26.2.3.2 用待定系数法求二次函数的解析式同步教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3.2 利用二次函数的图象 求一元二次方程根的近似值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 学习目标 学习重点 1.理解待定系数法原理，能结合已知条件合理选用一般式、顶点式，逻辑清晰列式求解解析式。 2.熟练求解方程组确定系数，借助抛物线数形结合简化计算，提升运算准确率。 3.建立二次函数数学模型，灵活选取解析式解决各类二次函数问题，增强数学应用能力. 会用待定系数法求二次函数的解析式. 灵活选择一般式、顶点式解决关于二次函数的相关问题 情境导入 1.一次函数(k，b为常数，k≠0)有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？ 待定系数法 设 代 解 写 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 设函数解析式 代入已知点的坐标列方程（组） 解方程（组） 写出解析式 复习巩固 3.二次函数的两种常用表达式是？ 一般式：y=a2+b+c 顶点式：y=a(-h)2+k，顶点为(h, k) 思考：确定二次函数的表达式需要几个条件？ 3个待定系数，3个条件 新知探究 问题1：一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式. 解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 把点(-1, 10)、(1, 4) 、(2, 7)代入可得 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得 a=2 b=-3 c=5 ∴这个二次函数解析式是y=2x2-3x+5. 写出解析式 知识归纳 一般式法求二次函数表达式的方法 若已知抛物线过三个点，可设一般式求二次函数的表达式.这种方法叫作一般式法.其步骤是： ①设函数表达式为c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 任意两点的连线不与y轴平行. 数学应用 一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c. 把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得 解得a=4，b=5，c=0. ∴抛物线的解析式为y=4x2+5x. c=0 a-b+c=-1 a+b+c=9 问题2：已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式. 解：∵抛物线顶点为(1, -4)， ∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4. 把点(3, 0)代入得 0=a(3-1)2-4， 解得a=1. ∴这条抛物线为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3. 探究新知 知识归纳 若已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）及另一点，可设顶点式求表达式.这样的方法叫作顶点式法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标； ③将另一点的坐标代入解出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 顶点式法求二次函数表达式的方法 巩固练习 1.一个二次函数，当x=-1时，y有最大值为-4，当x=1时，y为 -8，求抛物线的解析式. 2.抛物线的对称轴为直线x=1，且过点(2, -3)，(-1, 0)，求抛物线的解析式. 顶点坐标(-1, -4) y=-(x+1)2-4 y=a(x-1)2+k 或y=ax2+bx+c，- =1 y=(x-1)2-4 y=x2-2x-3 当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点A(x1，0)，B(x2，0)， 显然，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根. 则x1+x2=- ，x1x2= . ∴ y=ax2+bx+c=a(x2+ x+ ) =a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1)(x-x2) 二次函数的交点式 探究新知 3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2时，y=0，求这个二次函数的解析式. ∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x- )，即y=x2+x-1. 解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2) (x- ). 把点 (0, -1) 代入可得 -1= a(0+2) (0- )， 解得a=1. 方法二： 探究新知 知识归纳 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫作交点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中； ③将另一个点代入解出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 求二次函数解析式时 图象过一般三点： 常设一般式 已知顶点坐标： 常设顶点式 y 已知抛物线与x轴两交点： 常设交点式 归纳总结 辨析应用 顶点式 交点式 图象过轴上的-3和4，并过轴上-1 图象顶点坐标(3,2)，与轴交于(-3,0) 函数过点 (0,-3)，(2,0)，(-3,0) 图象过点 (-5,0)，对称轴为=-2，有最大值5 巩固练习 1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2)，且过点B(0,2)，则y与x的函数关系式为( ). A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2) 和(-1,-6)两点，则a+c= ． 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，则其解析式为 . D -2 y=-7(x-3)2+4 归纳小结 已知条件 待定系数法 求二次函数解析式 所选方法 ①已知三点坐标 用一般式法：y=ax2+bx+c ②已知顶点坐标或对称轴或最值 用顶点法：y=a(x-h)2+k ③已知抛物线与x轴的两个交点 用交点法：y=a()() （为交点的横坐标） 课外作业 必做题：教材44，45页习题26.2的第6、7题； 选做题：教材45页习题26.2的第9题； 补充：如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4)，求这个抛物线的解析式. 大美数学 今天我们掌握了用待定系数法求二次函数解析式的四部曲——设、列、解、写。无论是已知三点坐标、顶点式还是交点式，问题的核心都是“构造方程，求解未知”。这个过程看似机械，却蕴含着深刻的数学思想：未知与已知的转化，以及条件决定结果的逻辑。 更值得深思的是，人生何尝不是一个“待定系数”的过程？我们每个人都有自己的“解析式”，但其中的系数——能力、品格、信念——并非天生可知，而是需要在生活的“坐标点”中不断验证与求解。有时条件充分，解唯一；有时条件不足，解有无数种可能，那便需要我们主动增添“约束”或勇敢做出选择。但无论如何，只要设出目标、列清条件、耐心计算，总能找到属于自己的那条曲线。 愿在今后的学习中，既能欣赏二次函数优美的对称性，也能领悟“待定”背后的成长智慧：每一个未知数，都等待你用行动去确定；每一个系数，终将在时光的坐标系中呈现应有的价值。 $