第9期：二次根式 章节检测-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教2026年8月第6~9期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 八年级数学湘教 第6~9期(2026年8月) 6期检测卷 解方程，得x=30. 一、选择题 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意， 题号1 23 45 6 7 8910 则1.8x=1.8×30=54. 答案B 所以走路线二的平均车速是每小时54千米 16.解：将方程两边同乘x+1,得kx-（x+1)=3, 提示： 9.解：因为x※(x+1)=2 3 解得x=k-了 4 所以1+1.3 由于分式方程的解为整数， +x+x+1=2, 所以k-1=±1或k-1=±2或k-1=±4， 1 解得k=2或k=0或k=3或k=-1或k=5或k=-3. 由于分式方程的增根为x=-1, 方程两边都乘2(2x+1),得2=2x+1. 当x=-1时，k-1=-4,解得k=-3, 解得x=2 1 因此k≠-3， 又k为负整数，所以k=-1. 检验：当=分时，2(2+D≠0 三、解答题 所以原方程的解为=子 17.解：(1)原式=- ab 4ed 2c25a26 10解：当女+ 1 31+1=4, 1 =5时， -、26d a a 5ac abe 1 ab be ca ab be ca ②)原式品（华号） abc x-3 = 1 x+3 1 (*3列支3 + c a = x-3,x+3 (x+3)2‘x-3 2 1 2++习 =x+ 18.解：(1)由于最简公分母为2(2x-1), 日++6++。+日 于是将方程两边同乘2(2x-1), c c 得2(x-2)+2(2x-1)=-3, 2 2 1 =3+4+5=12=6 解得：=宁分 二、填空题 11.0；12.6；13.0;14.5；15.54；16.-1. 检验：将x=方代入原分式方程，方程右边的值为子，不 提示： 存在这种数，因此x=子不是原分式方程的解，从而原分式力 15.解：设走路线一的平均车速是每小时x千米，则走路线 二平均车速是每小时1.8x千米， 程无解. 由题意相：：总+品 (2)由于最简公分母为(2x+5)(5x-2), 于是将方程两边同乘(2x+5)(5x-2),得 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 2x(5x-2)-5(2x+5)=(2x+5)(5x-2), 答：这项工程的规定时间是30天 解得：=一子 (2)设该工程由甲、乙队合做完成需要m天 经检验，=-弓是原分式方程的解 根据题意，得（易+3丈动加=1 解得m=22.5. 以解：原式计别号 22.5×(6500+3500)=225000(元). =-3x+2.2-1 答：该工程的施工费用为225000元. (x-1)2x-2 24.解：(1)-2，-3. =（x-2)(x-1.(x+1)(x-1) (2)根据题意，得mn=-5,m+n=-2, (x-1)2 x-2 所以+”=m+n=m+n-2m。-4 =x+1. m n mn mn 要健分式刘+己》号的值在 （3)原方程整理，得-22+=-k-3, x-2 则x-1≠0，x+1≠0，x-2≠0， 所以x-2+=26,3》=k+（-26-3, 解得x≠1，x≠-1，x≠2，所以x=3. x-2 当x=3时，原式=3+1=4， 所以x1-2=k,2-2=-2k-3, 20.解：设上个月鸭蛋的价格为x元/千克，则本月鸭蛋的 所以志2 k 1 以+1=-2k-1+7=-2 价格为(1+25%)x元/千克. 7期2版 根据题意，得160 (1+25%)元=2.解得x=16. 160 3.1.1二次根式的有关概念 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意 1.B;2.-2. 所以(1+25%)x=20. 3.解：(1)因为x2≥0，所以x2+2≥2>0， 答：本月鸭蛋的价格为20元/千克. 所以当x取任何值时，√2+2都有意义， 21解：由-=方知x≠0 故x为全体实数 (2)由题意，知x-4≥0， 所以-3x+1=5, x 所以当x≥4时，√x-4有意义. 即x+1-3=5, (3)由题意，知+1≥0， l1-x≥0， 所以r+=8 解得-1≤x≤1， 所w-+1=(+-16 所以当-1≤x≤1时，√x+1+√个-x有意义. x2 1 (4)由题意，知-1≥0， 所以++ x-3≠0， 解得x≥1且x≠3， 2解：方程，当-5严两边乘(：-2， 所以当≥1且≠3时，写有意义 得4x-5(x-2)=-mx. 整理，得(1-m)x=10. 3.1.2二次根式的性质 1.C;2.A;3.2x-7. 因为关于：的方程，2一5=严无解。 所以x=2或1-m=0, 4解：(8√层) 解得m=-4或m=1. 23.解：(1)设这项工程的规定时间是x天 限据题意，得(+)x15+9=1, =64×8 解得x=30. =24; 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意 (2)-√(1-2)2 2 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 =-11-21 所以ab(√ac÷) =1-2; ab·ac=√b c (3)V+(-1 =a√b. =√+6-+1 14 7期3,4版 一、选择题 题号 1 2345 6 78910 g+ 答案BC B CCADD DD 提示： + 9.解：因为√x-3≥0，√3-x≥0， 3.2.1二次根式的乘法 所以x-3≥0,3-x≥0， 1.B:2.D:3.6;4.3;5.x≤4；6.2 所以x=3, 所以y=√x-3+√3-x+2=2, 7.解：(1)√14×2=√7×2×2 所以x=32=9. =7×2=2万； 10.解：因为x=a,代数式x2+2x+n-2的值为-1， (2)停x25x(-而到 所以a2+2a+√n-2=-1, 所以(a+1)2+√n-2=0, √x25x(m) 所以a=-1,n=2. =2×(）*V/停x3x0 所以x=-a时， x2+2x+√n-2 =-48=-√4×3 =(-a)2-2a+n-2 =-43. =12+2+0=3. (3)√2ab·√4 二、填空题 11.2;12.x≥8；13.1；14.>； √/12ab.9a 4 153.2):16 =√27ab 提示： =√9a·√3b 16.解：如图所示，延长AP交BC于 =3a2√36. 点D, 3.2.2二次根式的除法 过点A作BC的垂线交BC于点E. 1.B;2.5;3.2. 在Rt△APB中，AP=√5cm, 4.解：(1)3√27÷22 BP =25 cm, .3×3×3×2 2×2 则AB=√(W3)2+(25)2=√23(m). 对于Rt△APB和Rt△DPB, 因为BP是∠ABC的平分线， ②后写（√ 所以∠ABP=∠DBP. 又因为BP=BP,∠APB=∠DPB=90°， 所以△APB≌△DPB(ASA), 1 所以BD=AB=√23cm,DP=AP=√3cm. =-3×4 又因为AB:BC=2:3,所以BC=子，2(cm）, (3)由题意，得c>0,a≥0，b≥0， 所以Dc=Bc-BD=至(cm). 一3 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 所以Sem=XAD×BP=子×BD×AE, 所以a-2027=20262, 所以a-20262=2027. 即7x2万×25=×2丽×AE 21解要使该=次根式有意义，需十6≥0 解得A6=4S(cm. 23 由除法法则，得-1≥0或-1≤0， l3x+6>0l3x+6<0. 过点P作BC的垂线交BC于点F. 解得x≥1或x<-2 在Rt△DPF和Rt△DAE中， ∠PDF=∠ADE,∠PFD=∠AED, 所以，当x≥1或x<-2时√子6有意义 所以∠FPD=∠EAD, 22.解：y=√2-4x+4-x+3 所以△DPF△DAE, 所咒是=宁 =√(x-2)7-x+3 =1x-21-x+3. 所以PF=AE=2 1 当x=1时，y=3: (cm). √23 当x≥2时，y=x-2-x+3=1, 则S△APc=SAADC-S△PpC 即当x分别取2,3，…，2026时，y的值均为1 1 =2×DC X AE- xDc×PF 综上所述，当x分别取1,2,3，…，2026时，所对应的y值的 总和是：3+2025×1=2028. 23.解：根据二次根式有意义的条件，得 23 5em). j0+b-23≥0解得a+6=23, 23-a-b≥0， 三、解答题 所以√3x-y-7+√x-2y-4=0, 1解：√写× 所以3x-y-7=0解得=2， lx-2y-4=0,ly=-1. =合x24 所以7x-y206=7×2-(-1)226=13. 24.解：(1)3； =√12=25； (2)根据题意，得13-a+la-71=4. ②54万x7万+清 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, =5x75:(7×) 解得a=3(舍去)； 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， =21. 所以(a-3)+(7-a)=4; 18.解：32×25×26 当a>7时，3-a<0,a-7>0, =3×2×2×2×3×6 所以(a-3)+(a-7)=2a-10=4, =72(cm3). 解得a=7(舍去). 答：这个长方体的体积为72cm. 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. 19.解：(56)2=150，(65)2=180. 8期2版 因为150<180， 3.3.1二次根式的加减运算 所以56<65. 1.C;2.A;3.D;4.1-25 所以-56>-65. 5.)-3E;(2)-55,(37万+3 20.解：根据二次根式有意义的条件，得a-2027≥0， 所以a≥2027. 6.解：85+25+35+65+5=203（千米） 因为1a-20261+√a-2027=a, 答：他们共走了205千米. 所以a-2026+√a-2027=a, 7.解：(1)答案不唯一，如3+√2,3-√2 所以/a-2027=2026, (2)设这两个共轭实数为x+yF与x-y -4 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 因为这两个共轭实数的和是10，差的绝对值是46， 10解：7x+6s√-4 所以(x+yf)+(x-yf)=10, I(x+yE)-(x-yE)1=46, =2G+6s·号-4：G 所以2x=10,12yf1=46, =x+2x-4x 解得x=5,y=2或y=-2,t=6。 =-xV. 所以这两个共轭实数是5+26,5-26 因为有意义，所以x≥0，≥0， 3.3.2二次根式的混合运算 所以-x≤0，所以-x≤0. 1.A;2.C;3.B;4.D; 二、填空题 5.xs-5+3 4 11.56;12.x=22;13.365; 6.(1)-6;(2)-2;(3)-122. 14.45-√2；15.2+5；16.4. 7.解：原式=压-(+2+E- 提示： E+厅 E-万 14.解：因为3<8,27>2， =E-万+E-厅 所以3*8+27*2 =2E-2F. =(5-⑧)+（√27+2） 当=5y=号时， =5-22+35+2 =45-2. 原式=25-2月 15.解：设C的长为x,宽为y, =25-25 则B的长为x+y,宽为y, 5 A的边长为x 因为A的面积为2，所以x=√2. 因为拼接后的大正方形的面积为5， 重点集训 所以x+y=5,所以y=5-2, 1.A;2.A;3.D;4.6 所以题图5中原长方形的长为 5.解：根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边 x +x+y =2x+y 长是3， =22+5-2 所以阴影部分的宽是2-√5， =2+5. 长是3-(2-5)=23-2. 16.解：因为a+36=8,b+3a=8, 所以阴影部分的面积为(23-2)(2-√3)=65-10. 所以a-b+36-3a=0, 8期3,4版 故(a+6)(a-6)-3(a-√b) 一、选择题 =(a-b)(a+√B-3) 题号1 2 345 6 7 8 9 10 =0. B 因为a≠b,所以a≠√6，a-b≠0， 提示： 所以a+6=3. 8.解：由题意，得AB=CA=√2-1， 因为a+b+3(a+b)=16, 则点C的坐标为x=1-(2-1)=2-√2， 所以a+b=7, 故x+2=2-2+2=2. 即(a)2+(b)2=(a+√6)2-2ab=7, 9.解：由题意，得3÷3-2=1-2<1， 所以ab=1, 所以(1-2)×(3-√2) 则原式=3+1=4. =3-2-32+2 三、解答题 =5-42, 所以若输入数字3，则输出的结果是5-4万. 17解：()-5×√层 -5 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 =32-2=22: =75-8. 2厘÷(+2) 22.解：由题意，得正方形纸板的边长为√50cm,剪掉的小 正方形的边长为√2cm. (1)这个长方体盒子的容积为 =: (√5o-22)2×√2=182(cm3). (2)这个长方体盒子的侧面积为 =25× 12 (/50-22)×√2×4=24(cm2). 115 23.解：(1)(2，-2)★(5,3-√5) 0 =-25-2×(3-5) 18.解：(1)(2+3-6)(2+√3+6) =-25-6+2/5 =(2+5)2-(6)2 =-6. =2+26+3-6 (2)(x+y,2x+y)★(2x-y,4x-y+5) =26-1; =(2x+y)(2x-y)-(x+y)(4x-y+5) =4x2-y2-(4x2-xy+5x+4xy-y2+5y） 211-51+区-合+1-5 =4x2-y2-[4x2-y2+5(x+y）+3xy] =5-1+26-955+1 =-5(x+y）-3xy 5×5 将x+y=2,y=-5代人，得 =5-1+26-35+1 原式=-5×2-3×(-5) =26-25. =-52+35. 19.解：原式=5+√y-4-√xy=. 24.解：(1)因为x=√10-3，所以x+3=√10. 当x=方y=4时。 两边平方，得(x+3)2=10, 所以x2+6x+9=10, 原式=√写4= 2×5-25 52 5 所以x2+6x=1, 所以x2+6x-8=1-8=-7. 20.解：(1)②： 2)原式=(6-号)-(+) (2)因为x=5-1 2 =26--6 所以2x=5-1, 所以2x+1=√5. =26-6-(Ξ+) 两边平方，得(2x+1)2=5, 所以4x2+4x+1=5, =639 所以4x2+4x=4,所以x2+x=1, 所以x3+2x2=x3+x2+x2 21.解：因为1<3<4， =x(x2+x)+x2 所以1<5<2，-2<-5<-1， =x+x2 所以6<5+5<7,1<3-5<2， =1. 所以5+5的整数部分a=6, 9期检测卷 小数部分b=5+5-6=5-1; 一、选择题 3-5的整数部分c=1, 题号12345678910 小数部分d=3-5-1=2-5, 答案DBBCCAACAB 所以ab-cd=6(5-1)-(2-3) 提示： =63-6-2+3 9.解：当腰长为√2时，三角形的三边长分别为√2， -6- 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 √2，√50，不满足三角形的三边关系： 所以m+ ≥2+4=6， m-4 当腰长为√50时，三角形有三边长分别为√2，√50 当且仅当m=25时取等号， √0，满足三角形的三边关系，此时周长为 所以当m>1时，√m+一1一的最小值为6 12+2√50=25+102. √m-4 综上可知，三角形的周长为25+102. 6锦将万分号有理化得 10.解：设x=√6-35-√6+35， 1 3+万 因为√6+35>√6-35， 3万(3-万)(3+万 =3+ 2 所以x<0, 因为2<万<3，则5<3+万<6， 所以x2=6-35-2(6-33)(6-35)+6+35, 所以2.5<3+万<3， 2 =12-2×3=6, 所以=-6. 所以37的察数部分是a:2. 二、填空题 小数部分是6=3+万-2， 2 11.x≥19；12.3；13.25；14.-2a-b: 15.6;16.10. 即6=万-1 2 提示： 将a,b的值代入a2+(1+万)ab,得 13.解：因为x+y>0,且xy=3, 所以x>0,y>0, 2+(1+万)×2x7-1 2 所以y√+√因 =4+(万+1)（万-1） =4+7-1=10, =y反+· y 所以a2+(1+7)ab的值为10. =好+ 三、解答题 =2灯 1解：D子历-4厄+3√写 =25. 14.解：由题图得b<-2,0<a<2, =号x35-4×26+3× 3 所以a-2<0,b+2<0,a>b, =25-85+3 所以原式=(2-a)-(b+2)-(a-b)+(-b) =-53; =√2-a-b-2-a+b-b (2)(万+5)（万-5）+（万+1）2 =-2a-b. =7-5-(7+2万+1) 15.解：由题意，得 =7-5-7-2万-1 m+1 =-6-2万. m-4 18.解：原式=3aa+4a-5√a=(3a-1)a. =m-4+1 +4. √m-4 当a=分时，原式=票 因为瓜4与后9 19.解：因为a=万+3,6=5+3， 2 所以当m-4>0时， 所以原式=(a-b)2 m-4+1≥2，m-4)=2, m-4 √m-4 =(+3-9-3) 当且仅当m-4=1 一，即m=25时取等号， m- -7 八年级数学湘教2026年8月第6~9期 20.解：(1)根据题意，得h=20×3=60(米)， 所以m=1,n=3或m=3,n=1. 臣-0-2 所以t=√ 当m=1,n=3时，a=12+3×32=28; 当m=3,n=1时，a=32+3×12=12. 答：该物品落地的时间为25秒. 综上所述，a的值为28或12. 64 (2)该玩具最低的下落高度h=10×0=64(米)， (3)设21+45=(x+y5)2,x,y都是正整数， 所以t-√便=√：等-33m6(秒 展开，得x2+5y2+2xy5=21+45, 5 所以x2+5y2=21,2xy=4, 答：最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人. 解得x=1,y=2, 1据调方万方防D是 b 故/21+45=1+25. 原式=√6-25+√6+25 =。+a- =(5-1)+(5+1) =(a-2）+a =25. =3-22, a,b都是正整数， 所以a-=-2.a=3, 解得b=10. 22.解：(1)长方形绿地的周长为 (√128+√50)×2=262（米）. (2)通道的面积为 128×√50-2×(13+1)×（√13-1）=56（平方 米)， 购买地砖需要花费6×56=336（元） (2)√+千=(a+1)V干2证明如下 /n+ n2+2n+1 +n+2=√n+2 /(n+1)2 =√n+2 =(n+1)√m+2 /1 (3)原式 =100101 分×200、/，×√402×101 1 1 =100×200×√10×√201 ×2×√/20i×√/01 =200002. 24.解：(1)m2+7n2,2mn; (2)因为a+65=(m+n5)2=m2+3n2+2mn√3， a,m,n都是正整数， 所以a=m2+3n2,2mn=6, 所以mn=3, 一8一《二次根式》章节检测卷 ◆数理报社试题研究中心 (答题时长120分钟，满分120分) 9 8907 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列式子中，不是二次根式的是 A.5 B.√0.6 c月 D.3-石 郑 2.化简(-√万)2的结果是 A.-7 B.7 C.±7 D.49 3.计算√125-45的结果是 A.1 B.5 C.35 D.5 4.最简二次根式"2n与6可以合并，则m,n的值分别 为 A.3,2 B.2,2 痛 C.2,3 D.3,3 5.关于x的方程3x-3=√3的解为 A.x=5 B.x=1-√5 C.x=1+3 D.x=1 6.使等式√x2(x+1)=-x√+1成立的x的取值范 围在数轴上表示为 101 -10 A B C D 7.已知y=√x-8+√8-x+18,则代数式：+万的 值为 A.52 B.55 C.-2 D.-√3 8.对于任意的实数m,n,定义一种运算“*”，m*n= m(m-n)+n(m+n),则2*5 = ( A.5 B.6 C.7 D.8 9.若等腰三角形的两边长分别为√12和50，则这个三 角形的周长为 A.25+102 B.435+52 C.43+102 D.45+52或25+102 10.我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特 点的无理数，如：对于√3+5-√3-5，设x=√3+5 -√3-5，易知√3+5>√3-5，故x>0,由x2= (√3+5-W3-5)2=3+5+3-5-2 √(3+5)(3-5)=2，解得x=2,即√3+5- √3-5=2.根据以上方法，化简√6-35-√6+35 后的结果为 () A.-65B.-6 C.6 D.-12 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若式子x-19在实数范围内有意义，则实数x的取 值范围是 12.已知I2x是整数，则正整数x的最小值是 1B.已知x+y>0.且=3，则y√月+x√日 14.实数a,b在数轴上对应的点b 如图1所示，化简：1a-21+1b+-V20 v2 图1 2I-1a-b1+√02= 15.由于对任意正整数a,b,有(a-√b)2≥0，所以a 2ab+b≥0，所以a+b≥2√ab,当且仅当a=b时，等号 成立.根据上述信息，得当m>1时，√m+1一有最小值 m-4 为 16.设，1二的整数部分是4，小数部分是6，则a2+(1+ 3-万 万)ab的值是 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17.(6分)计算： 1)号2m-4m+3√： (2)(万+5)（万-5）-（万+1）2. 186分)先化简，再求值：v厅+1-2√原，其 中a=2 19(8分)已知a=巨+3.6=竖+3，求代数式 a2-2ab+b2的值 20.(9分)小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见 22.(10分)如图2，某居民小区有块形状为长方形的绿 提示的“高空抛物害人害己”广告牌.为进一步研究高空 地，长BC为128米，宽AB为50米，现在要在长方形绿地 抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时 中修建两个形状、大小相同的长方形花坛（图中阴影部分），每 间（单位：）和高度（单位：m近似满足公式：=西（不 个长方形花坛的长为（√13+1）米，宽为（√13-1）米. (1)求长方形绿地的周长（结果化为最简二次根式）； 考虑风速的影响，g≈10m/s2,√5≈2.236). (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通 (1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m,假如从 道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则 小明家顶部坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留 购买地砖需要花费多少元？ 根号)； (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的 动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度 (米)，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过 图2 几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 23.（12分)综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到 一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的 探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 等式1+写 2 等式22+ 30 4 21.(9分)已知正整数a,b满足。“-6 2-12 =3-22, 等式3：√3+5 4/ 求a,b的值 等式4：」 (2)观察、归纳，得出猜想， n为正整数，猜想等式n可表示为 ,并证明你的 猜想 (3)应用运算规律化简：√99+10×√199+ 01 /402×/101. 24.(12分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一 些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22= (2+1)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+b√2= (m+n√2)2（其中a,b,m,n均为整数），则有a+b2=m2+ 2n2+2mn2,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到 了一种把类似a+b√2的式子化为完全平方式的方法，请你 仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若a+b万=(m+n√万)2，当a,b,m,n都是整数时， 用含m,n的式子表示a,b,得a= ,b= 谢 (2)若a+65=(m+n5)2,且a,m,n都是正整数， 求a的值； (3)化简：√7-√21+45+√5+√21+45 些 烯 参考答案见下期