第3期：第二十五章 一元二次方程 综合测评卷-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（人教版·新教材）

初中数学·人教中考第1~4期 ”发理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·人教中考 第1~4期(2026年7月) 5.没有. 第1期2版 3 6.(1)=立k=1: 25.1一元二次方程的概念 (2)x1=7=-29 1 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.x=-2. 3 6.填表如下： 能力提高7.(1)证明：4=62-4ac=(k-8)2-4×2 方程 一般形式 二次项系数 次项系数 常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 2 -7 0 ×(-4)=(k+8)2≥0， 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 所以该方程总有两个实数根。 (x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 1 -5 -7 (2)解方程，得 =3x+4 能力提高 7.(1)x2+3x-4=0. x=-(k-8),±，h+8y_8-k±1k+81 2×2 4 (2)由条件可知，方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2一 2x+1=0. 所以x1=4,x=-2 把x=-1代入方程cx2-2x+1=0,得c+2+1=0.解 因为该方程有-个根小于3，所以-左<3.解得k>-6, 得c=-3. (3)2026. 第1期3版 25.2.1配方法 一 题号12345678 基础训练1.C;2.C;3.-2;4.-12;5.-1. 答案DCBDBABB 6.(1)x1=1,x2=-3; 二、9.2-8x-4=0;10.m≥0；11.-2；12.-1； 2-2 13.6或15或12；14.- 3 3=-1-6 55 三、15.(1)x1=-7,x2=1; (4)无实数根. (2)=1+=1- 2； 能力提高7.由题意得，小明解的方程是x2+4x+c+1=0. 把x=-1代入方程x2+4x+c+1=0,得1-4+c+1 (3x1=-影 =0.解得c=2. 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 所以原方程为x2+4x+2=0. 而右边没有加， 解得x1=2-2,x2=-2-2. (2)2x2-8x-18=0. 25.2.2公式法 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 配方，得x2-4x+4=9+4. 基础训练 1A2D:33;4=7.6 6 (x-2)2=13. 初中数学·人教中考第1~4期 由此可得x-2=±√3， 整理，得AD+a·AD=. 所以x=2+√13，x2=2-√3. 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 的长 整理，得d2+a-2=0.解得a=1,a2=-2. (2)2x+10,/61-5. 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC= 2 5 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC 3x=3 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=√4+I=5, 配方，得(+宁=兰开方，得+了=±寺 4 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 所以该方程的解为=1，三一亭 x+2 18.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)= x+2 x+2 (m-3)2. 2 因为方程有两个不相等的实数根， x+2 图1 图2 所以(m-3)2>0且m≠0. 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 所以m的取值范围是m≠3且m≠0. 成如图2所示的正方形， (2)证明：因为4=(m-3)2≥0， 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以x=-6±公-4ac_3(m-1)±(m-3) 2a 2m 所以一个矩形的面积是4. 所以年=3m-3+m-3=2m-3=2-3 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 2m m = 所以(x+1)2=5. 3m-3-m+3=1 2m 所以该方程的一个正根为5-1. 所以无论m为何值(m≠0)，方程总有一个固定的根. 第1期4版 19.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 下： 几何加油站 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 1.3.【提示】过点A作AK1HG于点K,连接AH,AM,证 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 明Rt△ADH≌Rt△AKH,Rt△AKM兰Rt△ABM,得到DH= 程”. KH,BM=KM,根据对称可得QG=QB,将△GQM的周长表示 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 出来，再通过边的转化解答即可. 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 29 【提示】根据折叠和勾股定理依次求出FG,BG的 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 长，过点G作GP⊥AD于点P,求出DE,EM的长，得到EM= 所以8-4c-1=2+6=(b+P-子 DE=2,连接EH,即可证明Rt△EMH兰Rt△EDH,推出DH= 因为(6+)2≥0，所以-4e-1的最小值为-子 HM=HC=4,连接CM交GH于点Q,利用三角形的面积即可 求出CQ的长，过点M作MW⊥CD于点N,最后根据三角形 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 MCH的面积计算MW即可. 下 第2期2版 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 25.2.3因式分解法 AB. 基础训练1.C;2.C;3.D;4.14. 所以（号）P+6=(号+AD)月 5.(1)x1=-5,x2=-3; 2 初中数学·人教中考第1~4期 (2)x1=2,x2=14: 整理，得x2-30x+125=0. (6-号=5 解得x1=25,x2=5. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 能力提高6.(1)设x2+x=y,则原方程可化为y2+2y 元 -8=0,即(y+4)(y-2)=0,解得y1=-4,y2=2. (3)不能实现.理由如下： 当y=-4时，x2+x=-4,该方程无实数根； 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1500. 当y=2时，x2+x=2,解得x1=-2,x2=1. 整理，得x2-30x+350=0. 故原方程的根为x1=-2,x2=1 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， (2)设2士2=y则原方程可化为y+子-3=0， 所以此方程无实数根. 即y2-3y+2=0,解得y1=1,2=2. 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解： 实现 当)=2时，32-2，解得：=-2，经检验是原方程的解 第2期3版 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 题号12345678 答案B CBC CD C A 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 二、9.x-6=0;10.10;11.14或-14； 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= 12.(x-1)(2x-1);13.15;14.(5-2)2. 0有两个实数根， 三=-3=子：(2=-}-平 4 4 所以△=[-(2m-1)]2-4(m2+2)=4m2-4m+1- 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 、3 :(6)x=2=2 7 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·62=(2m-1)2-2(m 根据题意，得7500(1+x)2=10800. +2)=27.解得m1=5,m2=-3. 解得气=20%，4=-号（不符合道意，合去) 又因为m≤-子所以m=-3 答：进馆人次的月平均增长率为20%. 25.3实际问题与一元二次方程 (2)不能.理由如下： 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 由(1)得，第四个月的进馆人数为： 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得1+x+x(1+x)=225. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次. 解得x=14,x2=-16(不符合题意，舍去). 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. -2m+13=(m-1)2+12>0, 根据题意，得y(y+8)=105. 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。 整理，得y2+8y-105=0. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根 答：这4个数中最小的数为7. 根据根与系数的关系，得+龙2=m+3,x12=2m-1. 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 所以x12+x22=AC2=35. 一3 初中数学·人教中考第1~4期 又因为x2+22=(（x1+x2)2-2x12, 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52. 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. 解得t=2或t=6. 解得m=-6或m=4. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x3>0. 的距离是5cm. 所以x1+x2=m+3>0,且x12=2m-1>0. (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 解得m>分 分三种情况： ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 所以m=4, 所以DF=QF, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 18.(1)(x+2)(x+4). 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, (2)①x1=-1,x2=6. 所以CD=DF+FQ+CQ=3tem=8cm, ②解x2-9x+20=0,得x1=4,x2=5. 由三角形的三边关系可知x=5,所以AB=AC=5. 解得：=号，即当P,0两点从出发开输到号秒时，点P,Q, 过点A作AD1BC于点D,图略.则BD=之BC=4 D组成的三角形是等腰三角形； D 在Rt△ABD中，AD=AB2-BD=3. 所以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=2, 19.(1)①(50-2x). ②根据题意，得(50-2x)x=92. 图2 图3 整理，得2-25x+46=0. ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=2,2=23. 因为AP=CQ=tcm, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, 舍去； 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：AB的长为23米 解得t=16±4图-8±37 6 31 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 因为AP=CQ=tcm, 因为4B长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, -x)米 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 根据题意，得(30-x)x=230. 解得4一瓷 整理，得x2-30x+230=0. 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， 综上所述，当P,Q两点从出发开始到8秒或誉秒 3 所以原方程没有实数根。 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米. 政瓷砂或8+瓦秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角 16 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略. 形 所以∠PEQ=90°. 第2期4版 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 几何加油站 =18-2t1cm 1.58. 【提示】以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB 4 初中数学·人教中考第1~4期 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，以PQ为斜边在PQ下方 20.(1)1和4. 作等腰直角三角形PQG,作GW⊥y轴于点W,作PH⊥GW于 (2)因为口ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m 点H,设点Q(0,a),G(x,y),则点P(-a-2,0),F(-8,2),可 =0有两个相等的实数根 证得△PGH≌△GQW(AAS),所以PH=GW,GH=QW,进而 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 得出点G(-1,-1),当F,P,G三点共线时，FP+PG最小，进一 1 解得m=m=2 步得出结果。 2.5-1.【提示】连接AF,CE,AC,设AC与EF的交点为 所以m的值为分 点O,得到平行四边形AECF,故点O是AC的中点，连接BD,则 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- BD经过点O,且OA⊥OB,取OB的中点H,连接AH,GH,根据 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 三角形的三边关系，计算最值即可. 解得m=4或m=-3. 第3期综合测评卷 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 题意，舍去 题号 2345 6 7 89 所以m的值为4. 答案C 21.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平 二、11.22+x-4=0:12.k≤1且k≠2 13.12; 均增长率为x 由题意，得3(1+x)2=3.63. 14.-2026; 15.7或-号 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去 三、16.：1=-2+25，：2=-2-25.第一步变形的依据 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 是等式的基本性质1. 率为10%。 17.设方程的另一个根为x2: (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-√2， 机的售价为(2.5-a)万元. 所以1-万+5=-2，（1-)=3婴 由题意，得(25-1.5-a)(80+05)=45. 所以5=反+1，m=-子， 整理，得4a2+12a-7=0. 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去) 即方程的另一个根为万+1，m的值为-子 所以2.5-0.5=2（万元） 18.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 答：下调后每架无人机的售价为2万元 n(n-1) 五、22.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x2=-1. 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程” 根据题意，得(n,)=21. 2 (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,x2=2. 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 因为该方程是“邻根方程”， 答：应邀请的俱乐部个数为7. 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 四、19.（1)解方程x2=2x,得1=0,2=2. 所以m的值为1或3. 因为：1≤2，所以P(0,2) (3)解ar+bx+2=0,得x=二b±-8a 2a (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和2(x 因为该方程是“邻根方程”， ≤x2),则P(x1,x2). 因为点P在直线y=-x上， 所以26+6=80--6--8a-1 2a 2a 所以x+x2=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 整理，得b2=a2+8a 初中数学·人教中考第1~4期 因为t=12a-62-4, 所以点B(-1,-4)不在此抛物线上： 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 7.(1)因为二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-4， 因为a>0,所以t的最大值为0. 4),所以4=a·(-4)产，解得a=4 1 23.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 所以二次函数的解析式为y=子之。 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)将y=1代人y=子2，解得=2=-2 答：剪去的正方形的边长为10cm. (2)不能.理由如下： 所以点M,N的坐标分别为(-2,1)，(2,1). 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 所以MN=2-(-2)=4,FM=FN=2. 则收纳盒底面的长为100,2acm=(50-)cm,宽为(40 因为△PMW是等边三角形，MW∥x轴， 2 所以点P在y轴上，且PM=4. 2a)em 所以∠PFM=90°.所以PF=√PM-FM证=25. 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 因为点F的坐标为(0,1)，所以点P的坐标为(0,1+23) 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去) 或(0,1-25). 所以50-a=38.40-2a=16, 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 基础训练1.D;2.A；3.A; 4.y=4x2+1;5.<;6.6;7.8. 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 玩具车不能完全立着放入该收纳盒并盖上盖子 8.(1)m. (2)因为a=-1<0,所以该二次函数的图象开口向下. 第4期2版 所以当x<m时，y随着x的增大而增大；当x>m时，y随 着x的增大而减小 26.1二次函数的概念 当m≥1时，根据题意，得x=1时，y取得最大值，即-(1 基础训练1.C；2.B;3.C;4.-4;5.一 -m)2+m2+1=4,解得m=2; r60k+b=80, 6.(1)设y=kx+b,根据题意，得 当-2<m<1时，根据题意，得x=m时，y取得最大值， 50k+b=100. k=-2, 即m2+1=4,解得m=-√3或3（不符合题意，舍去）； 解得 b=200. 当m≤-2时，根据题意，得x=-2时，y取得最大值，即 所以y=-2x+200(30≤x≤70). -(2-m)+m2+1=4,解得m=-子（不符合随意，合 (2)0=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450, 去). 即0=-2x2+260.x-6450(30≤x≤70). 综上所述，m的值为2或-5. 26.2.1二次函数y=a2的图象和性质 能力提高9.(1)由题意，得A(-2,-4). 基础训练1.C;2.B;3.B; 当x=0时，y=4,所以B(0,4) 4.a2>a3>a1;5.m>3. (2)因为过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,该抛 6.(1)因为抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),所以a· 物线的对称轴为直线x=-2,所以0D=2,C(-4,4). (-2)2=-8. 所以BC=4,0B=4. 解得a=-2.所以此抛物线的函数解析式为y=-2x2. (2)这个抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口 所以Sem=之(0D+BC)·0B=12. 向下. (3)存在点P. (3)把x=-1代入，得y=-2×(-1)2=-2, ①当BC为边时，有DP=BC=4,且点P必在x轴上， 6 初中数学·人教中考第1~4期 设P(m,0),所以DP=1m+21,所以1m+21=4, 由y=一子(：-2)2+4可得抛物线顶点P的坐标为(2， 解得m1=2,m2=-6,所以P1(2,0),P2(-6,0): 4). ②当BC为对角线时，PD和BC互相平分，BC中点的坐标 为(-2,4)，所以P(-2,8) 对于y=-子+3，令y=0,解得x=2 综上所述，满足条件的点P有三个，P1(2,0),P2(-6,0), 所以C(2,0).所以0C=2. P3(-2,8). 所以PC⊥x轴，且PC=4.所以DE=OC=2, 第4期3版 对于y=-(x-2)2+4,令y=0,得-x-2+4 =0. 题号12345678 答案C D AA C BCC 解得x1=6,x2=-2.所以A(-2,0),所以AC=4. 1 二、9.-2，-1；10.y=-x2+8x-16; 所以Sg边形Aom=Sacn+Sar@=左×4×3+2×4×2 11.-1(答案不唯一)；12.10；13.8； =10. 4.-是≤n≤10， 18(0）当m=2时y=-7(-4-1 三、15.(1)因为抛物线y=2x2+n过点M(2,3),所以2× 因为点A(6,n)在该函数图象上， 22+n=3. 1 所以n=-2×(6-4)2-1=-3. 解得n=-5.所以该抛物线的解析式为y=2x-5. 所以该抛物线的顶点坐标为(0，-5)，对称轴为直线x= (②)直线订=-分+1 0. (3)因为点P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)都在该二次函数 (2)因为2>0，所以函数图象开口向上 图象上， 因为对称轴为直线x=0,所以在x≤0时，y随x的增大而 所以对称轴为直线x=4+1+4m-7+0=a+2m-3. 2 减小 所以a+2m-3=2m.所以a=3.所以P(4,c). 16.(1)当x=0时，y=4,即C(0,4). 当y=0时，-x2+4=0,解得x=±2， 所以e=-号(4-2m)2+1-m=-2(m-子2-子 所以B(2,0),A(-2,0). 所以c≤-8 (2)因为AB=4,C(0,4),四边形ABCD是平行四边形， 19.(1)令y=0,则a(x-3)2-4a=0, 所以CD∥AB,CD=AB=4,所以D(-4,4). 解得x1=1,x2=5. 设平移后的抛物线为y=-x2+4+m, 所以A(1,0),B(5,0).所以AB=5-1=4. 则-(-4)2+4+m=4, (2)当a=1时，y=（x-3)2-4,所以顶点C(3,-4) 解得m=16,所以平移后抛物线的解析式为y=-x2+20. 设直线BC的解析式为y=kx+b. 3 17.(1)对于y=-x+3,令x=0,得y=3, 把B(5,0),C(3,-4)代入， 所以D(0,3). 5k+b=0, 解得 k=2, 因为抛物线y=-子(x-2)2+k经过点D(0,3), 3k+b=-4,b=-10. 所以直线BC的解析式为y=2x-10. 所以-子×(0-2)2+长=3，解得长=4， 因为S ARCD=S△ABC,所以AD∥BC. 所以设直线AD的解析式为y=2x+n. 1 所以抛物线的函数解析式为y=-4(x-2)2+4 把A(1,0)代人，得2+n=0,解得n=-2. (2)过点D作DE⊥PC于点E,图略. 所以直线AD的解析式为y=2x-2 初中数学·人教中考第1~4期 y=2x-2, 所以△ABF≌△DAE(AAS). 联立，得 y=(x-3)2-4 所以AE=BF=m,AF=DE=n ”(不特合题意，舍去)， =1, 2=7， 所以m=n2-n-m2. 解得 y1=0 y2=12. 所以m+n=(n-m)(n+m). 所以D(7,12) 因为点B,D在y轴的右侧， 20.(1)设BC交y轴于点E,菱形ABCD的边长为2a, 所以m+n≠0，所以n-m=1.所以n-m为定值. 所以AD∥BC,AB=BC=CD=AD=2a. 第4期4版 因为AD⊥y轴，所以BC⊥y轴，所以B,C关于y轴对称. 重点集训营 所以BE=CE=a,所以B(-a,a2),所以OE=2 1.C;2.D;3.C 在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE 几何加油站 =5a, 1.√6.【提示】连接AD,过点A作AG⊥DC交DC延长线 所以OA=OE+AE=a2+5a. 于点G,过点M,D作ED,MW的平行线交于点P,则四边形 MNDP是平行四边形.所以MN=DP,MP=DN.可得AM= 所以D(2a,a2+5a). MP.可知点P的运动轨迹.当DP⊥AP时，DP最小，此时MN= 把D(2a,a2+5a)代入y=x2,得a2+5a=4a2, DP最小.在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD的长，即可求得 解得a,- 3,4=0(不符合题意，舍去). MN的最小值. 所以支形的边长为 2.√5.【提示】过点C作CH上BF于点H,过点B作BK ⊥CM于点K,过点D作DQ⊥MF交MF延长线于点Q,得到CH (2)n-m为定值.理由如下： =HF,△AGB≌△BHC,推出AG=BH,BG=CH,即可得到AG 过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E,图 1 =FG.易得BG=2GM,根据勾股定理可求得CM的长，再结 略。 由题意得B(m,m2),D(n,n2). 合△BKC≌△CQD即可解决问题. 所以BF=m,OF=m2,DE=n,OE=n2. 3.38.【提示】以AD边在AD上方作等边△ADG,连接 因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAB=90°，AD=AB. CG,取CG的中点H,连接AH,DH,EH,过点C作CK⊥AF于K, 所以∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA. 过点F作FL⊥AD于L,先证得△ABD≌△ACG(SAS),再证得 ∠AFB=∠DEA=90°， △ABE≌△ACH(SAS),推出DE=BE=HG=DH,再利用等 在△ABF和△DAE中 ∠FAB=∠EDA, 边三角形性质及勾股定理即可求得答案. AB DA. —8—《一元二次方程》综合测评卷 班级： 姓名： 学号 满分：120分 题号 二 三 四 五 总分 得分 郑 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是 A.x2+y+2=0 B.x2+2+1=0 x C.x2+x+1=0 D.ax2+bx+c=0 2.若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是x=1,则m的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.方程x2-6x+5=0经过配方后，其结果正确的是 A.(x+3)2=4 B.(x-3)2=4 C.(x-3)2=5 D.(x-3)2=1 4.一元二次方程x2-2x+8=0根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 5.已知方程(x-1)(3x+7)=0,则x-1的值为 ( 一碗 A.1 R-子 C.0或- 73 D.0或- 0 6.某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月 进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次.若进馆人次的月平均增长 率x相同，可列方程为 A.250+250(1+x)+250(1+x)2=910 B.250(1+x)2=910 C.250(1+x2)=910 D.250+250(1+x)+250(1+x2)=910 7.“顾曲周郎今已矣，满江南、谁是知音客.”关于周瑜的寿数问题，有诗云“而立之年督东 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”诗歌大意为：周瑜三十岁就当了东吴 的大都督，可惜英年早逝，他去世的时候年龄为两位数，这个数的十位数字比个位数字小3，个 位数字的平方恰好等于这个数.则周瑜逝世时的年龄为 A.25岁 B.52岁 C.36岁 D.63岁 8.若实数m,n满足m2-5m+3=0,n2-5n+3=0,且m≠n,则m2+n2-mn的值为 A.8 B.16 C.24 D.28 9.周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一 个长方形养鸡场（如图1所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边和中间 隔板用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门（门用其他材 料)，询问知：墙长为22米，门宽为2米，围成养鸡场的板材共用去40 图1 米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽AB为 A.8米 &”米 c9米或8米 D.24米 10.已知关于x的方程2-(2k+1)x+4(k-)=0,若等腰△4BC的一边长为4，另外 两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长是 A.8 B.10 C.8或10 D.无法计算 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.将一元二次方程(x-1)(2x+3)=1化为一般形式为 12.若关于x的一元二次方程(2k-1)x2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是 13.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干 和小分支的总数是157，则每个支干长出 个小分支. 14.若x=4是方程2+x-1=0的根，则代数式42+2a-二-2026的值是 15.对于实数a,b,c,我们用符号mida,b,c}表示a,b,c三数的中位数，如mid{0,3,-1}= 0.若midx2,4,x+2}=6x2+2x,则x的值是 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.解方程x2+4x=8,并写出你解方程第一步变形的依据。 17.已知关于x的方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-2，求该方程的另一个根及m的 值. 18.近年来NYB0青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进 行训川练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间 只赛一场)，若计划安排21场比赛，求应邀请的俱乐部个数 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1和x2(x1≤ x2),分别以x1和x2为横、纵坐标得到点P(x1,2),则称点P为该一元二次方程的“两根点”. (1)求出方程x2=2x的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程x-(m+√2)x-3=0的“两根点”，若点P在直线y =-x上，求m的值. 20.若关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+2m=0有两个正的实数根为x1,x2,分别以 x1,x2为口ABCD对角线AC和BD的长 (1)若m=2,则口ABCD对角线的长分别为 (2)若口ABCD为正方形，求m的值； (3)若口ABCD的一条对角线的长为m-3,求m的值. 21.随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备。 (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架.随着春耕备耕需求激增，该品牌无人 机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到3.63千架求从1月份到3月份该品牌无人机销售量 的月平均增长率. (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时 间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售 出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元.求下调后每架无人机的售价. 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另 一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2+x=0的两个根是x,= 0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2+3x+2=0是否为“邻根方程”； (2)已知关于x的方程x2-（m+2)x+2m=0是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2+bx+2=0(a>0)是“邻根方程”，令t=12a-b2-4,试求t的 最大值， 23.项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具 【项目素材】两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板. 【任务要求】 任务一：如图2，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成 一个无盖的长方体收纳盒 图2 任务二：如图3，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折 成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分. E(H) 裁剪4 D裁剪 裁剪B C裁剪 图3 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2,求剪去的正方形的边长； (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2,判断能否把一个尺寸如图4所示的玩具 车完全立着放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由. 些 35 cm 图4 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)