6.1《用树状图或表格求概率》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第6章 概率的进一步认识 6.1 用树状图或表格求概率 本节知识点总结 1. 利用树状图或表格，可以不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。 2. 树状图法：从“开始”出发，按试验的步骤逐层画出每一步的所有可能结果，适用于两步及两步以上的试验。 3. 列表法：用表格横行表示第一步的结果、竖列表示第二步的结果，交叉格列出所有组合，适用于涉及两个因素的两步试验。 4. 两步试验的常见类型：掷两枚硬币、有放回摸球、转盘游戏、配紫色游戏、石头剪刀布游戏、抽牌游戏等。 5. 概率公式：若一次试验共有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中 m 种结果，则 P(A) = 。 6. 游戏公平性的判断：比较各方获胜的概率是否相等。若各方概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏不公平。 7. 注意事项：当试验结果不是等可能时，需要将结果转化为等可能的结果。例如转盘 A 的红色区域面积是蓝色区域的 2 倍时，应将红色区域等分成 2 份，使所有结果等可能后再列表或画树状图。 分层作业 📅 一、基础过关题 （一）树状图法求概率 【考查要点】用树状图列出两步试验所有等可能结果，计算事件发生的概率。 【解题方法】从“开始”画出第一层分支（第一步所有可能结果），再从每个分支画出第二层分支（第二步所有可能结果），数出总结果数和符合条件的结果数，代入概率公式。 1. 连续掷两枚质地均匀的硬币，求两枚硬币都正面朝上的概率。 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同。如果 2 枚鸟卵全部成功孵化，那么 2 只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 3.（2026·黑龙江齐齐哈尔）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记词语外完全相同。第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（ ） A. B. C. D. （二）列表法求概率 【考查要点】用表格列出两步试验所有等可能的结果。 【解题方法】横行表示第一步的结果，竖列表示第二步的结果，交叉格列出所有组合，数出总结果数和符合条件的结果数。 4.（2025·江苏苏州）现有 A、B、C 共 3 部电影，甲、乙两位同学分别从中任意选择 1 部电影观看。求甲、乙两位同学选择不同电影的概率。 5.（2025·福建）在分别写有 -1、1、2 的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（2026·江苏宿迁）某校八年级组织研学活动，策划了四个场馆：A 宿迁市博物馆、B 沭阳县博物馆、C 中国杨树博物馆、D 洪泽湖湿地博物馆。小丽和小明各自任意选择一个场馆参观。求小丽和小明选择不同场馆的概率。 （三）游戏公平性的判断 【考查要点】比较游戏各方获胜的概率是否相等。 【解题方法】先用树状图或列表求出各方获胜的概率，再比较这些概率是否相等。 7. 连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上则小明获胜；若两枚反面朝上则小刚获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上则小凡获胜。你认为这个游戏公平吗？ 8.（2026·江苏无锡）一只不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外都相同。甲先从袋中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出 1 个球。游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，颜色不同则乙胜。这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？ 9. 小明和小凡玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人手势相同则小刚获胜；如果两人手势不同，则按“石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头”的规则决定小明和小凡中的获胜者。假设小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，这个游戏公平吗？ （四）转盘游戏中的概率 【考查要点】用树状图或列表求两次转动转盘的概率。 【解题方法】先明确转盘每次转动的所有等可能结果，再列表或画树状图列出两次转动的所有组合。 10.（2025·甘肃平凉）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色。任意转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。 11.（2026·山东济南）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐。假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行、另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 课本“配紫色”游戏：转盘 A 被等分成红色和白色两个扇形，转盘 B 被等分成黄、蓝、绿三个扇形。同时转动两个转盘，若转盘 A 转出红色、转盘 B 转出蓝色，则游戏者赢。求游戏者获胜的概率。 （五）配紫色游戏 【考查要点】红色和蓝色配成紫色的概率计算。 【解题方法】用列表法找出“一个转盘转出红色、另一个转盘转出蓝色”的所有结果数。 13. 课本例 2：一个盒子中装有 2 个红球、2 个白球和 1 个蓝球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出 1 个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率。 14. 课本随堂练习：用两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的三个扇形（转盘 A 分为红、白、蓝三色，转盘 B 分为红、黄、蓝三色），配得紫色的概率是多少？ 15. 课本“尝试·思考”：转盘 A 中蓝色区域的圆心角为 120°，红色区域的圆心角为 240°；转盘 B 被等分成红色和蓝色两个扇形。同时转动两个转盘，配成紫色（一个红、一个蓝）的概率是多少？ （六）摸球（有放回）中的概率 【考查要点】有放回摸球两次的概率计算。 【解题方法】有放回时第二次摸球的条件与第一次相同，用列表法最清晰。 16.（2025·辽宁）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同。从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 17.（2025·江苏连云港）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同。搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次都摸到白球的概率。 18.（2026·宁夏）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别。从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是______。 （七）实际应用（遗传学、抽奖等） 【考查要点】将实际问题抽象为两步试验模型。 【解题方法】从实际问题中抽象出两步试验的所有等可能结果，再用树状图或列表计算概率。 19. 课本随堂练习：孟德尔豌豆实验中，豌豆豆荚的性状由一对等位基因 S 和 s 决定。假设父本与母本的基因组成都是 Ss，它们的两个等位基因 S 和 s 会等可能地遗传给其子代，求子代豆荚性状是饱满的概率。（基因组成 SS、Ss 表现为饱满，ss 表现为皱褶。） 20. 课本例 1：小凡利用三张卡片设计抽奖游戏，三张卡片上分别画有图书、文具和球拍的图案。将卡片从中间剪开，上半部分放入第一个盒子，下半部分放入第二个盒子。从每个盒子中各随机抽出一片，若两片恰好能拼成原来的图案则中奖。求小明得到奖品的概率。 21.（2025·吉林）在“2025 健康长跑”活动中，活动需分 A、B、C 三组进行，每人只能被随机分配到其中一组。请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率。 二、进阶思维题 （一）选择题 22.（2025·山东）博物馆准备了“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个。若抽到每款可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 23.（2026·甘肃兰州）在四张卡片正面分别写上“我”“爱”“兰”“州”，背面朝上洗匀放好。小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“兰州”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 24.（2026·河北）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数），若向上一面的点数之和为 2 的概率与点数之和为 n 的概率相等，则 n =（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 25.（2025·河南）正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 26.（2026·广东）有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 27.（2026·湖北武汉）某地铁站有 3 个入口，小美和小好各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ） A. B. C. D. （二）填空题 28.（2025·浙江）现有六张卡片，标有数字 1、4、5 的在甲手中，标有数字 2、3、6 的在乙手中。两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是_____。 29.（2025·山西）创新小组设计了一款小程序，每点击一次按钮，“●”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“●”位于格子 A 时，小明连续点击两次按钮，“●”回到格子 A 的概率是______。 30.（2025·广西）从 3、4、5 三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______。 31.（2025·甘肃兰州）甲盒装有 d、t、l 三张声母卡片，乙盒装有 a、e、i 三张韵母卡片。分别从两盒中随机各抽取一张，两张卡片刚好拼成“德”字读音（d 和 e）的概率是______。 32.（2026·四川甘孜）某设备的电路图中共有三个开关 S1、S2、S3，随机闭合其中两个开关，则灯泡 L 亮的概率为______。（已知 S3 在干路上，要使灯泡亮必须闭合 S3，且 S1、S2 中至少闭合一个。） （三）解答题 33.（2025·陕西）设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作 A、B、C、D、E）共五个研究方向。小秦从中随机抽取一张，记下结果后放回，洗匀后小博再从中随机抽取一张。求这两个小组研究方向不同的概率。 34.（2025·江苏扬州）现有 4 种体育类活动：A 羽毛球、B 乒乓球、C 花样跳绳、D 踢毽子，每名学生只能选择其中一种。求小明和小聪随机选择到同一种体育活动的概率。 35.（2026·陕西）用 A、B、C、D 分别对应四本书《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》。小智先摸出一个小球，记下结果后放回，小慧再摸出一个小球。求小智和小慧中至少有一位同学分享《红星照耀中国》（D）的概率。 36.（2025·云南）一个箱子中放了标有数字 1、2 的两张卡片，班长先摸出一张，数字记为 x；另一个箱子中放了标有数字 1、2、3 的三张卡片，班长再摸出一张，数字记为 y。若 x < y，则 A 组到甲敬老院。 （1）求 (x,y) 所有可能出现的结果总数； （2）求 A 组学生到甲敬老院（即 x < y）的概率 P。 三、中考链接题 37.（2025·甘肃）一个可以自由转动的转盘，被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色。 （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率是______； （2）任意转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。 38.（2025·江苏连云港）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同。 （1）搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到红球的概率是______； （2）记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次都摸到白球的概率。 39.（2025·江苏苏州）现有 A、B、C 共 3 部电影，甲、乙 2 位同学分别从中任意选择 1 部电影观看。 （1）甲同学选择 A 电影的概率为______； （2）求甲、乙 2 位同学选择不同电影的概率。 40.（2025·吉林）活动需分 A、B、C 三组进行，每人只能被随机分配到其中一组。求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率。 41.（2026·江苏无锡）一只不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球。甲先摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再摸出 1 个球。 （1）求甲摸到红球的概率； （2）游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，颜色不同则乙胜。这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？ 42.（2026·吉林）组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组。求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率。 43.（2026·江苏徐州）甲、乙两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等。求两人选择相同景点的概率。 44.（2025·山东威海）一个不透明的袋子中装有 2 个绿球、1 个白球，每个球除颜色外都相同。小明同学从袋中随机摸出 1 个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出 1 个球。两人摸到不同颜色球的概率是______。 45.（2025·四川达州）甲同学从 B、C、D 三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从 C、D 两个基地中随机选择一个参加研学。求两位同学选择相同研学基地的概率。 46.（2026·山东济南）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐。假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行、另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第6章 概率的进一步认识 6.1 用树状图或表格求概率 本节知识点总结 1. 利用树状图或表格，可以不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。 2. 树状图法：从“开始”出发，按试验的步骤逐层画出每一步的所有可能结果，适用于两步及两步以上的试验。 3. 列表法：用表格横行表示第一步的结果、竖列表示第二步的结果，交叉格列出所有组合，适用于涉及两个因素的两步试验。 4. 两步试验的常见类型：掷两枚硬币、有放回摸球、转盘游戏、配紫色游戏、石头剪刀布游戏、抽牌游戏等。 5. 概率公式：若一次试验共有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中 m 种结果，则 P(A) = 。 6. 游戏公平性的判断：比较各方获胜的概率是否相等。若各方概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏不公平。 7. 注意事项：当试验结果不是等可能时，需要将结果转化为等可能的结果。例如转盘 A 的红色区域面积是蓝色区域的 2 倍时，应将红色区域等分成 2 份，使所有结果等可能后再列表或画树状图。 分层作业 📅 一、基础过关题 （一）树状图法求概率 【考查要点】用树状图列出两步试验所有等可能结果，计算事件发生的概率。 【解题方法】从“开始”画出第一层分支（第一步所有可能结果），再从每个分支画出第二层分支（第二步所有可能结果），数出总结果数和符合条件的结果数，代入概率公式。 1. 连续掷两枚质地均匀的硬币，求两枚硬币都正面朝上的概率。 【答案】P = 。 【解析】画树状图可知，共有 (正,正)(正,反)(反,正)(反,反) 4 种等可能的结果，其中两枚都正面朝上的结果只有 1 种。 【解答】画树状图如下： 由树状图可知，共有 4 种等可能的结果，其中两枚都正面朝上的结果只有 (正,正) 1 种。 P（两枚都正面朝上）= 。 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同。如果 2 枚鸟卵全部成功孵化，那么 2 只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D。 【解析】每枚鸟卵孵化有雌、雄 2 种等可能结果，2 枚鸟卵共有 4 种等可能结果，其中 2 只都是雄鸟的结果只有 1 种。 【解答】画树状图如下： 由树状图可知，共有 4 种等可能的结果，其中 2 只都是雄鸟的结果只有 (雄,雄) 1 种。 P（2 只都是雄鸟）= ， 故选 D。 3.（2026·黑龙江齐齐哈尔）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记词语外完全相同。第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A。 【解析】有放回摸两次，共有 4 种等可能结果，两次都为“热爱”的结果只有 1 种。 【解答】列表如下： 表1 两次摸球结果列表 热爱 奔赴 热爱 (热爱,热爱) (热爱,奔赴) 奔赴 (奔赴,热爱) (奔赴,奔赴) 由表可知，共有 4 种等可能的结果，其中两次都为“热爱”的结果只有 (热爱,热爱) 1 种。 P（两次都为“热爱”）= ， 故选 A。 （二）列表法求概率 【考查要点】用表格列出两步试验所有等可能的结果。 【解题方法】横行表示第一步的结果，竖列表示第二步的结果，交叉格列出所有组合，数出总结果数和符合条件的结果数。 4.（2025·江苏苏州）现有 A、B、C 共 3 部电影，甲、乙两位同学分别从中任意选择 1 部电影观看。求甲、乙两位同学选择不同电影的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，其中甲、乙选择不同电影的结果有 6 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙）： 表2 甲、乙选择电影结果列表 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙选择不同电影的结果有 (A,B)(A,C)(B,A)(B,C)(C,A)(C,B) 共 6 种。 P（选择不同电影）= = 。 5.（2025·福建）在分别写有 -1、1、2 的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B。 【解析】不放回抽两张，共有 6 种等可能结果，其中互为相反数的有 (-1,1) 和 (1,-1) 共 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(-1,1)(-1,2)(1,-1)(1,2)(2,-1)(2,1)，共 6 种。其中互为相反数的有 (-1,1)(1,-1) 共 2 种。 P = = ， 故选 B。 6.（2026·江苏宿迁）某校八年级组织研学活动，策划了四个场馆：A 宿迁市博物馆、B 沭阳县博物馆、C 中国杨树博物馆、D 洪泽湖湿地博物馆。小丽和小明各自任意选择一个场馆参观。求小丽和小明选择不同场馆的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 16 种等可能结果，其中两人选择不同场馆的结果有 12 种。 【解答】列表如下（行表示小丽，列表示小明）： 表3 小丽、小明选择场馆结果列表 A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可知，共有 16 种等可能的结果，其中两人选择不同场馆的结果有 12 种。 P（选择不同场馆）= = 。 （三）游戏公平性的判断 【考查要点】比较游戏各方获胜的概率是否相等。 【解题方法】先用树状图或列表求出各方获胜的概率，再比较这些概率是否相等。 7. 连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上则小明获胜；若两枚反面朝上则小刚获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上则小凡获胜。你认为这个游戏公平吗？ 【答案】游戏不公平，对小凡有利。 【解析】共有 4 种等可能结果：(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)。小明胜 1 种，小刚胜 1 种，小凡胜 2 种。 【解答】列表如下： 表4 掷两枚硬币结果列表 正 反 正 (正,正)小明胜 (正,反)小凡胜 反 (反,正)小凡胜 (反,反)小刚胜 由表可知，共有 4 种等可能结果：小明获胜有 (正,正) 1 种，小刚获胜有 (反,反) 1 种，小凡获胜有 (正,反)(反,正) 共 2 种。 P（小明胜）= ，P（小刚胜）= ，P（小凡胜）= = 。 因为三人获胜概率不相等，所以这个游戏不公平，它对小凡比较有利。 8.（2026·江苏无锡）一只不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外都相同。甲先从袋中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出 1 个球。游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，颜色不同则乙胜。这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？ 【答案】游戏不公平。 【解析】将两个红球记为红1、红2，列表可知共有 9 种等可能结果，颜色相同 5 种，颜色不同 4 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙）： 表5 甲、乙摸球结果列表 红1 红2 白 红1 (红1,红1)甲胜 (红1,红2)甲胜 (红1,白)乙胜 红2 (红2,红1)甲胜 (红2,红2)甲胜 (红2,白)乙胜 白 (白,红1)乙胜 (白,红2)乙胜 (白,白)甲胜 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色相同（甲胜）的有 5 种，颜色不同（乙胜）的有 4 种。 P（甲胜）= ，P（乙胜）= 。因为 ≠ ，所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平。 9. 小明和小凡玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人手势相同则小刚获胜；如果两人手势不同，则按“石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头”的规则决定小明和小凡中的获胜者。假设小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，这个游戏公平吗？ 【答案】游戏公平。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果。小刚胜（手势相同）3 种，小明胜 3 种，小凡胜 3 种。 【解答】列表如下（行表示小明，列表示小凡）： 表6 石头剪刀布结果列表 石头 剪刀 布 石头 (石,石)小刚胜 (石,剪)小明胜 (石,布)小凡胜 剪刀 (剪,石)小凡胜 (剪,剪)小刚胜 (剪,布)小明胜 布 (布,石)小明胜 (布,剪)小凡胜 (布,布)小刚胜 由表可知，共有 9 种等可能结果：小刚获胜 3 种，小明获胜 3 种，小凡获胜 3 种。 P（小刚胜）= P（小明胜）= P（小凡胜）= = 。三人获胜概率相等，所以这个游戏是公平的。 （四）转盘游戏中的概率 【考查要点】用树状图或列表求两次转动转盘的概率。 【解题方法】先明确转盘每次转动的所有等可能结果，再列表或画树状图列出两次转动的所有组合。 10.（2025·甘肃平凉）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色。任意转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，其中颜色不同的结果有 6 种。 【解答】列表如下（行表示第一次，列表示第二次）： 表7 两次转动转盘结果列表 红 白 蓝 红 (红,红)同色 (红,白)不同 (红,蓝)不同 白 (白,红)不同 (白,白)同色 (白,蓝)不同 蓝 (蓝,红)不同 (蓝,白)不同 (蓝,蓝)同色 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不同的有 6 种。 P（颜色不同）= = 。 11.（2026·山东济南）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐。假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行、另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B。 【解析】画树状图可知共有 9 种等可能结果，其中一人直行、另一人右拐的有 (直,右)(右,直) 共 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(直,直)(直,左)(直,右)(左,直)(左,左)(左,右)(右,直)(右,左)(右,右)，共 9 种。其中一人直行、另一人右拐的有 (直,右)(右,直) 共 2 种。 P = ， 故选 B。 12. 课本“配紫色”游戏：转盘 A 被等分成红色和白色两个扇形，转盘 B 被等分成黄、蓝、绿三个扇形。同时转动两个转盘，若转盘 A 转出红色、转盘 B 转出蓝色，则游戏者赢。求游戏者获胜的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 6 种等可能结果，其中配成紫色的 (红,蓝) 只有 1 种。 【解答】列表如下（行表示转盘 A，列表示转盘 B）： 表8 配紫色游戏结果列表 黄 蓝 绿 红 (红,黄) (红,蓝)紫 (红,绿) 白 (白,黄) (白,蓝) (白,绿) 由表可知，共有 6 种等可能结果，其中配成紫色（红,蓝）的只有 1 种。 P（配成紫色）= 。 （五）配紫色游戏 【考查要点】红色和蓝色配成紫色的概率计算。 【解题方法】用列表法找出“一个转盘转出红色、另一个转盘转出蓝色”的所有结果数。 13. 课本例 2：一个盒子中装有 2 个红球、2 个白球和 1 个蓝球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出 1 个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率。 【答案】P = 。 【解析】将两红球记为红1、红2，两白球记为白1、白2，列表可知共有 25 种等可能结果，配成紫色的有 4 种。 【解答】列表如下（行表示第一次，列表示第二次）： 表9 有放回摸球配紫色结果列表 红1 红2 白1 白2 蓝 红1 (红1,红1) (红1,红2) (红1,白1) (红1,白2) (红1,蓝)紫 红2 (红2,红1) (红2,红2) (红2,白1) (红2,白2) (红2,蓝)紫 白1 (白1,红1) (白1,红2) (白1,白1) (白1,白2) (白1,蓝) 白2 (白2,红1) (白2,红2) (白2,白1) (白2,白2) (白2,蓝) 蓝 (蓝,红1)紫 (蓝,红2)紫 (蓝,白1) (蓝,白2) (蓝,蓝) 由表可知，共有 25 种等可能结果，其中配成紫色（一红一蓝）的有 (红1,蓝)(红2,蓝)(蓝,红1)(蓝,红2) 共 4 种。 P（能配成紫色）= 。 14. 课本随堂练习：用两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的三个扇形（转盘 A 分为红、白、蓝三色，转盘 B 分为红、黄、蓝三色），配得紫色的概率是多少？ 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，配成紫色的有 (红A,蓝B)(蓝A,红B) 共 2 种。 【解答】列表如下（行表示转盘 A，列表示转盘 B）： 表10 配紫色游戏结果列表 红 黄 蓝 红 (红,红) (红,黄) (红,蓝)紫 白 (白,红) (白,黄) (白,蓝) 蓝 (蓝,红)紫 (蓝,黄) (蓝,蓝) 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中配成紫色的有 (红A,蓝B)(蓝A,红B) 共 2 种。 P（配得紫色）= 。 15. 课本“尝试·思考”：转盘 A 中蓝色区域的圆心角为 120°，红色区域的圆心角为 240°；转盘 B 被等分成红色和蓝色两个扇形。同时转动两个转盘，配成紫色（一个红、一个蓝）的概率是多少？ 【答案】P = 。 【解析】转盘 A 红色面积是蓝色的 2 倍，需将红色等分成 2 份（红1、红2），列表共 6 种等可能结果，配成紫色的有 3 种。 【解答】将转盘 A 的红色区域等分成 2 份（红1、红2），列表如下： 表11 不等面积转盘配紫色结果列表 红 蓝 红1 (红1,红) (红1,蓝)紫 红2 (红2,红) (红2,蓝)紫 蓝 (蓝,红)紫 (蓝,蓝) 由表可知，共有 6 种等可能结果，其中配成紫色的有 (红1,蓝)(红2,蓝)(蓝,红) 共 3 种。 P（配成紫色）= = 。 （六）摸球（有放回）中的概率 【考查要点】有放回摸球两次的概率计算。 【解题方法】有放回时第二次摸球的条件与第一次相同，用列表法最清晰。 16.（2025·辽宁）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同。从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C。 【解析】列表可知共有 4 种等可能结果，两次同色的有 (红,红)(黄,黄) 共 2 种。 【解答】列表如下： 表12 有放回摸球结果列表 红 黄 红 (红,红)同色 (红,黄) 黄 (黄,红) (黄,黄)同色 由表可知，共有 4 种等可能结果，其中两次摸出相同颜色的有 2 种。 P（两次同色）= = ， 故选 C。 17.（2025·江苏连云港）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同。搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次都摸到白球的概率。 【答案】P = 。 【解析】将 3 个白球记为白1、白2、白3，列表可知共有 16 种等可能结果，两次都白的有 9 种。 【解答】列表如下（行表示第一次，列表示第二次）： 表13 有放回摸球结果列表 红 白1 白2 白3 红 (红,红) (红,白1) (红,白2) (红,白3) 白1 (白1,红) (白1,白1) (白1,白2) (白1,白3) 白2 (白2,红) (白2,白1) (白2,白2) (白2,白3) 白3 (白3,红) (白3,白1) (白3,白2) (白3,白3) 由表可知，共有 16 种等可能结果，其中两次都摸到白球的有 9 种。 P（2 次都摸到白球）= 。 18.（2026·宁夏）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别。从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是______。 【答案】。 【解析】画树状图可知共有 4 种等可能结果，两次同色的有 (红,红)(绿,绿) 共 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(红,红)(红,绿)(绿,红)(绿,绿)，共 4 种。其中两次摸到相同颜色的有 (红,红)(绿,绿) 共 2 种。 P（两次同色）= = 。 （七）实际应用（遗传学、抽奖等） 【考查要点】将实际问题抽象为两步试验模型。 【解题方法】从实际问题中抽象出两步试验的所有等可能结果，再用树状图或列表计算概率。 19. 课本随堂练习：孟德尔豌豆实验中，豌豆豆荚的性状由一对等位基因 S 和 s 决定。假设父本与母本的基因组成都是 Ss，它们的两个等位基因 S 和 s 会等可能地遗传给其子代，求子代豆荚性状是饱满的概率。（基因组成 SS、Ss 表现为饱满，ss 表现为皱褶。） 【答案】P = 。 【解析】父本可提供 S 或 s，母本可提供 S 或 s，列表共 4 种等可能结果，饱满的有 3 种。 【解答】列表如下（行表示父本，列表示母本）： 表14 孟德尔豌豆杂交遗传结果列表 S s S (S,S) 饱满 (S,s) 饱满 s (s,S) 饱满 (s,s) 皱褶 由表可知，共有 4 种等可能结果，其中子代为饱满（SS、Ss、sS）的有 3 种。 P（子代饱满）= 。 20. 课本例 1：小凡利用三张卡片设计抽奖游戏，三张卡片上分别画有图书、文具和球拍的图案。将卡片从中间剪开，上半部分放入第一个盒子，下半部分放入第二个盒子。从每个盒子中各随机抽出一片，若两片恰好能拼成原来的图案则中奖。求小明得到奖品的概率。 【答案】P = 。 【解析】将上半部分记为 A、B、C，下半部分记为 a、b、c，列表共 9 种等可能结果，拼成原图案的有 3 种。 【解答】列表如下（行表示第一盒，列表示第二盒）： 表15 抽奖卡片结果列表 a b c A (A,a)中奖 (A,b) (A,c) B (B,a) (B,b)中奖 (B,c) C (C,a) (C,b) (C,c)中奖 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中拼成原图案的有 (A,a)(B,b)(C,c) 共 3 种。 P（得到奖品）= = 。 21.（2025·吉林）在“2025 健康长跑”活动中，活动需分 A、B、C 三组进行，每人只能被随机分配到其中一组。请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率。 【答案】P = 。 【解析】画树状图可知共有 9 种等可能结果，两人同组的有 3 种。 【解答】列表如下（行表示小顺，列表示小利）： 表16 分组结果列表 A B C A (A,A)同组 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同组 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同组 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人被分配到同一组的有 3 种。 P（同一组）= = 。 二、进阶思维题 （一）选择题 22.（2025·山东）博物馆准备了“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个。若抽到每款可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，两人同时抽到“亚醜钺”的只有 1 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙，记“亚醜钺”为 A、“蛋壳黑陶杯”为 B、“颂簋”为 C）： 表17 抽文创结果列表 A B C A (A,A)同抽亚醜钺 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的只有 (A,A) 1 种。 P = ，故选 A。 23.（2026·甘肃兰州）在四张卡片正面分别写上“我”“爱”“兰”“州”，背面朝上洗匀放好。小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“兰州”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A。 【解析】不放回抽两张，画树状图可知共有 12 种等可能结果，组成“兰州”的有 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(我,爱)(我,兰)(我,州)(爱,我)(爱,兰)(爱,州)(兰,我)(兰,爱)(兰,州)(州,我)(州,爱)(州,兰)，共 12 种。其中恰好能组成“兰州”的有 (兰,州)(州,兰) 共 2 种。 P = = ， 故选 A。 24.（2026·河北）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数），若向上一面的点数之和为 2 的概率与点数之和为 n 的概率相等，则 n =（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 【答案】D。 【解析】列表可知掷两枚骰子共有 36 种等可能结果。和为 2 只有 (1,1) 1 种，和为 12 只有 (6,6) 1 种。 【解答】列表如下（行表示第一枚，列表示第二枚，表中为点数之和）： 表18 掷两枚骰子点数之和列表 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表可知，共有 36 种等可能结果。点数之和为 2 只有 (1,1) 1 种，概率为 ；点数之和为 12 只有 (6,6) 1 种，概率也为 ，二者相等。 故选 D。 25.（2025·河南）正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B。 【解析】画树状图可知共有 12 种等可能结果，恰好是“丽”和“山”的有 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(美,丽)(美,山)(美,河)(丽,美)(丽,山)(丽,河)(山,美)(山,丽)(山,河)(河,美)(河,丽)(河,山)，共 12 种。其中恰好是“丽”和“山”的有 (丽,山)(山,丽) 共 2 种。 P = = ， 故选 B。 26.（2026·广东）有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，两人同项目的有 3 种。 【解答】列表如下（行表示小晨，列表示小明，记三项目为 A、B、C）： 表19 体验项目选择结果列表 A B C A (A,A)同项目 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同项目 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同项目 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人恰好抽到同一个项目的有 3 种。 P = = ， 故选 C。 27.（2026·湖北武汉）某地铁站有 3 个入口，小美和小好各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C。 【解析】画树状图可知共有 9 种等可能结果，两人同入口的有 3 种。 【解答】列表如下（行表示小美，列表示小好，记三个入口为 A、B、C）： 表20 选择入口结果列表 A B C A (A,A)同入口 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同入口 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同入口 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人从同一个入口进站的有 3 种。 P = = ， 故选 C。 （二）填空题 28.（2025·浙江）现有六张卡片，标有数字 1、4、5 的在甲手中，标有数字 2、3、6 的在乙手中。两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是______。 【答案】。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，甲比乙大的有 4 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙）： 表21 两人出卡片结果列表 2 3 6 1 (1,2) (1,3) (1,6) 4 (4,2)甲大 (4,3)甲大 (4,6) 5 (5,2)甲大 (5,3)甲大 (5,6) 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中甲出的数字比乙大的有 (4,2)(4,3)(5,2)(5,3) 共 4 种。 P = 。 29.（2025·山西）创新小组设计了一款小程序，每点击一次按钮，“●”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“●”位于格子 A 时，小明连续点击两次按钮，“●”回到格子 A 的概率是______。 【答案】。 【解析】第一次有左、右 2 种选择，第二次又有左、右 2 种选择，共 4 种等可能结果，回到 A 的有 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(左,左)(左,右)(右,左)(右,右)，共 4 种。其中回到 A 的有 (左,右)(右,左) 共 2 种。 P = = 。 30.（2025·广西）从 3、4、5 三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______。 【答案】。 【解析】画树状图可知共有 6 种等可能结果，和为偶数的有 2 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(3,4)(3,5)(4,3)(4,5)(5,3)(5,4)，共 6 种。其中两个数字之和是偶数的有 (3,5)(5,3) 共 2 种。 P = = 。 31.（2025·甘肃兰州）甲盒装有 d、t、l 三张声母卡片，乙盒装有 a、e、i 三张韵母卡片。分别从两盒中随机各抽取一张，两张卡片刚好拼成“德”字读音（d 和 e）的概率是______。 【答案】。 【解析】列表可知共有 9 种等可能结果，抽到 (d,e) 的只有 1 种。 【解答】列表如下（行表示甲盒，列表示乙盒）： 表22 声母韵母组合结果列表 a e i d (d,a) (d,e)德 (d,i) t (t,a) (t,e) (t,i) l (l,a) (l,e) (l,i) 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中抽到 (d,e) 的只有 1 种。 P = 。 32.（2026·四川甘孜）某设备的电路图中共有三个开关 S1、S2、S3，随机闭合其中两个开关，则灯泡 L 亮的概率为______。（已知 S3 在干路上，要使灯泡亮必须闭合 S3，且 S1、S2 中至少闭合一个。） 【答案】。 【解析】从三个开关中闭合两个，共有 3 种等可能结果，灯亮的有 2 种。 【解答】列出所有闭合两个开关的组合： 表23 闭合开关结果列表 S1S2 S1S3 S2S3 灯是否亮 不亮（S3断开） 亮 亮 由表可知，共有 3 种等可能结果，其中灯泡亮的有 S1S3、S2S3 共 2 种。 P = 。 （三）解答题 33.（2025·陕西）设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作 A、B、C、D、E）共五个研究方向。小秦从中随机抽取一张，记下结果后放回，洗匀后小博再从中随机抽取一张。求这两个小组研究方向不同的概率。 【答案】P = 。 【解析】有放回抽取，列表共 25 种等可能结果，方向不同的有 20 种。 【解答】列表如下（行表示小秦，列表示小博，共 5×5=25 种等可能结果）： 表24 研究方向选择结果列表 A B C D E A (A,A)同 (A,B)不同 (A,C)不同 (A,D)不同 (A,E)不同 B (B,A)不同 (B,B)同 (B,C)不同 (B,D)不同 (B,E)不同 C (C,A)不同 (C,B)不同 (C,C)同 (C,D)不同 (C,E)不同 D (D,A)不同 (D,B)不同 (D,C)不同 (D,D)同 (D,E)不同 E (E,A)不同 (E,B)不同 (E,C)不同 (E,D)不同 (E,E)同 由表可知，共有 25 种等可能结果，其中方向相同的有 5 种，方向不同的有 20 种。 P（方向不同）= = 。 34.（2025·江苏扬州）现有 4 种体育类活动：A 羽毛球、B 乒乓球、C 花样跳绳、D 踢毽子，每名学生只能选择其中一种。求小明和小聪随机选择到同一种体育活动的概率。 【答案】P = 。 【解析】画树状图可知共有 16 种等可能结果，选同一种的有 4 种。 【解答】列表如下（行表示小明，列表示小聪）： 表25 体育活动选择结果列表 A B C D A (A,A)同 (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B)同 (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C)同 (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)同 由表可知，共有 16 种等可能结果，其中两人选到同一种体育活动的有 4 种。 P（同一种）= = 。 35.（2026·陕西）用 A、B、C、D 分别对应四本书《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》。小智先摸出一个小球，记下结果后放回，小慧再摸出一个小球。求小智和小慧中至少有一位同学分享《红星照耀中国》（D）的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表可知共有 16 种等可能结果，至少一人摸到 D 的有 7 种。 【解答】列表如下（行表示小智，列表示小慧）： 表26 选书结果列表（★表示至少一人选D） A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)★ B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)★ C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)★ D (D,A)★ (D,B)★ (D,C)★ (D,D)★ 由表可知，共有 16 种等可能结果，其中至少有一位同学分享 D 的有 7 种（表中★标记）。 P（至少一人分享 D）= 。 36.（2025·云南）一个箱子中放了标有数字 1、2 的两张卡片，班长先摸出一张，数字记为 x；另一个箱子中放了标有数字 1、2、3 的三张卡片，班长再摸出一张，数字记为 y。若 x < y，则 A 组到甲敬老院。 （1）求 (x,y) 所有可能出现的结果总数； （2）求 A 组学生到甲敬老院（即 x < y）的概率 P。 【答案】（1）6 种；（2）P = 。 【解析】（1）x 有 1、2 两种，y 有 1、2、3 三种，共 6 种等可能结果。（2）x<y 的有 3 种。 【解答】（1）列表如下（行表示 x，列表示 y）： 表27 (x,y) 结果列表 1 2 3 1 (1,1) (1,2) x<y (1,3) x<y 2 (2,1) (2,2) (2,3) x<y 由表可知，(x,y) 所有可能出现的结果总数为 6。 （2）其中 x < y 的有 (1,2)(1,3)(2,3) 共 3 种。 P（A 组到甲敬老院）= = 。 三、中考链接题 37.（2025·甘肃）一个可以自由转动的转盘，被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色。 （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率是______； （2）任意转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。 【答案】（1）；（2）P = 。 【解析】（1）红色占 1 份。（2）列表共 9 种，颜色不同 6 种。 【解答】（1）P（落在红色区域）= 。 （2）列表如下（行表示第一次，列表示第二次）： 表28 两次转动转盘结果列表 红 白 蓝 红 (红,红)同色 (红,白)不同 (红,蓝)不同 白 (白,红)不同 (白,白)同色 (白,蓝)不同 蓝 (蓝,红)不同 (蓝,白)不同 (蓝,蓝)同色 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不同的有 6 种。 P（颜色不同）= = 。 38.（2025·江苏连云港）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同。 （1）搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到红球的概率是______； （2）记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次都摸到白球的概率。 【答案】（1）；（2）P = 。 【解析】（1）4 个球中 1 红。（2）有放回列表共 16 种，两次都白 9 种。 【解答】（1）P（摸到红球）= 。 （2）列表如下（行表示第一次，列表示第二次，记三白球为白1、白2、白3）： 表29 有放回摸球结果列表 红 白1 白2 白3 红 (红,红) (红,白1) (红,白2) (红,白3) 白1 (白1,红) (白1,白1) (白1,白2) (白1,白3) 白2 (白2,红) (白2,白1) (白2,白2) (白2,白3) 白3 (白3,红) (白3,白1) (白3,白2) (白3,白3) 由表可知，共有 16 种等可能结果，其中两次都摸到白球的有 9 种。 P（2 次都摸到白球）= 。 39.（2025·江苏苏州）现有 A、B、C 共 3 部电影，甲、乙 2 位同学分别从中任意选择 1 部电影观看。 （1）甲同学选择 A 电影的概率为______； （2）求甲、乙 2 位同学选择不同电影的概率。 【答案】（1）；（2）P = 。 【解析】（1）3 部电影选 1 部。（2）列表共 9 种，不同电影 6 种。 【解答】（1）P（甲选 A）= 。 （2）列表如下（行表示甲，列表示乙）： 表30 选择电影结果列表 A B C A (A,A)同 (A,B)不同 (A,C)不同 B (B,A)不同 (B,B)同 (B,C)不同 C (C,A)不同 (C,B)不同 (C,C)同 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中甲、乙选择不同电影的有 6 种。 P（选择不同电影）= = 。 40.（2025·吉林）活动需分 A、B、C 三组进行，每人只能被随机分配到其中一组。求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表共 9 种等可能结果，同组 3 种。 【解答】列表如下（行表示小顺，列表示小利）： 表31 分组结果列表 A B C A (A,A)同组 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同组 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同组 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人被分配到同一组的有 3 种。 P（同一组）= = 。 41.（2026·江苏无锡）一只不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球。甲先摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再摸出 1 个球。 （1）求甲摸到红球的概率； （2）游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，颜色不同则乙胜。这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？ 【答案】（1）P = ；（2）游戏不公平。 【解析】（1）3 球中 2 红。（2）列表共 9 种，同色 5 种，异色 4 种。 【解答】（1）P（甲摸到红球）= 。 （2）列表如下（行表示甲，列表示乙，记两红球为红1、红2）： 表32 甲、乙摸球结果列表 红1 红2 白 红1 (红1,红1)甲胜 (红1,红2)甲胜 (红1,白)乙胜 红2 (红2,红1)甲胜 (红2,红2)甲胜 (红2,白)乙胜 白 (白,红1)乙胜 (白,红2)乙胜 (白,白)甲胜 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色相同（甲胜）的有 5 种，颜色不同（乙胜）的有 4 种。 P（甲胜）= ，P（乙胜）= 。因为 ≠ ，所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平。 42.（2026·吉林）组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组。求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表共 9 种等可能结果，同组 3 种。 【解答】列表如下（行表示小冰，列表示小雪，记三项目为 A、B、C）： 表33 项目组分配结果列表 A B C A (A,A)同组 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同组 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同组 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人被分配到同一项目组的有 3 种。 P（同一项目组）= = 。 43.（2026·江苏徐州）甲、乙两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等。求两人选择相同景点的概率。 【答案】P = 。 【解析】画树状图共 9 种等可能结果，相同景点 3 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙，记三景点为 A、B、C）： 表34 选择景点结果列表 A B C A (A,A)同景点 (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B)同景点 (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C)同景点 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两人选择相同景点的有 3 种。 P（相同景点）= = 。 44.（2025·山东威海）一个不透明的袋子中装有 2 个绿球、1 个白球，每个球除颜色外都相同。小明同学从袋中随机摸出 1 个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出 1 个球。两人摸到不同颜色球的概率是______。 【答案】。 【解析】将两绿球记为绿1、绿2，画树状图共 6 种等可能结果，不同颜色 4 种。 【解答】画树状图如下： 所有等可能结果为：(绿1,绿2)(绿1,白)(绿2,绿1)(绿2,白)(白,绿1)(白,绿2)，共 6 种。其中两人摸到不同颜色球的有 4 种。 P（不同颜色）= = 。 45.（2025·四川达州）甲同学从 B、C、D 三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从 C、D 两个基地中随机选择一个参加研学。求两位同学选择相同研学基地的概率。 【答案】P = 。 【解析】列表共 6 种等可能结果，相同基地 2 种。 【解答】列表如下（行表示甲，列表示乙）： 表35 选择研学基地结果列表 C D B (B,C) (B,D) C (C,C)相同 (C,D) D (D,C) (D,D)相同 由表可知，共有 6 种等可能结果，其中两人选择相同基地的有 (C,C)(D,D) 共 2 种。 P（相同基地）= = 。 46.（2026·山东济南）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐。假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行、另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B。 【解析】画树状图共 9 种等可能结果，一人直行一人右拐 2 种。 【解答】列表如下（行表示第一人，列表示第二人）： 表36 路口方向选择结果列表 直 左 右 直 (直,直) (直,左) (直,右)所求 左 (左,直) (左,左) (左,右) 右 (右,直)所求 (右,左) (右,右) 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中一人直行、另一人右拐的有 (直,右)(右,直) 共 2 种。 P = ， 故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $