第3章一元二次方程（知识清单，5考点+8易错+易错训练）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元二次方程”单元内容，涵盖概念、解法、根的判别式、韦达定理及应用五大知识范畴，搭建了从“定义理解”到“解法掌握”再到“实际应用”的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-练习题”三级架构呈现知识体系，标注“忽视二次项系数a≠0”等8类易错点，归纳增长率、面积问题等应用场景，培养学生的数学思维和应用意识。设计“解法步骤口诀”和“应用题验根提示”，如配方法“移项→化1→配方→开方”步骤，助力学生高效掌握，教师可据此精准教学。

第3章 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 2. 一元二次方程的一般形式：（）。其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 3. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 知识点二 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：形如（）或（）的方程，可直接开平方求解。 2. 配方法：通过配方将方程化为的形式。步骤：移项→化1→配方→开方。 3. 公式法：对于（），当时，。 4. 因式分解法：将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的积，利用“若，则或”求解。 知识点三 根的判别式 1. 判别式：。 2. 方程有两个不相等的实数根。 3. 方程有两个相等的实数根。 4. 方程没有实数根。 知识点四 根与系数的关系（韦达定理） 1. 若、是方程的两个根，则，。 2. 使用前提：方程有实数根，即且。 3. 常见应用：已知一根求另一根；求与两根有关的代数式的值；构造新方程。 知识点五 一元二次方程的应用 1. 增长率问题：设平均增长率为，则。 2. 传播/握手/循环赛问题：人两两握手共次。 3. 面积与图形问题：利用面积等量关系列方程。 4. 营销利润问题：利润=（售价-进价）×销售量。 5. 解应用题步骤：审→设→列→解→验→答。 易错点1 忽视二次项系数a≠0 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 易错点2 配方法中"两边同加"遗漏 2．（25-26九年级上·湖南常德·期末）用适当的方法解方程：． 易错点3 公式法中a、b、c符号代入错误 3．下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 易错点4 因式分解法中方程右边未化为0 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）解方程：． 易错点5 因式分解法解方程时消掉了含有未知数的式子 5．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在解方程：时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程． 易错点6 判别式与韦达定理使用前提遗漏 6．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 易错点7 应用题不验根或验根不全 8．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 易错点8 区分比赛（握手）问题中单循环与双循环 9．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 10．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 14．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 17．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 18．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 19．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 20．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 21．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 22．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 23．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 24．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 25．（24-25九年级上·河北承德·阶段检测）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 26．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) 27．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 28．已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 29．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 30．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 2. 一元二次方程的一般形式：（）。其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 3. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 知识点二 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：形如（）或（）的方程，可直接开平方求解。 2. 配方法：通过配方将方程化为的形式。步骤：移项→化1→配方→开方。 3. 公式法：对于（），当时，。 4. 因式分解法：将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的积，利用“若，则或”求解。 知识点三 根的判别式 1. 判别式：。 2. 方程有两个不相等的实数根。 3. 方程有两个相等的实数根。 4. 方程没有实数根。 知识点四 根与系数的关系（韦达定理） 1. 若、是方程的两个根，则，。 2. 使用前提：方程有实数根，即且。 3. 常见应用：已知一根求另一根；求与两根有关的代数式的值；构造新方程。 知识点五 一元二次方程的应用 1. 增长率问题：设平均增长率为，则。 2. 传播/握手/循环赛问题：人两两握手共次。 3. 面积与图形问题：利用面积等量关系列方程。 4. 营销利润问题：利润=（售价-进价）×销售量。 5. 解应用题步骤：审→设→列→解→验→答。 易错点1 忽视二次项系数a≠0 易错提醒 1. 含参一元二次方程中，二次项系数不为0是方程为“一元二次方程”的前提条件。求参数范围时，必须将二次项系数作为隐含条件列入不等式组，遗漏此条件是最高频错误。 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 易错点2 配方法中"两边同加"遗漏 易错提醒 1. 配方时须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，只加左边不加右边是最常见错误。另外，若二次项系数不为1，须先两边同除以二次项系数化为1，再配方，顺序不能颠倒。 2．（25-26九年级上·湖南常德·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】 ， ． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的正确解法是解题关键．根据用配方法解一元二次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：． 配方，得． 即． 开平方，得． ∴或． 解得，． 易错点3 公式法中a、b、c符号代入错误 易错提醒 1. 使用求根公式前必须将方程化为一般形式，再确定、、的值。、的符号要连同前面的正负号一起代入，如方程中而非。 3．下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】A、中，，不符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、中，，符合题意． 故选：D． 易错点4 因式分解法中方程右边未化为0 易错提醒 1. 因式分解法的前提是方程右边为0。不能在方程两边同除以含未知数的因式（如两边同除），这样会丢根。正确做法是移项后提公因式。 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程可化为， 把方程左边因式分解，得， 即：， 由此得：或， 解得：，． 易错点5 因式分解法解方程时消掉了含有未知数的式子 易错提醒 1. 解方程时不能在两边同时约去含未知数的式子，否则会丢失一个根。例如不能两边约去，应移项后提公因式得。 5．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在解方程：时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、等式的基本性质、完全平方公式等知识点，灵活应用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据等式的基本性质即可解答； （2）先移项、然后提取公因式,将原方程化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． （2）解：， 移项得：， 提取公因式得：， 或， ，． 易错点6 判别式与韦达定理使用前提遗漏 易错提醒 1. 韦达定理成立的前提是方程有实数根（）且。用韦达定理由根的情况反求参数时，必须联立和进行验证，否则可能产生不合题意的参数值。 6．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； （2）解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 易错点7 应用题不验根或验根不全 易错提醒 1. 解一元二次方程应用题得到两个根后，必须双重验证：一是代入原方程检验是否为方程的根，二是检验是否符合实际意义（如长度为正、人数为正整数、增长率在合理范围内），不合实际的根须舍去。 8．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 【答案】(1)每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元 (2)每面旗应降价6元 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案； （2）设每面旗应降价元，由题意，得，尽可能让利于顾客，需降价更多，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元； （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得， 整理得， 解得． 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元． 易错点8 区分比赛（握手）问题中单循环与双循环 易错提醒 1. 区分单循环与双循环：单循环赛（每两队赛一场）场次为，双循环赛（每两队赛两场）场次为。审题时要仔细判断是“每两队赛一场”还是“主客场各一场”，避免列错方程。 9．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，设有x支球队参加比赛，根据题意可列方程，化为一般式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设参加比赛的球队有x支，利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：， 化简得． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，单循环比赛场次的计算，关键是理解每个队比赛场次以及避免重复计算． 设共有支本土男足劲旅参加比赛，根据在为期3个月的时间内展开了91场比赛列出方程即可． 【详解】解：∵共有支队伍参赛， ∴每支队伍需与其余支队伍各赛一场， 又∵每场比赛会被重复计算一次， ∴总比赛场次为， ∵已知总场次为91场， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 13．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， 移项整理得，其中 , , ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 14．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 17．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 18．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 19．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 20．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 21．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 22．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 【答案】③ 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，， 即， ∵， ∴方程的根的情况是没有实数根． 23．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 24．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·河北承德·阶段检测）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；等式两边没有同时加4 (2) 解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； （2）略 26．（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程 (1)(用配方法解) (2)(用公式法解) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：配方得，， 即， 所以，， 所以，，； （2）解：，，， ， ， 解得：， 27．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 28．已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵关于的方程为， ∴ ， ∵不论取何实数，总有，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【分析】计算方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证得结论． 【详解】略． 29．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 30．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设这个增长率为，由题意得到，利用直接开平方法求解即可得到答案； （2）设矩形空地的宽为米，则的长为米，从而得到方程，利用因式分解法求解，再根据取值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 则由题意得， 解得（负值不合题意，舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设矩形空地的宽为米，则的长为米， 则由题意得矩形面积为， 即， 整理得， ， 解得，， 米， ，则， 取，则米， 答：矩形空地的宽为米． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $