专题04 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，云南专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·云南多校·期中）（多选）已知椭圆：，则（       ） A. 的长轴长为 B. 当时，的焦点在轴上 C. 的焦距可能为4 D. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 3．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）（多选）已知椭圆，下列结论正确的是（　　） A. 椭圆的长轴长是6 B. 椭圆的短轴长是4 C. 经过椭圆焦点的最短弦长是 D. 椭圆的焦点坐标分别是 5．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）设椭圆的离心率分别为．若，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 7．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）（多选）已知曲线C：，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 9．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（     ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 13．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  15．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（       ） A. 直线上 B. 圆上 C. 椭圆上 D. 双曲线的一支 16．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 17．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 19．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 20．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 22．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 23．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 24．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 25．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 26．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 28．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求折叠后的值； ②是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 29．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求的值； （3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围． 30．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知椭圆和点，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为　　　　　. 31．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． （1）求的方程和短轴长； （2）若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 32．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． （1）求的方程； （2）椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知双曲线，则它的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 8．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（       ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 12．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 14．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（　　） A. 点到的渐近线的距离为2 B. 的最小值是 C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最大值为3 18．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的焦点分别为，，则　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. （1）求线段的中点坐标； （2）求. 20．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴长为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 （1）求出双曲线的方程，并写出它的离心率； （2）证明 （3）如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 22．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是　　　　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足 ，设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 25．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 26．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. （i）求动点的轨迹； （ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 27．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4． （1）求双曲线的标准方程； （2）A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且． ①证明：直线过定点； ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（       ） A. 点的坐标为 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 4．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）（多选）设抛物线的焦点为，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是（       ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则点M的纵坐标为2 C. 以MN为直径的圆与直线相切 D. 以MF为直径的圆与直线相切 6．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（       ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 7．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 点的轨迹方程是 8．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（       ） A.  B. 直线过点 C. 与面积之和的最小值是3 D. 过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点，则轴 9．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 11．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知抛物线与直线交于两点． （1）求； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 13．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线l的方程为，求 ； （3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 14．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    （1）求的方程； （2）设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； （3）记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．B 2．BCD 3．C 4．BC 5．A 6．BD 7．D 8．ABD 9．C 10．ABD 11．B 12．C 13．B 14．D 15．C 16．A 17．A 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. (1) 小问详解： 由题意知：，解得：，椭圆方程为. (2) 小问详解： 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由 得：， ，， ，，且， ，即 ， ，解得：. 19．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 20．【答案】 【分析】 先设P点，再根据面积得出，再代入计算求解. 【详解】 设，， 因为， 又因为点P在第一象限，所以， 又因为P是椭圆上的一点，代入，， 可得P的坐标． 故答案为：. 21．【答案】（1）     （2）或或或     （3）      【分析】 （1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； (3) 小问详解： 由 ，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 22．【答案】（1）     （2）① 证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程 ，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程 ，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②      【分析】 （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）① 设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；② 由① 的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立 得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为.    【点睛】 23．【答案】（1）；     （2）（i）； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立 ，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以      【分析】 （1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： (2) 小问详解： （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）略 24．【答案】（1）     （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程 ，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程 ，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.      【分析】 （1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. (1) 小问详解： 设椭圆C的焦距为2c，由题意有： ，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 25．【答案】（1）     （2）     （3） 当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立 得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值.      【分析】 （1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 26．【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）     （3） 由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立 ,得, 所以, , 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值      【分析】 (1) 由题可得 ，解方程即可求解. (2) 求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3) 设直线的方程为：,,联立 ,由韦达定理可得 ,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. (1) 小问详解： 因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以 ，解得： , 则, 所以椭圆C的方程为:, (2) 小问详解： 由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； (3) 小问详解： 略 28．【答案】（1）     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与椭圆方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解， （2）① 建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解； ② 联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点距离公式可得，根据即可求解. (1) 小问详解： 由椭圆方程，知， 当为椭圆上顶点时，又， 则直线的方程为，即， 联立 ，解得 或 ，， 则． (2) 小问详解： ①时在折叠前图中，直线方程为， 由（1）可知此时， 此时， 由题意，折叠后， 以O为坐标原点，折叠后以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，则， 所以. ② 折叠前设，直线， 由 ，得， ， 而，即， 且， 折叠后按① 中的方式建立空间直角坐标系， 折叠后A，B在新图形中对应点记，， 则 ， 由，知， 整理得，解得或（舍去）， ，，故存在. 29．【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2. 【详解】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得（2）先设 、 ，利用斜率公式化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（3）设直线：，同（2）化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足 试题解析：解：（1）， ， ， 椭圆方程为.                                                （2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F， 所以直线，                               设 、 ， 由 消得， 则有，．                            所以.      （3）当直线的斜率不存在时， ， ， 则，，故．             当直线的斜率存在时，设其为， 则直线：， 设 ， ， 由 消得， 则有，．         所以                           .                                                所以为定值，且定值为2. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 30．【答案】 【分析】 根据平行四边形性质求出的中点坐标，利用点差法求直线的斜率，然后可得方程. 【详解】 由题知，记的中点为，则， 因为四边形为平行四边形，所以的中点为， 设，则 又点在椭圆上，所以 ， 由点差法得， 即，整理得，即直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 31．【答案】（1）的方程为，短轴长.     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）根据焦点与离心率，以及椭圆中的关系求解即可； （2）（i）设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及建立方程求解即可； （ii）利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可. (1) 小问详解： 由题意，，则，， 则的方程为，短轴长. (2) 小问详解： （i）当直线斜率不存在时，，，不合题意， 故设直线的方程为：，， 联立 ，得， ， 所以， ， ， 由得， 解得， 所以直线的方程为：. （ii）由于点在上，故设， 由对称性，设，，， 则点到的距离 其中， 当时，， . 所以△面积的最大值为. 32．【答案】（1）     （2） ① 由题可知：，    设，则，可得， 所以， 同理，设， 则， 联立 ，解得点， 联立 ，解得点， 所以直线为定直线：； ②      【分析】 （1）根据题意结合椭圆定义可得，进而可得和椭圆方程； （2）① 根据题意结合椭圆方程可得，，设直线方程求交点坐标即可；② 设，利用韦达定理结合可得，进而求面积，结合函数单调性求最值. (1) 小问详解： 因为椭圆焦距，所以， 可知左､右焦点分别为， 又因为在椭圆上，则， 可得，所以E的方程为：. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题可得：的斜率不为0，设， 联立： 得：， 则，， 因为， 可得， 整理可得， 代入韦达定理可得：， 因为，可得，解得， 满足，所以直线过左焦点， 因为，则， 可得， 则 ， 即， 可得， 令，则，， 可得， 因为函数在为增函数， 所以当，即时，S取得最小值，且. 考点02 双曲线 1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．AD 12．A 13．B 14．B 15．A 16．D 17．ABD 18．【答案】 【分析】 根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，进而根据双曲线的几何性质可得，解方程即可. 【详解】 由题知，双曲线的焦点分别为，， 所以双曲线焦点在轴上，，且， 所以，解得. 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. (1) 小问详解： 由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得： ，，； ； (2) 小问详解： 由（1）得 . 20．【答案】4 【分析】 设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入该双曲线的方程，求出的值，可得出所求双曲线的标准方程，结合虚轴长的定义求结论. 【详解】 设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为． ∵双曲线经过点，∴， ∴所求双曲线的方程为， 设双曲线的虚半轴长为，则， 所以虚轴长． 故答案为： 21．【答案】（1）     （2） 设，则 所以, ，     （3）      【分析】 (1)根据共焦点求解，求出离心率; (2)在双曲线中利用余弦定理和三角函数公式求解; (3)在椭圆中利用余弦定理和三角函数公式求解. (1) 小问详解： 由双曲线与椭圆共焦点，则，故, 双曲线， 离心率 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则 所以， . 22．【答案】 【分析】 根据题意可得轴，分别根据的边长利用等面积法求出内切圆各自的半径，然后即可求出的面积. 【详解】 如图，因为圆分别是的内切圆，轴，所以 轴，因为双曲线，所以，，， ，将代入，得，即， ，可以得，，再由双曲线的定义可知， 由和全等可得两内切圆的半径相等，是的角平分线， 所以内切圆的圆心在轴上，设圆的半径为，圆的半径为， 由等面积法可得，即 ，解得， 同理，即， 解得，则的面积为 ， 故答案为： 23．【答案】 【分析】设点P(x,y),（x≥1），所以，再对y分类讨论利用函数的单调性求的取值范围. 【详解】设点P(x,y),（x＞1），所以， 因为，当y＞0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是增函数， 所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1) =1.即f(x)≥1. 当y≤0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是减函数， 所以当y≤0时函数k(x)＞0. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查双曲线的简单几何性质，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 24．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． (1) 小问详解： 已知点，，， 则 ，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 25．【答案】（1）；     （2）（i）证明：方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线 ，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线 ， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）.      【分析】 （1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 26．【答案】（1）     （2）（i）（ii）存在，      【分析】 （1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程； （2）（i）设，写出方程，两式相乘，代入点在椭圆上所得关系式，消元求出动点轨迹方程，说明轨迹；（ii）由得，设存在定点满足条件，由求出. (1) 小问详解： 由 ，得，故椭圆方程为：. (2) 小问详解： （i）：设， 则， 两式相乘，，即， ∵在椭圆上，，即代入得， 化简得，因为点不与重合，所以. 即动点的轨迹为双曲线，不包含顶点.    （ii）：因为， ∴，即，∴. 设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设，则，即. ∴，化简得. 又因为斜率存在，所以有. 所以，故在轴上存在点，使得. 27．【答案】（1）     （2） ① 证明：设直线的方程为，点的坐标分别为， 由（1）可知点A的坐标为， 联立方程 消去后整理为， 可得， ， ， 由， 有 ， 由，可得，有或， 当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去； 当时，直线的方程为，过点，符合题意， 故直线过定点；    ②9      【分析】 （1）由渐近线方程与焦距可得答案；（2）① 设直线MN方程为，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得所过定点坐标；② 结合① 及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得，后通过令，结合单调性可得答案. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为， 由题意有 解得． 故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 由① ，设所过定点为，， ， 若在双曲线的同一支上，可知都在左支上， 有，可得， 故的面积为 ， 令，可得， 有， 由函数为函数值都为正的减函数， 可得当时，的面积的最小值为9． 【点睛】 关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题目条件求出参数或找到参数间等量关系；求圆锥曲线中三角形面积的最值或范围，首先需结合图象或已知得到面积的表达式，后通常利用换元等思想将问题转化为求相关函数的值域. 考点03 抛物线 1．B 2．BD 3．B 4．D 5．ABC 6．BC 7．ABD 8．BC 9．【答案】 【分析】 利用抛物线的定义转化，再结合图像，利用数形结合分析的最小值. 【详解】 如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点， 由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，取得最小值，. 故答案为： 10．【答案】（1）p的值为2，t的值为4．     （2）．      【分析】 （1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； (1) 小问详解： 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． (2) 小问详解： 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程 ，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 11．【答案】8 【分析】 首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】 由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由弦长公式即可求解； （2）由垂直关系确定线段的垂直平分线方程，再结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. (1) 小问详解： 设，联立 得：， 所以，又因为直线的斜率为1， (2) 小问详解：    设中点为，则，代入直线， 得，所以，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1， 直线的方程为：，即，所以 所以， 13．【答案】（1）x2＝4y；     （2）；     （3）证明见解析      【分析】 （1）利用点到直线的距离公式列方程求出的值，即得抛物线方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式计算即得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合条件求出的值，回代入直线方程即可得证. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； (2) 小问详解： 设，由 消去y得， 解得， 则. (3) 小问详解： 设直线l的方程为，点， 由 消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 14．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组 ，整理得，可得， 联立方程组 ，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组 ，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. (3) 小问详解： 解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】 由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 2．（25-26学年高二上·云南多校·期中）（多选）已知椭圆：，则（       ） A. 的长轴长为 B. 当时，的焦点在轴上 C. 的焦距可能为4 D. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可. 【详解】 若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 3．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，结合图形及三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）（多选）已知椭圆，下列结论正确的是（　　） A. 椭圆的长轴长是6 B. 椭圆的短轴长是4 C. 经过椭圆焦点的最短弦长是 D. 椭圆的焦点坐标分别是 【答案】BC 【分析】 根据椭圆的几何性质求解判断. 【详解】 因为椭圆方程为，所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为， 经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，， 所以A错误，B正确，C正确，D错误. 故选：BC. 5．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）设椭圆的离心率分别为．若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】 由，得，因此，而，所以. 故选：A 6．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【分析】 根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】 由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 7．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】 设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 8．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）（多选）已知曲线C：，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【分析】 根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】 对于A，若，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 9．（25-26学年高二上·云南邵通部分学校·期中）已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可. 【详解】 连接， 因，且为线段的中点，则四边形为矩形， 则， 因，则， 则，， 在中利用勾股定理得，，则， 故椭圆的离心率为. 故选：C． 10．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】 由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 11．（25-26学年高二上·云南多校·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】 设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 12．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（     ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【分析】 利用椭圆定义和勾股定理求出的值，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 由题意可得，所以， 根据椭圆定义有：， 两边同时平方得：，① 因为，所以， 根据勾股定理可得，② 将② 代入① 中得，解得， 所以； 故选：C 13．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】 由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有：，，， 所以，又因为，即，， 可得： ，解得 ，故离心率为． 故选：B． 14．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 由上任意一点都满足，可知直线与圆：相离，利用圆心到直线的距离大于圆的半径，结合离心率，列得关于的不等式，选出正确选项. 【详解】 由题可知，若上任意一点都满足，则点在圆：外. 所以圆心到直线的距离大于圆的半径， 即，. 因为椭圆的离心率为，所以，即. 因此，. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（       ） A. 直线上 B. 圆上 C. 椭圆上 D. 双曲线的一支 【答案】C 【分析】 根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】 设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：C 16．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 17．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 18．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. (1) 小问详解： 由题意知：，解得：，椭圆方程为. (2) 小问详解： 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由 得：， ，， ，，且， ，即 ， ，解得：. 19．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 20．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先设P点，再根据面积得出，再代入计算求解. 【详解】 设，， 因为， 又因为点P在第一象限，所以， 又因为P是椭圆上的一点，代入，， 可得P的坐标． 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·云南昆明西山区·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1）     （2）或或或     （3）      【分析】 （1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. (1) 小问详解： 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； (3) 小问详解： 由 ，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 22．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1）     （2）① 证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程 ，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程 ，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②      【分析】 （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）① 设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；② 由① 的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立 得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为.    【点睛】 23．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）；     （2）（i）； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立 ，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以      【分析】 （1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： (2) 小问详解： （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）略 24．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】（1）     （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程 ，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程 ，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.      【分析】 （1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. (1) 小问详解： 设椭圆C的焦距为2c，由题意有： ，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 25．（25-26学年高二上·云南楚雄第一中学·期中）已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】（1）     （2）     （3） 当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立 得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值.      【分析】 （1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 26．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 27．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】（1）     （2）     （3） 由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立 ,得, 所以, , 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值      【分析】 (1) 由题可得 ，解方程即可求解. (2) 求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3) 设直线的方程为：,,联立 ,由韦达定理可得 ,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. (1) 小问详解： 因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以 ，解得： , 则, 所以椭圆C的方程为:, (2) 小问详解： 由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求折叠后的值； ②是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与椭圆方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解， （2）① 建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解； ② 联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点距离公式可得，根据即可求解. (1) 小问详解： 由椭圆方程，知， 当为椭圆上顶点时，又， 则直线的方程为，即， 联立 ，解得 或 ，， 则． (2) 小问详解： ①时在折叠前图中，直线方程为， 由（1）可知此时， 此时， 由题意，折叠后， 以O为坐标原点，折叠后以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，则， 所以. ② 折叠前设，直线， 由 ，得， ， 而，即， 且， 折叠后按① 中的方式建立空间直角坐标系， 折叠后A，B在新图形中对应点记，， 则 ， 由，知， 整理得，解得或（舍去）， ，，故存在. 29．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求的值； （3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围． 【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2. 【详解】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得（2）先设 、 ，利用斜率公式化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（3）设直线：，同（2）化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足 试题解析：解：（1）， ， ， 椭圆方程为.                                                （2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F， 所以直线，                               设 、 ， 由 消得， 则有，．                            所以.      （3）当直线的斜率不存在时， ， ， 则，，故．             当直线的斜率存在时，设其为， 则直线：， 设 ， ， 由 消得， 则有，．         所以                           .                                                所以为定值，且定值为2. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 30．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知椭圆和点，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据平行四边形性质求出的中点坐标，利用点差法求直线的斜率，然后可得方程. 【详解】 由题知，记的中点为，则， 因为四边形为平行四边形，所以的中点为， 设，则 又点在椭圆上，所以 ， 由点差法得， 即，整理得，即直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 31．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． （1）求的方程和短轴长； （2）若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 【答案】（1）的方程为，短轴长.     （2）（i）；（ii）.      【分析】 （1）根据焦点与离心率，以及椭圆中的关系求解即可； （2）（i）设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及建立方程求解即可； （ii）利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可. (1) 小问详解： 由题意，，则，， 则的方程为，短轴长. (2) 小问详解： （i）当直线斜率不存在时，，，不合题意， 故设直线的方程为：，， 联立 ，得， ， 所以， ， ， 由得， 解得， 所以直线的方程为：. （ii）由于点在上，故设， 由对称性，设，，， 则点到的距离 其中， 当时，， . 所以△面积的最大值为. 32．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． （1）求的方程； （2）椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 【答案】（1）     （2） ① 由题可知：，    设，则，可得， 所以， 同理，设， 则， 联立 ，解得点， 联立 ，解得点， 所以直线为定直线：； ②      【分析】 （1）根据题意结合椭圆定义可得，进而可得和椭圆方程； （2）① 根据题意结合椭圆方程可得，，设直线方程求交点坐标即可；② 设，利用韦达定理结合可得，进而求面积，结合函数单调性求最值. (1) 小问详解： 因为椭圆焦距，所以， 可知左､右焦点分别为， 又因为在椭圆上，则， 可得，所以E的方程为：. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题可得：的斜率不为0，设， 联立： 得：， 则，， 因为， 可得， 整理可得， 代入韦达定理可得：， 因为，可得，解得， 满足，所以直线过左焦点， 因为，则， 可得， 则 ， 即， 可得， 令，则，， 可得， 因为函数在为增函数， 所以当，即时，S取得最小值，且. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据离心率求出即可求渐近线方程. 【详解】 由双曲线的离心率为，得， 所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即． 故选:A． 2．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，斜率为， 依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上， 所以直线的斜率的取值范围是. 故选：A 3．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知双曲线，则它的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】 双曲线，则它的渐近线方程为. 故选：A 4．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】 依题意，， 由为双曲线的焦点，得， 所以，故渐近线方程为. 故选：C 5．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据双曲线的定义直接判断即可. 【详解】 根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线， 所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线的离心率公式得，再利用渐近线公式即可得到答案. 【详解】 由双曲线的离心率为2，得，解得， 而双曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B． 7．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 求出双曲线渐近线方程，求出直线方程，进而求出点坐标，即可求出离心率. 【详解】 设，不妨设点在上，点在上，由， 得，设直线PF的方程为，由 ，解得， 由，得是PF的中点，则， 因此，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：C 8．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】 双曲线 的顶点坐标为，渐近线方程为即， 根据双曲线的对称性，取顶点，渐近线， 根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为. 故选：C． 9．（25-26学年高二上·云南昆明东川区高级中学·期中）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】 设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由 解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 10．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据方程表示双曲线得到，即可求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 若方程表示双曲线，则，解得或； 所以由能推出方程表示双曲线，故充分性成立； 由方程表示双曲线推不出，故必要性不成立； 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：C 11．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（       ） A. 若曲线表示圆，则 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】AD 【分析】 由椭圆、双曲线、圆的方程列式求解判断即得. 【详解】 对A，若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有 ，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 ，则，D对. 故选：AD 12．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据焦距求得c，再由焦点到渐近线的距离为求得b求解. 【详解】 因为双曲线的焦距为， 所以，一条渐近线方程为 ，右焦点 ， 所以右焦点到渐近线的距离为 ， 则 ， 所以双曲线的离心率为 ， 故选：A 13．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】B 【详解】设，，，，根据的中点的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于、的关系式，再求离心率. 【详解】 斜率为2的直线与双曲线，相交于，两点， 设，，，， 则，① ； ，② ， ①② 得， 则， 弦中点坐标为， ，， 直线的斜率为2， ， ， . 则. 故选：. 【点睛】 本题考查了双曲线的方程与性质，利用“设而不求”方法以及点差法的应用求直线的斜率是解答本题的关键，属于中档题. 14．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】 因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】 设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 16．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】 双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D. 17．（25-26学年高二上·云南昭通一中教研联盟·期中）（多选）已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（　　） A. 点到的渐近线的距离为2 B. 的最小值是 C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最大值为3 【答案】ABD 【分析】 由焦点坐标，确定双曲线方程，结合双曲线的定义和性质逐项判断即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，因为为双曲线的右焦点，则， 所以，则双曲线C的方程为， 所以双曲线C的渐近线方程为和， 对于A，点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点F到C的渐近线的距离为2，A正确； 设，因为P为右支上一点，所以满足， 对于B，， 当，，B正确； 对于C，当轴时，则，所以， 又点A的坐标为， 所以，C错误； 对于D，圆的圆心E的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点，所以， 则， 当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为3，D正确， 故选：ABD． 18．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的焦点分别为，，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，进而根据双曲线的几何性质可得，解方程即可. 【详解】 由题知，双曲线的焦点分别为，， 所以双曲线焦点在轴上，，且， 所以，解得. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. （1）求线段的中点坐标； （2）求. 【答案】（1）     （2）3      【分析】 （1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. (1) 小问详解： 由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得： ，，； ； (2) 小问详解： 由（1）得 . 20．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴长为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入该双曲线的方程，求出的值，可得出所求双曲线的标准方程，结合虚轴长的定义求结论. 【详解】 设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为． ∵双曲线经过点，∴， ∴所求双曲线的方程为， 设双曲线的虚半轴长为，则， 所以虚轴长． 故答案为： 21．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 （1）求出双曲线的方程，并写出它的离心率； （2）证明 （3）如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 【答案】（1）     （2） 设，则 所以, ，     （3）      【分析】 (1)根据共焦点求解，求出离心率; (2)在双曲线中利用余弦定理和三角函数公式求解; (3)在椭圆中利用余弦定理和三角函数公式求解. (1) 小问详解： 由双曲线与椭圆共焦点，则，故, 双曲线， 离心率 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则 所以， . 22．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可得轴，分别根据的边长利用等面积法求出内切圆各自的半径，然后即可求出的面积. 【详解】 如图，因为圆分别是的内切圆，轴，所以 轴，因为双曲线，所以，，， ，将代入，得，即， ，可以得，，再由双曲线的定义可知， 由和全等可得两内切圆的半径相等，是的角平分线， 所以内切圆的圆心在轴上，设圆的半径为，圆的半径为， 由等面积法可得，即 ，解得， 同理，即， 解得，则的面积为 ， 故答案为： 23．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】设点P(x,y),（x≥1），所以，再对y分类讨论利用函数的单调性求的取值范围. 【详解】设点P(x,y),（x＞1），所以， 因为，当y＞0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是增函数， 所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1) =1.即f(x)≥1. 当y≤0时，y=, 所以， 由于函数在[1，+∞）上都是增函数， 所以函数在[1，+∞）上是减函数， 所以当y≤0时函数k(x)＞0. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查双曲线的简单几何性质，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 24．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足 ，设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． (1) 小问详解： 已知点，，， 则 ，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 25．（25-26学年高二上·云南昆明第八中学·期中）已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 【答案】（1）；     （2）（i）证明：方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线 ，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线 ， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）.      【分析】 （1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 26．（25-26学年高二上·云南昆明第一中学·期中）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. （i）求动点的轨迹； （ii）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）存在，      【分析】 （1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程； （2）（i）设，写出方程，两式相乘，代入点在椭圆上所得关系式，消元求出动点轨迹方程，说明轨迹；（ii）由得，设存在定点满足条件，由求出. (1) 小问详解： 由 ，得，故椭圆方程为：. (2) 小问详解： （i）：设， 则， 两式相乘，，即， ∵在椭圆上，，即代入得， 化简得，因为点不与重合，所以. 即动点的轨迹为双曲线，不包含顶点.    （ii）：因为， ∴，即，∴. 设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设，则，即. ∴，化简得. 又因为斜率存在，所以有. 所以，故在轴上存在点，使得. 27．（25-26学年高二上·云南红河哈尼族彝族自治州第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4． （1）求双曲线的标准方程； （2）A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且． ①证明：直线过定点； ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值． 【答案】（1）     （2） ① 证明：设直线的方程为，点的坐标分别为， 由（1）可知点A的坐标为， 联立方程 消去后整理为， 可得， ， ， 由， 有 ， 由，可得，有或， 当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去； 当时，直线的方程为，过点，符合题意， 故直线过定点；    ②9      【分析】 （1）由渐近线方程与焦距可得答案；（2）① 设直线MN方程为，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得所过定点坐标；② 结合① 及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得，后通过令，结合单调性可得答案. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为， 由题意有 解得． 故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 由① ，设所过定点为，， ， 若在双曲线的同一支上，可知都在左支上， 有，可得， 故的面积为 ， 令，可得， 有， 由函数为函数值都为正的减函数， 可得当时，的面积的最小值为9． 【点睛】 关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题目条件求出参数或找到参数间等量关系；求圆锥曲线中三角形面积的最值或范围，首先需结合图象或已知得到面积的表达式，后通常利用换元等思想将问题转化为求相关函数的值域. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）抛物线的准线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 化抛物线方程为标准形式，再求出准线方程. 【详解】 抛物线方程为：， 所以所求准线方程为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·云南开远第一中学校·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（       ） A. 点的坐标为 B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案. 【详解】 由题可知， 因为点在抛物线上，且， 所以， 解得， 所以， 故选：BD. 3．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 由抛物线定义和方程即可得解. 【详解】 由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】 抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 5．（25-26学年高二上·云南曲靖沾益区·期中）（多选）设抛物线的焦点为，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是（       ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则点M的纵坐标为2 C. 以MN为直径的圆与直线相切 D. 以MF为直径的圆与直线相切 【答案】ABC 【分析】 先求得，以及抛物线的焦点，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义以及直线与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 由抛物线的方程得，，所以焦点， 对于A，抛物线C的准线方程为，A正确； 对于B，根据抛物线的定义，若，则点到准线的距离为3， 则点的纵坐标为2，B正确； 对于C，设线段的中点为，准线为直线， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为， 由抛物线定义可知，，， 由梯形中位线定理，，故以为直径的圆与准线相切，C正确； 对于D，设，则的中点坐标为， 由的长度的一半（圆的半径）为， 而的中点到直线的距离为，即以MF为直径的圆与直线相离，故D错误. 故选：ABC． 6．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（       ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 【答案】BC 【分析】 根据抛物线的定义，结合点差法、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】 因为抛物线，所以准线的方程为：错误． 轴，，则，B正确． 因为，又因为，两式作差可得： ，即，C正确． 以为直径的圆，圆心为，半径为， 则圆心到的距离为，因为， 所以，该圆与相切或相离，D错误， 故选：BC． 7．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 点的轨迹方程是 【答案】ABD 【分析】 设直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，利用最小值求出，再结合抛物线定义逐项求解判断. 【详解】 抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由 消去得，， 设，则,，弦的中点， 对于A，当时，取得最小值，又点到轴的距离的最小值为， 因此，解得，A正确； 对于B，，，， 因此，B正确； 对于C，，， 则，C错误； 对于D，设，则 ，消去得，则点的轨迹方程是，D正确. 故选：ABD 8．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（       ） A.  B. 直线过点 C. 与面积之和的最小值是3 D. 过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点，则轴 【答案】BC 【分析】 设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断C，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，设切线为，联立利用相切得到，即切线为，同理可得在点处的切线方程为，得到即可． 【详解】 设直线：， ，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； 直线：过，故B对； ， 不妨设，又，， 当且仅当时，取等号，故C对； 由对称性，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，当时，，则， 易知切线斜率不为零，设切线为， 联立曲线得，又因为相切， 所以，解得， 则过在点处的切线方程为， 当时，，同理可得在点处的切线方程为， 联立解得交点的纵坐标， 又中点坐标为， 当时，在轴上，故D错误． 故选：BC． 9．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用抛物线的定义转化，再结合图像，利用数形结合分析的最小值. 【详解】 如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点， 由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，取得最小值，. 故答案为： 10．（25-26学年高二上·云南楚雄彝族自治州部分学校·期中）已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4．     （2）．      【分析】 （1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； (1) 小问详解： 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． (2) 小问详解： 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程 ，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 11．（25-26学年高二上·云南曲靖宣威第一中学·期中）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】 由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 12．（25-26学年高二上·云南师范大学附属中学·期中）已知抛物线与直线交于两点． （1）求； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由弦长公式即可求解； （2）由垂直关系确定线段的垂直平分线方程，再结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. (1) 小问详解： 设，联立 得：， 所以，又因为直线的斜率为1， (2) 小问详解：    设中点为，则，代入直线， 得，所以，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1， 直线的方程为：，即，所以 所以， 13．（25-26学年高二上·云南玉溪第一中学·期中）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线l的方程为，求 ； （3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【答案】（1）x2＝4y；     （2）；     （3）证明见解析      【分析】 （1）利用点到直线的距离公式列方程求出的值，即得抛物线方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式计算即得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合条件求出的值，回代入直线方程即可得证. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； (2) 小问详解： 设，由 消去y得， 解得， 则. (3) 小问详解： 设直线l的方程为，点， 由 消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 14．（25-26学年高二上·云南曲靖第一中学·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    （1）求的方程； （2）设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； （3）记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组 ，整理得，可得， 联立方程组 ，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组 ，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. (3) 小问详解： 解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $