第9期：3.3 一元二次方程根的判别式～3.5 一元二次方程的应用-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（湘教版·新教材）

初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 发理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学湘教中考 第6~9期(2026年8月)》 6期2版 重点集训营 2.3解直角三角形 1.解：如右图，过点B作BM 1.B:2D:3(号6： 4.4+22 ⊥AD,过点E作EN⊥AD, 教 因为斜坡AB的坡度i=5:校门 B 5.解：(1)在△ABC中，因为AD是BC边上的高， 12, E 所以∠ADB=∠ADC=90° 所以M、5 因为C=是，C为能角. Aw=2: 又因为AB=13米， 所以∠C=45°. 所以BM=5米，AM=12米， 在△ADC中，因为∠ADC=90°，AD=1,∠C=45°， 所以BM=DF=5米. 所以DC=AD=1. 设EF为x米，则BF=(4+x)米， 在△ADB中，因为∠ADB=90°， 因为∠CBF=45°， 所以sinB=AD=⊥ 所以BF=CF=(4+x)米 因为∠CEF=60°， 又因为AD=1, AD 所以tam60:= =4+x 所以AB= sin B =3, 所以BD=√AB2-AD=22, 解得x=2+2米， 所以BC=BD+DC=2,2+1. 所以CF=(6+25米， (2)因为AE是BC边上的中线， 所以CE=BE=万+之， 所以CD=CF+FD=（11+2F）米 所以DE=CE-CD=万-之， 答：楼顶C的高度CD为11+2万）米 所以am∠D4E-6=E-子 2.解：延长AB交ED的延长线于点F,过点C作CG⊥AF, 垂足为G. 2.4解直角三角形的应用 (1)由题意，得CG=36米，∠BFD=90°， 1.B;2.8;3.105. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 4.解：如图1，过点C作CD1AE交AE 所以C=1.5 的延长线于点D, 0=2.4=2 设CD=xm, 所以BG=15米. 在Rt△CBD中，∠CBD=45° 在Rt△BCG中，由勾股定理，得 ∠BCD, 图1 BC=√/CG+BG=39(米). 所以BD=CD=xm. 答：BC的长度为39米 在Rt△CAD中，∠CAD=42°， (2)因为BC=39米，CD=260米， 所以AD=am2“0g 所以BD=299米. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 因为4B=10m,所以0)-x=10, 所以易得BF=115米，DF=276米， 因为AB=129米，所以AF=244米. 解得x≈90， 所以山顶C点处的海拔高度约为1600十90=1690(m). 在Rt△AEF中，tam27°=4g EF 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以EF=AF an27≈478（米）， 所以TC=25. 因为CD≤DT+CT, 所以DE=EF-DF=478-276=202(米). 所以CD≤1+25， 答：轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米 6期3,4版 所以CD的最大值为1+25. 一、选择题 二、填空题 9.60;10.6.4;11.10；12.(415-25): 题号12345 678 13.18. 答案BCBCCBAB 提示： 提示： 12.解：如图4，过点E作水平地面 6.解：如图1，过点0作EF1OM,A 的平行线，交AB的延长线于点H,则 过点A作AG⊥EF于点G, E G 0◆B LBEH=∠DCF. 因为AB=6米，0A:0B=2:1, B 在Rt△BEH中，tan∠BEH= B E 所以0A=4米，0A1=4米， 地面 图1 m∠BcF=g= C72ah 因为∠A,OM=120°，∠EOM= 图4 90°，所以∠A10E=30°. 设BH=x米，则EH=2x米， 在Rt△A10G中，A1G=A0·sin30°=2（米），点A位于最 所以BE=√EH+BⅢ=5x米， 高点时到地面的距离为2+3=5（米）， 所以5x=10,得x=25, 所以点A位于最高点A,时，点A1到地面的距离为5米. 所以BH=25米，EH=45米 7.解：如图2，过P作PC⊥AB于C, 北 因为∠EAH=180°-60°-90°=30°， 由题意知∠PAB=30°，∠PBC= 所以AH=√5EH=4√5米， 60°， 所以AB=AH-BH=(4√15-2√5)米， 所以∠APB=∠PBC-∠PAB= 图2 即大树AB的高为(4√5-25)米. 60°-30°=30°， 所以∠PAB=∠APB, 13.解：如图5所示，过点B作BE/AC,与 所以AB=PB. AD的延长线交于E,过点B作BF L AE于点 B F, 在Rt△PAC中，AP=65千米， 因为BE∥AC,所以∠E=∠CAD, 所以PC=sin∠PAC,PA=PM=35千米。 又因为∠ADC=∠EDB, 图5 在R△PBC中，sm∠PBC=常 所以△ADC△EDB, 所u品品-合号 3 所以-语， PB· 设AD=3x(x>0),则DE=5x, 所以PB=6千米 所以AE=AD+ED=8x. 所以AB=6千米 因为AD是∠BAC的平分线， 8.解：如图3，在AD的下方作Rt△ADT, 所以∠BAD=∠CAD, 使得∠ADT=90°，DT=1,连接CT, 所以∠BAD=∠E, 则AT=5, 所以AB=EB. 因为BF⊥AE, 因为品-是=2 所以EF=AP=分46=4， 所品C 图3 所以DF=AF-AD=4x-3x=x 又因为∠ADT=∠ABC=90°， 因为∠ADC=∠EDB, 所以△ADT△ABC, 所以os∠AC=s∠B0B-品-子 AT 厅以∠DAT=∠BAC,8花 因为BD=10,所以FD=6,所以x=6, 所以LDAB=∠TAC,4D=AB 所以AD=3x=3×6=18. ·AT=AC 三、解答题 所以△DAB△TAC, 14.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以织-4D=2 因为∠B=30,所以AD=4B=3. 2 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 因为tanC=3,所以0= 3 设CH=xm,则AH=4xm, =3, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得x2+(4x)2=AC2=9, 所以CD=1. 所以AC=√A+CD=√32+1下=0. 解得=3侣（负位合， 15.解：如图6，过点C作CH 所以cH=3 LAB于点H,过点D作DG⊥AB, 17 -m, 60P 交AB的延长线于点G 45o 309 60°习 37 D 因为∠CAB=45°， CH 17 334 H B G 所以sinLAPC= CP = 34 AC 30 n mile, 图6 18.解：(1)如图8，过B作BM⊥I于M, 太阳 所以AH=CH=15√2 n mile. 光线 所以CD=BM=1.5米， 因为∠CBH=60°， BC=DM=1.5米， B 所以BC= cH-152=106(n mile). sin60°= 5 在Rt△BEM中，tan∠BEM=BM EM D EM 图8 因为∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°， 即5=1.5 EM' 所以∠BDG=60°， 所以EM=0.3米， 所以∠CDB=180°-60°-60°=60°， 所以DE=DM-EM=1.5-0.3=1.2(米). 因为∠CBD=30°+60°=90°， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2米. 所以cD=BC。=09=202(n mile). (2)如图9，过B作BF⊥AC于F,过B 光线 5 作BM⊥I于M, 2 则BF=DM=1.2米， 答：C,D间的距离为20√2 n mile. 所以CF = √BC-BFP 16.解：(1)如图7，过点B作BC D EM ⊥AF,则四边形BEFC是矩形， 1.52-1.22=0.9(米)， 图9 所以BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6(米)， 因为山坡AB的坡度i=1:√5， B人53 由表格可知，在12时。~14时，α的正切值逐渐减小， 所以∠A=30°， A30° 所以∠BEM逐渐变小， 由题意知AB=300m, 图7 所以14时，点E最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆 所议EF=BC=4B=150m, 放位置与装壁的最远距离，在△BV中，m∠BEM一微 因为DF=534m, 所以DE=DF-EF=384m. 即125=所以EM=04格米， 答：B,D两地间的垂直高度差DE为384m 所以DE=DM-EM=1.2-0.48=0.72(米). (2)由(1)知，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE= 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72米. 53°，DE=384m, 7期 所议B058=460(m. 384 一、选择题 300÷30+480÷16=40(min). 题号 1 2 4 6 7 8910 答：他们从山脚A处到山顶D处需要40mim. 答案BBDBBDDAB C 17.解：(1)由题意可得PQ上AE,PQ=2.6m,AB=CD= 提示： EO 1.6 m,AE BO 4 m,AC BD =3 m, 9.解：如图1，延长BA交MW于M 则CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m). 28 459 点C,则∠ACN=90°， 因为∠CEP=90°，CE=PE, 由题意可知，BC=119m,MW= 所以B=∠PCE=45°， 74m. ma=tm∠PME=-子 因为∠BWC=45°，∠BCN= 图1 (2)因为CE=PE=1m,∠CEP=90°， 90°， 所以CP=√2+1下=√2(m). 所以CN=CB=119m, 过点C作CH⊥AP于点H, 所以CM=CN+MW=119+74=193(m), 因为an&=tanL PAE=Cl-L AH=4 所以tan∠Awc=品-号 =tan22°， 3 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以AC≈77.2m, 因为BM=CN=28米， 所以AB=BC-AC=119-77.2=41.8(m)≈42(m). 所以AB=AM-BM≈58.5-28=30.5（米）， 10.解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D, 即铁塔AB的高度约为30.5米. 则∠OCD=∠B0C= 16.解：如图3，过点E作EG⊥BD于点A 因为ma:分：80 G 所以CD=2D0. 由已知5、2 因为OC=BC·AC, 设AE=2x,则DN=5x, 图3 所以%-总 由旋转性质得CF=AE=2x,∠DCF =∠A=90° 又因为∠AC0=∠BCO, 因为四边形ABCD是正方形， 所以△CB0∽△COA, 所以∠DCB=90°，∠ABC=90°，∠ABD=45°， 所以∠CA0=∠COB=. 所以∠DCB+∠DCF=180°， 1 因为tana=2, 所以点B,C,F在同一条直线上 因为∠NCF=∠EBF,∠NFC=∠EFB, 所以0=之 所以△FNC∽△FEB, 所以A0=2B0, 所以C。CF EB=BF 在Rt△AB0中，A0+B02=AB,AB=5, 所以4B02+B02=5, 即-5x 所以B0=1,所以A0=2B0=2. 因为∠CD0=∠BOA=90°，∠BA0=∠CAD, 解得=-1（含去），出=石 所以△BAO△CAD, 所以OB=40 所以AE=2x石=方 CD=AD' 即0020n 2 所以ED=√AE+AD2 +1= 2 解得0D=子， 2 EB=AB-AE=1-专 二3 在Rt△EBG中， 所0：手， EG=BE·sin45°= 2 3 2 31 所以c(子，专) 2 二、填空题 所以sin∠EDM= EG 3 ED= = 10 5 1.9:12.(2-2 cos):13.);14.1283 3 三、解答题 15305米：165 5 17.解：(1) -2sin60°cos45°+3tan30°sin45o tan30° 提示： 15.解：如图2，延长AB交ED的延长线 -2×x 2 3 +3×x号 3 于点M,则AM⊥ME,过点C作CN上MD,则 3 CN=BM,BC=MN=5米 B: 在Rt△CDN中，CD=35米，因为坡比i =25-9 2 =1:05所以会=手 MN D =25. 图2 设CN=4k,DN=3k, (2)因为tan(a+15°)= 3 所以CD=5k=35,解得k=7, 所以CN=28米，DWN=21米. 所以a+15°=30°， 又在Rt△AEM中，∠AEM=52.5° 所以a=15°. ME=MW+DW+DE=5+21+19=45(米)， 18.解：因为∠C=90°，∠A=30°，a=√5， 所以AM=ME·tan52.5°≈45×1.30=58.5（米）. 所以sinA=a=1 c=2,∠B=60, -4 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以c=2a=25. 所以CN=BC·sin∠CBW≈162×0.94≈21.2（海里）. 因为csA=占=月 因为21.2>20，所以船能安全通过. c 2 答：船能安全通过。 所u6=吾-吾×25=8 22.解：(1)设CD=xm,由DE=36m,得CE=CD+DE =(x+36)m. 19.解：(1)因为在△ABC中，AB=AC=13,BD⊥AC于 因为EC⊥AB,垂足为C,∠BDC=45°， 点a,mA=吕。 所以BC=CD=xm. 所以器号即号号 在△BCE中，m∠cEB=器∠cEB=3, 解得BD=12. 所以BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， (2)因为AC=AB=13,BD=12,BD1AC, 所以x=(x+36)·tan31°， 所以AD=5,所以DC=AC-AD=13-5=8. 解得x=36×m3-36×0:6=54 1-tan3°≈-06 所以tanC=BD-l2.3 0=8=2 答：线段CD的长约为54m 20.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， (2)在△ACD中，am∠CDA=品∠CDA=6, 所以AD=BC,AD∥BC. 所以AC=CD·tan∠CDA=54×tamn6°≈54×0.1= 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE, 5.4(m). 即AF=EC, 所以AB=AC+BC=5.4+54≈59(m). 所以四边形AECF是平行四边形. 答：桥塔AB的高度约为59m. 又因为AC=EF, 23.解：(1)因为∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， 所以平行四边形AECF是矩形 所以CD=BD,∠ACD+∠BCD=90°， (2)解：因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 所以∠B=∠BCD, 因为AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形， 所以∠B+∠ACD=90° 所板=能=竖6=反 因为AH⊥CD, 所以∠AHC=90°， 因为m∠4CB=瓷-号 所以∠ACD+∠CAH=90°， 所以∠B=∠CAH, 所以EC=2AE=22, 所以sinB=sin∠CAH. 所以BC=BE+EC=√2+22=32， 在Rt△ACH中，因为AH=2CH, 即BC的长为32. 所以AC=√Af+CH=W5CH, 21.解：(1)如图4，过点 所以sin∠CAH= CH=CH =5 C作CM⊥AD于M, AC √5CH 5 由题意得，∠CAD=90 70° 45 -70°=20°，∠CBD=90°-A 即snB=得 B 25°M 45°=45°，AB=14×2= (2)因为CD=5,sinB= 5 28(海里)， 5 图4 因为∠CBD=45°， 所以AB=2CD=25, 所以CM=BM, 所以AC=2. 在Rt△CAM中，.tanLACM=AM 因为∠CAH=∠B, CM 即tan70°=28+CM 所以sin∠CAH=sinB=尽 5 CM 解得CM≈16. 设CE=x(x>0),则AE=5x, 在Rt△BCM中，BC=2CM=162≈22.6（海里）. 由勾股定理，得x2+22=(5x)2, 答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 所以CE=x=1(负值舍去)， (2)如图4，过点C作CN⊥BE于N. 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 在Rt△BCN中，∠CBN=45°+25°=70°，BC=16√2海 所以由勾股定理得BC=4, 里， 所以BE=BC-CE=3. 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 24.解：(1)如图5，过点D作DG1AB,垂P 所以x=1,志匝。1去面 足为G, 2×2 4 因为四边形ABFE是矩形， 所以∠ABF=90°，∠EFB=90°， 因此，原方程的根为x=二1+ ,龙2=二1-7 4 4 图5 所以四边形DGBF是矩形， (2)原方程可化为x2-4x+4=6-x, 所以DG=BF=24cm,BG=DF=32cm. 即x2-3x-2=0. 在△DGB中.m∠B0G-器-器=手 4 这里a=1,b=-3,c=-2, 因而62-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17, 由对顶角相等得∠BDG=a, 所以原方程的根为=3+，五，=3-，叵 所以ama=lam∠BDG=手 2 3.2.3因式分解法 (2)由(1)知BG=32cm,DG=24cm, 1.D;2.B;3.1; 因为BC=14cm,所以CG=BG-BC=18cm, 4.解：(1)原方程可化为 在Rt△CDG中，CD=√CG+DG=30cm, (2x-3)2-3(2x-3)=0, 所以血B=答=号 3 把方程左边因式分解，得 (2x-3)(2x-6)=0, 在Rt△BDG中，BG=32cm,DG=24cm, 由此得2x-3=0或2x-6=0, 所以BD=√BG+DG=40em, 3 所以sin&=sinL.BDG=BC-4 解得=之西=3， BD 5 (2)把方程左边因式分解，得 4 (x-4)(x+3)=0 所以折射率a-品治是- 5 4 由此得x-4=0或x+3=0, 5 解得x1=4,x2=-3. 答：光线从空气射人水中的折射率n为子 重点集训营 1.解：(1)移项，得3x2-4x+1=0. 8期2版 这里a=3,b=-4,c=1, 3.1一元二次方程的概念 因而b62-4ac=(-4)2-4×3×1=4, 1.B;2.D;3.1000(1+x)2=1690:4.2. 5.解：原方程可化为 所以x=49-2 3×2 3 2(x2-2x+1)+bx-b+c=0, 1 整理，得2x2+(b-4)x+2-b+c=0, 所以原方程的根为，=1，=3 所以b-4=-3,2-b+c=-1, (2)这里a=5,b=-5,c=3, 解得b=1,c=-2. 因而62-4ac=(-5)2-4×5×3=-35<0, 3.2.1配方法 所以方程无实数解. 1.C;2.m>1;3.14; (3)这里a=1,b=-26,c=-5, 4.解：(1)(x+3)2-25=0, 因而b2-4ac=(-26)2-4×1×(-5)=44, (x+3)2=25, 所以x=26主座=6±瓜， 开方，得x+3=5或x+3=-5, 2 解得1=2，=-8； 所以方程的根为x=6+, (2)x(x-6)=6, x2=6-. 配方，得(x-3)2=15, 2.解：(1)这里a=1,b=-2(k-3), 开方，得x-3=5或x-3=-√5， c=2-4h-1, 解得x=3+√15，x2=3-√15. 因而62-4ac=4(k-3)2-4(k2-4k-1) 3.2.2公式法 =-8k+40 1.B:2.B: 因为方程有实数根，则-8k+40≥0， 3.k<-3. 解得k≤5. 4.解：(1)这里a=2,b=1,c=-2, (2)由已知，得x=1是方程的根， 因而6-4ac=12-4×2×(-2)=17, 代人，得1-2(k-3)+2-4h-1=0, 6 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 整理，得2-6k+6=0, 所以x4-2x3+3x=4-4x=4-2(-1+5)=6-25. 这里a=1,b=-6,c=6, 三、解答题 因而6-4ac=(-6)2-4×1×6=12, 17.解：(1)开方，得x-2=2或x-2=-2, 所以k=6±2 解得x1=4,x2=0, 2 =3±5， (2)左边因式分解，得(x-1)(x-5)=0, 所以k=3+5,2=3-5. 解得x1=1,x2=5. 8期3,4版 (3)这里a=4,b=-25,c=-1, 一、选择题 因而62-4ac=(-25)2-4×4×(-1)=28, 题号 1 3 6 7 10 所以x=25±2图-5±万 答案D B BB 2×4 4 提示： 解得41=5五，=5：五 4 4 10.解：分两种情况： 18.解：把x=3代入方程a2-bx=3,得 ①.当x>-x,即x>0时， 9a-3b=3,即3a-b=1, 因为maxx,-x=x2-3x-5, 所以2025-3a+b=2025-(3a-b) 所以x=x2-3x-5, =2025-1=2024 整理，得x2-4x-5=0, 19.解：他俩的解答都不正确。 因式分解，得(x-5)(x+1)=0, 我的解答：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 所以x-5=0或x+1=0, 提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0, 解得x=5,:=-1(舍去)； 去括号，得(x-3)(3-x+3)=0, ②.当x<-x,即x<0时， 则x-3=0或6-x=0, 因为maxx,-x}=x2-3x-5, 解得x1=3,x2=6. 所以-x=x2-3x-5, 20.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 整理，得X2-2x-5=0, 因为x=-1是方程的根， 配方，得(x-1)2=6, 所以(a+c）×(-1)2-2b+(a-c)=0, 开方，得x-1=±6， 所以a+c-2b+a-c=0,即2a-2b=0, 所以x-1=√6或x-1=-6, 所以a=b, 解得x=1+√6（舍去），x2=1-√6. 所以△ABC是等腰三角形 综上所述，x=5或x=1-√6. (2)因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c, 二、填空题 所以(a+c)x2+2bx+(a-c）=2ax2+2ax=0, 11.x1=6,x2=-6;12.-1; 所以x2+x=0,解得1=0，x2=1. 13.9,x1=x2=3;14.m≤2且m≠1； 21.(1)解：根据题意，得 15.x2-6x+6=0:16.6-25. (22+5x-3)-(x2+x-8)=2, 提示： 整理，得(x+2)2=1, 16.解：因为x2+x-1=0, 解得x1=-1,x2=-3, 所以x2+x=1,x2=1-x, 即当x为-1或-3时，代数式A比B的值大2. 所以x-2x3+3x (2)证明：A-B=(2x2+5x-3)-(x2+x-8) =x4+x3-3x2+3x =2x2+5x-3-x2-x+8 =x2(x+1)-3x·x2+3x =x2+4x+5 =1-x-3x(1-x）+3x =x2+4x+4+1 =1-x-3x+3x2+3x =(x+2)2+1, =1-4x+3(1-x）+3x 对于任意的x值，(x+2)2≥0， =1-4x+3-3x+3x 所以(x+2)2+1>0,即A-B>0, =4-4x. 所以对于任意的x值，代数式A-B的值恒为正数， 由x2+x-1=0,且x>0, 22.解：(1)③. 解得x=1+⑤ (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 2 所以m=3+n,所以n=m-3, 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 6.解：(1)将x1=1代人方程，得6+m=0,m=-6. 因为m是此“完美方程”的一个根， 由根与系数的关系，得1+2=-2， 所以3m2+m2+m-3=0,即4m2+m-3=0, 所以x2=-3. 解得m=-1或m=4 3 m的值为-6，方程的另一根为-3. 23.解：(1)因为(x+5)(x+9)=5, (2)由题意，得x+=-2,x名=受 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 因为x+x号+212-xx号=(x1+x2)2-(x2)2=0, 所以(x+7)2-22=5, 所以(x+7)2=9, 所以4-牙=0，解得m=士4 所以x+7=3或x+7=-3, 又因为4=42-8m≥0，所以m≤2， 解得x=-4,x2=-10. 所以m=-4. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4，-10. 3.5一元二次方程的应用 故填7；2；-4；-10. 1.B;2.D;3.2;4.9. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 5.解：(I)因为四边形ECDF是矩形，所以CE=26-x 2 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, 由题意，得26x.x=60, 2 所以(x+1)2=48, 解得x1=6,x2=20. 所以x+1=43或x+1=-43, 因为0<x≤8，所以x=20不合题意，舍去， 解得x=-1+45,x2=-1-45. 所以x=6. 24.解：(1)3=2×i=-i, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为6. 4=2×2=1, (2)因为四边形ACDF是矩形， 6=(2)3=-1, 所以AC=26+8-2红=17-x 2 224=(2)102=1. 故填-i;1;-1;1. 依题意，得8≤七， 解得8≤x<17. l17-x>0, (2)因为(x-1)2=-1,所以(x-1)2=2, 由题意，得(17-x)x=60, 所以x-1=±i, 整理，得x2-17x+60=0, 所以x1=1+i,x2=1-i 解得x1=5(舍)，x2=12. (3)移项，得x2-4x=-8, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为12. 配方，得（(x-2)2=4i2, 重点集训营 所以x-2=±2i, 1.C;2.10. 解得x=2+2i,x2=2-2i. 3.解：(1)不存在.理由： 9期2版 过Q作QM⊥AD,交AD于M, 33一元二次方程根的判别式 则∠QMD=∠QMA=90°， 1.D;2.D;3.D;4.-3;5.3. 所以四边形ABQM是矩形， 6.解：(1)4=b2-8a 所以AM=BQ=tcm,QM=AB=3cm, =(a+4)2-8a 所以MP=(6-2t)cm, =a2+16>0, 所以PQ0=(6-2t)2+32. 所以方程有两个不相等的实数根。 因为四边形ABCD是矩形， (2)因为a2+bx+2=0有两个相等的实数根， 所以∠D=90°， 所以4=62-4a×2=62-8a=0,且a≠0， 所以PC=t+32 满足条件的a,b的值不唯一， 因为PQ1PC,所以∠QPC=90, 满足6-8a=0(a≠0)即可. 所以PQ+PC2=CQ, 例如：令a=2,b=4,则b2-8a=42-8×2=0, 即(6-2t)2+32+t+32=(6-t)2, 则原方程为2x2+4x+2=0, 化简，得2-6t+9=0. 解得x=x2=-1. 因为4=62-4ac=-36<0, 3.4一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无实数根， 1.D;2.C;3.C;4.-5;5.15. 故不存在某一时刻t,使得PQ上PC. —8 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 (2)由折叠的性质，得 因为点D为线段AB的中点，所以AD=BD, ∠AQB=∠AQB', 又因为∠ADP=∠BDE, AB'AB =3 cm,BO B'O t cm. 所以△APD≌△BED, 因为四边形ABCD是矩形， 所以AP=BE. 所以AD∥BC,所以∠AQB=∠PAQ, 因为AP=2t, 所以∠AQB'=∠PAQ, 所以BE=2t. 所以PA=PQ=(6-t)cm, 因为AB=BC=3,CQ=t, 所以B'P=6-t-t=(6-2t)cm. 所以BQ=3-t, 在Rt△AB'P中，∠AB'P=90°， 所以QE=3-t+2t=3+元. 所以32+(6-2t)2=(6-t)2, 因为点Q在线段BC上，点P不与点A重合， 即t2-4t+3=0,解得t=1,2=3. 所以0<t≤3. 答：当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ 过点P作PH⊥BC于点H,则PH=3,BH=2t 边上 由勾股定理，得 9期3,4版 PQ2=QⅢ+PH=(3-t-2t)2+32 一、选择题 =(3-3t)2+32. 题号1 3 4 6 7 8 10 QE2=(t+3)2, 答案ABC DD C B PE2=E+PH=(2t+2t)2+32=16t2+9. C 根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类计论： 提示： ①当PQ=PE时，(3-3t)2+32=162+9, 9.解：因为点P(a,c)在第四象限， 整理，得7+18t-9=0, 所以a>0,c<0, 所以ac<0, 解得：=子或6=-3（会）： 所以方程aax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, ②当PE=QE时，162+9=(t+3)2, 所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 整理，得15-6t=0, 10解96+20256+5=0两边同乘京，得 解得1=号或1=0（合） ”+225x方+9=0 综上所述，4的值为号或号 因为5a2+2025a+9=0, 三、解答题 所以a,石为一元二次方程5x+2025x+9=0的两个根， 17.解：因为α，B为方程的两个实数根， 所以a+B=6①，B=-k. 因为ax+2B=14②， 二、填空题 由①②，解得Q=-2,B=8, 11.-7;12.k>-1;13.10: 所以k=-aB=16, 14-1:154:16号或号 所以方程的两个实数根为-2和8，k的值为16. 18.解：(1)设这两个月的月平均增长率为x, 提示： 根据题意，得30000(1+x)2=36300 15.解：因为关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有 解得x=0.1=10%或x=-2.1(舍). 两个实数根1,2， 答：这两个月的月平均增长率是10%： 所以x+x2=4,x·x2=k-1. (2)36300×(1+10%)2=43923>43500. 因为若x1,,2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长 答：6月份接待人数能突破43500人 为0， 19.解：(1)因为关于x的方程2-(a+1)x+。2+1= 所以x+x号=（√10)2=10， 0有两个不相等的实数根， 即(x1+x2)2-2x1·x2=10. 由根与系数的关系，得42-2(k-1)=10, 所以4=[-(a+DP-4x1×(分a2+1） 解得k=4. =2a-3>0, 16.解：因为AG∥CF,AB⊥CF,所以AB⊥AG, 所以∠GAB=∠ABF=90°. 解得a>受， 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以a的最小整数值是2. (3)解：依题意，得x2-x+n=x, (2)因为x2-mx+2m-1=0有两个实数根， 即x2-(n+1)x+n=0有两个相等的实数根， 设原方程的两个实数根分别为a,b, 所以4=[-(n+1)]2-4×1×n=0, 则a+b=m,ab=2m-1, 整理，得n2-2n+1=0, 所以a2+62=(a+b)2-2ab, 解得n=1. =m2-2(2m-1), 23.解：(1)因为在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中， =m2-4m+2. 4=62-4ac 又因为a2+b2=7, =[-(2k+3)]2-4(2+3k+2) 所以m2-4m+2=7, =1>0, 解得m=5或m=-1. 所以方程有两个不相等的实数根。 当m=-1时，4=m2-4(2m-1)=13>0,符合题意； (2)因为x2-(2k+3)x+2+3k+2 当m=5时，4=m2-4(2m-1）=-11<0,不符合题意 =(x-k-1)(x-k-2)=0, 意 解得x1=k+1,2=k+2. 所以m=-1. ①不妨设AB=k+1,AC=k+2, 20.解：(1)x☆4=4x2+4=20, 所以当斜边BC=5时，有AB2+AC=BC, 即4x2=16, 即(k+1)2+(k+2)2=25, 解得x1=2,3=-2; 解得k1=2,k2=-5(舍去). (2)由已知，得22a+a=5a<0, 所以当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形， 解得a<0. ②因为AB=k+1,AC=k+2,BC=5, 在方程22-bx+a=0中， 由(1)知AB≠AC,故有两种情况： 4=(-b)2-8a≥62-8a>0, (i)当AC=BC=5,即k+2=5时，解得k=3, 所以方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根。 此时AB=3+1=4. 21(1)解：因为方程是勾系一元二次方程，且a=3,b= 因为4,5,5满足任意两边之和大于第三边， 4. 所以此时△ABC的周长为4+5+5=14； 所以c2=a2+62=32+42=25. (i)当AB=BC=5,即k+1=5时，解得k=4, 因为c>0, 此时AC=k+2=6. 所以c=5(负值舍去)， 因为6,5,5满足任意两边之和大于第三边， 所以原方程为：3x2+10x+4=0. 所以此时△ABC的周长为6+5+5=16. 因为4=102-4×3×4=52>0， 综上，当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周 所以x=-10±5匝=-10±2店。-5±页 长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长 2×3 6 3 为16. 所以55专压：5，厘 24.解：(1)因为x2-3x+2=0, 3 3 所以(x-2)(x-1)=0, (2)证明：因为x2+2cx+b=0是勾系一元二次方程， 所以x-2=0或x-1=0 所以c2=1+62, 解得x1=2,x2=1, 所以4=4e2-4b=4(1+62)-4b 因为2÷1=2， =462-4b+4 所以方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. =46-广+3 (2)x2-(k+3)x+2k+2=0, 所以2-(k+3)x+2(k+1)=0, 因为-分）≥0， 所以(x-2)[x-(k+1)]=0, 所以4=4(6-)广°+3>0 所以x1=2,x2=k+1. 若x1=2x2,则2=2(k+1),解得k=0: 所以关于x的勾系一元二次方程x2+2cx+b=0必有实 若2=2x1,则k+1=2×2,解得=3； 数根 所以k=0或k=3. 22.(1)解：-3和4：7. (3)设两根分别为x1,2x1, (2)证明：依题意，得2x2-x+1=x, 则x1+2x1=6, 即2x2-2x+1=0. 解得x1=2,所以x2=4, 因为4=(-2)2-4×2×1=-4<0， 所以方程的两根为2和4. 所以2x2-x+1=x没有实数根， 由根与系数的关系知m=2+4=6,2n=2×4=8, 所以代数式2x2-x+1没有不变值. 解得n=4. -10本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 冷烧球 茄 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 2)42%050.号特限可语：22-文tm-0想明想？！ (Lk汉4=20。波： 国州：-332-(-3)1X2+2-20提提以P内说螺法可幅： 参考 案 8期2版 31 元二次方程的概念 1.B:2.D: 3.1000(1+ t)2 = 1690 4.2. 5.b=1,c= 3.2.1配方法 1.C;2.m>1 14; 4.（1)x =2 8 (2)x1 :3+5,x2 =3-15 3.2.2公式法 1.B;2.B; -3 4.(1)x1= -1+7 4 (2)x1 =3+ 2 福术 =3- 烧想。BC8长32。 27+2I0 3.2.3因式分解法 1.D;2.B;3.1 4.(1)x1= =3. (2)x1=4,2 3 S8米清2球电三堰崇赵CBAA·街G时XS②2 (2)E县AMEC原池你图：AC岛K第素北海石想烟所入米 23.(12分)来欢版二在次分登-(26+3)0t+t: (2)米件·级来2-x+』滤看个空： ()e牌术门-28个发售语 一C个个空管街·！位-0。 重点集训营 (1)x1 ,x (2)无实数解； (3)x1=6+ ,x2 6-. 2.(1)k≤5 =3-5,2 8 期3,4版 -、1.D;2.C 3. 4.C;5.A;6.A; 7.C; 8.B: 9.B =6,x2 6 =2 =3: ,m≤2目 m≠1； -6x+6=0; 16.6 -25 =4,x2=0; (2)x1=1,2 (3)x1 5+万 5- 18.2024. (3)金卡其光明二元一吸可棉上-火十27-0(0·m程务教)社 (2K其子明二元二次价摄光-(6+3)8+26+2-0请 ()速可意：元喝-3672-0起含体：体放不量： 19.都不正确，解法略 0 =3,x2=6. (1) 等腰 三角形 理由略； (2)x1 =0,x2=1 21.(1)-1或-3： (2)略 22.(1)③： (2) 1或 23.(1)7,2,-4,-10: (2)x1=-1+45 初24 =-1-43. (1)-i,1, 2)x1 =1+i (3)x1=2+2i 2 -2i 数评极 2026年8月27日·星期四 初中数学 9 期总第1205期 (湘教中考) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 疑难解析 解：根据题意，得4=22- 4m=0. 课堂在线 判别式的妙用 解得m=1. 此时方程为x2+2x+1=0 ◎安徽王芷涵 解得x1=2=-1. 选癬透有)策略 ©四川叶静月 例1 关于x的一元二次方程x2+4x+4 所以m的值为1，方程的根为-1. 、方程中无一次项或满足(x- m) =0有实数根，则k的取值范围是 例3已知关于x的一元二次方程x2+(m ( 结构时优先考虑直接开平方法 -6)x-6m=0.求证：不论m取何值时，该方程 A.k<1 B.k<1日k≠0 例1解方程：(x-2)2=4. 总有两个实数根 C.k≤1日k≠0 D.k≤1 分析：根据根的判别式△=b2-4ac的符号 分析：方程满足(x-m)2=n结构，利用直 分析：根据一元二次方程的定义得k≠0， 来证明结论成立. 接开平方法即可求解. 再根据一元二次方程kx2+4x+4=0有实数根， 证明：因为△=b2-4ac 解：两边开平方，得x-2=±2， 得△≥0，即可得到k的取值范围. =(m-6)2-4×(-6m)×1 即x=2±2，解得x1=4,x2=0. 解：由题意，得 =m2+12m+36 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因 4=16-16k≥0， =(m+6)2≥0， Lk≠0. 式时，优先考虑因式分解法 所以不论m取何值时，方程总有两个实数根. 解得k≤1且k≠0.故选C. 例2解方程：5(x-1)2=2(x-1). 方法总结：在解与一元二次方程根的判别 例2若关于x的一元二次方程+2x+m式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接 分析：注意到方程两边都有因式(x-1), =0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程 利用判别式判断方程根的情况；另一种是根据 宜用因式分解法 的根. 方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围. 解：移项，得5(x-1)2-2(x-1)=0, 分析：根据根的判别式的意义得到22-4m 前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根 因式分解，得(x-1)[5(x-1)-2]=0, =0,再解关于m的方程得到m的值，然后解方 据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意二 所以x-1=0或5(x-1)-2=0, 程即可 次项系数不能为零这一隐含条件)， > 解得=1，= 次方程的 当x=16时，72-2x=72-32=40: 三、当方程的二次项系数为1，一次项系数 当x=20时，72-2x=72-40=32. 是偶数时，优先考虑配方法 应用问题 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m2的 例3解方程：x2+4x+2=0. O湖南罗玲 羊圈. 分析：注意到原方程中二次项系数和一次 一、增长率问题 (2)不能.理由如下： 项系数的特征，可考虑运用配方法求解 例1为了让学生养成热爱图书的习惯，某 由题意，得x(72-2x)=650 学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2024 解：移项，得x2+4x=-2, 化简，得x2-36x+325=0. 年该学校用于购买图书的费用为5000元，2026 因为4=(-36)2-4×325=-4<0， 配方，得x2+4x+22=-2+22, 年用于购买图书的费用是7200元，求2024~ 所以一元二次方程没有实数根， 即(x+2)2=2, 2026年买书资金的年平均增长率. 所以羊圈的面积不能达到650m 解得x1=-2+万，x2=-2-2, 解：设2024年到2026年该校买书资金的年 三、营销问题 平均增长率为x, 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公 则5000(1+x)2=7200 例3国际风筝节期间，王大伯决定销售 式法求解 解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去) 批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝每个进价为10 元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若 例4解方程：3x2+1=3√5x. 答：2024年到2026年该校买书资金的年平 均增长率为20% 售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答 分析：原方程既不能运用因式分解法，又不 以下问题： 二、面积问题 能运用配方法，故应化为一般式，把“难题”交 例2如图，老李想用长为70m的栅栏，再 (1)求蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价 x(元)之间的函数关系式(12≤x≤30)； 给公式法来解决， 借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊 圈ABCD,并在边BC上留 一个2m宽的门（建在 (2)王大伯为了让利给顾客，且同时能获得 解：原方程可化为3x2-35x+1=0, EF处，另用其他材料) 840元利润，则售价应定为多少？ 由a=3,b=-35,c=1,得 解：(1)由题意，得y=180-10(x-12) =-10x+300, 4=62-4ac 即蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元) + =(-35)2-4×3×1=15>0, B E 之间的函数关系式为y=-10x+300(12≤x≤ (1)当羊圈的长和宽分别为多少m时，能围 30) 所以x=-b±VB-4a 2a 成一个面积为640m2的羊圈？ (2)由题意，得 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， (x-10)y=-10x2+400x-3000=840 =-(-35)±15 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 整理，得x2-40x+384=0, 2×3 解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm, 解得x1=16,x2=24(不合题意，舍去). =33±5 则BC=70-2x+2=(72-2.x)m 答：王大伯为了让利给顾客，且同时能获得 6 根据题意，得x(72-2x)=640, 840元利润，则售价应定为16元 解得x1=16,x2=20. 解得x,=33+5 2=33-5 【对应练习见《重点集训营》】 6 6 2 素养专练 数理极 3.3一元二次方程根的判别式 3.5一元二次方程的应用 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC= 1.用公式法解方程x2-4x-11=0时，△= 1.为打造书香校园，某校积极开展“图书漂 6©m.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即 流”活动，旨在让全体师生共建共享.校团委学生 停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点 A.-43 B.-28 C.45 D.60 处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现， C即停止，点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ, 2.若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数 在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，6月 CP.设点P,Q运动的时间为ts. 根，则c的值可能为 份增加到1440名，则从4月份到6月份全校借阅 (1)是否存在某一时刻t,使得PQ⊥PC?如 A.-1 B.1 C.2 D.3 名著类书籍的学生人数的平均增长率是 果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由. 3.在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m A.10% B.20% (2)在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折 不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1=0】 C.30% D.40% 当t为何值时，翻折后点B的对应点B'恰好落在 的实数根的个数为 2.某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天 PQ边上？ A.0个 B.1个 可以销售20条.商店决定降价销售，经调查，每降 C.2个 D.1个或2个 价1元，商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商 4.定义新运算：a*b=a2+4ab+1,例如： 店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价( 2*3=22+4×2×3+1=29.若方程x*1=m A.5元 B.10元 有两个相等的实数根，则m的值为 C.20元 D.10元或20元 5.关于x的一元二次方程(k-3)x2+2x+1 3.如图1，已知AB⊥BC,AB =0有两个不相等的实数根，那么满足条件的所 =1 2cm,BC=8cm.一动点N 有非负整数k的和为 从C点出发沿CB方向以1cm/s 6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0. 的速度向B点运动，同时另一动 (1)当b=a+4时，利用根的判别式判断方 点M由点A沿AB方向以2cm/sAM 程根的情况； 的速度也向B点运动，其中一点 图1 (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组 到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积 满足条件的a,b的值，并求此时方程的根. 为24cm2时，运动的时间t为 S. 4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每 个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干和小 分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则 数理报社试题研究中心 参考答案见11期 5.学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m 的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的 辅助线周周练 3.4一元二次方程的根与系数的关系 苗圃园，设平行于墙一边CD的长为xm. 1.如图1，直线1交正方形ABCD的对边AD 1.关于x的一元二次方程x2+mx-2=0有 (1)如图2，如果矩形苗圃园的一边靠墙AB, BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形EFGH组成 个解为x=1,则该方程的另一个解为x= 另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60的图形关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A m2时，求x的值； 在边EF上，BC,HG交于点M,AB,FG交于点N.若 A.0 B.-1 C.2 D.-2 (2)如图3，如果矩形苗圃园的一边由墙ABCD=5,DH=2,则△GQM的周长为 2.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是 和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成， -2和1，则n的值为 当苗圃园的面积为60m2时，求x的值， h A.-8B.8 C.16 D.-16 B 墙 B 3.关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+ m2+2=0两个实数根的倒数和为1，则m的值为 图1 图2 图 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12, A.-2或0 B.2或0 点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD上，将 C.2 D.0 矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点G 4.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个 处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折叠，点C恰 实数根为x1,x2,若xx2+2x1+2x2=1,则实数k 好落在线段EG上的点M处，则点M到线段DC的 距离为 5.已知a,b是方程x2-x-1=0的两根，则 o怕WN葛 代数式2a+5a+3b+3b+1的值是 1￥厘张三旦智‘W⊥T NW W 6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0. 重点集训营 斗阴03R米M￥哩阴：啡三出y‘0王H的 (1)若1是方程的一个根，求m的值和方程的 1.某市为了更好的吸引外资，决定改善城市WO斜买‘b=OH=H=H0R联Ha3VI 另一根； 容貌，绿化环境，计划用两年时间，使得绿地面积云HW☒VH细血帽‘Ha瓣买‘乙=(=Wa (2)若x1,x2是方程的两个实数根，且满足 增加4%，则这两年平均每年绿地面积的增长率匿散‘斗明Wa‘a0R￥‘avTd的3学丹‘头 x+x号+2xx2-xx号=0，求m的值， 为 (）明38‘31R米以缸其☑唑晏群￥乙 A.22% B.10% C.20% D.11% 血怕易搏 2.某商场将进价为45元的某种服装以65元/平更电‘米些￥斗唱阳N03V外‘a0 售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商=30影血班‘Wy=a^Hy=H0度 场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价 ‘WaVV1H云WXVVI‘HYVV云HaV1H的 1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元， 卫‘WVHV瓣‘y学⊥3 T yVV学丹T 每件应降价 元 【些群】 9.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二 18.(6分)渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪 3.3~3.5同步达标检测卷 次方程ax2+bx+c=0的根的情况为 的巨型战舰.据统计，2025年2月份接待人数为30000人，4月份增 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 加到36300人. ◆数理报社试题研究中心 C.没有实数根 D.无法判定 (1)求2月份到4月份接待人数的月平均增长率； (答题时长120分钟，满分120分) 10.已知ab≠1，且5a2+2025a+9=0,9%2+2025b+5=0, (2)如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 则号的值为 ( 人数能否突破43500人？ 1.一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 ( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 A.-402 B多 c号 D.670 3 C.只有一个实数根 D.没有实数根 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 2.下列方程中有实数根的是 ( 11.若x1,:是一元二次方程x2+7x-5=0的两个根，则x+ A.3x2+1=0 B.x2-x-3=0 C.x2-5x+10=0 D.x2-√3x+1=0 12.已知关于x的方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根， 3.已知一元二次方程x2+ax-8=0的一个根是2，则另一个根 则k的取值范围是 ( 13.在教师节当天，学校老师互送贺卡，共送了90张，则一共有 A.-2 B.4 C.-4 D.0 老师 名 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练 14.已知关于x的方程(a+1)x2-2x+3=0有实数根，则整数 初 中 外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及 a的最大值是 19.(8分)(1)已知关于x的方程2-(u+1)x+40+1=0 时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比 15.关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x1, 有两个不相等的实数根，求α的取值范围及α的最小整数值 为x,根据“两天不练丢一半”，可列方程 ( 32,若x1,x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为√0，则k A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% 的值为 中 C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 16.如图2，已知AG∥CF,AB⊥CF,垂足 5.关于x的一元二次方程x2-2x+1=0有两个不相等的实数 为B,AB=BC=3,点P是射线AG上的动点 步 根，那么正数k的可能值是 ( 达 (点P不与点A重合)，点Q是线段CB上的动 标 检 A号 B.0 C.1 D.3 点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交 图2 湘教中考同步达标检测卷 测 BF于点E,连接PQ,设AP=2t,CQ=,当△PQE是以PE为腰的 卷 6.连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是 等腰三角形时，t的值为 ( 三、解答题（本题共8小题，共72分） A.3 B.-4 C.-3或4 D.-4或3 17.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-6x-k=0(k为常 数).设α，B为方程的两个实数根，且α+2B=14,试求出方程的两 7.取一张长与宽之比为5：2的长方 (2)已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个 个实数根和k的值， 形纸板，剪去4个边长为5cm的小正方形 实数根的平方和为7，求m的值 (如图1)，并用它做一个无盖的长方体形 图1 状的包装盒.要使包装盒的容积为200cm'(纸板的厚度略去不计)， 则这张长方形纸板的周长为 ( A.7 cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm 8.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两 根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之 积是 ( A.n +m-1 B.n+m+l C.n-m+l D.n-m-1