第13章 三角形 单元质量检测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册数学《三角形》单元质量检测试卷 姓名：___________班级：___________得分：_________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，，，，则的边上的高线为（   ） A． B． C． D． 3．在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．以上结论都不对 5．如图，在中，点在边上，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知两条线段长度分别为和，下列线段可以和这两条线段构成一个三角形的（　　） A． B． C． D． 7．在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 8．在中，，，的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是的角平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 10．小慧一笔画成了如图所示的图形，若，则的度数为的度数为（    ） A． B． C． D． 11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在中，如果，，那么按角分类，是________三角形． 14．如图是一款手推车的平面示意图，其中，则、、的关系是____．    15．如图，一束平行于水平面的光线经过凹透镜折射与另一束穿过光心的光线相交于点B，若，，则_____．    16．如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知、、分别是的三边长，化简：． 18．（10分）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 19．（10分）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 20．（10分）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点从原点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）．设点运动的时间为． (1)点的坐标为______； (2)当时，求点的坐标； (3)在运动过程中，当点满足的面积为6时，求点的运动时间． 21．（12分）（1）已知a、b、c是的三边长，化简：； （2）已知的三个内角度数之比为1∶1∶2，求这个三角形中最大角的度数． 22．（10分）鹿鸣成长课程兴趣小组准备在空翠圃用米长的篱笆围成一块三角形菜地（三边均不靠墙）．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长比第一条边长的2倍多1米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为4米？为什么？ 23．（12分）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 24．（12分）如图，已知线段相交于点O，平分交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．（12分）如图，点D在内，E为射线上一点，连接． (1)如图①，． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点D作交射线于点M，试说明：． (2)如图②，．若N为平面内一点，且，请写出与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B B A C A B 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、，不能构成三角形，此项不符题意； B、，不能构成三角形，此项不符题意； C、，能构成三角形，此项符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符题意． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了三角形的高的相关计算，根据等面积法即可求解． 【详解】解：设的边上的高线为， 依题意， ∴ 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质． 由平行线的性质得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点F、H． ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，根据题意，分类讨论：当腰长为时，根据三角形三边关系可知不能构成等腰三角形，不符合题意；当腰长为时，能构成等腰三角形，符合题意；由此即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别长和， 当腰长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当腰长为时，即边长为， ∴周长为， 故选：B ． 5．B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，由可得，易求解． 【详解】解：，， ， 由三角形外角与外角性质可得， 又， ． 故选：B． 6．B 【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边和三角形的两边差小于第三边来确定第三边的取值范围，然后确定正确的选项即可． 【详解】解：有两条线段长分别为和，设第三边为 即， 只有符合． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 7．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是通过反证法利用三角形内角和定理，得出矛盾后确定最大角范围，从而判断形状． 利用三角形内角和定理，结合最小角大于，通过反证法推导出最大角小于，从而判断三角形为锐角三角形． 【详解】解：∵ 最小角大于， ∴ 每个角都大于， 设三个角为，且，则， ∵， 若，则， 但， ∴，与矛盾， ∴， ∴所有角都小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，设，然后根据三角形的内角和定理求出x的值即可解题． 【详解】解：设，则，， ， 解得， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线、三角形的高等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线可得的度数；利用是高可得可求得度数，然后由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ， ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，根据三角形的内角和及三角形的外角的性质即可得到结论，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．由等腰三角形的性质可得，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 13．钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键．根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵中，如果，，， ∴， ∴三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 14． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质．根据平行线的性质可得，再由三角形的外角性质以及邻补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 15．150 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点F，首先根据得到，然后得到，然后利用三角形外角性质求解即可．解题的关键是掌握三角形外角的性质． 【详解】如图所示，延长交于点F，    ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：150． 16．/ 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 17． 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 18．(1) 解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； (2)30 (3) 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ； （2）解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ． 20．(1) (2) (3)3.5或8.5 【分析】本题考查了坐标与图形，正确理解坐标的意义及点P运动路径的计算是解答本题的关键． （1）根据长方形的性质，可得与y轴平行，与x轴平行，根据坐标的意义即得答案； （2）当点P移动了3秒时，点P移动了C个单位，因此点P移动到了上，且与点A距离为2个单位，根据坐标的意义即得答案； （3）分点P在上和上两种情况，分别求出P运动的路程，即可进一步求得答案． 【详解】（1）解： 根据长方形的性质， 可得与y轴平行，与x轴平行， 故B的坐标为， 故答案为：； （2）解： 当点P移动了3秒时，点P移动了， 因此点P移动到了上，且与点A距离为， 所以点P的坐标为； （3）解：若P在上，则， ， 不合题意，舍去， 所以P在或上， ， ， 点到x轴距离为3个单位长度时， 有两种情况： 当点P在上时，运动了个长度单位，此时运动了秒； 当点在上时，运动了个长度单位， 此时运动了秒． 所以点移动的时间为3.5秒或8.5秒． 21．（1）；（2）这个三角形中最大角的度数为． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系判断：，，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得； （2）三角形的内角和为，然后按比例分配即可． 【详解】解：（1）∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ； （2）由题意得，最大角为． 答：这个三角形中最大角的度数为． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键．也考查了三角形的内角和定理． 22．(1) (2) 解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米； 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识； （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 【详解】（1）解：∵第一条边长为米, 第二条边长比第一条边长的2倍多1米 ∴第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）略 23．(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ． ． （2）解∶是的角平分线． ． ． 24．(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的外角，熟练掌握平行线的判定方法，三角形的外角的性质，是解题的关键： （1）角平分线的定义结合等量代换，得到，即可得出结果； （2）利用三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 25．(1) 解：①．理由如下： 如图①，过点E作，则， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． ②因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． (2)解：或， 分以下两种情况讨论： ①当点N在直线的右侧时，如图②，，理由如下： 设与交于点F． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以； ②当点N在直线的左侧时，如图③，理由如下： 设直线与交于点H． 由①可知，． 因为， 所以． 综上所述，与的数量关系为或． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质得运用，正确作出辅助线是解题关键． （1）①过点E作，由得，继而证明平行即可；②根据平行线的性质即可求证； （2）分两种情况讨论，借助于平行线的性质与判定以及三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $