25-26章节重难点测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25-26章节重难点测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟　　　满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 x 的方程 (m − 2)x² − 2x + 1 = 0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m ≤ 3　　B．m ≤ 3 且 m ≠ 2 C．m < 3 且 m ≠ 2　　D．m < 3 2．设 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x − 2 = 0 的两个实数根，则 x₁² + x₂² 的值为（　　） A．5　　B．13 C．−5　　D．9 3．已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象如图所示，则下列结论： ① abc < 0；② b² − 4ac > 0；③ 2a + b = 0；④ a − b + c = 0；⑤ 不等式 ax² + bx + c > 0 的解集为 −1 < x < 3。其中正确的有（　　） A．①②③　　B．①②③④ C．②③④⑤　　D．①②③④⑤ 4．若关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + k − 1 = 0 的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 6，则 k 的值为（　　） A．−1　　B．0 C．1　　D．2 5．将抛物线 y = x² − 2x − 3 向上平移 m 个单位长度后，与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为（　　） A．3　　B．4C．5　　D．6 6．对于任意实数 a、b，定义新运算“※”：a ※ b = a(a − b)。若 x ※ 2 = 8，则 x 的值为（　　） A．4　　B．−2 C．4 或 −2　　D．2 或 −4 7．已知二次函数 y = x² − 2x + 3，当 a ≤ x ≤ a + 1 时，函数的最小值为 2，则 a 的取值范围是（　　） A．0 ≤ a ≤ 1　　B．a = 0 C．a = 1　　D．a ≥ 0 8．用总长为 24 m 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，墙长 10 m，篱笆围成其余三边。设垂直于墙的边长为 x m，则菜园面积最大时 x 的值为（　　） A．7 m　　B．6 m C．8 m　　D．5 m 9．二次函数 y = x² − 2mx + m² + m + 1 的顶点在第二象限，则 m 的取值范围是（　　） A．−1 < m < 0　　B．m < −1 C．m > 0　　D．m < 0 10．若关于 x 的方程 |x² − 2x − 3| = m 有四个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．0 < m < 4　　B．m > 4 C．0 < m ≤ 4　　D．m ≥ 4 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上） 11．用配方法把 2x² − 8x + 7 化为 2(x − a)² + b 的形式，则 a = _____，b = ______。 12．若关于 x 的方程 x² − (2k − 1)x + k² − 2 = 0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂，且 x₁x₂ − (x₁ + x₂) ≥ −3，则 k 的取值范围是 ________。 13．若二次函数 y = x² − 4x + m 与 x 轴的两个交点在原点的两侧，则 m 的取值范围是 ________。 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。点 P 从点 C 出发沿 CA 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2 cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 C 即停止，点 P 也同时停止）。设运动时间为 t s，则 △CPQ 的面积最大时 t = ________ s，最大面积为 ________ cm²。 15．若二次函数 y = x² − 2ax + a² + 2a − 3 的顶点到 x 轴的距离为 2，则 a 的值为 ________。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本小题 12 分）解下列方程： （1）(x − 3)² = 5(x − 3)；　　　　　　　　　　（2）2x² − 3x − 1 = 0； （3）x² − 12x + 7 = 0（用配方法）；　　　　 （4）(x + 1)(x + 2) = 2x + 4。 17．（本小题 6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + 2m − 1 = 0。 （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程的一个根为 −1，求 m 的值及方程的另一个根。 18．（本小题 8 分）如图，已知抛物线 y = −x² + bx + c 经过点 A(−1，0)、B(3，0)。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求该抛物线的顶点坐标及它与 y 轴的交点 C 的坐标； （3）求 △ABC 的面积。 19．（本小题 8 分）已知抛物线 y = x² − 2x − 3。 （1）用配方法把它化成 y = a(x − h)² + k 的形式，并写出顶点坐标和对称轴； （2）求该抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）将该抛物线先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，求平移后抛物线的表达式； （4）当 −2 ≤ x ≤ 1 时，求原抛物线的最大值和最小值。 20．（本小题 8 分）某市 2023 年新能源汽车保有量为 40 万辆，由于政策推动，2025 年达到 57.6 万辆（每年的增长率相同）。 （1）求年平均增长率； （2）若保持这个增长率不变，预计 2026 年该市新能源汽车保有量为多少万辆？ （3）若保持这个增长率不变，从 2025 年起，到哪一年该市新能源汽车保有量首次超过 80 万辆？ 21．（本小题 8 分）如图，在边长为 4 cm 的正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向点 B 运动；同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向以 2 cm/s 的速度向点 C 运动（点 Q 运动到点 C 即停止，点 P 也同时停止）。设运动时间为 t s，△PBQ 的面积为 S cm²。 （1）用含 t 的代数式表示 BP、BQ 的长； （2）求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）当 t 为何值时，△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ （4）△PBQ 的面积能否等于 3 cm²？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由。 22．（本小题 8 分）某公司销售一种电子产品，每件进价为 40 元，售价为 60 元时，每天可售出 100 件。经调查：售价每上涨 1 元，每天少售 2 件。此外，该公司每天还需支付水电、场地等固定费用 200 元。设售价上涨 x 元，每天的销售利润为 W 元。 （1）求 W 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）若要求每天的销售量不少于 60 件，售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本小题 8 分）已知抛物线 y = x² − 2mx + m² − 1（m 为常数）。 （1）求证：无论 m 取何值，抛物线与 x 轴都有两个交点； （2）若该抛物线经过点 (2，0)，求 m 的值； （3）当 0 ≤ x ≤ 2 时，抛物线的最大值为 3，求 m 的值。 24．（本小题 9 分）如图，抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求直线 BC 的表达式； （3）设 P 为直线 BC 上方的抛物线上的一动点，过点 P 作 PD ⊥ x 轴交直线 BC 于点 D，求线段 PD 的最大值，并求此时点 P 的坐标； （4）若点 Q 在抛物线上，且 △QBC 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标。 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B C A A A A 【解析】 1．A　当 m = 2 时，方程为 −2x + 1 = 0，是一次方程，有实数根；当 m ≠ 2 时，Δ = 4 − 4(m − 2) ≥ 0，解得 m ≤ 3 且 m ≠ 2。综上，m ≤ 3。 2．B　由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = −2，x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 9 + 4 = 13。 3．D　由图象：开口向下，a < 0；对称轴为直线 x = 1，即 − = 1，b = −2a > 0；图象与 y 轴交于 (0，3)，c = 3 > 0。① abc < 0 正确；② 图象与 x 轴有两个交点，b² − 4ac > 0 正确；③ 2a + b = 2a − 2a = 0 正确；④ 图象过 (−1，0)，a − b + c = 0 正确；⑤ 开口向下且与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)，图象在 x 轴上方的部分对应 −1 < x < 3，正确。故选 D。 4．B　x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = k − 1，x₁² + x₂² = 4 − 2(k − 1) = 6，解得 k = 0；此时 Δ = 4 − 4(k − 1) = 8 > 0，符合题意。 5．B　y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4，向上平移 m 个单位后为 y = (x − 1)² − 4 + m，与 x 轴只有一个交点，则最小值 −4 + m = 0，m = 4。 6．C　x ※ 2 = x(x − 2) = 8，即 x² − 2x − 8 = 0，(x − 4)(x + 2) = 0，x = 4 或 x = −2。 7．A　y = (x − 1)² + 2，最小值 2 在 x = 1 处取得。当区间 [a，a + 1] 包含 x = 1 时，最小值恒为 2，即 a ≤ 1 ≤ a + 1，解得 0 ≤ a ≤ 1。 8．A　S = x(24 − 2x) = −2x² + 24x，对称轴为 x = 6。墙长 10 m，24 − 2x ≤ 10，解得 x ≥ 7，即 7 ≤ x < 12。对称轴 x = 6 不在取值范围内，开口向下的抛物线在 [7，12) 上随 x 增大而减小，故当 x = 7 时面积最大。 9．A　y = (x − m)² + m + 1，顶点为 (m，m + 1)。顶点在第二象限，则 m < 0 且 m + 1 > 0，解得 −1 < m < 0。 10．A　令 y₁ = |x² − 2x − 3| = |(x − 1)² − 4|，其图象是抛物线 y = (x − 1)² − 4 在 x 轴下方的部分翻折到上方得到的，最小值由 −4 变为 0。当 0 < m < 4 时，直线 y = m 与图象有 4 个交点，即原方程有 4 个不相等的实数根。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．a = 2，b = −1　2x² − 8x + 7 = 2(x² − 4x) + 7 = 2[(x − 2)² − 4] + 7 = 2(x − 2)² − 8 + 7 = 2(x − 2)² − 1。 12．k < 　Δ = (2k − 1)² − 4(k² − 2) = 4k² − 4k + 1 − 4k² + 8 = 9 − 4k > 0，解得 k < ；又 x₁x₂ − (x₁ + x₂) = k² − 2 − (2k − 1) = k² − 2k − 1 ≥ −3，即 k² − 2k + 2 ≥ 0 恒成立。故 k < 。 13．m < 0　两交点在原点两侧，则 x₁x₂ = m < 0，且 Δ = 16 − 4m > 0 恒成立（m < 0 时显然成立），所以 m < 0。 14．t = 2，最大 4　CP = t，CQ = 8 − 2t（0 ≤ t ≤ 4），S = × t × (8 − 2t) = −t² + 4t = −(t − 2)² + 4，对称轴 t = 2 在 0~4 之间，故当 t = 2 时面积最大，最大面积为 4 cm²。 15．a = 或 a = 　y = (x − a)² + 2a − 3，顶点为 (a，2a − 3)。顶点到 x 轴的距离为 2，即 |2a − 3| = 2，2a − 3 = ±2，解得 a = 或 a = 。 三、解答题（共 75 分） 16．（12 分）解下列方程： （1）移项得 (x − 3)² − 5(x − 3) = 0， 提取公因式 (x − 3)，得 (x − 3)(x − 3 − 5) = 0，即 (x − 3)(x − 8) = 0， ∴ x₁ = 3，x₂ = 8。 （2）Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−1) = 9 + 8 = 17， x = = ， ∴ x₁ = ，x₂ = 。 （3）配方得 x² − 12x + 36 = 29，即 (x − 6)² = 29， x − 6 = ±， ∴ x₁ = 6 + ，x₂ = 6 − 。 （4）移项得 (x + 1)(x + 2) − 2(x + 2) = 0， 提取公因式 (x + 2)，得 (x + 2)(x + 1 − 2) = 0，即 (x + 2)(x − 1) = 0， ∴ x₁ = −2，x₂ = 1。 17．（本小题 6 分） （1）Δ = (−2)² − 4 × 1 × (2m − 1) = 4 − 8m + 4 = 8 − 8m。 方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0，即 8 − 8m > 0，解得 m < 1。 答：当 m < 1 时，方程有两个不相等的实数根。 （2）把 x = −1 代入方程，得 1 + 2 + 2m − 1 = 0，解得 m = −1。 此时方程为 x² − 2x − 3 = 0，即 (x − 3)(x + 1) = 0， ∴ x₁ = 3，x₂ = −1。 答：m 的值为 −1，方程的另一个根为 3。 18．（本小题 8 分） （1）把 A(−1，0)、B(3，0) 代入 y = −x² + bx + c，得 { −1 − b + c = 0， { −9 + 3b + c = 0， 两式相减得 4b − 8 = 0，b = 2；代入得 c = 3。 ∴ 抛物线的表达式为 y = −x² + 2x + 3。 （2）y = −x² + 2x + 3 = −(x − 1)² + 4， ∴ 顶点坐标为 (1，4)。 令 x = 0，得 y = 3， ∴ 与 y 轴的交点 C 的坐标为 (0，3)。 （3）∵ A(−1，0)、B(3，0)，∴ AB = 3 − (−1) = 4。 点 C(0，3) 到 x 轴的距离为 3， ∴ S△ABC = × 4 × 3 = 6。 答：△ABC 的面积为 6。 19．（本小题 8 分） （1）y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4， ∴ 顶点坐标为 (1，−4)，对称轴为直线 x = 1。 （2）令 y = 0，得 x² − 2x − 3 = 0，(x − 3)(x + 1) = 0， ∴ 与 x 轴的交点为 (−1，0) 和 (3，0)。 令 x = 0，得 y = −3， ∴ 与 y 轴的交点为 (0，−3)。 （3）向右平移 2 个单位、再向上平移 3 个单位，顶点 (1，−4) 变为 (3，−1)， ∴ 平移后抛物线的表达式为 y = (x − 3)² − 1。 （4）对称轴 x = 1 恰为区间 [−2，1] 的右端点， ∴ 当 x = 1 时，y 取得最小值 −4； x = −2 时，y = 4 + 4 − 3 = 5。 答：最大值为 5，最小值为 −4。 20．（本小题 8 分） （1）设年平均增长率为 x。 由题意得 40(1 + x)² = 57.6， 即 (1 + x)² = 1.44，1 + x = 1.2（负值舍去），解得 x = 0.2 = 20%。 答：年平均增长率为 20%。 （2）57.6 × (1 + 20%) = 57.6 × 1.2 = 69.12（万辆）。 答：预计 2026 年保有量为 69.12 万辆。 （3）2026 年：57.6 × 1.2 = 69.12 万辆 < 80 万辆； 2027 年：69.12 × 1.2 = 82.944 万辆 > 80 万辆。 答：到 2027 年该市新能源汽车保有量首次超过 80 万辆。 21．（本小题 8 分） （1）点 P 运动 t s 走 t cm，点 Q 运动 t s 走 2t cm， ∴ BP = 4 − t（cm），BQ = 2t（cm）。 （2）S = × BP × BQ = (4 − t)(2t) = −t² + 4t。 点 Q 到 C 需 2 s，此时点 P 到 AB 中点，两点同时停止， ∴ 自变量 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 2， 即 S = −t² + 4t（0 ≤ t ≤ 2）。 （3）S = −t² + 4t = −(t − 2)² + 4。 ∵ a = −1 < 0，开口向下，对称轴为直线 t = 2，在 [0，2] 内， ∴ 当 t = 2 时，S 最大，最大值为 4。 答：当 t = 2 s 时，△PBQ 的面积最大，最大面积为 4 cm²。 （4）能。令 S = 3，得 −t² + 4t = 3， 即 t² − 4t + 3 = 0，(t − 1)(t − 3) = 0， ∴ t₁ = 1，t₂ = 3。 ∵ t₂ = 3 不在 0 ≤ t ≤ 2 内，舍去， ∴ t = 1。 答：△PBQ 的面积能等于 3 cm²，此时 t = 1 s。 22．（本小题 8 分） （1）售价上涨 x 元时，每件利润为 (60 + x − 40) = (20 + x) 元，每天售出 (100 − 2x) 件， ∴ W = (20 + x)(100 − 2x) − 200 = −2x² + 60x + 2000 − 200 = −2x² + 60x + 1800。 由题意 100 − 2x ≥ 0，解得 0 ≤ x ≤ 50， 即 W = −2x² + 60x + 1800（0 ≤ x ≤ 50）。 （2）W = −2x² + 60x + 1800 = −2(x − 15)² + 2250。 ∵ a = −2 < 0，开口向下，对称轴 x = 15 ∈ [0，50]， ∴ 当 x = 15 时，W 最大，最大值为 2250。 此时售价为 60 + 15 = 75 元。 答：售价定为 75 元时每天的销售利润最大，最大利润为 2250 元。 （3）由题意 100 − 2x ≥ 60，解得 x ≤ 20。 ∵ 对称轴 x = 15 ∈ [0，20]， ∴ 当 x = 15 时 W 仍最大，最大值为 2250。 答：售价定为 75 元时每天的销售利润最大，最大利润为 2250 元。 23．（本小题 8 分） （1）y = x² − 2mx + m² − 1， Δ = (−2m)² − 4 × 1 × (m² − 1) = 4m² − 4m² + 4 = 4 > 0 恒成立。 ∴ 无论 m 取何值，抛物线与 x 轴都有两个交点。 （2）把点 (2，0) 代入，得 4 − 4m + m² − 1 = 0， 即 m² − 4m + 3 = 0，(m − 1)(m − 3) = 0， ∴ m = 1 或 m = 3。 答：m 的值为 1 或 3。 （3）y = (x − m)² − 1，对称轴为直线 x = m，最小值恒为 −1。 ① 当 m ≤ 1 时（对称轴在区间中点左侧），y 在 x = 2 处取得最大值： (2 − m)² − 1 = 3，即 (2 − m)² = 4， ∴ m = 0 或 m = 4，又 m ≤ 1，故 m = 0； ② 当 m > 1 时，y 在 x = 0 处取得最大值： (0 − m)² − 1 = 3，即 m² = 4， ∴ m = ±2，又 m > 1，故 m = 2。 综上，m = 0 或 m = 2。 答：m 的值为 0 或 2。 24．（本小题 9 分） （1）令 y = 0，得 −x² + 2x + 3 = 0，即 x² − 2x − 3 = 0， (x − 3)(x + 1) = 0， ∴ x₁ = −1，x₂ = 3。 ∴ A(−1，0)、B(3，0)。 令 x = 0，得 y = 3， ∴ C(0，3)。 （2）设直线 BC 的表达式为 y = kx + b， 把 B(3，0)、C(0，3) 代入，得 { 3k + b = 0， { b = 3， 解得 k = −1，b = 3。 ∴ 直线 BC 的表达式为 y = −x + 3。 （3）设 P(x，−x² + 2x + 3)（−1 < x < 3），则 D(x，−x + 3)， ∴ PD = (−x² + 2x + 3) − (−x + 3) = −x² + 3x = −(x − )² + 。 ∵ a = −1 < 0，且 x = 满足 −1 < x < 3， ∴ 当 x = 时，PD 最大，最大值为 。 此时 y = −( )² + 2 × + 3 = − + 3 + 3 = ， ∴ P( ， )。 （4）∵ AB = 4，点 C 到 x 轴的距离为 3， ∴ S△ABC= × 4 × 3 = 6。 设 Q(x，−x² + 2x + 3)，直线 BC：y = −x + 3，即 x + y − 3 = 0。 点 Q 到直线 BC 的距离 d = = 。 ∵ BC = 3，且 S△QBC= 6， ∴ × 3 × d = 6，得 d = = 2， 即 = 2，|−x² + 3x| = 4。 ① −x² + 3x = 4，即 x² − 3x + 4 = 0，Δ = 9 − 16 = −7 < 0，无解； ② −x² + 3x = −4，即 x² − 3x − 4 = 0，(x − 4)(x + 1) = 0， ∴ x = 4 或 x = −1。 当 x = −1 时，y = −1 − 2 + 3 = 0，得 Q₁(−1，0)； 当 x = 4 时，y = −16 + 8 + 3 = −5，得 Q₂(4，−5)。 答：点 Q 的坐标为 (−1，0) 或 (4，−5)。 学科网（北京）股份有限公司 $