第7期：直线的交点坐标与距离公式-【数理报】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 数理柄 答案详解 2026~2027学年高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期(2026年8月) 故B1o(-240,0),Po(0,96), 第5期3版参考答案 0-96 2 则kp080=-240-0=5 直线的倾斜角与斜率同步核心素养测评 2肥知可得6e-,子=方c-名二多 5-31 1 一、单项选择题 6-2- 21 1~4 DABD 5~8 DDCA 提示： hcn =0-3 926=分6w9=-3 1 1.因为直线l的倾斜角为120°，所以tan120°=-5， 所以kAB=kc,kD≠kgC, 由斜率的定义k=2二上可知，取x1=1=0, kAD·kAB=kAD·kc=-1, x2-x1 即AB∥DC, 解得一组解可以是x2=1,y2=-√5， AD不平行于BC,AD⊥AB,AD⊥DC, 所以直线的一个方向向量可以是(1，-5). 故构成的图形为直角梯形. 2.因为直线经过点(-1,2)，(2,2+5)， 8.如图1所示，连接AP,BP, 所以直战的料*为号之汽号-令 5-0=5, 3 则k8=2-1 3.由题可得6=4+5：（？+瓦：1， =9=1 O P 4-2 因为直线1过定点P(1,0)且与以 设直线l的倾斜角为0，所以tan0=1, 图1 A(-1,2),B(2,3)为端点的线段相交， 又因为0∈[0，π)，所以直线1的倾斜角为45°， 4.设A(2,0),B(-2,4), 所以直线的斜率不存在或满足k≤-1或k≥√3， [π3π1 则点A,B所在直线的斜率为kB= 4-0 -2-2-1, 所以直线的倾斜角的取值范围为 3·4 由题意知过点(2024,2025)，(a,b)的直线与直线AB平行， 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.BC. 所以6-2025=-1， a-2024 提示： 整理得a+b=2024+2025=4049. 9.由题意两直线1,2的倾斜角分别为α，B. 5.设点C的坐标为(x,0), 若α为锐角B为钝角， 则直线AC的斜率kc=4一x 2 此时直线(，的斜率大于直线L2的斜率，故(A)错误： 线C的斜率6c己64且. 若a=B=受， 此时斜率不存在，不符合题意，故(B)错误； 因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC, 若直线1的斜率小于0，直线2的斜率大于0， 22 则ke·kc=-l,即4-。‘白=-l， 此时α为钝角，B为锐角，α>B,故(C)错误； 若两直线的斜率相等，此时α=B,故(D)正确. 解得=0或x=5, 故选(A)(B)(C). 所以点C的坐标为(0,0)或(5,0). 10.若A,B两个镇到马路I的距离相等， 6.10A。I=10A,1+|A1A101=96+9×16=240m, I0PoI=10PI+1PPoI=60+9×4=96m, 当1与直线AB平行时，则k=二4-3=乙 -3-6=g 高中数学人教A版选择性必修第一册 第5~8期 当直线AB与I相交时，则直线过AB的中点， 放m(-0）=0=号m0=是 9 又AB的中点为(3-子)： 四、解答题 -2+1 15.解：(1)直线MW的倾斜角为锐角， 所以k= 多-0 则直线MN的斜率k= 1-m m-2-(2m+3)>0, 若A,B两个镇位于马路的两侧， 解得m>1或m<-5. (2)直线MN的倾斜角为钝角， 3 6 1-m 则直线MN的斜率k=m-2-(2m+3)<0, 故的取值范围为(-，子)U(山，+如) 解得-5<m<1. 故选(A)(D) (3)直线MW的倾斜角为直角，斜率不存在， 11.h =kAn 69=2. 则点M,N的横坐标相等，即2m+3-m-2,解得m=-5. 16.解：(1)由直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍， 所以直线AB的方向向量为(1,2)，故(A)错误； 得4-（-m-3】=3.4-(m-12 因为-方·u=-1,所以L1AB,故(B)正确 -1-m -1-2 解得m=1或m=2,经检验均符合题意， 因为e9=-号xu=-1 故m的值是1或2. 所以AB⊥BC,故(C)正确， (2)设直线L1的倾斜角为a, _3+1=2=k8, 因为km=3-1 则直线2的倾斜角为2a,由已知得tana=2, 4 kn=号，kc=-分，6w≠5e, 则直线马的斜率为an2a=,2tang= 1 -tan2 a 3 所以四边形ABCD不是平行四边形，故(D)错误. -4 17.解：(1)由斜率公式得直线AB的斜率为-2-2=1， 故选(B)(C) 记倾斜角为a,则tana=1, 三、填空题 12-213.3,144 因为a∈[0，m),所以直线AB的倾斜角为于 提示： m-2为直线BE的斜率 (2)由题知 12.因为直线的倾斜角为45°， 记直线BC的倾斜角为B, 2m-(m2-3) 直线BE的倾斜角为Y, 所以直线的斜率为1，可得3-m-m2-(m2+2) =1, 由图3可知，y∈[0，a]U[B,T), m2+2≠3-m-m2, 1 解得m=-2. 又kc=tanB=-1-2=-3, 13.由题意得AD1BC,且kc=4-0=2, 3-1 1 所以由正切函数性质可得， 所以ko=1-3 直线BE的斜率的取值范围为 m-2 =-2,解得m=3. 14.以C为原点，DC,BC边分别 N' 即”2的取值范图为[子] 为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如 D 18.解：(1)设直线AB,CD的斜率分别为kB,kD, 图2，则N(-120,-80),M(-60, 依题意可得kAB=kw, -200), N关于x轴的对称点为 =解得m=号 N'(-120,80),N'关于y轴的对称点 为N"(120,80), 图2 直线MW”方向为本球射出方向， 所以kAB≠kD,即A,B,C,D四点不共线， 2 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 所以m=马 提示： 51 1.由直线的点斜式方程的特点可知， (2)若A为直角，则kAB·kAc=-1, 直线经过定点(4,3)，斜率为5，即倾斜角为60° 明×贤 =-1,解得m=12. 2.由y-b=2(x-a)得y=2x-2a+b, 若B为直角，则kAB·kc=-1, 故直线在y轴上的截距为b-2a. 明 =-1,解得m=-1 3由直线的网点式方程得直线1的方程为：（二出 若C为直角，则kc·kc=-1, 品即yx+ 贤×兴子-1解得m=7±， 4 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 解得6=2027. 综上，m的值为-1或12或7±叵 4 19.解：由题知直线l2的斜率存在， 4直线1的方程为号-号。 整理得4x-y-11=0,故(C)正确； 设直线么的斜率为无，侧怎号：号 由y+3=4(x-2)整理得4x-y-11=0,故(A)正确； 若直线l,的斜率存在，则a-1≠3，即a≠4. 由y-1=4(x-3)整理得4x-y-11=0,故(B)正确； 设直线l的斜率为k,则6=2- a-4 由片=子整理得--14=0，放(D)错误： 1 （)若4∥%，则号二=-号，解得a=1或a=6 故选(D). 5.直线x-上=1在x轴，y轴上的截距分别是m,-n, 经检验，当a=1或a=6时，l1∥l2 n (2)若4112， 直线x-Y=1在x轴，y轴上的截距分别是n,-m,因此四 n m ①当6=0时a=0,4=-子，与题意不符 个截距中两正两负，对照选项中图形知(B)正确. ②当k2≠0时，直线2的斜率存在， 6.两直线垂直台(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0-(m 则直线的斜率也存在. +4)(m-1)=0台m=1或m=-4. 由6=1，得居异（号）=1， 又{1}￥{1，-4}， 所以“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x 解得a=3或a=-4. +(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件. 经检验，当a=3或a=-4时，41上2 7.如图1所示.由△ABC的顶x+2y-3=0 第6期2版参考答案 点A(-3,0),B(3,0),C(3,3)知， △ABC的重心为 -3+3+3 O B 专项小练一 3 ar+(a-3)y-9=0 1.D;2.C;3.BD 0+0+3 图1 3 1,即(1,1)， 4y=3-3;5.y-2=-5(x+1). 1 7 因为BC L AB,所以△ABC为直角三角形， 专项小练二 所以外心为斜边AC的中点 1A:2A:3AC4-g:5-0 专项小练 即(0,2) 1.D;2.D;3.BCD.4.x-3y+√5=0；5.二 所以可得△ABC的欧拉线方程为？士=0，一 2 第6期3版参考答案 即x+2y-3=0 直线的方程同步核心素养测评 因为ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行， 一、单项选择题 1~4 ACAD 5~8 BBCD 所以子=2≠二3解得a=-3 一3 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 8.m(x+1)+n(y+2)=0可化为 mx ny m +2n =0, ① 要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0， 故选(B)(D) 11.整理mx+y+1-3m=0得m(x-3)+y+1=0, 由①令x=0得y=-m+2n n 令-3=0解得 x=3, 令y=0得x=-m+2n ly+1=0, y=-1, m 所以直线1恒过点(3，-1)，故(A)正确： 依题号×(”2）×(-“2)=分× 若A(-2,3),B(3,-2),C(分m）三点共线， m2+4mn+4n2 mn n m m-3 1 所以”+红+4=12或+如+4=-12 2+2 m m 解得m= 所以m+4n=8或m+4n=-16. 子，故(B)错误： m 点B关于x轴的对称点为B'(-1, 设t=m,则t+4=8或t+4=-16, t t -1), 则2-8t+4=0或2+16t+4=0, 连接AB'交x轴于点P。,点P是x 解得t=4±25或t=-8±2√5， 轴上任意一点， 图3 连接BP。,AP,BP,PB,如图3. 即m=4±25或m=-8±2√5， n n 于是IPAI+PBI=IPAI+|PBI≥IABI=IAP。I+ 所以这样的直线有4条 1BP。I=IAP。I+BPOI, 二、多项选择题 当且仅当点P与P。重合时，等号成立， 9.AC;10.BD;11.ACD. 因此(IPAI+lPB1)=IAB'1=√32+4=5，故(C) 提示： 正确； 9.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k<0,b>0, 直线1与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点， 所以点(k,b)在第二象限，所以(A)正确： 可知直线1的斜率为负数， 任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾 设直线I:y-2=k(x-3),k<0, 斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以(B)错误； 由点斜式方程知，过点(2，-1)，且斜率为-√5的直线的 令x=0,得y=2-3k,令y=0,得x=3-名 点斜式方程为y+1=-5(x-2),所以(C)正确； 可知2->03-会>0. 设直线的倾斜角为α，当0°≤α<90°时，直线的斜率越 大，倾斜角就越大：当90°<α<180°时，直线的斜率越大，倾 所以5=7×(2-3)(3-2)=2[(-9w)+ 斜角也越大； 但当0°≤α<180°时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也 6+12]≥2(236+12)=12， 越大，所以(D)错误 当且仅当-9贴=，即k=-子时，等号成立， 故选(A)(C) 所以△AOB面积的最小值为12，故(D)正确. 10.设直线1的斜率为k,如图2， 故选(A)(C)(D) 过定点A的直线经过点B(3,0)时， 1(1,2 o 三、填空题 直线1在x轴上的截距为3，此时k B 乙3-2-10123x 12.15x-10y-6=0;13.120°；14.25. =-1; 图2 提示： 过定点A的直线经过点C(-3, 12.由题意得直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等， 0)时，直线1在x轴上的截距为-3，此时k=2 设直线1的方程为3x-2y+c=0, 结合图形知，满足条件的直线1的斜率范围是(-∞，-1) 根据直线1在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 4 高中数学人教A版选择性必修第一册第5一8期 可得-兮乞=1，解得c=-名 方程表示的直线的斜率不存在， 5 此时直线方程为3x-4=0. 6=0, 故直线1的方程为3x-2y- (3)易知m≠-1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在， 即15x-10y-6=0. 依题意令y=0,得直线在x轴上的截距，2m-6 m-2m-3-3, 13.显然直线1不垂直于坐标轴， 设直线I的方程为y=x+b, 解得m=一多，所以实数m的值为一多 于是平移后的直线方程为y=(x-1)+b-5, (④)易知m≠-1且m≠子时，直线的斜率存在， 即y=kx+b-k-3. m2-2m-3 6-2m 依题意得b-k-5=b,解得k=-√5， 方程即y= 2m2+m-1 2m2+m-1 所以直线1的斜率为-√5，倾斜角为120°. 故斜率为一 m2-2m-3 14.直线2x+my+6=0, 2m2+m-1 整理成my=-2x-6,过定点A(-3,0) 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 直线mx-2y-m+6=0, 所以-m-2m-3 2m2+m-1 =1,解得m=3 4 整理成m(x-1)=2y-6,过定点B(1,3) 又m∈R,过定点A的动直线2x+my+6=0和过定点B 所以实数m的值为学 的动直线mx-2y-m+6=0始终垂直，P(x,y)为两条垂直直 17.解：(1)已知l1∥l, 线的交点，则有PA⊥PB,所以IPA12+1PB12=1AB12=4 则可设直线l1的方程为3x+2y+m=0(m≠-2)， +32=25. 又L1过点P(2,-1), 四、解答题 所以3×2+2×(-1)+m=0,解得m=-4, 15.解：当直线1过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0. 所以直线(1的方程为3x+2y-4=0. 设直线1的方程为y=x(k≠0)，又因为I过点P(4,3), (2)若l2上1，则可设直线，2的方程为2x-3y+n=0, 3 所以3=4k,放k=子，所以直线1的方程为y= 又2过点P(2,-1), 所以2×2-3×（-1)+n=0,解得n=-7, 当直线不过原点时， 所以直线2的方程为2x-3y-7=0. 设直线1的截距式方程为文+上=1(a≠0)， a 18.解：(1)由直线的两点式方程， 又因为直线1过点P(4,3), 得边4C所在直线的方程为二普=g”。 所以4+3=1，所以a=7, 即x-2y+8=0. 所以直线1的方程为号+片=L, 同理得边8所在直线的方程为衫青=一0。 -2-01 即x+y=7. 即x+y-4=0. 综上，直线1的方程为3x-4y=0或x+y-7=0. (2)由题意得点D的坐标为(-4,2)， 16.解：(1)当x,y的系数不同时为零时， 由直线的两点式方程， 方程表示一条直线。 得中线BD所在直线的方程为号之仁 -2-(-4)’ 令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3: 即2x-y+10=0. 令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=2 1 (3)由4C边所在直线的斜率长c=之， 所以x,y的系数同时为零时m=-1, 得AC边上的中垂线的斜率为-2， 故若方程表示一条直线，则m≠-1， 又边AC的中点坐标为(-4,2)， 即实数m的取值范围为{mlm≠-1}. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由点斜式得AC边上的中垂线的方程为 y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0. (1)知当m=分时，2m+m-1=0且m-2m-3≠0， 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 k(x+3)+2-y=0, (2)l2:9x-15y+30=0可化为方程3x-5y+10=0, 由+3=0 可得-3. 所以1经过定点P(-3,2）, 所以x-5+10=0:有无数多个解， 2-y=0,y=2, 9x-15y+30=0 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 故l1:3x-5y+10=0与2：9x-15y+30=0重合. 所以无论k取何值，直线1始终经过第二象限。 (3)显然1∥2，无公共点 (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<a<受， 专项小练二 可得1PA1=2,1PB1=3 1.A;2.B;3.AD.4.5;5.2√10. sin a' cos a 6.解：1)由题意5×212m+61=4, 所以分1PI+子1PB1 1 1 sin a +cos a 52+122 sin ccos c sin acos a 解得m=号或网=一3 令1=sina+eosa=2sin(a+平） (2)结合(1)可得m=-3, 因为0<a<号所以受<a+子<要 4 因为直线41：ax-y-3=0与b2:-3x+ay+6=0平行， a>0, <m(e+年）≤1， 所以号=≠。己，解得a=5, 则t=2ina+）e(1]. 所以直线：5x-y-3=0, 将t=sina+cosa两边平方可得 12:-3x+5y+6=0,即3x-y-23=0, 2=(sin a cos a)2=1+2sin a cos a, 所以sin acos&=l 所以直线4与4之间的距离为d=厅-多 2, 所以子1PAI+分PB1= 2t 2 第7期3版参考答案 2-1t-工 直线的交点坐标与距离公式同步核心素养测评 因为y=t-}在(1,2]上单调递增， 一、单项选择题 t 1 ~4 BAAC 5 ~8 DDCC 所以0<1- ≤ 提示： t 21 1.将(2，-1)代人3x+my-1=0可得m=5, 故y=1≥2，所以2 1≥22， i- t i- 将(2，-1)代入4x+3y-n=0可得n=5, t 所以m+n=10. 当且仅当t=√万时取等号， 2.由两点间的距离公式及1ABI=1AC1可得 此时i=万in(+平）=万， √(a+2)2+(2+3)=√(a-1)2+(2-6)7, 解得a=-2. 可得a=牙，所以k=ma=m 4 =1, 3.直线3x-2y-1=0即为6x-4y-2=0, 所以直线1的方程为x-y+5=0. 所以两平行直线6x-4y-2=0和6x-4y+3=0间的 第7期2版参考答案 距离为d=1-2-31-5四 √6+(-4)7 26 专项小练一 4.因为点A(2,1)不在直线：x-y+3=0上， 1.C;2.C;3.ABD.4.-5;5.(-1,-3) 所以当AB上I时，1ABI最小， 7 3x-y+4=0, 51 故1B1==12-1+31-22. 6.解：(1)解方程组 2 x+3y+2=0, 1 y=-5 5.由+y-3=0得=1， 2x-y=0 ly=2. 所以这两条直线相交，交点坐标是(-了，-)） 因此两直线的交点为(1,2). 6 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 又直线2x+y-5=0的斜率为-2， ,5-3k>0 k+1 所以要求直线的斜率为子 所以 6k-2<0 解得-1<<子故选(A)(C. k+1 所以直线方程为y-2=宁（：-)。 10.当k=0时，直线l2的方程为x=0, 即x-2y+3=0. 此时直线马的倾斜角为受，故(A)正确； 6.设所求直线上任一点(x,y), 它关于x=1的对称点为(oo), 当k=-之时，直线的方程为xy-1=0, 则2-x, 与（重合，此时两直线有公共点； Lyo =y, 因为(x,y)在直线x-2y+1=0上， 当k≠-分时，有1×k-(-1)×(k+1)=2k+1≠0， 所以2-x-2y+1=0, 即11,2一定相交 化简得x+2y-3=0. 综上所述，对任意的实数k,直线（与直线2都有公共点， 7.点A(-3,1)关于直线y= 故(B)正确； -2的对称点为A'(-3,-5) 0 由(B)可知，当k=-7时，直线4与4，重合，故(C)错误； 若直线y=-2上有一点P,它 要使直线，与直线2垂直， 到点A(-3,1)和点B(5,-1)的距 则应有k+1一k=0,该方程无解， 离之和最小， 图1 所以对任意的实数k,直线l,与直线2都不垂直，故(D)正确. 则P为直线A'B与直线y=-2 故选(A)(B)(D) 的交点， 11.由图2知，P(1.5,2), y(百元)》 /3xy-5=0 所以(IPAI+PBI)mn=|A'BI P2(1,3),P(2,3),P4(2,4), -Q =√(-3-5)2+[-5-(-1)]2=45. Q(3,1),Q2(3,2),Q3(4,3), 8.直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2, 当直线x=2.5为分类直线时， fQ 012345x(百元) 可得定点A(0,2), d=3-2.5=0.5, 图2 动直线x+(a+1)y-4a-2=0化为(a+1)(y-4)+ 当直线3x-y-5=0为分类直线时，其过(2,1)，(3,4)， x+2=0,可得定点B(-2,4). 由图可知P(2,3),Q2(3,2)到直线3x-y-5=0距离最小， 因为(a+1)×1-1×(a+1)=0, P(2,3)到直线3x-y-5=0的距离为 所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-4a- d=13×2-3-51=而 5 2=0垂直，P为交点， 32+1 所以PA⊥PB,所以1PA12+PB12=1AB12=(0+2)2 同理0.(3,2)到直线3x-y-5=0的距离为d= 5， +(2-4)2=8. 则Saw=7PA1PB1≤ 1.1PA2+1PB=2, 因为四>05，所以直线3x-)-5=0的分类效果好。 2 故(A)错误； 当且仅当1PAI=IPBI=2时，等号成立 由图知L的位置由P(1.5,2),P3(2,3),Q2(3,2)确定， 故△PAB面积的最大值为2. 所以点P(1.5,2),P3(2,3),Q2(3,2)到直线L的距离相等， 二、多项选择题 所以直线L过点PQ2,PQ2的中点 9.AC:10.ABD:11.BCD. 提示： 面P,Q的中点为(？，2)，P0的中点为(3，号)， 5-3k =k+1 2- 9联立方程x+y-3=0, 2 解得 故直线L的斜率为95 =2,故(B)正确； y=kx+3k-2, 4 2 因为两直线的交点在第四象限， 由(B)知直线L的方程为y=2(x-)+弓=2x- 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 此时点(3,3)在L的右侧，故(C)正确； 2 5 去掉点P后，P(2,3),Q2(3,2)到直线L的距离相等， 所以 解得 2+2×1-2=0, 19 此时直线L为线段P(2,3),Q2(3,2)的垂直平分线y=x, 2 2 51 故(D)正确 故选(B)(C)(D). 即点P的坐标为（号） 三、填空题 (2)设直线1关于点A(1,1)的对称直线为'， 12.-3；13.5:4.7x-7y+5=0. 则直线I上任一点P(x,y)关于点A的对称点P1(x,y) 定在直线'上，反之，也成立 提示： 12由2+y-4=0,=2, x+=1, 2 「1=2-x, 得 x-y-2=0,ly=0. y+=1, y1=2-y, 2 即两直线交点坐标为(2,0)， 代人x-y+5=0得2k-0+5=0→k=- 5 将点P(x1,少)代人直线1的方程，得 2 x+2y-4=0,即直线'的方程为x+2y-4=0. 13.设AB边上的高为h,则h就是点C到AB所在直线的距离 1解：（直线5可化为2x-y分=0， 1AB1=(3-2)2+(4-1)7=10. 由两点式可得松边所在直线的方程为二-二号， 所以l1与l,2的距离为d= a-（)5 √22+1 10 即3x-y-5=0. 因为a>0,所以a=3. 点C(-2,-1)到直线3x-y-5=0的距离 (2)设存在点P(xo,yo)满足， h=3×(-2）-（-1）-51=0 则点P在与1，b2平行直线'：2x-y+c=0上 √32+(-1)2 所以Sae=2X刘AB1×h=子×V而×√而=5 1 且c-311 c+2 -,即c= 5 2 5 号或e- 14.设P(x,y)是∠BAC的平分线所在直线上任意一点， 所以满足条件②的点满足24，-%+号=0或2。-%+ 则点P到AB,AC的距离相等， 即4x-3y+101=13x-4y-51 1=0. 6 42+32 √42+3 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 所以4x-3y+10=±(3x-4y-5), 即x+y+15=0或7x-7y+5=0. 有24为+3.2.1+。-1山 5 5 2 又LBAC的平分线所在直线的斜率在子和子之间， 即12x-y%+31=|x0+y0-11, 所以所求角平分线所在直线的方程为7x-7y+5=0. 所以x0-2y%+4=0或3x0+2=0, 四、解答题 因为点P在第一象限，所以3x+2=0不成立 15.解：(1)-y+4=0,x=-1, P(-1,3), 联立方程2。-%+号-0和，-2。+4=0， l2x+y-1=0y=3 0=-3, 所以过点P与原点的直线方程为y=-3x 解得 。1(舍去) (2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠-1)， y0=2’ 由(1)知点P(-1,3), 联立方程2。-0+片=0和。-2。+4=0， 又点P在该直线上，所以c=7, 6 则所求的直线方程为x-2y+7=0. 1 [&o= 9 16.解：(1)设点P关于直线1的对称点为P'(xyo), 解得{ 37 则线段PP'的中点在直线I上，且PP'⊥L 18 -8 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 所以P(号) 即为同时满足条件的点。 k4=- 2 3 「y=- 3x+1, 18.解：(1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2), 当kg=-6,时，联立{ 3 lcw:y=x-3,联立y=x-3与y=-x+7,得N(5,2), - y=- 2(x-1) 所以光所走过的路程为|C'N1=42. (2)对于线段y=-x+8,xe[3,5], 可得P(号号) 令其缩点43,5).B53).则a=子6= 5 所以P点的坐标为3,3)或（分号）】 所以反射光斜*的取值范用是[子，子]， (3)l1:mx+y+m+1=0过定点Q(-1,-1),k1=-m, 因为直线41，山2是“Q1共轭线对”，所以方k2=-1, (3)若反射光与直线y=-x+b垂直， 则反射光的方程为：y=x-3, 所以k2=1,所以42：x-my+1-m=0. m 则由 y=-x+b, x=6+3 设原点到直线，l2的距离分别为d,d, y=x-3 2 则d,d,=1m+1L.11-ml ①当x=6+3e[3,5],即6≤b≤7时， √m+1m2+1 2 光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离， 所以距离5=1-2-b1=6+1 当m2=1时，(d1d,)min=0, 2 又因为2>0，所以1-2 ②当x=63e(5,+0), m2+1 m2+1<1, 2 即dd2e[0,1). 即b>7时，光所走过的最短路程为线段CB, 其中B(5,b-5), 第8期2版参考答案 所以s=1C'B1=√2-6b+25. 专项小练一 b+1 1.D;2.C;3.BC. 6≤b≤7， 综上，8= 4.(x-2)2+(y-1)2=15.12. -6b+25,b>7. 6.解：(1)当AB为直径时，过A,B的圆的半径最小， 19.解：(1)因为l1:x+y=0,所以k1=-1, 从而周长最小， 由题可知k1·k2=-3,所以k2=3, 即A,B中点(0,1)为圆心，半径r=1AB1=而， 设l1的倾斜角为0，l2的倾斜角为02，l1,l2的夹角为0， 则周长最小的圆的方程为x2+(y-1)2=10. tan 0=tan(0)=+tan0,tan 0 tan 0-tan 0 (2)AB的斜率为k=-3, 号-2 则4B的垂直平分线的方程是y-1=子x,即x-3y+3=0, 联立x-3y+3=0与2x-y-4=0得圆心坐标是C(3,2), (2)设直线PQ:y=k4x+1,QR:y=kg(x+1), RP:y =kc(x-1), r=1AC1=25,所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 专项小练二 2 hxkg =4, 3 1.D;2.D;3.ACD.4.2;5.3. 由题可知kke=1,解得{g=6,或{kg=-6, 6.解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, kghc =9, 由题意知当y=5时， 关于x的方程x2+Dx+3+F+5E=0的两个根为0,2， k= 2 3t+1, 「y= 因此由根与系数的关系得2+0=-D,F+3+√5E=2×0, 当{kg=6,时，联立 可得P(3,3), 由(1,0)在圆上可得1+D+F=0, 3 3 kc =2 y=2(x-1) 所以n=-2E=-4F=1 9 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 43 3y+1=0. 7.由题意圆C:(x+2)2+(y-2)2=1的圆心为C(-2, 所以圆的方程为x2+y2-2x- 2),半径为1. 第8期3版参考答案 设所求圆的圆心为C'(a,b), C'是圆心C(-2,2)关于直线x-y+1=0的对称点. 圆的方程同步核心素养测评 b-2 a+2 ·1=-1, 一、单项选择题 由题得 1~4 BACD 5~8 DAAB g-2_b+2 2 2 +1=0, 提示： 1.由x2+y2-2x-5=0可得(x-1)2+y2=6. 解得1， 即所求圆的圆心为C'(1,-1), b=-1, 所以该圆的圆心为(1,0)，半径为6. 且半径与圆C半径相等， 2.由题意得a2+(a+1)2<25,即2a2+2a-24<0, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1. 解得-4<a<3,即a的取值范围是(-4,3). 8.(3入+1)x+(2入+1)y=5A+2整理为 3.利用中点坐标公式求得圆心为(1,2)， (3x+2y-5)入+x+y-2=0, 利用两点间距离公式得半径为 3×4+2+1-3=分4而=而， 令3x+2-5=0 解得1， x+y-2=0, ly=1, 故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10. 所以定点P的坐标为P(1,1), 4.由题可得1MM11=√(x+3)2+y, 代人入圆的方程中(1+2)2+(1+1)2>4， 所以P(1,1)在圆外. IMM21=√(x-3)2+y, 设圆C的半径为r=2, 又因为其满足IMM,I=21MM2I, 所以IMPI的最大值应该为PCI+T, 所以(x+3)2+y=2√(x-3)+y, 整理得x2+y2-10x+9=0, 所以点M的轨迹方程为x2+y2-10x+9=0. 5.由题意在圆x2+y2-2x+4y+4=0中， (x-1)2+(y+2)2=1,所以圆心为A(1,-2),半径为1， 又IPC1=√(-2-1)2+(-1-1)2=3， 在直线2ax-by-2=0(a>0,b>0)中， 圆关于该直线对称， 所以IMP1的最大值为√3+2. 所以直线过圆心A(1,-2), 二、多项选择题 所以2a+2b-2=0,即a+b=1, 9.BD:10.AC;11.AD. 因为a+b=1≥2√ab, 提示： 9.因为D=2,E=0,F=-m, 解得b≤子，当且仅当a=6=子时等号成立， 由方程表示圆的条件得D2+E2-4F>0, 所以6的最大值为子 即22+02-4(-m)>0,解得m>-1, 所以只有当m>-1时才表示圆，故(A)错误； 6.设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D +E2-4F>0), 因为-分=1，-号=0， E 1+16+D+4E+F=0, 若方程表示圆，圆心坐标为C(-1,0), 则{4+9-2D+3E+F=0, 圆心在x轴上，故(B)正确，(C)错误； 16+25+4D-5E+F=0, 当m=0时，半径，=分D+E-4F= 2 D=-2, 解得{E=2, √22+02-4×0=1，故(D)正确. F=-23, 故选(B)(D). 所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0. 10.圆Ck:x2+y2-2kx-2ky+k2-1=0, -10 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 即(x-k)2+(y-k)2=2+1, 又点A'在射线OA上，即在x轴正半轴上， 其圆心为(k,k),半径为√+1， 故A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0)； 则圆心在直线y=x上，故(A)正确 设圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的一点B(m, 因为点(3,2)在圆C的内部， n),m≠0，n≠0， 所以9+4-6k-4h+2-1<0, 设其“3-圆称点”为B'(x,y),则1OB1OB1=9, 解得5-√3<k<5+√3，故(B)错误 即m2+n.√+y=9, 又点B'在射线OB上，不妨设m=kx,n=y,k≥0， 圆C.的半径为√50，则2+1=50， 所以(m-1)2+(n-2)=(x-1)2+(ky-2)2=5, 解得k=±7，故(C)正确 整理得2+y2=2x+4y, 将(3,0)代入圆的方程可得k2-6k+8=0, 解得k=2或k=4, 综上，k2+7·+y=(x2+y2)=9, 所以存在两个圆经过点(3,0)，故(D)错误。 即2x+4y=9, 故选(A)(C). 故圆(x-1)2+（y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称 11.设点P(t,5-2t), 形”的方程为2x+4y-9=0. 四、解答题 则线段0P的中点为M(子，3,2）， 15.解：(1)因为点M(6,9)在圆上， 圆M的半径为 所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10. I OMI F+(5-2)=5-20t+25 又a>0,所以a=√10. 4 2 (2)因为1PW1=√(3-5)2+(3-6)7=√3， 所以以OP为直径为圆的方程为 (-)广+(52）--0s 1QW1=√(5-5)2+(3-6)7=3， 4 所以IPN1>1QWI,故点P在圆外，点Q在圆内， 即x2+y2-tx+(2t-5)y=0, 所以3<a<√3，即a的取值范围为(3，√3). 即(x2+y2-5y）+(2y-x)t=0, 16.(1)证明：因为方程2+y2+Dx+Ey+3=0表示的 由2=0， 得=0或=2， 曲线是圆， Lx2+y2-5y=0, ly=0y=1, 所以D2+E2-12>0,即D2+E2>12, 因此以0P为直径的圆经过定点(0,0)，(2,1). 所以点M(D,E)在圆x2+y2=12外. 故选(A)(D) (2)解：由题意知圆心为c(-号，-）， 三、填空题 因为圆心在直线x+y-1=0上， 12.(-∞，-1)U(3,+∞)；13.[5-2,5+2]； 14.(9,0),2x+4y-9=0. 所以-号号-1=0， 提示： 即D+E=-2. ① 12.关于x,y的方程x2+y2-2tx+4y+2t+7=0表示圆 又因为半径，=D+卫：万， 时，应有4t2+16-4(2t+7)>0, 2 解得t<-1或t>3, 即D2+E2=20. ② 即实数t的取值范围是(-∞，-1)U(3,+∞) 联立①②，解得 D=2或 D=-4, 13.设圆心为0，坐标为(1,2)，半径为r,r=2, lE=-4lE=2. 则点O到点Q的距离为 又因为圆心在第二象限， d=1001=√(4-1)2+(-2-2)=5， 所以号<0，-会>0， 所以点P到点Q的距离的取值范围为[d-T,d+r], 即D>0,E<0,所以D=2,E=-4, 即[5-√2,5+2] 故圆C的方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 14.由题意得10A110A'I=9,又1OA1=1, 17.解：设点P的坐标为(x,y), 所以1OA'I=9, 选择条件①：由题可得MP·Np=0, 11 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 Mp=(x-1,y-3),Np=(x-3,y-1), 当且仅当20=4即a=25时取等号. a 则(x-1)(x-3)+(y-3)(y-1)=0, 化简得x2+y2-4x-4y+6=0; 所以1HQ1的最大值为(12-45)m 所以所求轨迹方程为x2+)y2-4x-4y+6=0(M,N除外). 19.解：(1)设P(x,y),则1PA2=(x+1)2+y2, 选择条件②：由题可得PMP+PN2=20, 1PB12=(x-3)2+y, 即(x-1)2+(y-3)2+(x-3)2+(y-1)2=20, 所以P:++女。 化简得x2+y2-4x-4y=0, PBI √(x-3)2+y2 3 所以所求轨迹方程为x2+y2-4x-4y=0. 则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2, 选择条件③由题可得wx13》。 整理得曲线C的方程为x2+3x+y=0. 则kmw=4,即=4. (2)由(1)得黄线G为圆，即c(+2)广+=头 设其关于直线x+y-2=0对称的圆的圆心为(x,y), 化简得42-y2-16x+4y+9=0, 3 所以所求轨迹方程为42-y2-16x+4y+9=0(x≠1，x≠3). x-2 2 -2=0, x=2, 18.解：(1)由题可得A(0,8),P(2,10),Q(7,0), 则 解得 7 所以直线PQ的方程为2x+y-14=0. 31, y=2 设c(a,6,则a-2)2+(6-10)2=广. x+2 la2+(b-8)2=2, 所以曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为 两式相减得：a+b-10=0, -2+(-子)= 又2a+b-14=0,解得a=4,b=6, 所以r=√4+(6-8)产=25. (3)由点(3,3）到圆心c的距离为 所以圆C的方程为(x-4)2+(y-6)2=20. d= (2)由(1)知a+b-10=0, √+) +(3-0)2=5. 当a=2时，灯罩轴线所在直线方程为x=2,此时HQ=0, 因为圆C的半径r= 3 2, 当a2时，灯翠轴线所在方程为)-10=。品x-2, 所以点(3,3）到圆G的最短距离为d-7=5-}-子 令y=0可得=12-9即Q(12-90小 >3 因为以在线段00上，所以12-9≥a,解得2≤a≤10。 故在圆C上不存在点D,使得D到点(3,3）的距离为3。 所101=2-9-a=2-(2+≤2-45， 一1217.(15分)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l:-4x+ 18.(17分)一束光从光源C(1,2)射出，经x轴反射后（反射点 19.(17分)已知点P和非零实数入，若两条不同的直线l1,2均 2+1=0,利6+y-1=0,且么与4的距离是7语 为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上N处. 过点P,且斜率之积为入，则称直线，山2是一组“P,共轭线对”，如直 (1)若M(3,0),b=7,求光从C出发，到达点V时所走过的路程； (1)求a的值； 线4：y=2x和2：y=-7是组“0，共轭线对”，其中0是坐标 (2)若b=8,求反射光的斜率的取值范围； (2)能否找到一点P,使同时满足下列三个条件：①点P是第 (3)若b≥6，求光从C出发，到达点N时所走过的最短路程 原点、 象限的点；2点P到，的距离是点P到，的距离的；③点P到 (1)已知l1:x+y=0,且1,2是一组“03共轭线对”，求l1,l2 的夹角的正切值： 的距离与点P到l,的距离之比是2：√5，若能，求点P的坐标；若不 (2)已知点A(0,1),点B(-1,0)和点C(1,0)分别是三条直线 能，请说明理由. PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合)，且直线RP,QP是 “P,共轭线对”，直线PQ,QR是“Q,共轭线对”，直线RP,QR是“R, 共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知直线l1:mx+y+m+1=0过定点Q,直线l1,2是“Q 共轭线对”，当实数m变化时，求原点0到直线l,2的距离之积的取 值范围. 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：蒋丕清 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 教理橘 2026年8月17日·星期 高中数学 第 期总第1203期 人教A 选择性必修第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-289 数学家的妙对 一、点关于点的对称问题 1981年4月，华 因为BB'的中点M( 2b+4)在直线上， 专题辅导 1.实质：该点是两对称点连线段的中点 2’2 罗庚到合肥中国科 2.方法：利用中点坐标公式 所以3a-b-6=0. ② 例析 技大学（以下简称 平面内点A(x,0)关于P(a,b)对称点坐 联立①②解得a=3,b=3. “科大”)讲学，同去 即B'(3,3). 直线与点的对称问题 标为(2a-xo,2b-yo), 的有张广厚、王元 平面内点A(x1,y),A'(2,2)关于点 易得直线AB'的方程为y-1=-2(x-4), ⊙广东韩小红 等著名数学家。4月 (产，””)对称 即2x+y-9=0. 易得M(-3,-5),N'(-6,-7) 的合肥，正是春光 由3x-y-1=0得x=2, 再由两点式可得1'的方程为2x-3y-9=0. 明媚，鸟语花香的 例1点(1,2)关于点(2,3)的对称点的坐 l2x+y-9=0y=5. 四、直线关于直线的对称问题 季节。华先生一行 标为 故所求点P的坐标为(2,5) 1.当1，与1相交时：此问题可转化为“点关 住在风景如画的 答案：(3,4) (2)如图2，点A,C在直线l的同侧， 于直线”的对称问题； 解析：设点(1,2)关于点(2,3)的对称点的 “稻香楼”里朝南的 求直线l1:x+by+c=0,关于直线L2:dk+ 坐标为(a,b), 一个小院子里，科 ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 所以点(2,3)即为点(1,2)和点(a,b)的 大还专门派了一位 第一步：联立l,2算出交点P(o,%); 中点 1234 医生倪女士照顾华 第二步：在l1上任找一点（非交点）Q(x1, 1+0=2, 图2 2 y),求出关于直线对称的点Q'(x,); 先生。 由中点坐标公式可得 设点C关于直线l的对称点为C'(m,n), 第三步：利用两点式写出l,的方程。 华先生在科大 2+b=3, AC'与l的交点即为所求。 2.当l,与1平行时：对称直线与已知直线平行. 生活很愉快，每天 解得“-3， 因为CC'1l, 两条对称直线到已知直线的距离相等，利 傍晚由同住的数学 b=4. 所以kc·b,=n-4 m-3 ·3=-1 ①用平行线间距离公式建立方程即可解得 家陪他散步、聊天， 所以点(1,2)关于点(2,3)的对称点的坐 例4已知直线1：x-y-1=0,l1:x-y+3 也说说笑话。一天， 标为(3,4). 因为cc的点V3,”告）在直线上，=0.42x-y-10 华先生在住处，突 二、点关于直线的对称问题 所以3m-n+3=0, (1)求直线L1关于直线1的对称直线的方程； 然诗兴大发，他看 1.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 联立①②解得m= 5,n= 24 (2)求直线，关于直线1的对称直线的方程 着倪医生笑着对大 2.（1)当直线斜率存在时，利用“垂直”和 解析：(1)因为1∥1，所以1∥1， 家说：“我出一个对 “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称 即c3》 设直线的方程为x-y+c=0(c≠3，且 子，你们来对一下 点的坐标，一般地：设点(xo少o)关于直线Ax+ c≠-1). 妙人儿倪家少女”。 By+C=0的对称点(x',y'),则 从而得直线AC'的方程为 在直线l1上取点M(0,3), 19x+17y-93=0. 这个对子很 设点M关于直线l的对称点为M'(a,b) x'-x0 =-1, 难，其中“妙”字拆 r3x-y-1=0, [x= 7 ,b-3x1=-1, 由 得 成了“少女”，“倪” 4++BY++C=0 解得4， 2 2 19x+17y-93=0 则a b=-1, 字拆成了“人儿”， 7 (2)当直线斜率不存在时，点(x0,y)关于 9.310 2 又与倪医生相应 x=m的对称点为(2m-xo,yo). 故所求点P的坐标为(，》 即点M'的坐标为(4，-1) 对。大家想了许久， 例2已知直线l:3x-y-1=0,在l上确定 把点M'的坐标代入直线{的方程，得 三、直线关于点的对称问题 4-(-1)+c=0,解得c=-5 实在想不出下联， 点P,Q,使得： 1.实质：两直线平行 所以直线的方程为x-y-5=0. 最后还是由华先生 (1)点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离 2.法一：转化为“点关于点”的对称问题，在 自己说出了下联： 之差最大； (2)点Q到点A(4,1)和点C(3,4)的距离 1上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交 (2)由2x-y-1=0得=0， lx-y-1=0 y=-1, 搞弓长张府高 之和最小 点)，求出各自关于A对称的点，然后求出直线 所以2与1的交点坐标为A(0,-1). 解析：(1)如图1，点A,B在直线l的异侧， 方程 另取1，上不同于点4的一点B(1,1), 其中“搞”字拆 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且 设B(1,1)关于l的对称点为B'(m,n), 成了“高才”，“张”字 斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离 m+1_n+1-1=0, 拆成了“弓长”，却正 相等) 2 2 好又对着在座的数 例3已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1, n-1 m-1 =-1, 学家张广厚。大家 图1 -2),求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线 惊叹不已，赞赏对 设点B(0,4)关于l的对称点为B'(a,b), '的方程 解得m=2即点B的坐标为(2,0) ln=0, 联之妙。 直线AB'与1的交点即为所求. 解析：在直线l:2x-3y+1=0上任取两点， 所以过A(0,-1)与B'(2,0)的直线5的方 因为BB'⊥I, 如M(1,1),N(4,3), 则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M,N 程为y=。-×(x-2 b=4 所以kBB·k,= .3=-1 ① 均在直线'上， 即x-2y-2=0. 2 素养专练 数理极 专项小练一、直线的交点坐标 4.已知直线l1:ax+y+3=0与l2:2x-by 1=0相交于点M(1,1),则a-b= 专项小练二、距离公式 1.直线5x-3y-17=0与直线x-y-5=0 5.点P(2,0)关于直线x+y+1=0对称点Q 1.已知两平行直线L1:x+3y-3=0,L2:2x+ 的交点坐标为 )的坐标为 6y-5=0,则1与l2之间的距离为 () (A)(-1,3) (B)(-2,3) 6.判断下列直线是否相交，若相交，求出交点 的坐标 (A)⑩ 20 (B)30 20 (C)(1,-4) (D)(2,2) (1)l1:3x-y+4=0,l2:x+3y+2=0; 2.过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交 (2)l1:3x-5y+10=0,l2:9x-15y+30=0; o3 (D) 点，且与直线x+2y-3=0平行的直线方程是 (3)l1:x+3y-3=0;l2:2x+6y-2=0. 2.点P(-1,2)到直线3x+4y-12=0的距 () 离为 () (A)x+2y+3=0(B)2x-y+5=0 (C)x+2y=0 (D)2x-y-3=0 号（®）} (o号(D号 3.(多选)若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0, 3.(多选)已知A(3,4),B(-6,-3)(A,B l3:2x-3my=4不能构成三角形，则m的取值为 l)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a () 的值可能为 () (A)子 (®)-号(C)号(D- (a)-子 (B)号 (C)-1 (D)1 第6期2版参考答案 (4)易知m≠-1且m≠？时，直线的斜率存在， 4.已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2), 专项小练一 方程即y=-m2-2m-3 6-2m C(5,4),则BC边上的中线长为 1.D;2.C;3.BD. 2m+m子2m+m 4y=-子：5y-2=-5x+10. 故斜率为-m-2m-3 5.函数∫(x)=√R-2x+5+ 2m2+m-1 √2-6x+25的最小值是 专项小练二 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 6.若点(2，-m)到直线5x+12y+6=0的距离 1.A;2.A:3.AC4.-;5.-10 所以- 2m二3=1，解得m=子 2m2+m-1 是4. 专项小练三 肌以实数m的值为号 (1)求m的值； 1.D;2.D;3.BCD.4.x-5y+5=0;5.二 (2)当m∈(-0,0)时，直线l1:ax-y+m 17.解：(1)已知L,∥1， =0(a>0)与2：mx+ay+6=0平行，求直线l 第6期3版参考答案 则可设直线l1的方程为3x+2y+m=0(m≠-2)， 又1过点P(2,-1), 与2之间的距离 一、单项选择题 1 ~4 ACAD 5 ~8 BBCD 所以3×2+2×(-1)+m=0,解得m=-4, 二、多项选择题 所以直线的方程为3x+2y-4=0. (2)若l2⊥1，则可设直线l2的方程为2x-3y+n=0, 9.AC:10.BD:11.ACD. 又l过点P(2,-1), 三、填空题 所以2×2-3×(-1)+n=0,解得n=-7, 12.15x-10y-6=0;13.120°；14.25. 所以直线l2的方程为2x-3y-7=0. 四、解答题 18.解：(1)由直线的两点式方程， 15.解：当直线1过原点时，它在两坐标轴上的截距都 是0. 得边4C所在直线的方程为号二：。”。 设直线l的方程为y=kx(k≠0)，又因为l过点P(4,3), 即x-2y+8=0. 所以3=46，故=子，所以直线1的方程为y=子 同理得边4松所在直线的方程为名一-一”。 数理报社试题研究中心 当直线不过原点时， 即x+y-4=0. 参考答案见下期 设直线1的截距式方程为产+片=1(a≠0)， (2)由题意得点D的坐标为(-4,2)， a 由直线的两点式方程， 又因为直线1过点P(4,3), 得中线BD所在直线的方程为。二号-《 号<(a+）≤1， 所以手+子=1，所以a=7, -2-(-4)’ 即2x-y+10=0. 则1=Esm(a+牙）e1,, 所以直线1的方程为无+芳=1， (3)由AC边所在直线的斜率c=2, 将t=sina+cosa两边平方可得 2=(sin a cos a)2 1+2sin a cos a, 即x+y=7. 得AC边上的中垂线的斜率为-2， 综上，直线1的方程为3x-4y=0或x+y-7=0. 又边AC的中点坐标为(-4,2)， 以mama- 16.解：(1)当x,y的系数不同时为零时， 由点斜式得AC边上的中垂线的方程为 方程表示一条直线. y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0. 令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3; 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 令2m+m-1=0,解得m=-1或m=2 1 k(x+3)+2-y=0, 因为y=1-在(1，万]上单调递增， t 所以x,y的系数同时为零时m=-1, 中0可2所以u经定点以-32》， 故若方程表示一条直线，则m≠-1， 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 即实数m的取值范围为m1m≠-1}. 所以无论k取何值，直线始终经过第二象限. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， ≥，所以2≥22. t t、 t 由()知当m=7时，2m+m-1=0且m-2m-3≠0， (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<&<受， 方程表示的直线的斜率不存在 可得1P1品PB1= 当且仅当t=√2时取等号， cos a 此时直线方程为3x-4=0. 肌宁+宁w=dao2 1 此时t=万im(a+妥）=万， (3)易知m≠-1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依时食y=0得当线在维云 可得a=平， =-3, 令=sim+osa=万in(u+）， 所以k=tana=tan平=l, 解得m=一子，所以实数m的值为- 因为0<《<号，所以好<a+是<孚 所以直线1的方程为x-y+5=0. (a+1)y-4a-2=0交于点P(P与A,B不重合)，则△PAB面积 13.已知点A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),则△ABC的面积为 直线的交点坐标与距离公式 的最大值为 (A)2 (B)22 14.已知△ABC的三边所在直线的方程分别是1：4x-3y+10 同步核心素养测评 (C)2 (D)4 =0,lc:y=2,lc4:3x-4y=5,则∠BAC的平分线所在直线的方程 ⊙数理报社试题研究中心 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.若直线l1:y=x+3k-2与直线l,:x+y-3=0的交点在 四、解答题：本题共5小题，共77分 第I卷选择题（共58分） 第四象限，则实数k的取值可以是 ) 15.(13分)已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交 于点P,求满足下列条件的直线方程 (A)0 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. (1)过点P且过原点； 1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)， c-方 (D)-1 (2)过点P且平行于直线13：x-2y-1=0. 则m+n的值为 10.已知直线L1:x-y-1=0和直线l2:(k+1)x+y+k=0(k (A)12 (B)10 R),则下列结论正确的是 毫 (C)-8 (D)-6 警 2.已知A(a,2),B(-2, -3),C(1,6)三点，且1AB1=1AC1, ()存在实数k,使得直线，的倾斜角为二 则实数a的值为 ( (B)对任意的实数k,直线l,与直线2都有公共点 (A)-2 (B)-1 (C)对任意的实数k,直线1，与直线2都不重合 性 (C)1 (D)2 (D)对任意的实数k,直线l,与直线l2都不垂直 必 3.两平行直线3x-2y-1=0和6x-4y+3=0间的距离是 修第 11.对平面直角坐标系x0y中的两组 y(百元 ( ) 点，如果存在一条直线ax+by+c=0使这 册 (A)53 (B)43 两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线 3 26 13 为“分类直线”.对于一条分类直线1，记所 A o2酒 (D)33 有的点到1的距离的最小值为d,约定：山，越12345（百元） 13 版 大，分类直线1的分类效果越好某学校高三(2)班的7位同学在 同步 4.已知点A(2,1),点B在直线x-y+3=0上，则1AB1的最 2024年期间网购文具的费用x(单位：百元)和网购图书的费用y(单 16.(15分)已知直线1：x+2y-2=0,试求： 小值为 位：百元)的情况如图所示，现将P,P2,P和P4归为第I组点，将 (1)点P(-2,-1)关于直线1的对称点坐标： 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 (A)5 (B)26 (2)直线1关于点A(1,1)对称的直线方程. Q,Q2和Q归为第Ⅱ组点.在上述约定下，可得这两组点的分类效 素养测评 (C)22 (D)4 果最好的分类直线，记为L.下列四个结论中正确的是 ( 5.过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与2x+y-5= (A)直线x=2.5比直线3x-y-5=0的分类效果好 0垂直的直线方程是 ( (B)分类直线L的斜率为2 (A)4x+2y-3=0 (B)4x-2y+3=0 (C)该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 (C)x+2y-3=0 (D)x-2y+3=0 300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位 6.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 于L的同侧 ( (D)如果从第I组点中去掉点P,,第Ⅱ组点保持不变，则分类 (A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0 效果最好的分类直线不是L (C)2x+y-3=0 (D)x+2y-3=0 7.若在直线y=-2上有一点P,它到点A(-3,1)和B(5,-1) 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 的距离之和最小，则1PA|+1PB|的最小值为 (A)25 (B)52 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (C)45 (D)102 12.已知三条直线2x+y-4=0,x-y+5=0,x-y-2=0 8.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+ 交于一点，则实数k=