2.4.1 圆的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，引导学生掌握圆的标准方程推导及点与圆位置关系判断。以“月亮当作圆建立坐标系”情境导入，回顾确定圆的几何要素，通过问题驱动推导方程，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 资料特色鲜明，情境导入激发学习兴趣，问题链设计引导数学抽象与逻辑推理，一题多解与分层训练提升数学运算能力，规律方法总结助力知识内化，符合“三会”核心素养，有效培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达的能力。

2.4.1　圆的标准方程 课标要求 情境导入 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）． 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）． 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 知识点一　圆的标准方程 问题　（1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么？ （2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r=1时，圆的方程为x2＋y2=1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 1.〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2=3的叙述正确的是（　　） A．圆心坐标为（1，－2），半径r= B．圆心坐标为（－1，2），半径r=3 C．圆上任意一点M与圆心C的距离满足|CM|=3 D．圆上任意一点M与圆心C的距离满足|CM|= 2.以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　　　　． 3.（2026•清远月考）分别求下列圆的标准方程： （1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）； （2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）． 规律方法 1.利用（x－a）2＋（y－b）2=r2可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果r是参数，则半径为|r|，且r≠0． 2.用直接法求圆的标准方程的策略：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． 知识点二　点与圆的位置关系 问题　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？ 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2=r2的位置关系及判断方法 位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断 M在圆上 |CM|　r （x0－a）2＋（y0－b）2=r2 M在圆外 |CM|＞r （x0－a）2＋（y0－b）2　r2 M在圆内 |CM|　r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 （1）〔多选〕（链接教材P83例1）下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2=4的内部的是（　　） A．（－1，0）　 B．（0，－1） C．（－1，1）　 D．（－1，3） （2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2=13的外部，则实数a的取值范围为　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． 训练 1　（1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2=4，则点（1，5）（　　） A．是圆心　 B．在圆上 C．在圆内　 D．在圆外 （2）已知点P（2，1）和圆C：（x＋）2＋（y－1）2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　．若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　． 提能点　求圆的标准方程 〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1=0上的圆的标准方程． 变式 　经过点P（1，1）和坐标原点O且周长最小的圆的标准方程为　　　　． 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 （1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程； （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 训练 2　（1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是　　　　； （2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），则该三角形的外接圆的方程为　　　　． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．（　　） （2）方程（x－a）2＋（y－b）2=m2一定表示圆．（　　） （3）圆（x＋1）2＋（y－1）2=2的圆心坐标是（1，－1），直径长是4.（　　） （4）圆心为（1，－2）且半径为3的圆的标准方程是（x－1）2＋（y＋2）2=3.（　　） 2.点P（m2，5）与圆x2＋y2=24的位置关系是（　　） A．点P在圆内　 B．点P在圆外 C．点P在圆上　 D．不确定 3.已知圆C：（x＋1）2＋y2=3，则圆的面积为　　　　，经过圆心C且与直线x＋y=0垂直的直线方程是　　　　　　． 4.〔一题多解〕求圆心在直线x=2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的圆的标准方程． 完成课后作业　第二章　2.4　2.4.1 答案 2.4.1　圆的标准方程 知识点一　 导入新知 问题　（1）提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径． （2）提示：设圆上任一点M（x，y），则|MA|=r，由两点间的距离公式，得=r，两边平方，得（x－a）2＋（y－b）2=r2. 学习新知 （x－a）2＋（y－b）2=r2　x2＋y2=r2 即学即练 1.AD　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2=3可知，圆心C（1，－2），半径r=，故选A、D． 2.（x－1）2＋（y－2）2=25　解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，|AB|==5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2=25. 3.解：（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）， ∴半径r==， ∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2=5. （2）设圆心为C（0，b）， ∴r==5， ∴（4＋b）2=16=42， ∴4＋b=4或4＋b=－4，∴b=0或b=－8， ∴圆的标准方程为x2＋y2=25或x2＋（y＋8）2=25. 知识点二　 导入新知 问题　提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． 学习新知 =　＞　＜ 【例 1】　（1）CD　（2）［1，5］　解析：（1）将点的坐标分别代入只有选项C、D满足（x＋1）2＋（y－2）2＜4，故选C、D． （2）因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2=13的外部，所以（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5. 训练 1　（1）D　（2）－2或－6　a＜－6或a＞－2　解析：（1）由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，5）的距离为=＞2，故点（1，5）在圆外． （2）由题意，得（x＋）2＋（y－1）2=1，当点P在圆C上时，（2＋）2＋（1－1）2=1，解得a=－2或a=－6.当点P在圆C外时，（2＋）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 提能点　 【例 2】　解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2=r2， 则有 解得 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2=25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴得 即圆心坐标为（4，－3）， 半径为r==5. 即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2=25. 变式　（x－）2＋（y－）2=　 解析：当线段OP为圆的直径时，过点O，P的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段OP的中点（，）为圆心，=为半径，故所求圆的标准方程为（x－）2＋（y－）2=． 训练 2　（1）（x－2）2＋y2=10　（2）（x＋3）2＋（y－1）2=25　解析：（1）线段AB的垂直平分线为y－2=2（x－3），令y=0，则x=2，所以圆心坐标为（2，0），半径r==，所以圆的标准方程为（x－2）2＋y2=10. （2）设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2=r2.因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2=25. 随堂自测 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 2.B　由（m2）2＋52=m4＋25＞24，得点P在圆外． 3.3π　x－y＋1=0　解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2=3，得r2=3，所以圆的面积S=πr2=3π．因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k=1，所求直线的方程是y=x＋1，即x－y＋1=0. 4.解：法一　因为圆心在直线x=2上， 所以设圆心为C（2，y）， 又圆经过A，B两点，所以|AC|=|BC|， 即=， 解得y=－3， 所以圆心C（2，－3），半径r=， 所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2=5. 法二　因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直线y=－3上． 又圆心在直线x=2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r==，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2=5. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $