5.3 二元一次方程组的应用 同步训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 5.3 二元一次方程组的应用 同步训练 一、选择题 1.如图，这是小菲同学用同一种长方形木块摆放形成的图案，其中三块横放的木块比一块竖放的木块高10 cm，两块横放的木块比两块竖放的木块矮40 cm，则摆成的这个图案的面积是(　　) A.3 850 cm2      B.4 150 cm2 C.4 200 cm2      D.4 600 cm2 2.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元.现在购买甲、乙、丙各1件，共需 A.105元    B.210元 C.170元    D.不能确定 3.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？(改编自《缉古算经》)”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数.求得的结果有(　　) A.3种    B.4种    C.5种    D.6种 4.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密文件传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文a、b对应的密文为a＋2b,2a－b，例如：明文1,2对应的密文是5,0，当接收方收到的密文是1,7时，解密得到的明文是(　　) A.3，－1 B.1，－3 C.－3,1 D.－1,3 5.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是(　　) A.60厘米    B.80厘米 C.100厘米    D.120厘米 6.某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，根据题意可画示意图如图，则下列方程组正确的是(　　) A.      B. C.      D. 7.某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折(即售价的80%)的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为(　　) A.a元      B.0.8a元      C.1.04a元      D.0.92a元 8.某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(　　) A.310元    B.300元 C.290元    D.280元 9.小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12∶00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13∶00时看里程碑上的两位数与12∶00时看到的个位数和十位数颠倒了；14∶00时看到里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多了个零，小明在12∶00时看到里程碑上的数字是(　　) A.25 B.16 C.34 D.43 10.七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5∶3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有(　　) A.39名 B.43名 C.47名 D.55名 11.有A、B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精2千克，B瓶有酒精3千克．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%.把混合后的酒精再倒回A、B瓶，使得它们恢复原来的重量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%.那么原来A瓶的酒精浓度为(　　) A.25% B.20% C.35% D.30% 12.小华和小明到同一早餐店买汉堡和豆浆，已知小华买了5个汉堡和5杯豆浆；小明买了7个汉堡和3杯豆浆，且小华花的钱比小明花的钱少10元，关于汉堡和豆浆的价钱，下列叙述正确的是(　　) A.2个汉堡比2杯豆浆多10元 B.2个汉堡比2杯豆浆少10元 C.12个汉堡比8杯豆浆多10元 D.12个汉堡比8杯豆浆少10元 二、填空题 13.我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，古代一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.则大桶可盛酒　　　　斛. 14.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现了一种特殊的自然数——“极数”.定义：对于自然数n，如果各个数位上的数字之和是9的整数倍，则称这个自然数n为“极数”.例如：27与3 456都是“极数”，因为2+7=9，3+4+5+6=18，且9，18都是9的整数倍；35与2 786都不是“极数”，因为3+5=8，2+7+8+6=23，而8，23都不是9的整数倍.在大于100小于300的自然数中，共有“极数”　　　　个. 15.如图所示，用一些长短相同的火柴，连续摆正方形或六边形，要求每两个相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根火柴，则连续摆放了正方形　　　　个，六边形　　　　个. 16.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟． 17.甲，乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2 342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和为65，则原来两个数为______________． 三、解答题 18.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 根据表格，可以列出方程组　　　　. 解这个方程组，得　　　　. 因此，去年的总收入是　　　　　　，总支出是　　　　　　. 19.如图所示(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能列方程组解决这个问题吗？ 20.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺.问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺？” 21.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？ 22.江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨． (1)如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？ (2)在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1 375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？ 北师大版（2024）八年级上册 第五章 二元一次方程组3 二元一次方程组的应用 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，这是小菲同学用同一种长方形木块摆放形成的图案，其中三块横放的木块比一块竖放的木块高10 cm，两块横放的木块比两块竖放的木块矮40 cm，则摆成的这个图案的面积是(　　) A.3 850 cm2      B.4 150 cm2 C.4 200 cm2      D.4 600 cm2 【答案】C 【解析】 设长方形的长为x cm，宽为y cm， 由题意得 解得 所以长方形的长为35 cm，宽为15 cm， 所以图案的面积是35×15×8=4 200(cm2)， 综上所述，只有选项C正确，符合题意. 2.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元.现在购买甲、乙、丙各1件，共需 A.105元    B.210元 C.170元    D.不能确定 【答案】A 【解析】设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意，得 由①×3-②×2，得x+y+z=105， 即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元. 3.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？(改编自《缉古算经》)”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数.求得的结果有(　　) A.3种    B.4种    C.5种    D.6种 【答案】B 【解析】 设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得4x+6y=50， 所以x=. 又因为x，y均为正整数， 所以或或或 所以共有4种结果. 4.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密文件传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文a、b对应的密文为a＋2b,2a－b，例如：明文1,2对应的密文是5,0，当接收方收到的密文是1,7时，解密得到的明文是(　　) A.3，－1 B.1，－3 C.－3,1 D.－1,3 【答案】A 【解析】由题意，得解得故选A. 5.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是(　　) A.60厘米    B.80厘米 C.100厘米    D.120厘米 【答案】D 【解析】 设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得 解得 则每个小长方形的周长=2(x+y)=120(厘米). 6.某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，根据题意可画示意图如图，则下列方程组正确的是(　　) A.      B. C.      D. 【答案】C 7.某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折(即售价的80%)的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为(　　) A.a元      B.0.8a元      C.1.04a元      D.0.92a元 【答案】C 【解析】 (1+30%)a·80%=1.04a(元). 8.某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(　　) A.310元    B.300元 C.290元    D.280元 【答案】B 【解析】 设y=kx+b，由题图知，直线过(1，800)，(2，1 300)，代入得解得 所以y=500x+300， 当x=0时，y=300.即营销人员没有销售时的收入是300元. 9.小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12∶00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13∶00时看里程碑上的两位数与12∶00时看到的个位数和十位数颠倒了；14∶00时看到里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多了个零，小明在12∶00时看到里程碑上的数字是(　　) A.25 B.16 C.34 D.43 【答案】B 【解析】设小明在12∶00时看到里程碑上的数是两位数字的十位数字为x，个位数字为y，则两位数为10x＋y，本题中的2个等量关系为：十位数字＋个位数字＝7；由于匀速行驶，12∶00－13∶00所走的路程＝13∶00－14∶00所走的路程．列方程组求解即可．设小明在12∶00时看到里程碑上的数是两位数字的十位数字为x，个位数字为y，则两位数为10x＋y，由题意得：解得所以小明在12：00时看到程碑上的两位数字是16.故选B. 10.七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5∶3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有(　　) A.39名 B.43名 C.47名 D.55名 【答案】C 【解析】首先设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，由题意得等量关系：①男生最初人数∶(女生最初人数－14)＝5∶3，②男生最初人数－22＝女生最初人数－14，根据等量关系列出方程组，再解即可．设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，由题意，得解得故选C. 11.有A、B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精2千克，B瓶有酒精3千克．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%.把混合后的酒精再倒回A、B瓶，使得它们恢复原来的重量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%.那么原来A瓶的酒精浓度为(　　) A.25% B.20% C.35% D.30% 【答案】B 【解析】此题利用纯酒精的量除以酒精的总量等于酒精的浓度，设出两种酒精不同的浓度，通过两次不同的混合列出两个二元一次方程，组成方程组解答即可．2 000×15%＝300(克)，2 000－300＝1 700(克)，3 000×30%＝900(克)，3 000－900＝2 100(克)；设A、B两瓶原来的浓度各为x%、y%，由题意，得(300×x%＋900×y%)÷(300＋900)＝27.5%，[(1 700×x%＋300×27.5%)×40%＋(2 100×y%＋900×27.5%)×40%]÷(2 000×40%＋3 000×40%)＝26%，整理组成方程组得解得所以A瓶原来的浓度为20%.故选B. 12.小华和小明到同一早餐店买汉堡和豆浆，已知小华买了5个汉堡和5杯豆浆；小明买了7个汉堡和3杯豆浆，且小华花的钱比小明花的钱少10元，关于汉堡和豆浆的价钱，下列叙述正确的是(　　) A.2个汉堡比2杯豆浆多10元 B.2个汉堡比2杯豆浆少10元 C.12个汉堡比8杯豆浆多10元 D.12个汉堡比8杯豆浆少10元 【答案】A 【解析】小华和小明相比，少买了2个汉堡，多买了2杯豆浆，少花了10元．则说明2个汉堡比2杯豆浆多10元．设每个汉堡x元，每杯豆浆y元；则有5x＋5y＋10＝7x＋3y，即2x－2y＝10；因此2个汉堡比2杯豆浆多10元，故选A. 二、填空题 13.我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，古代一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.则大桶可盛酒　　　　斛. 【答案】 【解析】 设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛， 根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛得 解得 即1个大桶可以盛酒斛. 14.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现了一种特殊的自然数——“极数”.定义：对于自然数n，如果各个数位上的数字之和是9的整数倍，则称这个自然数n为“极数”.例如：27与3 456都是“极数”，因为2+7=9，3+4+5+6=18，且9，18都是9的整数倍；35与2 786都不是“极数”，因为3+5=8，2+7+8+6=23，而8，23都不是9的整数倍.在大于100小于300的自然数中，共有“极数”　　　　个. 【答案】 22 【解析】 设十位数字为x，个位数字为y(x，y均为一位自然数)， 当百位数字为1时，若1+x+y=9， 则或或或或或或或或 所以此种情况下共有“极数”9个； 若1+x+y=18， 则或 所以此种情况下共有“极数”2个； 当百位数字为2时，若2+x+y=9， 则或或或或或或或 所以此种情况下共有“极数”8个； 若2+x+y=18， 则或或 此种情况下共有“极数”3个. 综上所述，共有“极数”9+2+8+3=22(个). 15.如图所示，用一些长短相同的火柴，连续摆正方形或六边形，要求每两个相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根火柴，则连续摆放了正方形　　　　个，六边形　　　　个. 【答案】 16　12 【解析】 设连续摆放了正方形x个，六边形y个，列表. 则 化简得解得 所以连续摆放了正方形16个，六边形12个. 16.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟． 【答案】40 【解析】设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，根据题中“加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟”列出方程组并解答．依题意，得由①＋②，得7x＋14y＝140，所以x＋2y＝20，则2x＋4y＝40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．故答案是40. 17.甲，乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2 342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和为65，则原来两个数为______________． 【答案】230,42 【解析】多写一个0，这个加数扩大10倍，少写一个0，这个加数就缩小10倍，那么等量关系为：10×一个加数＋另一个加数＝2342；一个加数÷10＋另一个加数＝65.设一个加数为x，则另一个加数为y.根据题意，得解得故填230,42. 三、解答题 18.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 根据表格，可以列出方程组　　　　. 解这个方程组，得　　　　. 因此，去年的总收入是　　　　　　，总支出是　　　　　　. 【答案】 解　(1)涉及去年的利润200万元，今年的总收入比去年增加了20%，今年的总支出比去年减少了10%，今年的利润780万元. 等量关系：去年的总收入-去年的总支出=200万元；今年的总收入-今年的总支出=780万元. (2)若设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 由题意得 解得 所以去年的总收入是2 000万元，总支出是1 800万元. 19.如图所示(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能列方程组解决这个问题吗？ 【答案】 解　(1)涉及小长方形的长和宽，小长方形长和宽之和为40 cm，两个小长方形长之和等于一个小长方形长与3个小长方形宽的和. (2)设小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，由图可知 解得 所以小长方形的墙砖的长为30 cm，宽为10 cm. 20.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺.问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短.用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺？” 【答案】 解　设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺. 由绳子比木头长4.5尺得y-x=4.5；由绳子对折后比木头短1尺得x-=1. 由题意得 解得 所以木头的长度为6.5尺，绳子的长度为11尺. 21.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？ 【答案】解 设汽车的速度是x千米每小时，拖拉机速度y千米每小时， 根据题意，得 解得 则汽车汽车行驶的路程是(＋)×90＝165(千米)， 拖拉机行驶的路程是(＋)×30＝85(千米)． 答：汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了165千米和85千米． 22.江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨． (1)如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？ (2)在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1 375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？ 【答案】解 (1)设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，依题意有 解得15×50＋30×20＝750＋600＝1 350(千元)，1 350千元＝135万元． 答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元； (2)设乙种产品生产z件，则生产甲种产品(z＋25)件， 依题意有(1＋10%)×50(z＋25)＋(1－10%)×30z＝1 375， 解得z＝0，z＋25＝25，120－25×4＝120－100＝20(吨)，50－25×2＝50－50＝0(吨)． 答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1 375千元，A种原料还剩下20吨． 学科网（北京）股份有限公司 $