 【解答】解：（1）a+b＝b+a； 3+（﹣2）＝（﹣2）+3． 故答案为：b+a；（﹣2）+3． （2）（a+b）+c＝a+（b+c）； [（﹣5）+（﹣31）]+（+31）＝（﹣5）+[（﹣31）+（+31）]． 故答案为：b+c；（﹣31）+（+31）． 教学提示：借填空回顾加法交换律、结合律，强调运算律对带负号的数同样成立。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点2：减法忘记变为加相反数 学习目标 · 能叙述减法法则并正确变号 · 会列温差、比较类实际问题的算式 纠错指引 减去一个数，等于加上这个数的相反数；温差=最高气温−最低气温，列式后把减号变成加号并改变后面数的符号。 精讲例题 例题2．（2023秋•宁乡市期末）·【基础】长沙地区冬季某一天最高气温6℃，最低气温﹣2℃，则这一天最高气温比最低气温高（　　） A．﹣8℃ B．8℃ C．6℃ D．2℃ 【分析】根据有理数的减法，即可解答． 【解答】解：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃）． 故选：B． 教学提示：6−(−2)把−2变+2得8，用“零上零下温差”情境帮助学生建立减法模型。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 减法变号后加相反数 · 温差=高−低易列反 即时巩固 即时巩固5．（2025秋•莱州市期末）·【基础】徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为7℃，山顶平均气温为﹣1℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　） A．﹣6℃ B．﹣8℃ C．6℃ D．8℃ 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：7﹣（﹣1）＝7+1＝8（℃）， 故选：D． 教学提示：温差题本质是减法：山脚7℃−山顶−1℃，提醒“高减低”别写反，减负号变加正得8℃。 即时巩固6．（2024•昆山市模拟）·【基础】如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃ 【分析】根据温差＝最高气温﹣最低气温，列式计算． 【解答】解：根据题意得：5﹣（﹣2） ＝5+2 ＝7（℃）． 故选：A． 教学提示：提问“最高比最低高多少”列式=最高−最低，用数轴两点差帮助理解。 即时巩固7．（2024•碑林区校级四模）·【基础】2024年春节期间，我市某天的最低气温为﹣3℃，最高气温为7℃，则这天最高气温比最低气温高（　　） A．10℃ B．7℃ C．4℃ D．﹣3℃ 【分析】根据题意运用有理数减法进行列式、计算． 【解答】解：7﹣（﹣3） ＝7+3 ＝10（°C）， ∴这天最高气温比最低气温高10°C， 故选：A． 教学提示：7−(−3)先把减号变加号、−3变+3，得10；强调“减负等于加正”。 即时巩固8．（2024秋•东阳市期末）·【基础】比﹣3小1的数是　 　 ． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：﹣3﹣1＝﹣3+（﹣1）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 教学提示：“比−3小1”=−3−1=−4，联系数轴向左再走1格，避免误写成−2。 即时巩固9．（新教材同步题）·【基础】（﹣1）﹣（+2）＝　 　 ． 【分析】根据有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可． 【解答】解：（﹣1）﹣（+2）＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣（1+2）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 教学提示：(−1)−(+2)把+2变−2，得−3；提醒减号后面整体取相反数。 即时巩固10．（2023秋•武汉期末）·【基础】冬季某一天的温差是3℃，这天最低气温是﹣2℃，最高气温是 　 　 ℃． 【分析】根据有理数的加法，即可解答． 【解答】解：最高气温是：3+（﹣2）＝3+2＝1（℃）． 故答案为：1． 教学提示：已知温差3℃、最低−2℃，最高=最低+温差=−2+3=1，逆向用加法求解。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点3：混合运算去括号漏变号 学习目标 · 能把加减混合统一成加法 · 去括号时准确变更各项符号 纠错指引 加减混合运算先统一成加法（代数和），括号前是“−”号时，去括号后里面各项都要变号；再按交换律、结合律分组计算。 精讲例题 例题3．（2026•河东区校级模拟）·【基础】将式子7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．7+3﹣5﹣2 B．7﹣3﹣5﹣2 C．7+3+5﹣2 D．7+3﹣5+2 【分析】将减法统一为加法，减去一个数等于加上它的相反数即可． 【解答】解：原式＝7+3﹣5﹣2． 故选：A． 教学提示：7−(−3)+(−5)−(+2)省略括号加号：减负变加正、减正变加负，得7+3−5−2。 易错倾向标签：易算错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 括号前负号去括号全变号 · 减号变加号再改动符号 即时巩固 即时巩固11．（新教材同步题）·【基础】下列计算正确的是（　　） A．﹣2﹣3＝﹣6 B．﹣2﹣（﹣3）＝﹣6 C．（） D． 【分析】A：把减法化为加法进行计算； B：把减法化为加法进行计算； C：把减法化为加法进行计算； D：用加法法则计算． 【解答】解：A：原式＝﹣5，∴不符合题意； B：原式＝1，∴不符合题意； C：原式，∴不符合题意； D：原式，∴符合题意； 故选：D． 教学提示：对比四个选项逐一用法则验算，归纳“减法统一成加法”的判别标准。 即时巩固12．（新教材同步题）·【基础】计算（﹣3.68）+19+（﹣5.32），下列简便运算正确的是（　　） A．[（﹣3.68）+19]+（﹣5.32） B．（﹣3.68）+[19+（﹣5.32）] C．（﹣19）+（3.68+5.32） D．[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19 【分析】去括号，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（﹣3.68）+19+（﹣5.32） ＝﹣3.68+19﹣5.32 ＝[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19． 故选：D． 教学提示：指出−3.68与−5.32同号可先结合，再用交换律凑整，体会分组简便。 即时巩固13．（2025秋•息县期中）·【基础】如图，在应用有理数减法法则计算﹣2﹣（﹣3）时，需要把“﹣”变成“+”的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【分析】根据有理数的减法运算法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”判断即可． 【解答】解：根据有理数的减法运算法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”， ∴需要把“﹣”变成“+”的是②③． 故选：B． 教学提示：用彩色笔标出−2−(−3)中变号的步骤，让学生说出“哪一步把减号变加号”。 即时巩固14．（2025秋•观山湖区校级月考）·【基础】学习情境•过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（　　） ① ② ③ A．① B．③ C．② D．④ 【分析】根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【解答】解：由题意，原式① ② ＝2﹣2③ ＝0④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：C． 教学提示：呈现错解过程，让学生角色扮演“小老师”逐行找错，强化过程性纠错。 即时巩固15．（2023秋•唐县期末）·【提升】把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5． 故答案为：A． 教学提示：−(−3)去括号得+3、+(−5)得−5，强调括号前负号使内部全变号。 即时巩固16．（2025秋•通州区校级月考）·【基础】根据添括号法则填空：（ 　 　 ）． 【分析】根据添括号法则作答即可． 【解答】解：（8）． 故答案为：8． 教学提示：添括号时括号前是负号，里面各项都要变号，用具体数代入验证。 即时巩固17．（2025秋•德惠市校级期中）·【提升】把算式：写成省略“+”和的形式为：　 　 ． 【分析】根据有理数的减法运算法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”并省略“+”和括号即可． 【解答】解：将原式写成省略“+”和的形式为：32+5． 故答案为：32+5． 教学提示：把算式写成省略加号的代数和，提醒“减号变加号、减数变相反数”。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点4：去绝对值不看内部正负 学习目标 · 会判断绝对值内式子的正负 · 能正确去掉绝对值符号 纠错指引 去掉绝对值前先判断里面整体的正负：为正直接去，为负则取相反数；借助0点比较大小再决定。 精讲例题 例题4．（2025秋•晋江市期中）·【基础】化简|π﹣4|＝　 　 （结果保留π）． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵π﹣4＜0， ∴|π﹣4|＝4﹣π． 故答案为：4﹣π． 教学提示：π≈3.14<4，π−4<0，去掉绝对值要变号得4−π，强调“先判断里外正负”。 易错倾向标签：易看错 【本题核心易错点】 · 去绝对值先看内外正负 · 负数绝对值等于其相反数 即时巩固 即时巩固18．（2023秋•洛宁县期中）·【基础】绝对值大于3而小于8的所有整数之和是 　 　 ． 【分析】根据绝对值大于3，而小于8，可得互为相反数的数，根据互为相反数的和等于0，可得答案． 【解答】解：因为绝对值大于3而小于8的整数为﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7， 故其和为：﹣4+（﹣5）+（﹣6）+（﹣7）+4+5+6+7＝0， 故答案为：0． 教学提示：绝对值大于3小于8的整数是±4,±5,±6,±7，互为相反数两两抵消和为0。 即时巩固19．（2025秋•驿城区校级期中）·【提升】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①|23﹣47|＝　 　 ； ②　 　 ； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝　 　 ；当a＜b时，|a﹣b|＝　 　 ； （3）计算：． 【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；②； 故答案为：47﹣23，； （2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a； 故答案为：a﹣b，b﹣a； （3）原式＝1 ＝1 ． 教学提示：|23−47|里23−47<0，去绝对值要取相反数得47−23，先判正负再去掉。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点5：含绝对值求值漏讨论 学习目标 · 能由绝对值回推原数并分类 · 讨论时做到不重不漏 纠错指引 |a|=k 时 a=±k 两种情况都要考虑；结合已知的不等关系筛选，逐类计算，避免漏掉一种解。 精讲例题 例题5．（2025秋•昆明期中）·【基础】若|a|＝8，|b|＝3，且a＜b，则a﹣b的值（　　） A．﹣11 B．﹣5 C．﹣5或5 D．﹣11或﹣5 【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据a＜b判断出a、b的对应情况，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝3， ∴a＝8或﹣8，b＝3或﹣3， ∵a＜b， ∴a＝﹣8，b＝3或﹣3， 当a＝﹣8，b＝3时，a﹣b＝﹣8﹣3＝﹣11， 当a＝﹣8，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣8﹣（﹣3）＝﹣5， 综上所述，a﹣b的值是﹣11或﹣5． 故选：D． 教学提示：|a|=8→a=±8，|b|=3→b=±3，由a<b锁定组合后算a−b得−11或−5，强调两解。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 绝对值回推有正负两解 · 分类讨论易漏一种 即时巩固 即时巩固20．（2025秋•巫山县校级月考）·【基础】若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，那么a﹣b的值是（　　） A．5或1 B．﹣5或1 C．5或﹣1 D．﹣5或﹣1 【分析】先运用绝对值的性质和有理数的加法法则求得a，b的值，再代入、计算． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝±3，b＝±2， 即a＝3，b＝2或a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣2， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2． 当a＝﹣3，b＝2时， a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5； 当a＝﹣3，b＝﹣2时， a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1， ∴a﹣b的值为﹣5或﹣1， 故选：D． 教学提示：|a|=3则a=±3，|b|=2则b=±2，结合a+b<0筛选组合再算a−b，做到不漏。 即时巩固21．（2025春•肇源县期中）·【基础】若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 【分析】运用绝对值和有理数加减运算方法进行讨论、求解． 【解答】解：∵|a|＝4， ∴a＝±4， 当a＝4时， a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6； 当a＝﹣4时， a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， 故选：B． 教学提示：a=±4、b=−2固定，分a=4与a=−4两类算a−b，提醒别漏a=−4的情况。 即时巩固22．（2024秋•江都区月考）·【基础】已知|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a+b的值为 　 　 ． 【分析】根据绝对值的性质，得到a＝5或﹣5，b＝7或﹣7，又因为a+b≥0，确定a＝5或﹣5，b＝7代入求值即可得到答案． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝5或﹣5，b＝7或﹣7， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝5或﹣5，b＝7， ∴a+b＝12或2， 故答案为：12或2． 教学提示：|a|=5、|b|=7且|a+b|=a+b，说明a+b≥0，筛选a、b组合求a+b。 即时巩固23．（2025秋•曲靖期中）·【基础】已知|a|＝5，|b|＝3，且a＜b，求a+b的值． 【分析】先去绝对值求出a和b的值，再根据题意合理选择a，b的值，代入求出a+b的值即可． 【解答】解：由|a|＝5，|b|＝3得 a＝±5，b＝±3， ∵a＜b， 所以a＝﹣5，b＝3，或a＝﹣5，b＝﹣3， 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8； 综上所述，a+b的值是﹣2或﹣8． 教学提示：|a|=5→a=±5，|b|=3→b=±3，由a<b定a=−5、b=3或−3，分两类求a+b。 【附录‑备用题库】 16．（2024秋•泸州校级期中）·【基础】将1，3，5，7，9，11，13，15，17九个数填入三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图，若小明已填入的13和15两个数字是正确的解答，那么请你帮他把剩余的数字填上并利用字母所代表的数字，计算：ba＝（　　） A．75 B．343 C．125 D．243 【分析】根据已知条件求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，再求出中心位置的数，进而列一元一次方程求出a和b，代入求值即可． 【解答】解：由题意得，1+3+5+7+9+11+13+15+17＝81 ∴幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和为：81÷3＝27， 又∵9个数的平均数为：81÷9＝9， ∴根据三阶幻方特点可知，数字9位于中心位置， ∴15+9+b＝27，13+9+a＝27， ∴b＝3，a＝5， ∴ba＝35＝243， 故选：D． 25．（新教材同步题）·【基础】下列说法正确的是（　　） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）． 【解答】解：A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数，说法错误，如﹣1﹣（﹣2）＝1，故本选项不合题意； B．两个有理数的差一定小于它们的和，说法错误，如﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1+（﹣2）＝﹣3，故本选项不合题意； C．减去一个负数，差大于被减数，故本选项不合题意； D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（2025秋•河南月考）·【基础】体育老师根据如图的实心球重量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球重量符合标准的是（　　） A．1.87kg B．1.96kg C．2.02kg D．2.11kg 【分析】依据题意，设实心球重量为xkg，从而可得1.97≤x≤2.03，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，设实心球重量为xkg， ∴1.97≤x≤2.03． ∴C符合题意，A、B、D均不合题意． 故选：C． 23．（新教材同步题）·【基础】﹣12与﹣8的和比10大（　　） A．0 B．30 C．﹣30 D．100 【分析】根据题意列式（﹣12﹣8）﹣10，计算即可． 【解答】解：根据题意得， （﹣12﹣8）﹣10 ＝﹣20﹣10 ＝﹣30； 故选：C． 3．（2026春•江津区期末）·【提升】有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将每两张卡片上的数字相加，所得两数之和记录如表： 卡片编号 A、B B、C C、D D、E E、A 两数的和 56 58 35 60 53 以下说法错误的是（　　） A．A卡片上的数最小 B．C卡片上的数大于D卡片上的数 C．B卡片上的数最大 D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小 【分析】通过观察表格数据，分别列出A+B＝56，B+C＝58，C+D＝35，D+E＝60，E+A＝53，再将5个方程相加之后得出A+B+C+D+E＝131，最后分别计算出每个卡片的数值进行比较即可． 【解答】解：设卡片上的数分别是A、B、C、D、E， 由题意得：A+B＝56，B+C＝58，C+D＝35，D+E＝60，E+A＝53， 将5个方程相加后整理得：A+B+C+D+E＝131， ∴A＝131﹣B﹣C﹣D﹣E＝131﹣（B+C）﹣（D+E）＝131﹣58﹣60＝13， B＝131﹣A﹣C﹣D﹣E＝131﹣（A+E）﹣（C+D）＝131﹣53﹣35＝43， C＝131﹣A﹣B﹣D﹣E＝131﹣（A+B）﹣（D+E）＝131﹣56﹣60＝15， D＝131﹣A﹣B﹣C﹣E＝131﹣（A+E）﹣（B+C）＝131﹣53﹣58＝20， E＝131﹣A﹣B﹣C﹣D＝131﹣（A+B）﹣（C+D）＝131﹣56﹣35＝40， ∴A＝13，B＝43，C＝15，D＝20，E＝40， ∵13＜15＜20＜40＜43，即A＜C＜D＜E＜B， ∴B选项是错误的符合题意，A、C、D选项正确不符合题意， 故选：B． 5．（2025秋•白云区期末）·【提升】在数学综合与实践课上，“ILoveMath”小组成员对1﹣n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有（1，2）一种取法，即k＝1；当n＝3时，有（1，3）和（2，3）两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；当n＝5时，可得k＝6；…，若n＝25，则k的值为（　　） A．148 B．152 C．156 D．160 【分析】当n＝25时，从1，2，3，4……22，23，24，25中，取两个数的和大于25，根据规律可得k＝24+22+20+……+2＝156． 【解答】解：当n＝25时，从1，2，3，4，5......23，24，25中取两个数的和大于25， ∴这两个数分别是：（25，1），（25，2），（25，3）......（25，24）；（24，2），（24，3）......（24，23）；（23，3），（23，4）.....． （23，22）；（22，4），（22，5）......（22，21）；（21，5），（21，6）......（14，12），（14，13）， ∴k＝24+22+20+...+2＝156， 故选：C． 6．（2026•无极县校级模拟）·【提升】嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【分析】由于八个数的和是﹣4，所以需满足两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2， 则﹣4﹣6+b+7＝﹣2， 得b＝1， 由﹣6﹣2+b+c＝﹣2， 得c＝5， 由a+c﹣2+d＝﹣2， 得a+d＝﹣5， 当a＝3时，d＝﹣8，则a+b＝3+1＝4， 当a＝﹣8时，d＝3，则a+b＝﹣8+1＝﹣7， 故选：A． 27．（2025秋•大兴区期末）·【基础】甲、乙、丙、丁、戊五位同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数乘2后，将结果报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，则甲所想的数是　 　 ． 【分析】依据题意，设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【解答】解：由题意，设甲想的数为x，则丙报的数为10﹣2x，丁报的数为8﹣2x， ∴乙报的数为12﹣（8﹣2x）＝4+2x，戊报的数为16﹣（10﹣2x）＝6+2x， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴4+2x+6+2x＝6， ∴x＝﹣1． ∴甲同学心中所想的数是﹣1， 故答案为：﹣1． 34．（2024秋•荔城区期末）·【基础】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　 ． 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，解得b＝﹣5， 6+4﹣5+x＝2，解得x＝﹣3， 则a＝2，y＝﹣1或a＝﹣1，y＝2， 当a＝2时， a+b＝2+（﹣5）＝﹣3； 当a＝﹣1时， a+b＝﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣3或﹣6． 39．（2024秋•江宁区校级月考）·【基础】观察下面的等式： ①； ②3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； ③1﹣1＝﹣|1+2|+3； ④； ⑤（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 　 　 ． 【分析】通过上下对比发现等式左边都是某数减1，等式右边都是某数加3．从而联想等式最左边的数与等式右边绝对值的关系． 【解答】解：通过观察发现规律如下： 1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； 3﹣1＝（1+2）﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1＝（﹣1+2）﹣1＝﹣|1+2|+3； （）﹣1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； （﹣2）﹣1＝（﹣4+2）﹣1＝﹣|4+2|+3； 代入3.32，可得： 3.32﹣1＝（1.32+2）﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 故答案为：3.32﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 49．（2023秋•柘城县期末）·【基础】一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“衍生数”，记作f（m），即f（m）＝a+b．如f（52）＝5+2＝7．现有2个两位数x和y，且满足x+y＝100，则f（x）+f（y）＝　 　 ． 【分析】依据2个两位数x和y，且满足x+y＝100，分两种情况进行讨论，依据f（m）＝a+b进行计算即可得到f（x）+f（y）的值． 【解答】解：①当2个两位数x和y的个位数字为0，且满足x+y＝100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0， 故f（x）+f（y）＝10； ②当2个两位数x和y的个位数字均不为0，且满足x+y＝100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10， 故f（x）+f（y）＝19； 综上所述，f（x）+f（y）的值为10或19． 故答案为：19或10． 28．（2024秋•福建期末）·【提升】如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 　 　 平方米． 【分析】设第二小的正方形的边长是x米，根据图形分别表示出五种正方形的边长，由长方形展板上下对边相等列方程并求解，从而求出长方形展板的长和宽，根据长方形的面积公式计算长方形展板的面积即可． 【解答】解：设第二小的正方形的边长是x米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米， 根据长方形展板上下对边相等，得（x+3）+（x+4）＝3x+（x+1）， 解得x＝3， ∴展板的长是（x+3）+（x+4）＝2x+7＝13（米），展板的宽是x+（x+4）＝2x+4＝10（米）， ∴长方形展板的面积是13×10＝130（平方米）． 故答案为：130． 32．（2025秋•万源市校级月考）·【提升】a、b、c、d为互不相等的有理数，且c＝2，|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|2a﹣d|＝　 　 ． 【分析】根据题意分别求出a、b、d的值，根据绝对值的性质分别计算即可． 【解答】解：∵a、b、c、d为互不相等的四个有理数，且c＝2，|a﹣c|＝|b﹣c|＝1， ∴a＝3，b＝1或a＝1，b＝3， （1）当a＝3，b＝1，|d﹣b|＝1时， d＝2或0， 又∵c＝2，a、b、c、d为互不相等的有理数， ∴d＝0， ∴|2a﹣d|＝|2×3﹣0|＝6． （2）当a＝1，b＝3，|d﹣b|＝1时， d＝4或2， 又∵c＝2，a、b、c、d为互不相等的有理数， ∴d＝4， ∴|2a﹣d|＝|2×1﹣4|＝2． 故答案为：2或6． 38．（2024秋•晋安区校级月考）·【提升】如图，斜的三个数的和与横的三个数的都是相等的，则a＝ 　 　 ． 【分析】根据两条斜线三个数的和相等列列关于b的一元一次方程并求解，再根据斜的三个数的和与横的三个数的和相等列关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：根据题意，得﹣1+（﹣7）+23＝﹣1+|﹣3|+b， 解得b＝﹣2， 则23+a+（﹣2）＝﹣1+（﹣7）+23， 解得a＝﹣6． 故答案为：﹣6． 40．（2024•海曙区校级自主招生）·【提升】用S（n）表示自然数n的数字和，例如：S（10）＝1+0＝1，S（909）＝9+0+9＝18．若对任意自然数n，都有n+S（n）≠x，则满足这个条件的最大的两位整数x的值是 　 　 ． 【分析】列出n＝90，⋯，80时n+S（n）的值，再判断n＜80且n为自然数时n+S（n）的取值情况，即可得解． 【解答】解：因为90+S（90）＝99，89+S（89）＝106，88+S（88）＝104， 87+S（87）＝102，86+S（86）＝100，85+S（85）＝98，84+S（84）＝96， 83+S（83）＝94，82+S（82）＝92，81+S（81）＝90，80+S（80）＝88， 当n＜80且n为自然数时，n+S（n）≤79+7+9＝95， 当n＞90且n为自然数时，n+S（n）＞99， 所以若对任意自然数n，都有n+S（n）≠x， 则满足这个条件的最大的两位整数x的值为97． 故答案为：97． 41．（2024•长安区开学）·【提升】12个不同的自然数之和等于99，在这12个自然数中最少有 　 　 个奇数． 【分析】根据12个不同的数的和为奇数，可知，这位12个数中偶数有奇数个；分类讨论偶数的数量，找出偶数最多的情况，即奇数最少的情况． 【解答】解：12个不同的数的和为99，是一个奇数， 所以，偶数的个数为奇数个； 又因为：0+2+4+6+8+10+12+16+18＜99＜0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20， 所以，偶数最多有9个， 此时，0+2+4+6+8+10+12+16+18＝90，比99小9， 剩下的三个奇数可以是：1+3+5， 所以，奇数最少有3个； 故答案为：3． 54．（2025秋•诏安县期中）·【基础】小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释5﹣（﹣2）＝7． 【分析】按照小明的方法画图即可． 【解答】解：用类似小明的方法直观解释5﹣（﹣2）＝7如图所示： 51．（2026•龙海区一模）·【基础】阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是末经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文． 现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥”b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即S＝a•m+b； ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断： 若S在1到26之间，则S就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若S大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12+4＝40． ∵40＞26，∴40﹣26＝14， ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为　 　 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为　 　 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【分析】（1）分别找出H、I对应数字m，再根据题意S＝a•m+b求出总和S，即可得出对应字母，从而得到密文； （2）分别找出密文M对应数字S＝13，再找出明文“B”对应的数字m＝2，根据公式S＝a•m+b即可求出“加密钥”b的值； （3）分别找出明文G、C的对应数字和密文O、K的对应数字，再根据公式S＝a•m+b列出方程组即可． 【解答】解：（1）明文H对应数字m＝8，I对应数字m＝9， ∵a＝2，b＝5， ∴SH＝8×2+5＝21，SI＝9×2+5＝23， ∵21对应字母U，23对应字母W， ∴明文“HI”加密后的密文为UW， 故答案为：UW； （2）密文“M”对应的数字是13，即S＝13，明文“B”对应的数字m＝2， ∵S＝a•m+b，“乘密钥”a＝3， ∴b＝S﹣a•m＝13﹣3×2＝7， 故答案为：7； （3）明文“G“对应的数字m＝7，明文“C”对应的数字m＝3， 密文“O”对应的数字为15，即S＝15，密文“K”对应的数字为11，即S＝11， ∵“乘密钥”a，“加密钥”b所使用的密钥规则一致， ∴，解得：， ∴加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值分别为1和8； （4）密文“T”对应的数字为20，“N”密文对应的数字为14， ∴ST＝20，SN＝14， ∵a＝1，b＝8，S＝a•m+b， ∴，解得：mT＝12，mN＝6， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“TN”解密获得的明文是“LF”． 52．（2025秋•呼玛县期末）·【基础】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +38 +18 （1）这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少km？ （2）请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ （3）若每天行驶100km需用汽油6升，汽油价8.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？（计算结果精确到个位） 【分析】（1）用最大的值减去最小的值； （2）7天标准里程+比标准路程多行驶的路程＝7天一共行驶的路程； （3）一个月的行程÷100×6×8.2＝一个月的汽油费用． 【解答】解：（1）七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶：38﹣（﹣16）＝54（km）， 答：七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行54km． （2）7天比标准路程多行驶：﹣8﹣11﹣14﹣16+38+18＝7（km）， 7天一共行驶：7×50+7＝357（km）， 这七天中平均每天行驶：357÷7＝51（km）， 答：这七天中平均每天行51km． （3）30×51÷100×6×8.2 ＝1530÷100×6×8.2 ＝752.76 ≈753（元）， 答：估计小明家一个月的汽油费用是753元． 55．（2025秋•淮安区期中）·【提升】有序数对（x，y）表示从左到右依次排列的两个数，把（x，y）变换成（﹣y+1，x+3）称为1次“伴随运算”．如：（2，1）经过1次“伴随运算”变成（﹣1+1，2+3），即为（0，5）． （1）把数对（1，2）经过1次“伴随运算”变成　 　 ； （2）把数对（a，b）经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1），求a+b的值； （3）若数对（a，b）经过m次（m为正整数）“伴随运算”所得的m个数对中，右边所有数的和与b的取值无关，则m的取值可能为　 　 ．（填序号） ①2022 ②2025 ③2029 ④2032． 【分析】（1）根据所给的定义“伴随运算”，将（1，2）代入计算即可； （2）先求出数对（a，b）经过几次的“伴随运算”后的结果，找出循环规律，再根据104次“伴随运算”的结果求出a、b的值，进而求出a+b即可； （3）先求出数对（a，b）经过几次“伴随运算”后右边数的表达式，找出规律，再根据右边所有数的和与b的取值无关这一条件确定m的取值． 【解答】解：（1）根据“伴随运算”的定义可得：（1，2）的1次“伴随运算”为（﹣2+1，1+3）＝（﹣1，4）， 故答案为：（﹣1，4）； （2）数对经过1次“伴随运算”变为（﹣b+1，a+3）， 经过2次“伴随运算”为[﹣（a+3）+1，﹣b+1+3]＝（﹣a﹣2，﹣b+4）， 经过3次“伴随运算”[﹣（﹣b+4）+1，﹣a﹣2+3]＝（b﹣3，﹣a+1）， 经过4次“伴随运算”[﹣（﹣a+1）+1，b﹣3+3]＝（a，b） 由此可知，每4次“伴随运算”为一循环， ∵104÷4＝26， ∴经过104次“伴随运算”后数对回到了最初的（a，b）， 又∵经过104次“伴随运算”变成（3，﹣1）， ∴a＝3，b＝﹣1， ∴a+b＝3+（﹣1）＝2； （3）由（2）中数对（a，b）经过1到4次的“伴随运算”可知，第5次“伴随运算”为（﹣b+1，a+3），右边的数为a+3，与第1次结果相同， ∴“伴随运算”右边数也是每4次一个循环， ∴一个循环内右边的数的和为（a+3）+（﹣b+4）+（﹣a+1）+b＝8，与a、b的取值无关， ∴要使右边所有数的和与b的取值无关，则m应是4的倍数， ∵2022÷4＝505......2，2025÷4＝506......1，2029÷4＝507......1，2032÷4＝508， ∴m的取值为2025，2029，2032， 故答案为：②③④． 过关测试（综合检测） 1．（2024秋•海城市期中）·【基础】比﹣2小3的数是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【分析】根据题意可得算式，再根据有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：由题意得： ﹣2﹣3＝﹣2+（﹣3）＝﹣5， 即比﹣2小3的数是﹣5． 故选：D． 教学提示：“比−2小3”=−2−3=−5，联系“小多少就减多少”，避免误加。 2．（2026•颍泉区校级一模）·【基础】计算：（﹣1）＝　 　 ． 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．据此计算即可． 【解答】解：（﹣1）． 故答案为：． 教学提示：看清题干运算符号，减法统一成加法再算，别把省略号误读。 3．（2025秋•泗洪县期中）·【基础】已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 　 　 （填序号）． 【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴①符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴a﹣b＞0， ∴②不符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴③符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴|a|＜|b|， ∴④符合题意， ∴结论正确的有①③④． 故答案为：①③④． 教学提示：由a+b<0与数轴位置，判断b正负、a−b符号、及|a|与|b|大小。 4．（2024秋•普陀区校级月考）·【基础】若|a|＝1，|b|＝2，a＞0＞b，则a+b＝ 　 　 ． 【分析】根据|a|＝1，|b|＝2求出a和b的可能值，再由a＞0＞b确定a和b的值并求出a+b的值即可． 【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2， ∴a＝±1，b＝±2， ∵a＞0＞b， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 教学提示：|a|=1、|b|=2且a>0>b，得a=1、b=−2，a+b=−1，提醒符号方向。 5．（新教材同步题）·【基础】|﹣21.76|﹣7.263＝　 　 ． 【分析】先求绝对值，再根据加法的结合律计算． 【解答】解：原式＝（21.76﹣7.26）+2.5﹣3 ＝（14.5+2.5）﹣3 ＝17﹣3 ＝14； 故答案为：14． 教学提示：|−21.76|−7.263先去绝对值=21.76−7.263，再算小数减法。 6．（新教材同步题）·【基础】计算：　 　 ，3﹣|﹣5|＝　 　 ． 【分析】第一个通分后用有理数加法法则计算， 第二个先求绝对值，再算减法． 【解答】解：， 3﹣|﹣5|＝3﹣5＝﹣2； 故答案为：，﹣2． 教学提示：3−|−5|=3−5=−2，先算绝对值再减法，提醒|−5|=5别漏。 7．（新教材同步题）·【基础】完成下面的表格： 加数 加数 和的组成 和 符号 绝对值 ﹣14 5 ﹣ 14﹣5 　 　 16 ﹣7 　 　 　 　 　 　 ﹣5 ﹣8 　 　 　 　 　 　 14 7 　 　 　 　 　 　 加数 加数 和的组成 和 符号 绝对值 ﹣14 5 ﹣ 14﹣5 　﹣9　 16 ﹣7 　+　 　16﹣7　 　9　 ﹣5 ﹣8 　﹣　 　5+8　 　﹣13　 14 7 　+　 　14+7　 　21　 【分析】根据有理数加法法则，先确定符号，再确定绝对值，最后根据法则确定和． 【解答】①﹣14+5＝﹣（14﹣5）＝﹣9， ②16+（﹣7）＝+（16﹣7）＝9， ③﹣5+（﹣8）＝﹣（5+8）＝﹣13， ④14+7＝+（14+7）＝21． 故答案为：﹣9，+，16﹣7，9，﹣，5+8，﹣13，+，14+7，21． 教学提示：填符号表归纳加法法则，正正得正、负负得负、异号看绝对值。 加数 加数 和的组成 和 符号 绝对值 ﹣14 5 ﹣ 14﹣5 　 　 16 ﹣7 　 　 　 　 　 　 ﹣5 ﹣8 　 　 　 　 　 　 14 7 　 　 　 　 　 　 8．（新教材同步题）·【基础】计算：5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]＝　 　 ． 【分析】先算中括号里面的计算，再算外面的． 【解答】解：5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）] ＝5.6+（0.9+4.4+8.1） ＝5.6+13.4 ＝19； 故答案为：19． 教学提示：5.6+[0.9+4.4−(−8.1)]先内括号变号得5.6+0.9+4.4+8.1，凑整计算。 9．（2025秋•天河区校级期中）·【基础】计算：2+（﹣9）﹣（﹣3）+5． 【分析】根据有理数的加法、减法法则可求结果． 【解答】解：原式＝2﹣9+3+5＝1． 教学提示：2+(−9)−(−3)+5统一成2−9+3+5，按顺序或分组计算。 10．（2025秋•海淀区校级月考）·【基础】计算：． 【分析】将同分母的分数结合起来计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣32）+（1） ＝﹣6+2 ＝﹣4． 教学提示：直接按加减混合从左到右或统一成加法计算，注意符号。 11．（2025秋•商南县月考）·【基础】观察以下计算过程： ﹣1（） ＝﹣1（第一步） ＝（﹣1+2）+（）（第二步） （第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正． 【分析】用拆项法把；﹣1化为﹣1，再用加法的交换律和结合律计算． 【解答】解：答：不正确，第一步出现错误；﹣11， 原式＝﹣12 ＝（﹣1+2）+（） ＝1+（﹣1） ＝0． 教学提示：过程纠错先指出错误步，再按“统一成加法、交换结合”改正。 12．（2025秋•徐州月考）·【提升】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　 　 ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　 　 ． （2）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 　 ，满足条件的所有整数x的和为 　 　 ． （3）请写出当x＝　 　 时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值为 　 　 ． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作 　 　 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　 　 米． 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|计算便可； （2）当x在表示数﹣4与1的两点及两点之间时，|x﹣1|+|x+4|的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当x＝﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当x＝0时，|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40； 【解答】解：（1）由题意，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|． 故答案为：|x﹣6|；|x+3|． （2）由题意，当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|取最小值， 其最小值为：|x﹣1|+|x+4|＝1﹣x+x+4＝5， 满足条件的整数x的和为﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣9． 故答案为：5，﹣9． （3）由题意，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣4，﹣3，﹣2，1所对应的点的距离之和， ∴当x＝﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值，最小值为8． 故答案为：﹣2，8． （4）由题意，以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为﹣8，B点表示的数为﹣6，C点表示的数为﹣4，D点表示的数为﹣2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8． 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当x＝0时，|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40． ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40． 教学提示：数轴上两点距离AB=|a−b|，用绝对值几何意义列式，注意去绝对值。 苏科版（2024） · 有理数的加法与减法 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $