奥数思维培优 第1讲 小数巧算·凑整拆分（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第1讲 小数巧算 · 凑整拆分 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第1讲 专题 小数巧算——凑整拆分 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 小数乘除法；乘法运算定律 核心方法 凑整法、拆分法、提取公因数、积不变性质 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握小数巧算的四大方法：凑整、拆分、提取公因数、积不变。 过程与方法 经历"观察→变形→简算"的思维过程。 思维品质 培养数感，发现数字间的特殊关系。 情感应用 感受巧算的乐趣，提高计算速度和准确率。 三、情境导入 小明在计算 0.25×4.4+0.25×5.6 时，列竖式算了半天。小红看了一眼说："我3秒就能算出来！" 动脑筋：小红是怎么做到的？ 悬念：0.25和谁能凑整？4.4+5.6又有什么巧？ 图1 巧算的力量 今天我们就来学习小数巧算的四大法宝。 四、知识导航 小数巧算四大法宝： 图2 四大法宝 方法 关键 常用凑整对 凑整法 找0.25×4、0.125×8等 0.25×4=1，0.125×8=1，0.5×2=1 拆分法 接近整数的数拆成整数±小数 9.9=10−0.1，10.1=10+0.1 提取公因数 a×b+a×c=a×(b+c) 凑出整十整百 积不变性质 一个扩大n倍，另一个缩小n倍 4.8×2.5=48×0.25 五、易错辨析 常见错误 正确做法 看到数就硬算 先观察能否凑整或提取公因数 拆分时漏乘 (10−0.1)×2.5=10×2.5−0.1×2.5，别漏 小数点对错位 注意积的小数位数 提取公因数后括号内忘加 3.6×4.8+3.6×5.2=3.6×(4.8+5.2) 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基础凑整到综合运用；每例后附一道变式练习。 例1【凑整法】 题目：计算：0.25×3.2×1.25。 分析：3.2可以拆成4×0.8，这样0.25和4凑整，1.25和0.8凑整。 详解： 3.2=4×0.8。 原式=0.25×4×0.8×1.25 =(0.25×4)×(0.8×1.25) =1×1=1。 图3 凑整法 方法点睛：看到0.25就找4，看到1.25就找8，看到0.125也找8。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：0.125×3.2×2.5。 解答： 3.2=8×0.4。原式=0.125×8×0.4×2.5=(0.125×8)×(0.4×2.5)=1×1=1。 点拨：与例1同法：找凑整对。 例2【拆分法】 题目：计算：9.9×2.5。 分析：9.9接近10，拆成10−0.1，用乘法分配律。 详解： 9.9=10−0.1。 原式=(10−0.1)×2.5。 =10×2.5−0.1×2.5。 =25−0.25=24.75。 图4 拆分法 方法点睛：接近整数的数拆成整数±小数，再用分配律。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：10.1×3.6。 解答： 10.1=10+0.1。原式=10×3.6+0.1×3.6=36+0.36=36.36。 点拨：与例2同法：拆分后分配。 例3【提取公因数】 题目：计算：3.6×4.8+3.6×5.2。 分析：两项都有公因数3.6，提取出来，括号内4.8+5.2=10凑整。 详解： 两项都有公因数3.6。 原式=3.6×(4.8+5.2)。 =3.6×10=36。 图5 提取公因数 方法点睛：a×b+a×c=a×(b+c)，关键是括号内能凑整。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：7.2×6.5+7.2×3.5。 解答： =7.2×(6.5+3.5)=7.2×10=72。 点拨：与例3同法：提取公因数。 例4【积不变性质】 题目：计算：4.8×2.5+52×0.25。 分析：两项没有直接公因数，但4.8×2.5=48×0.25（一个扩大10倍，另一个缩小10倍），就有公因数0.25了。 详解： 4.8×2.5=48×0.25（积不变）。 原式=48×0.25+52×0.25。 =0.25×(48+52)。 =0.25×100=25。 图6 积不变性质 方法点睛：积不变：a×b=(a×n)×(b÷n)，用来统一公因数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：3.6×2.5+64×0.25。 解答： 3.6×2.5=36×0.25。原式=0.25×(36+64)=0.25×100=25。 点拨：与例4同法：积不变统一公因数。 例5【换元法】 题目：计算：(0.1+0.2+0.3)×(0.2+0.3+0.4)−(0.1+0.2+0.3+0.4)×(0.2+0.3)。 分析：算式很长，但结构重复。设a=0.1+0.2+0.3，b=0.2+0.3，用字母代替。 详解： 设 a=0.1+0.2+0.3=0.6，b=0.2+0.3=0.5。 原式=a×(b+0.4)−(a+0.4)×b。 =a×b+0.4a−a×b−0.4b。 =0.4(a−b)=0.4×0.1=0.04。 图7 换元法 方法点睛：重复结构用字母代替，化简后再代入。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：(1+0.5+0.6)×(0.5+0.6+0.7)−(1+0.5+0.6+0.7)×(0.5+0.6)。 解答： 设a=2.1，b=1.1。原式=0.7(a−b)=0.7×1=0.7。 点拨：与例5同法：换元化简。 例6【综合运用】 题目：计算：0.9999×1.3−0.1111×2.7。 分析：0.9999=0.1111×9，这样两项都有公因数0.1111。 详解： 0.9999=0.1111×9。 原式=0.1111×9×1.3−0.1111×2.7。 =0.1111×11.7−0.1111×2.7。 =0.1111×(11.7−2.7)。 =0.1111×9=0.9999。 图8 综合运用 方法点睛：善于发现倍数关系（9999=1111×9），再提取公因数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：0.8888×1.5−0.2222×2.4。 解答： 0.8888=0.2222×4。原式=0.2222×(6−2.4)=0.2222×3.6=0.79992。 点拨：与例6同法：找倍数关系提取公因数。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【凑整综合】（某名校小升初真题） 题目：计算：0.125×0.25×0.5×64。 分析：64=8×4×2，分别和0.125、0.25、0.5凑整。 详解： 64=8×4×2。 原式=0.125×8×0.25×4×0.5×2。 =1×1×1=1。 方法点睛：记住常用凑整对：0.125×8、0.25×4、0.5×2。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：0.25×0.125×0.5×32。 解答： 32=4×8×1。原式=(0.25×4)×(0.125×8)×0.5=1×1×0.5=0.5。 点拨：与真题1同法：拆分凑整。 真题2【提取公因数】（某重点中学分班考试真题） 题目：计算：999.9×0.28+0.3333×960。 分析：999.9=0.3333×3000，这样两项有公因数0.3333。 详解： 999.9=0.3333×3000。 原式=0.3333×3000×0.28+0.3333×960。 =0.3333×840+0.3333×960。 =0.3333×(840+960)。 =0.3333×1800=599.94。 方法点睛：观察倍数关系，提取公因数后凑整。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：计算：666.6×0.12+0.2222×160。 解答： 666.6=0.2222×3000。原式=0.2222×(360+160)=0.2222×520=115.544。 点拨：与真题2同法：找倍数提取公因数。 八、方法总结表 方法 适用特征 举例 结果 凑整法 有0.25/0.125/0.5 0.25×3.2×1.25 1 拆分法 数接近整数 9.9×2.5 24.75 提取公因数 a×b+a×c 3.6×4.8+3.6×5.2 36 积不变 两项无公因数但有关系 4.8×2.5+52×0.25 25 换元法 重复结构 (a+b)(b+c)−… 化简 九、解题口诀 小数巧算看仔细，先找凑整好朋友； 0.25来配4，0.125来找8； 接近整数拆开来，分配律来帮你忙； 公因数来提出来，括号里面凑整百。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 计算：0.25×4×0.5×2。 A2. 计算：9.9×4。 A3. 计算：2.5×3.6+2.5×6.4。 A4. 计算：0.125×8×3.7。 A5. 计算：10.1×5。 B组 能力提升（5题） B6. 计算：0.25×3.2×1.25。 B7. 计算：4.8×2.5+52×0.25。 B8. 计算：99.9×6+11.1×46。（提示：99.9=11.1×9） B9. 计算：0.125×0.25×0.5×64。 B10. 计算：8.8×1.25。 C组 思维挑战（5题） C11. 计算：0.9999×1.3−0.1111×2.7。 C12. 计算：(0.1+0.2+0.3)×(0.2+0.3+0.4)−(0.1+0.2+0.3+0.4)×(0.2+0.3)。 C13. 计算：999.9×0.28+0.3333×960。 C14. 计算：3.6×2.5+6.4×2.5。 C15. 计算：0.25×(4+0.4)+9.9。 十一、参考答案与详细解析 A1 =(0.25×4)×(0.5×2)=1×1=1。 A2 =(10−0.1)×4=40−0.4=39.6。 A3 =2.5×(3.6+6.4)=2.5×10=25。 A4 =1×3.7=3.7。 A5 =(10+0.1)×5=50+0.5=50.5。 B6 3.2=4×0.8。=(0.25×4)×(0.8×1.25)=1×1=1。 B7 4.8×2.5=48×0.25。=0.25×(48+52)=25。 B8 99.9=11.1×9。=11.1×54+11.1×46=11.1×100=1110。 B9 64=8×4×2。=(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2)=1。 B10 8.8=8×1.1。=8×1.1×1.25=10×1.1=11。 C11 0.9999=0.1111×9。=0.1111×(11.7−2.7)=0.1111×9=0.9999。 C12 换元：a=0.6，b=0.5。=0.4(a−b)=0.4×0.1=0.04。 C13 999.9=0.3333×3000。=0.3333×(840+960)=0.3333×1800=599.94。 C14 =2.5×(3.6+6.4)=2.5×10=25。 C15 =0.25×4+0.25×0.4+9.9=1+0.1+9.9=11。 十二、本讲小结 本讲学习了小数巧算四大法宝：凑整法（0.25找4、0.125找8）、拆分法（接近整数拆成整数±小数）、提取公因数（a×b+a×c=a×(b+c)）、积不变性质（统一公因数）。做题前先观察，别急着列竖式。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 拆分漏乘 (a±b)×c=a×c±b×c，每一项都要乘 积不变方向反 一个扩大另一个缩小，不能同扩同缩 公因数提取后忘加括号 提取后括号内用加号连接 小数点位置错 结果注意小数位数 学习建议：每天练3道巧算题，培养数感；下讲预告：第2讲 等差数列·求和公式。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $