第8期：函数的概念与性质综合-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期(2026年8月) 所以f(-10)=f(10). 第6期2版参考答案 又f(x)在[0，+∞)上单调递减，且1<10， 专项小练一 所以f(1)>f(10), 1.B;2.BCD;3.A;4.[0,+∞)；5.(-7，-2) 即f(1)>f-10) 6解：当a=1时)=2+子 4.x）=x2-2x+t=(x-1)2+t-1,其图象的对称轴 方程为x=1, 任取x1,x2e[2,+∞)，且x1<2, 由于x=-2比x=3到x=1的距离较远， 则)-)=(2+）-(2+） 故当x=-2时f代x)取得最大值，且f代x)m=t+8. =2(名-x)(+x）+与-西 5.f-x)=[(-x)2-1]√(-x)2+1=(x2-1)· x1X2 +1=fx), =（2-x)[2xx2(x1+为)-1] 3X1X2 则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项(C), 因为2≤x1<2, (D):f(0)=(02-1)√2+1=-1，排除选项(A).故选(B). 所以为-x1>0,xx2>4,2x12(x+x2)-1>0, 6.「f(x+1)I≥1可化为f(x+1)≤-1或f代x+1)≥1， 所以f(x2)-f(x1)>0,即f(2)>fx1). 因为A,B为f(x)图象上的两点， 所以f代x)在[2，+∞)上是增函数， 所以f(0)=-1f3)=1, 专项小练二 所以f(x+1)≤f0)或fx+1)≥f(3), 1.D;2.D;3.ABD;4.0;5.-2. 又f(x)为R上的增函数， 6.解：(1)由于f代x+1)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以x+1≤0或x+1≥3，解得x≤-1或x≥2， 所以f(x）=x2 即不等式的解集为(-o,-1]U[2,+o). (2)g(x)=fx) 7.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, 显然x=0时，满足(x)≥0； g(x)为偶函数，证明如下： 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(5)=0, g(x)的定义域为x1x≠0}， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，f(-5)=0, 且g(-x)=(-x)2- 1 1 (-x)2 =2- =g(x), 当x>0时，不等式f(x)≥0等价于fx)≥0=f(5), 所以g(x)是偶函数 因为f(x)在(0，+0)上单调递增，所以x≥5； 当x<0时，不等式f(x)≥0等价于f(x)≤0=f-5), 第6期3,4版参考答案 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以x≤-5； 函数的基本性质同步核心素养测评 综上可知不等式f(x)≥0的x的取值范围是(-∞，-5] 一、单项选择题 U[5,+o)U0. 1~4 ABAC 5~8 BDBD 8.y=3x+2=3a-）+5-3+5 x-1 x-1 -1 提示： 1.由题可知k-1>0,即k>1. 因为y=3x+2在xe(m,n]上的最小值为8， x-1 2.因为f代x)为偶函数， 所以f-2)=f2)=22+2=6. 所以当x∈(m,n]时，3+5 之7≥87≥51 3.因为f代x)是偶函数， ≤2，所以1≤m<n, 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 易知反比例型函数)=3+，三在(1，+如)上单调递减， 再以-x代x得-)-代x)=f(华) ② 5 所以y=3+x之在x=n处取到最小值8， ①+2得f(）+(1)=0, 即3+3=8=m-2 所以()-)。 所以1≤m<2. 所以定义在(-1,1)上的函数f(x)为奇函数，故(B)正确； 二、多项选择题 对于(C),因为函数fx)为定义在(-1,1)上的奇函数， 9.BCD:10.ACD:11.ABD. 且当xe（-1,0)时，fx)<0, 提示： 不妨设-1<x<x2<1, 9.由题意可知，f(-x)=f(x), 所以ff(-x)）=ff代x), 则)-)=f作） 所以ff(x)为偶函数，(A)错误； 因为-1<x1<2<1, 由g(-x)=-g(x), 得g(g(-x)=g(-g(x))=-g(g(x)), 所c0克套+1>0， 1-x1x2 所以g(g(x))为奇函数，(B)正确： 因为fg(-x)=f-g(x)=fg(x)), 所以-1<0， 所以fg(x)为偶函数，(C)正确； 所u(作-）<， 因为gf(-x)=g(f(x)), 则fx)-fx2)<0,即fx)<f), 所以g(f(x)为偶函数，(D)正确. 故函数f代x)在(-1,1)上单调递增，故(C)错误； 故选(B)(C)(D). 5 10由函数=号=1+ 对于(D),令x=号y=3, x-1, 则两数了=导的图象可由y=土的图象先向右平移1 则()-（号）=f(分) 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 即(2)+兮)=() 所以函数y=+3的图象上点的纵坐标不可能为1，所以 x-1 因为号<各，且函数)在(-1，山上单调递增， (A)正确； 令=0，可得=0，解得天：-3， 所以（号）<f(各）， 所以函数与x轴的交点为(-3,0)，所以(B)错误； 即f(分)+（行）<各)，故(D)正确， 由函数y=4在(-0,0)上单调递减， 故选(A)(B)(D). 三、填空题 可得y=兰在(-，)上单调递减， 12.3;13.-x(答案不唯一)； 则函数)一号在(-“0)上单阁递减，所以(C正确： 14.(-0,-2]U[2,+∞)U0} 提示： 由函数y=兰的图象关于原点(0.0)对稀。 12.因为y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f(1)=f3)=3, 可得y=的图象关于点(1,0)对称。 又y=f代x)是偶函数，所以f(-1)=f1)=3. 则数y=兰的图象关于点1，）对称，所以0D)正疏 13.由题意f(x)为奇函数，且f代x)在R上单调递减， 可假设f代x)=-x, 故选(A)(C)(D). 此时Hm,n∈R,f(m+n)=-(m+n)=-m-n=f(m) 11.对于(A),令x=y=0得f(0)-f(0)=f0), +f(n),即①成立， 即f(0)=0,故(A)正确； 故答案为：-x(答案不唯一) 对于(B),令y=-得)--)=(2小，① 14因为y=士+x在[2,3】]上单调选增。 -2 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 所以)=士+-子在xe[23]上单调遥增， 则f(x)-f代)=- 1 3 1 则f(x)在xe[2,3]上的最小值为1. =(1-x2)· 1+(:1+1)(x2+1) 对任意a∈[-1,1]，总存在x∈[2,3]，使不等式2-2at （x+1)(x2+1) +1≥f(x)成立， 因为-1<x1<2, 即2-2at+1≥1对a∈[-1,1]恒成立， 所以x1-2<0,x1+1>0,x2+1>0, 即2ta-≤0对a∈[-1,1]恒成立. 所以f(x)-fx2)<0,即fx)<f(x), 令ga）=2a-亡，只要-1）≤0即可， 所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增. g(1)≤0 18.解：(1)因为fx)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)， 解得t≤-2或t≥2或t=0. 关于原点对称，且K-)=-+品=-(x+是）=-代)， 四、解答题 15.解：(1)当a=-1时f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 则f(x)是奇函数，从而f(-b)=-fb), 因为x∈[-5,5]，故当x=1时，fx)取得最小值为1， 因为g(x)=fx)-4, 当x=-5时，f代x)取得最大值为37. 所以g(b)=fb)-4=-8,得fb)=-4, (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a. 所以g(-b)=f-b)-4=-f(b)-4=0. 因为f(x)在[-5,5]上是单调函数， (2)若a≤0，则x)=x+在[4，+)上单调递增， 故-a≤-5或-a≥5. 因为f(x)≥a在x∈[4，+o)时恒成立， 即实数a的取值范围是(-0，-5]U[5,+∞). 16.解：由f代x)在R上是偶函数，在区间(-0,0)上单调 所以f)m=4)=4+￥≥a, 递增，可知f(x)在(0，+∞)上单调递减， 解得a≤号，所以a≤0， 因为2+a1=2+)广+>0， 若a>0,由x>0可得f代x)=x+g≥2a, 2-2+3=2(a-+>0 当且仅当x=是，即x=后时等号成立， 且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), 所以2a2+a+1>2a2-2a+3, 则f(x)在(0，√a)上单调递减，在(Va,+∞)上单调递增. 2 即3a-2>0,解得a>亏， 若a>16,则f(x)m=f(a)=2a≥a, 解得0<a≤4，与a>16矛盾； 所以a的取值范围为（号，+0）片 若0<a≤16，则)a=f4)=4+4≥a, 1.解：(1)由/)=得a-= 解得a≤白所以0<u≤苧 所以a=子+分 棕上，“的取值范固是(-“号] 所以)=（分+受） 19.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下： 因为f2)<2, 因为f(x)的定义域是(-1,1)，关于原点对称， 令u=v=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0, 所以（行+分）×2-号<2，解得6<子 令m=-,则u)+-w）=f("二)=0)=0， 又因为b∈N,所以b=1,所以a=1. (2)由(1)知f)=x-+ 1 所以f(u)=-f代-u),所以f(x)为奇函数. (2)不妨设-1<x1<x2≤0， 所以2)=2-号=音>)=子 由）-f》>0得)>)， x2-x1 故可判断f孔x)在(-1，+0)上单调递增.证明如下： 则f(x)在(-1,0]上单调递减， 任取，x2∈（-1，+0)，且x1<x2, 又f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数 3 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 所以f(x)在(-1,1)上单调递减 当x≥650时，P=41. 则2)+/(-x-4）>0可变形为2)>-(-x 52, 0<x≤100， 所以P=f代x）= 54- 4)=(x+子) 50, 100<x<650,xeN, 41. x≥650. 「-1<2x<1, (3)设工厂获得的利润为L元， 则L=(54-9-30）×500=70, 1 2x<x+4 即销售商一次订购500个零件时，该刻厂获得的利润是7000元 故所求不等式的解架为{：-<x<} 第7期3,4版参考答案 (3)由(1)(2)知fx)在(-1,1)上是减函数，且f0)= 幂函数、函数的应用（一）同步核心素养测评 0,所以1f(x)1=0, 一、单项选择题 所以Vxe(-1,1),-2+mlx1-号≤0， 1~4 ABAC 5~8 CDAB 提示： 令t=lxle[0,1),-+mt-g≤0， 1.由函数为幂函数，故a=1,2b+4=0, 所以b=-2,所以a+b=-1. 当t=0时，meR: 当≠0时，m≤(+) 恒成立， 2因为（兮）广”=2所以3=分 所以f3)=3=2 1 3.由题意，h=-3.62+28.8t=-3.6(t-8t+16)+57.6 1 因为t+9死 1 ≥2t·9i =-3.6(t-4)2+57.6, 则当t=4时，烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒. 当且仅当t= 子时等号成立，放m≤子 4.令y=60,若4x=60,则x=15>10,不满足题意； 综上，实数m的取值范围足(-，子] 若2x+10=60,则x=25,满足题意； 若1.5.x=60,则x=40<100,不满足题意. 第7期2版参考答案 故该公司拟录用25人. 5.因为（元）寺=[（√）]子=π号，3方=(5) 专项小练一 又y=x子在(0，+0)上单调递减，m>2>5, 1.B;2.C;3.ABC;4.二、四；5.(3,4). 所以m寺<2子<(5)子， 6.解：(1)依题意有m2-3m+3=1, 解得m=1或m=2, 所以3寸>2子>(m)寺 又函数f代x)为偶函数，则m=1, 6.根据题意设f= (k≠0)， W防 所以f代x）=x2 (2)g(x)=x2-2ax,对称轴为x=a,且图象开口向上， 当W=2时f=210,则k=210×23 则a≤2或a≥4， 当/=70时，时=210x2立=3×2， 70 所以实数a的取值范围为(-∞，2]U[4,+∞). 专项小练二 所以W=54. 1.D;2.AC;3.125. 7.由题意，污水池的宽为20米，则四周池壁总造价为400 4.解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一 次订购量为，个， ×(+婴）×2=800×(+)（无， 则x0=100+5241=650. 池底造价为：200×80=16000（元）， 0.02 两道隔壁墙造价为：248×20×2=99200（元）， (2)当0<x≤100时，P=52; x 当100<x<650时，P=52-0.02(x-100)=54- 所以0)=80×(+2婴）+1600+920 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 =800(x+324 +16000, (A)正确： 对于(B),x<0时，fx)<0,x>0时f(x)>0, r0<x≤16， 解得受≤≤16 f(x)在(-∞，0)和(0，+∞）上单调递减，定义域内不是 0<200≤16 x 单调递减，(B)错误； 8.因为函数f(x)=(-2m2+m+2)x"1为幂函数， 对于(C),Hx1,x∈(0，+∞)，x1≠x2, )+f 2 则-2m2+m+2=1, 即2m2-m-1=0, 房园)。 解得m=1或m=-2, ΛV2 当m=1时，f代x)=x2为偶函数，符合题意； f(x)+f(x2) 则 2 1/1 当m=之时)=位=店为非奇非偶函数，不符合 题意 所以fx)=x2, =1, 则y=fx)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1, 二次函数y=x2-2(a-1)x+1图象的对称轴为直线x= 当且仅当x=2时等号成立， a-1. f(x)+f(x2) 2 ①若函数y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上单调递增， 由1≠2，则有 >1, 则a-1≤2，解得a≤3； ) ②若函数y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上单调递减， 所以∈(0，+西)≠，）+ 则a-1≥3，解得a≥4. 综上，实数a的取值范围是(-0,3]U[4,+∞) f作)(c)正确： 二、多项选择题 对于(D),f(a+1)+f2a-3)<0, 9.ABD;10.BCD;11.ACD. 即f(a+1)<-f2a-3)=f(3-2a), 提示： 则有a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或 9.将点(2,8)代人f(x)=x,可得2=8， 解得a=3,所以fx)=x3, 「a+1<0, 则f(0)=0,且f(x)在R上单调递增，函数f(x)为奇函 l3-2a>0, 数，故(A)(B)(D)正确； 解得号<a<号或a<-1 若x>1,则f代x)>f1)=1,故(C)错误. 所以不等式f代a+1)+f2a-3)<0的解集为(-，-1) 故选(A)(B)(D). 10.在(A)中，出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15 U(号子)，(D)正确 +1=11.15(元)，(A)错误； 故选(A)(C)(D). 在(B)中，出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+ 三、填空题 2.85×(10-8)+1=25.45(元)，(B)正确； 12.3;13.9;14.6. 在(C)中，乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+ 提示： 1=13.3(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，(C)正确； 在(D)中，设出租车行驶xkm时，付费y元， 12由题意知m-3m+1-1, lm2-4m+1<0, 由8+5×2.15+1=19.75（元）<22.6元知x>8, 解得m=3. 因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6, 13.设加密密钥为幂函数y1=x“,则4“=2， 解得x=9,(D)正确。 故选(B)(C)(D 则0=2，则=之， 11.对于(A),函数f(x)=x寸= 定义城-”0 解密密钥为反比例函数为=本 U0.中-)六宏-风，函数为奇函数， 1 则6=乞k=12, 高中数学人教A(必修第一册) 第6~9期 则=2，所以通过逆运算可得， 72+300x-20000,0≤x≤400.， 当接受方得到明文“4”时，则发送方发送的明文为“9” L60000-100x. x>400. 14.因为函数f代x)=(m-2)x"是幂函数， (x- (2)由(1)可知，当0≤x≤400时，f(x)=-2 所以m-2=1,解得m=3, 300)2+25000, 所以fx)=x3 所以当x=300时，f(x)mx=25000; 因为fx)的定义域为R,且f孔-x)=-x3=-fx), 当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数， 所以函数f代x)=x3是R上的奇函数. 所以f(x)<60000-100×400<25000, 又函数f(x)=x3在(0，+∞)上单调递增，且在定义域内 所以当x=300时f(x)max=25000, 连续， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元 所以函数f(x)=x3在R上单调递增. 不等式fk2+3)+f(9-8k)≤0，即为不等式f(2+3)≤ 1&解：1)由题可知+3m-方=1， f8k-9), 解得m=-3或m=之 所以2+3≤8k-9,解得2≤k≤6， 当m=-3时，4m2-m=39,可得fx)=x9, 所以实数k的最大值是6. 由f(-x)=（-x)9=-x9=-fx), 四、解答题 知函数f(x)为奇函数，不合题意； 15.解：1)由幂函数y=经过点(4，日）可得4=22 当m=分时，m2-m=分，可得)=， 8 由函数的定义域为[0，+∞)，知满足题意 即2m=-3解得m=-子 综上，m的值为分 (2)由(1)得fx)=, 则)=-2a反+之-是， 由x3>0可得x>0, 令t=(t≥0)，则x=, 所以函数y=x子的定义域为(0，+). (2)由(1)可知幂函数y=x乏在(0，+0)上为减函数， 即a=f-21+分-是， 所以当xe[1,4时y=子e[g小， 可化为g()=-a)2-口2+20-多， 所以函数y的值城为[尽，小 令k0=(-a)2-d+3-u≥0 ①当a≤0时，A0n=h0)=4- 3 16.解：设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之 间的函数解析式为y=(mx+n√)(1+0.2). 又由g)的最小值为-3，则24子=-3， 由题意得1.6=(100m+/100n)(1+0.2), 解得a=-3; 即子 =50m+5n, ① ②当a>0时，h()=ho）=-d+之- 4.8=(400m+√/400n)(1+0.2), 又由g()的最小值为-3，则-2+分-多 =-3, 即1=100m+5n. ② 1 1 解得a=-1(舍去)或a=之， 3 由①②解得m=150n=5 x 所以y=125+12.5 由①2知a=-3或a=子 当x=900时，y=9.6. 19.(1)证明：Hx1,x2∈(1，+0)，x1<x2, 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 则g()-g()=+2-好-2 17.解：(1)月产量为x台，则总成本为(20000+100x)元， 从而f(x)=R(x)-(20000+100x) =(-)(+) 2 6 高中数学人教A(必修第一册) 第6~9期 因为1<x1<2,所以x1-x2<0,x1+2>2,2>1, 减函数 即2<2，所以g()-g(x）<0, 12 4由y=3计有意义可得x1. 所以g(x)<g(x2), 设t=x-1,则x=t+1,t≠0， 所以g(x)是(1，+∞)上的单调递增函数 所以y=3+)+-3+兰 2解两任意se[2e受+士≥ t 所以y≠3. m m≤2+2+1恒成立， 2 5.由图可知a<0,0<d<1,b>c>1, 所以b>c>d>a,所以b>c, 即xe[22]m-1≤(, 又c>1,0<d<1, 所以b>c>>0>a. 而函数)在[分，上单洞递减，在[1,2]上单调递增， 6.由f(3-x)=f(x+1)可知f八x)关于直线x=2对称， 因此g(x)m=g(1)=3, 则f0)=f(4). 则m-1≤3，解得m≤4， 因为当x≥2时(x)单调递减， 所以实数m的最大值为4. 所以当x<2时，(x)单调递增. (3)解：不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈ 又f(x)的定义域为R,fa)≥f0), [a,b]的值域为[a,b].理由如下： 所以a∈[0,4]. 由幂函数y=x在R上单调递增得函数h(x)=x3+2在 7.因为f代x)=(m2+m-1)x"是幂函数， R上单调递增， 所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2, 若存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的 当m=1时f(x)=x不满足fx)在(0，+0)上是减函数， 值域为[a,b], 当m=-2时f代x)=x2满足f代x)在(0，+∞)上是减函数， 则，fh(a)=a, 所以m=-2, Ch(b)=b, 将不等式1-2x+11<1的两边同时平方得， 正实数a,b(a<b)是方程h(x)=x,即x3-x+2=0的 4x2-4x+1<1,解得0<x<1, 两个不等的正根，x>0, 所以1mx+11<1的解集为(0,1) 由2-x+2=0得x2+2=1,即g()=1, x 8.由奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数，且f(-1)=-1 又函数g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， 得，fx)在[-1,1]上的最大值为f(1)=-f代-1)=1. 故函数g(x)在(0，+∞)上的最小值为g(1)=3, 因为对所有的x∈[-1,1]都有f(x)≤子-2mt+1, 因此方程g(x)=1无实数解， 所以f(x)mx≤？-2mt+1, 即方程x3-x+2=0无实数解， 即2-2mt≥0，设g(m）=2-2mt 所以不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,xe[a, 又因为对任意的me[-1,1]都有g(m)=t2-2t≥0， b]的值域为[a,b] 所以g(m)min≥0. 由函数g(m)=t?-2mt的图象是直线得， 第8期3,4版参考答案 g(m)m为g(-1)或g(1), 函数的概念与性质核心素养综合测评 所以g(-1)≥0，且g(1)≥0， 一、单项选择题 即t2-2t≥0，且2+2t≥0， 1~4 CDAC 5~8 CBAD 解得t≤-2或t≥2或t=0. 提示： 二、多项选择题 1.由题意得任0故随数)=店+2的定义域是 9.AB:10.AC:11.AC x≠2， 提示： [0,2)U(2,+0. 9令1=2x+1,则x=2 2.因为点(-1,3)在y=f(x)的图象上，所以f(-1)=3. 因为y=f(x)是偶函数，所以f代-1)=f1),所以f1)=3. 因为2x+1=,所以0=(）)-+ 3.y=|xl-1= -1,x≥0函数在(-0)上为 则fx)=-2+1,故(B)正确，(C)错误： -x-1,x<0, 4 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 -3)=-3°-2X(-3)+1=4,放(A)正确： 故不等式的解集为(-0，-1)U(1,+0),(D)错误。 4 故选(A)(C). 3)=3-2x3+1=1,故(D)错误 三、填空题 4 故选(A)(B) 2-113.-1014吕 10.设fx)=x“,将点(9,3)代人可得9“=3， 提示： 解得a=子，则)=中， 12.依题意，f(-1)=-f1)=-(2-1)=-1. 因为函数f(x)和函数y=x在(0，+∞)上都单调递增， 13.当x=0时，f0)·g(0)=b≤0， 所以6=0： 所以函数y=x+x云在(0，+∞)上单调递增， 当x=1时，f1)·g(1)=(1+a)·(1+a)=(1+a)2 所以+f代x)<x2+f2),(A)正确； ≤0， 函数y=x-F=(-）°-在(0，)上单调 所以a=-1. 14.作出函数f代x)的图象，如右图， 递减，在（行，+如）上单调递增， 设f(n)=f代m)=k, 故x-f(x)与x2-f()的大小不确定，(B)错误； 则由图可知0<k≤4， 因为函数y=fx)=x之在(0，+∞)上单调递增， 令fx)=4, 所以xfx1)<x2f(x2),(C)正确； 即3x+1=4或-1=4， 23 【x≤1 【x>1, 因为函数y=卫=x宁在(0，+)上单调递减， 得x=1或x=√5， 所以>），则)>)，(D)错误 又n>m,且fn)=fm), 所以m≤1,1<n≤√5， 故选(A)(C) 1 11.令x=y=1,则f1)=2f(1),解得f1)=0: 所以由3m+1=n-1可得m=3(n2-2), 令x=y=-1,则f1)=-2f(-1), 则1=a-m=a-(公-2)=-++ 2 = 解得f(-1)=0,(A)正确： 3 令y=-1,则f(-x)=xf-1)-f(x)=-f(x), 3(a-)+品1<n≤5， 又f(x)的定义域为R,关于原点对称， 所以f代x)是奇函数，(B)错误； 所以当=含时，取到最大伯号 Hx1,x2∈(1，+0)，且x1>x2,令x=x2,y= 四、解答题 X2 r1-x2≥0， 15.解：(1)由题意得 1+x≥0， 当x>1时，fx)>0, 1-x≥0， 解得-1≤x≤1， 所以)-)=（） >0, 故定义域为[-1,1]. 故)>)>， (2)将t=√个+x+-x两边平方得2=2+ 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，(C)正确： 2-,整理得-=2-1e[0,1小， 1>1 令xe(0,1),y= 又t≥0，所以2≤t≤2， 期=（）+）=0， 所以，所求h()=子d+1-a,定义域为[万，2]， 16.解：(1)y=-x2+12x-9=-(x-6)2+27, 根据性质②知（士）=-）>0， 因为x≤11，且x∈N, 所以x∈(0,1)时fx)<0, 所以当x=6时，y=-x2+12x-9取得最大值， 结合奇函数的性质知x∈(-1,0)时，f(x)>0, 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为 同理，由x>1时f(x)>0得x<-1时fx)<0, 27万元. 型>0等价于)>0或)<0， (2)设年平均利润为w, Lx>0 lx<0, 因为x≤11，且x∈N, -8 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 则=兰=--+12=12-(+是） 19.解：(1)取x1=x2=1得f代1)+f1)=f1), 得到f1)=0, ≤2-2=6 取x1=x2=-1得f代-1)+f(-1)=f1)=0, 得到f代-1)=0， 当且仅当=是即x=3时，等号成立， 取x2=-1得f代x)+f代-1)=f代-x), 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 即f(-x)=f代x),故函数f代x)为偶函数. 17.解：(1)由题意知m2-5m+7=1, (2)设>>0则)-f)=f(年）-f) 解得m=2或m=3. 又因为f(x)的图象关于y轴对称， =f(停)+)-)=f(年) 所以f代x)为偶函数，从而m=2. (2)由(1)知fx)=x2, 因为空>1，所以（色）<0， 则g(x)=fx)-2√爪x)=x2-2=x2-21x1. 即fx2）-fx)<0, 当x≥0时，g(x)=x2-21xl=x2-2x, 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递减. 因为y=x2-2x图象的对称轴为直线x=1, 又函数f(x)为偶函数， 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增； 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递增。 当x<0时，g(x)=x2-21xl=x2+2x, 又f1)=f(-1)=0, 因为y=x2+2x图象的对称轴为直线x=-1, 若f(x-3)≥0，则-1≤x-3≤1，且x-3≠0， 所以g(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1,0)上单调 解得x∈[2,3)U(3,4]. 递增. (3)f2x2-3x+3)≤fx2-2x+2)+fa)=fax2-2ax 因此，g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1，+0) +2a), 18.解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方 根据(2)知12x2-3x+31≥|ax2-2ax+2a1, 米和y立方米， 因为2x2-3x+3>0,x2-2x+2>0恒成立， 根据题意得3x+5y=165, 所以2g-3x+3≥1a. l4x+7y=225, x2-2x+2 解得/=30， 号2* x2-2x+2 Ly=15. 所以每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘 当=1时，2-3+3=2： x2-2x+2 机一小时挖土15立方米. (2)设A型挖掘机有m(m∈N,)台，总费用为W元， 当>1时2>2： 则B型挖掘机有(12-m)台.根据题意得 当x<1时，2+-1 W=4×300m+4×180(12-m）=480m+8640, (x-1)2+1=2-1 ”1-x+1x 1 因为4×30m+4×15(12-m）≥1080， l4×300m+4×180(12-m)≤12960， 1 解得6≤m≤9， 2√(1-x)×1-x 又因为m≠12-m,解得m≠6， 所以7≤m≤9.所以共有三种调配方案. 当且仅当1-=十云即x=0时等号成立， 方案-：当m=7时，12-m=5, 因为≠0，放号>子 x2-2x+2 即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台； 方案二：当m=8时，12-m=4, 综上，1a1≤}解得-号≤a≤子 3 即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台： 又a≠0，故a∈ 方案三：当m=9时，12-m=3, [-）u(o,2] 即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台. 第9期3,4版参考答案 由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小， 所以当m=7时，W最小=480×7+8640=12000， 核心素养阶段测评（一） 此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最 一、单项选择题 低费用为12000元. 1~4 CCAB 5~8 ABCC -9 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 提示： 所以1x|>1不成立，此时不符合题意； 1.由于集合A中只含有一个元素a,由元素与集合的关系 当ke{-1,子，1}时，若xe(-1,0), 可知，a∈A. 2.观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)， 则f(x)<0,不满足f(x)>1x1,不合题意. 从而其最大值是3； 故选(C). 另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值 二、多项选择题 3.由Ial<b可知b>0,则-b<a<b,等价于“a<b且 9.BCD;10.ABC;11.BC. -a<b". 提示： 4.因为p:了x∈R,x2+4x+a=0是真命题， 9.“Vx>0,都有x2>x-1”的否定是“]x>0,使得x2 所以方程x2+4x+a=0有实数根， ≤x-1”,(A)错误； 所以4=42-4a≥0，解得a≤4， 当x>1时，2+=2-)）++2≥ 故实数a的取值范围为(-∞，4]. 5.设矩形框架一边长为xm, 2V2x-0+2=2+2 则其邻边长为2,2=(6-m 当日仅当2x-》=即=1+受时，等号规立。 由/>0， 得0<x<6, l6-x>0 放当x>1时，2x+的最小值为2万+2，(B)正确： 所以面积S=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0< 由题意得-1,2为aa2+2x+c=0的两个根， x<6), 1+2=-,-1×2-父 所以当x=3时，S取最大值9. a 故框架的最大面积是9m2. 解得a=-2,c=4,则a+c=2,(C)正确； 6.由+3<0解得！<x<3即2<x<3 a>1→1<1，但1<1a>1, lx2-6x+8<0, 2<x<4, 由题知关于x的不等式x2-3x+a<0的解集包含{x12 比如a=-1满足。<1，但不满足a>1, <x<3}, 4=9-4a>0, 放“口>”是“。<1”的充分不必要条件，(D)正确 则22-3×2+a≤0，解得a≤0. 故选(B)(C)(D). 32-3×3+a≤0， 10.由题意得M=xl(x-a)(x-3)=0}=a,3},N 7.f八x)=-x3+(a-2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇 ={x1(x-4)(x-1)=0}={1,4}. 函数， 对于(A),若MUN有4个元素，则a{1,3,4}, 所以f代-x)=-f八x), 所以M∩N=☑，故(A)错误； 即-(-x)3+(a-2)·(-x)2-x=-[-x3+(a-2)x2 对于(B),若M∩N≠0，则a∈{1,4， +x],且2b+b+3=0, 所以MUN有3个元素，故(B)错误； 所以a=2,且b=-1, 对于(C),若MUN={1,3,4},则当a=3时，M∩N= 所以fx)=-x2+x, ⑦，故(C)错误； 所以fa·b)=f(-2)=-(-2)3-2=6. 对于(D),若M∩N≠0，则a∈{1,4}， 8.当k=-2时，若fx)>|x1恒成立， 所以MUN={1,3,4},故(D)正确. 则x2>1x1,即1x13<1, 故选(A)(B)(C). 由于x∈(-1,0)U(0,1), 所以1x3<1恒成立，此时符合题意； 1-=--受引=-小+受 当k=0时，若f(x)>Ix1恒成立， 对于(A),若x)为偶函数， 则x>xl,即1x1<1, 则x-受=xx+受 由于x∈(-1,0)U(0,1), 所以1x1<1恒成立，此时符合题意； 当x>0时x-罗≥0， 当k=2时，若f(x)>1x1恒成立， 则x2>1x1,即1x1>1, 而-xx+受≤0， 由于x∈(-1,0)U(0,1), 故f代x)与f代-x)不一定相等，故f(x)不可能是偶函数， -10 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 (A)错误； 14.在fxx2)=fx)+f(x2)+2中， 对于(B),当m=0时，f代-x)=-x1x1=-f(x), 令x1=x2=1,得f1)=-2, 故f(x)为奇函数，故(B)正确； 令x1=x2=-1,得f代-1)=-2， 对于(c))=xx-受 的定义域为R, 令x1=x,x2=-1,得f代-x)=f代x), 又f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+∞)， 因此[0，+∞)是f(x)的值域的子集， 所以f(x)为偶函数， 因此对任意实数M>0,存在实数xo,使得f代x)>M,故 又对x3,x4∈(2，+0)，都有(x3-x4)[f(x3-2)-fx4 (C)正确； -2)]<0, (-罗> 即对x3,x4∈(2，+∞)，都有[(x3-2)-(x4 对于(D)f(x) 2)][f3-2)-fx4-2)]<0, -x-受)x≤受 所以y=f代x-2)在(2，+∞)上为减函数， 当m>0时fx)的图象如图1， 所以y=f(x)在(0，+∞)上为减函数， 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 又f(1)=-2,f(m)>-2f(x)为偶函数， 则(6-a）=受-朵= 所以1ml<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m的取值范围为(-1,0)U(0,1). 四、解答题 1解：D图为企集U=RB=品≤0}= -5≤x<14}, 图2 所以CB=x1x<-5或x≥14}， 当m=0时，f代x)的图象如图2， 又集合A={xlx2-3x-18≥0}={xlx≤-3或x≥6， 此时(x)在定义域内单调递增，无单调递减区间； 所以(CB)∩A={x1x<-5或x≥14. 当m<0时f(x)的图象如图3， (2)因为B∩C=C,所以CCB. 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 当C=0时，2a≥a+1,解得a≥1； 则(6-a）=朵-受=-平 r2a<a+1, 综上.6-a的最大值为？，放(D)错误 当C≠⑦时，a+1≤14，解得-子≤a<1 l2a≥-5， 故选(B)(C) 综上，实数a的取值范围为[-弓，+） 三、填空题 12.必要不充分条件；13.15；14.（-1,0)U(0,1). 16.解：(1)因为函数y=(m2+4m+4)x2是幂函数， 提示： 所以m2+4m+4=1,得m=-3或m=-1, 12.因为A=1,2,3,5},B={1,2,3}, 因为幂函数在(0，+∞)上为严格减函数， 所以B手A, 所以m=-1不符合题意， 则由x∈A推不出x∈B,故充分性不成立， 所以m=-3. 由x∈B推得出x∈A,故必要性成立， (2)由(1)可得(2a-1)3<(a+3)3, 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件。 设函数y=x3, 因为函数y=x3在(-∞，0)，(0，+0)上严格单调递减， 13.由题意可知，利润为)0,10<x≤25， 所以2a-1>a+3>0或0>2a-1>a+3或 不妨令t=x-10∈(0,15]， 则利润为，10： 104 2u-1<0解得a>4或-3<a<2 (t+5)2 a+3>0, 1*2 t +10 所以实数a的取值范围是(-3，分)U(4,+x) 2孕0 ≤ 109 =500. 17.解：(1)由题知，x=0时，a=4, 当且仅当1=2空，即：=5时取等号，此时x=15, 所以8-0车=4，解得长=4 t 4 故售卖价格每件应定为15元. 所以，a=8-x+ -11 高中数学人教A(必修第一册)第6~9期 根据题意，y=a(36+） -20a-x, 在[0,1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减； 当x<0时6(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时6(x)在 即y=16a+10-x=138-x+- 64 （-∞，0)上单调递减. 所以(x)的单调递增区间为[0,1]，单调递减区间为 所以y=1358--年≥0. （-∞，0)和[1，+∞). (2y=158--4=1B9-(x+1+0）】 (2)因为函数y=fm(x-2025)的图象关于点(2025,0) 对称，所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称， ≤139-2√x+1)· x+1=123, 所以函数y=f(x)是奇函数， 所以fm（-x)=-fm(x), 当且仅当x+1=即x=7时，等号成立 即(m+x)1-x|=-(m-x)1x1, 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利 即2mlx1=0,由x的任意性得m=0, 润为123万元. 则/()=6()=-x1x=，￥≥0， le. 18.解：(1)因为g(x)=fx)+x是偶函数， x<0, 所以f代-x)-x=f代x）+x, 所以fm(fm(x)）=f6(-x1x1）={ x,x>0, 即-(2a+1)x=(2a+1)x恒成立， -x,x≤0， 所以2a+1=0,解得a=-之 因为Hx∈[-2,2]，nax2+n>fm(fm(x)), 所以n>》在[-2,2]上恒成立，只需n> 则)=子-x+山， x2+1 「fm(fm(x)1 则不等式f(x)>0可化为3x2+4x-4<0, x2+1 ,xe[-2,2]. 解得-2<x<行， 2 令g(x)=((x) +,则当8x)取最大值时，x>0, 所以所求不等式的解集为{✉-2<<号} x 1 此时g)=+=(+)++2, (2)不妨设有>与≥1，则不等式）-）<1可化 当x>0时，根据对勾函数的单调性知g(x)单调递增， 1-X2 为f(x1)-f2)<x-x2, 所以e[-2,2]时g)=g2)=5即a>台. 即f(x）-x<f(x2)-2, 所以实数n的取值范围为(9，+） 令h(x)=fx)-x,所以h(x)<h(x2), 所以h(x)=(a2-1)x2+(2a-1)x+1在[1，+o)上 单调递减。 当a2-1=0时，a=±1. 当a=1时，h(x)=x+1是增函数，不符合题意； 当a=-1时，h(x)=-3x+1是减函数，所以a=-1符 合题意： a2-1<0, 当a2-1≠0时，则 2a-1≤1. 2(a2-1) 解得-1<a≤万-1 21 参上，实数的取值范围为[-1,7] 19.解：(1)因为fm(x)=(m-x)1xl(m∈R), 所以5()=2-01122人0 当x≥0时，5(x）=2x-x2=-(x-1)2+1,此时5(x) 1217.(15分)已知幂函数f代x)=(m2-5m+7)x"的图象关于y 18.(17分)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市 19.(17分)函数y=f(x)的定义域D={x|x∈R且x≠0}， 轴对称。 政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务 对定义域D内任意两个实数x1,x2,都有f(x)+f(x2)=f(xx2)成立 (1)求m的值； 该工程队有A,B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机 (1)求f(-1)的值并证明y=f(x)为偶函数； (2)若函数g(x)=f(x)-2f(x),求g(x)的单调递增区间. 同时施工一小时挖土165立方米；4合A型和7台B型挖掘机同时施 (2)若x>1时f(x)<0,解关于x的不等式f(x-3)≥0； 工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300 (3)若x>1时，f(x)<0,且不等式f(2x2-3x+3)≤f(x2 元，每合B型挖掘机一小时的施工费用为180元. 2x+2)+f(a)对任意实数x恒成立，求非零实数a的取值范围. (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12合同时施工4小时 至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工 时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低 费用是多少元？ 高中数学·必修第一册（人教A版）核心素养综合测评 高中数学·必修第一册（人教A版）棱心素养综合测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 数理橘 2026年8月21日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 8 期总第1204期 人教A 0351-5271248 必修（第一册】 建筑丰碑 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-201 与“黄金比” 解：函数的定义域为x|-10≤x<0}U 人类对“黄金 函数定义必域的 函数奇偶性是函数重要性质之一，高考中 x10≤x≤10， 不仅直接考查奇偶性的判断，而且还考查奇偶 分割比”（简称“黄 即此函数的定义域为{x|-10≤x≤10}. 金比”)的应用，可 性的应用.现举例说明利用函数的奇偶性求函 求解策略 二、抽象函数的定义域 上溯到4600年前埃 数值、求函数的解析式及求参数的值等方面的 例3已知函数f(2x+1)的定义域为(-1， 及建成的最大的胡 0),则函数f(x)的定义域为 应用，供同学们参考. 夫金字塔，该塔高 ⊙江西成圆 解：因为函数f(2x+1)的定义域为(-1,0) 一、利用奇偶性求函数值 146米，底部正方形 一、具体函数的定义域 边长为232米（经多 例1求下列函数的定义域： 所以-1<x<0,所以-1<2x+1<1, 例1已知f(x)=x5+ax3+bx-8,日 年风蚀后，现在高 所以函数f(x)的定义域为(-1,1) )=, f(-2)=10,则f(2)= 137米，边长227米)， 三、符合实际意义的函数的定义域 解：令g(x)=x3+ax3+bx,易知g(x)是 两者之比为0.629≈ 例4如右图所示，用长为1的铁 1 5:8;在2400年前，古 (2)f(x)= 丝做一个下部为矩形、上部为半圆 R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2), 希腊在雅典城南部 1-√x-1 的框架，若半圆的半径为x,求此框 又f(x)=g(x)-8, 卫城山冈上修建的 解：(1)由5-x三0得≤5， 架围成的面积y与x的函数. 供奉庇护神雅典娜 所以f-2)=g(-2)-8=10, x+1≠0， Lx≠-1 的巴特农神殿，其 解：由图可知AB=2x,CD的长为Tx, 所以g(-2)=18 所以x≤5且x≠-1， 正立面的长与宽之 于是AD=1-2x-Tx 所以g(2)=-g(-2)=-18, 比为黄金比；于 所以函数的定义域为x1x≤5且x≠-1. 2 1976年竣工的加拿 (2)由x-1≥0得x≥1， 所以y=2x.1-2-m+ 所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 2 2 大多伦多电视塔 又1-x-1≠0，即x≠2 特邀讲座 塔高553.3米，而其 所以函数的定义域为{x1x≥1且x≠2}. 即)=-4女+x 2 七层的工作厅建于 340米的半空，其比 例 2 函 数 y 2x>0, 函数奇偶性 由 为340：553≈0.615≈ 1-2x-x>0, 解得0<x< π+2 8:13 6 (x+4)2+6(-10≤x<0), 2 的定义域 无独有偶，这 1 6 (x ,4)2+6(0≤x≤10) 所以此函数的定义城为0，n十2） 应方胳 三座具有历史意义 的不同时期的建 为 故所求的函数为y=-十4+，x ◎山西张瑞 筑，却不约而同地 2 分析：分段函数是一个函数，所以它的定义 二、利用奇偶性求分段函数的解析式 用到了黄金比，这 域是各段x的取值范围的并集 0,1 也许是由于黄金分 'T+2 例2f(x)为R上的奇函数，当x>0时 割比具有非常悦目 fx)=-2x2+3x+1,则f(x)= ≥0). 的美，能使建筑物 解：当x<0时，-x>0, 看来和谐、协调之 故函数的值域为[-1，+∞). 故吧！ 值域术解 则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1 胡成君 人体也有 术函致y数的值城 =-2x2-3x+1. 黄金分割点 解：原式可化为2y-7y=3x+5, 由于f(x)是R上的奇函数， 意大利数学家 习作份析 菲披斯曾注意到数 ©山东王广君 即2-9）+5.等 故f(x)=-f(-x), 所以当x<0时，(x)=2x2+3x-1. 学界不屑一顾的 在学习了函数的定义域和值域后，为了让 冷门”—人体的 学生更好地掌握求值域的方法，我给出下列四 可以看出，欲使x值存在，必须且只需y≠ 2 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)=0. 黄金分割。他说一 个例题，分别邀请四位同学板演，请欣赏： -2x2+3x+1,x>0, 般人在人体肚脐上 刘磊求下列函数的值域： 故函数的值域为eR且y≠} 综上，f(x)= 0 x=0, 下的长度比值为 0.618:1或者与此相 (1)y=|-x2+41-2;(2)y=VR+1. 课堂点评：刘磊同学采用的是观察法.所谓 2x2+3x-1, x<0. 近，这是人体上下 解：由绝对值函数知识和二次根式知识知 观祭法是指对于一些简单的函数，可通过定义 三、利用奇偶性求参数的值 结构的最优数字 此外，他发现人体 1-x2+41≥0.x≥0. 域及对应关系，用观察的方法来确定函数的值 例3设a为实数，函数f(x)=x2-lx-al+ 所以可知所求值域为 域，观察法最“经济实惠”； 结构还有三个黄金 1,x ∈R的图象关于y轴对称，求实数a的值 分割点，上肢的分 (1)[-2,+∞)；(2)[1，+∞). 邹敏同学采用的是图象法.对于含有与二 解：因为函数f(x)=x2-|x-a1+1,x∈ 割点在肘关节，肚 邹敏求函数y=3x2-6x+17的值域. 次三项式有关的问题，常常根据求解问题的要 脐以下部分的分割 R的图象关于y轴对称， 解：画出二次函数y=3(x-1)2 +14的图 求，采用画图的方法来解决，对于含有二次三项 点在膝盖，肚脐以 所以函数f(x)为偶函数. 上部分的分割点在 象（如下图），知y≥14. 式的函数，也常常用画图的方法来求值域； 余励同学采用的是换元法.换元也是一种 当a=0时f(x)=x2-lxl+1, 咽喉。如果一个人 各部分的结构比都 重要的数学思想，在使用换元法换元时一定要 则f(-x)=(-x)2--x1+1 符合黄金分割律， 注意新变量的范围，否则将会发生错误； =x2-1x1+1, 便是最标准的体 满足f(-x)=f(x),函数f(x)为偶函数； 型。这一发现为评 故成军同学采用的是反解法.所谓反解法， 价体型优劣提供了 就是假定值域为M,任意y∈M,一定存在自变 当a≠0时，因为f(a)=a2+1, 科学依据。 余励 求函数y=x-√2x+I的值域. 量x使得函数式，亦即方程式成立.因此，我们可 f-a)=a2-21a1+1, 解：令t=2x+1,则x=2(-1)u≥0， 以把函数当作关于x的方程寻求x存在时y应满 因为f(-a)≠f(a),不满足函数f(x)是偶 足的条件，这种解法反映了函数与方程之间的 函数，不合题意 所以y=2-1- = 2-10°-1 内在联系 综上所述，实数a的值为0. 2 素养专练 数理极 f3)=-f-3)=-f1-4)=f(1), 因为函数f(x)在(-∞，2)上单调递增， ,函数奇偶性的， 又f(x)在区间[0,2]上单调递增 所以在(2，+∞)上单调递减， 所以f(1)>f(0),即f(1)>0: 所以f(-1)=f(5)<f(4)=f(0)<f(3) 综合应用 所以f(-1)=-f1)<0f3)=f1)>0, (2)f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0. 于是f(-1)<f(4)<f(3). 点评：比较大小问题，一般解法是先利用奇偶 因为x)的图象关于直线龙=了对称， ◎河北陈际瑞 性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量 于是f(x)=f1-x), 的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函 所以1)=f0)=0,f2)=f(-1)= 一、函数奇偶性与单调性的综合 数值，然后利用单调性比较大小. -f(1)=0,f(3)=f(-2)=-f2)=0,f(4)= 例1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x- 二、函数奇偶性与对称性的综合 f(-3)=-f(3)=0,f(5)=f(-4)=-f(4)=0, 4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增，则 例2(1)定义在R上的函数f代x)在(-∞，2) 从而f1)+f(2)+f3)+f4)+5)=0. ()上单调递增，且f(x+2)为偶函数，则() 点评：解决奇偶性与对称性的综合问题时要 (A)f(-1)<f(3)<f(4) (A)f(-1)<f(3)(B)f(0)>f(3) 注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用适 (B)f(4)<f(3)<f(-1) (C)f(-1)=f3)(D)f0)=f3) 合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心.也 (C)f(3)<f(4)<f(-1) (2)设x)是定义在R上的奇函数，且y=可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对 (D)f(-1)<f(4)<f3) )的图象关于直线x=乃对称则)+水2)称中心，总之，要充分利用条件递行适当特化 解：因为f(x)满足(x-4)=-f(x) +f3)+f4)+f5)= 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关 所以f(-4)=-f0), 解：(1)因为f(x+2)为偶函数， 于坐标原点对称，这一结论可以推广如下： 又f(x)在R上是奇函数， 所以其图象关于y轴对称， (1)y=f(a+x)是偶函数f(a+x)=f(a 所以f(0)=0,所以f(-4)=-f(0)=0, 由于f(x+2)的图象可由(x)的图象向左平-x)台(x)的图象关于直线x=a对称； 所以f(4)=-f(-4)=0. 移2个单位长度得到， (2)y=f(a+x)是奇函数f(a-x)= 由fx)=-f(-x)及f(x-4)=-f(x),得 故f(x)的图象关于直线x=2对称 -f(a+x)台f(x)的图象关于点(a,0)中心对称 第7期2版参考答案 16.解：设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之间的 函数解析式为y=(mx+n)(1+0.2). ②当a>0时a=)=-2+- 专项小练一 由题意得1.6=(100m+√100n)(1+0.2) 1.B;2.C;3.ABC;4.二、四；5.(3,4). 又由g()的最小值为-3，则-心+宁。-子。-3 6.解：(1)依题意有m2-3m+3=1, 即号=50m+5, 解a=-1(合去)或=子 解得m=1或m=2, 4.8=(400m+400n)(1+0.2) 又函数f(x)为偶函数，则m=1, 即1=100m+5n. ② 由①2知a=-3或a=子 所以f(x)=2. 1 1 √x (2)g(x)=x2-2ax,对称轴为x=a,且图象开口向上， 由①2解得m=50n=5所以y=六5+2.5 19.(1)证明：Hx1,x2∈(1，+∞)，x1<x2, 则a≤2或a≥4， 当x=900时，y=9.6. 则()-)=听+子-号-号 所以实数a的取值范围为(-0,2]U[4,+o), 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 专项小练二 17.解：(1)月产量为x合，则总成本为(20000+100x)元，从而 =国)(+) 1.D:2.AC;3.125. f(x）=R(x)-(20000+100x) 4.解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订 因为1<x1<2,所以x1-x2<0,x1+x2>2,1x2>1 购量为。个， -厂分r+30r-2000,0≤x≤40. 则=100+5品02=650 60000-100x, x>400. 即名<2.所以)-)<0， 所以g(x1）<g(x2),所以g(x)是(1，+∞)上的单调递曾函数 (2)当0<x≤100时，P=52; (2)由(1)可知，当0≤x≤400时，fx)=-2(x-300)2+ (2)解：对任意e[分2])≥公-子+≥受 当100<x<650时，P=52-0.02(x-100)=54-50 25000,所以当x=300时(x)=25000; 当x>400时，(x)=60000-100x是减函数， sm≤2+2+1恒成立。 2 当x≥650时，P=41. 所以fx)<60000-100×400<25000, 52, 0<x≤100， 所以当x=300时(x)m=25000, 所以P=f(x)= 54-0100<<60,eN, 即晦月生产300合仪器时利润最大，最大利润为25000元 即V∈[分，2]m1≤g. 41, x≥650. 18解：)由题可知㎡+子m分=1， 而数代)在[子小上单调减，1,2]上单调递塔， (3)设工厂获得的利润为L元， 解得m=-3或m:子 因此g(x)mm=g(1)=3, 期L=(54--30）×5m=70m, 当m=-3时，4m2-m=39,可得fx）=x39 则m-1≤3，解得m≤4， 即销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是7000元 由-x)=(-x)9=-9=-), 所以实数m的最大值为4. 知函数(x)为奇函数，不合题意； (3)解：不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b 第7期3,4版参考答案 当m=分时，m2-m=分，可得)=中， 的值域为[a,b].理由如下： 一、单项选择题1~4ABAC5~8CDAB 由幂函数y=x3在R上单调递增得函数h(x)=x3+2在R上 由函数的定义域为[0，+)，知满足题意 二、多项选择题9.ABD;10.BCD;11.ACD 单调递增， 三、填空题12.3；13.9；14.6. 综上，m的值为2 若存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域 四、解答题 (2)由(1)得f(x)=, 15解：山)由隔数=r经过点(4名）可将4“-2产=令 1 则g()=-2F+- 1) 正实数a,b(a<b)是方程h(x)=x,即x3-x+2=0的两个 1 令t=(t≥0)，则x=2, 不等的正根，x>0, 由x3>0可得x>0, 即8)=-2a+名-是 由2-+2=0得2+名=1，即g()=1, 所以函数y=x子的定义域为(0，+) 可化为)=-aP-公+分a-子 又函数g(x)在(0,1]上单调递减，在[1， +∞)上单调递增， (2)由(1)可知幂函数y=x受在(0，+∞）上为减函数， 令h0)=(u-a)2-d+2a-u≥0， 故函数g(x)在(0，+0)上的最小值为 所以当xe[1,41时=专e[g,小 ①当≤0时(0=0)=子-子 g(1)=3,因此方程g(x)=1无实数解， 即方程x3-x+2=0无实数解， 所以函数y的值域 [g小 3 所以不存在正实数a,b,使得函数h(x) 又由(x)的最小值为-3，则2-子=-3，解得a= 3 =x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b] 8.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数，且f(-1)=-1,若对所 四、解答题：本题共5小题，共77分 函数的概念与性质 有的x∈[-1,1]及任意的m∈[-1,1]都满足f(x)≤2-2mt+ 15.(13分)设a为实数，函数f(x)=a√个-x+√个+x+ 核心素养综合测评 1,则t的取值范围是 /1-x (A)[-2,2] (1)求函数f(x)的定义域： ◎数理报社试题研究中心 (®)[] (2)设t=√+x+√1-x,把函数f(x)表示为t的函数h(t), 第I卷选择题（共58分） (c)(-,-2]U[分，+x)u0: 并写出定义域 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (D)(-∞，-2]U[2,+)U{0 1 1.函数(w)=压+x一2的定义域是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是 (A)(0,2)U(2,+∞) (B)[0,+0) (C)[0,2)U(2,+∞) (D)(0,+0) (A)f(-3)=4 (B)x)=-2x+1 4 高中数学 2.若点(-1,3)在偶函数y=f(x)的图象上，则f1)= (C)f(x)=x2 (D)f(3)=9 10.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(0<x1<2),若幂函数f(x)的 高中数学· (A)0 (B)-1 (C)-3 (D)3 必修第 图象经过点(9,3)，则 ( 3.函数y=1x1-1的单调递减区间为 (A)x1+f(x)<名3+f(x2) (B)x1-f(x)<x3-f(x2) 册 (A)(-∞，0) (B)(-∞，-1) 必修第一册 (C)x/(x)<x2fx2) (D)x2f(x1)<xf(x2) (C)(0,+0) (D)(-1,+0) 16.(15分)某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分 4巴知y=,则，的版值范醒是 11.已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)满足如下条件： ①八x)=)+x);②当x>1时，x)>0.则下列结论正确析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间x(单位：年)的 人教 A A 版 函数解析式为y=-x2+12x-9(x≤11，且x∈N,) 版 核 (A)(3,+0) (B)(-0,3) 的是 ( (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为 核 (C){y1y≠3 (D)[3,+) (A)f(-1)=0 多少？ 素养综合测评 5.幂函数y=x,y=x,y=x,y=x在第y (B)函数f(x)是偶函数 (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 一象限的图象如右图所示，则下列不等关系成立 (C)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增 心素养综合测评 的是 (D)不等式1>0的解集为(-1,0)U(1,+) (A)b>c>a>d (B)a>d>c>b (C)b>cd>a 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (D)a>d>b">c 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(x+1),当x≥ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2时，f(x)单调递减，且f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x2-x, (A)[2,+∞) (B)[0,4] 则(-1)= (C)(-0,0) (D)(-∞，0)U[4,+∞) 13.已知函数f(x)=x2+ax+b和g(x)=x+ax+b,若f(x) 7.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)x”在(0，+o)上是减函数， ·g(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，则a= ,b= 则1mx+1|<1的解集为 14.已知函数f(x)= (A)(0,1) (B)(-o,0)U(1,+∞) 3x+1,x≤1若n>m,且)=人m), x2-1,x>1, (C)(-2,0) (D)(0,2) t=n-m,则t的最大值为