26.3.1 二次函数与一元二次方程的联系同步教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3.1 二次函数与一元二次方程的联系 学习目标 学习重点 知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系. 了解用图象法求一元二次方程的近似根. 判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系. 情境导入 思考：你如何看待等式2-1=0? 你能求出x的值吗? 等式 2-1=0 方程角度 一元一次方程2-1=0的解 函数观点 一次函数y=2-1，当=0时对应的自变量x的值 数 2x=1 一次函数与常数函数，当函数值相等时，对应的自变量的值 直线=2与直线=1交点的横坐标 直线2-1与轴交点的横坐标 形 复习引入 方程角度 一元一次方程a+b=0(a≠0)的解 直线 (a≠0)与轴交点的横坐标 形 函数观点 一次函数 (a≠0)，当=0时对应的自变量的值 数 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 知识探究 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1. 由此 ， 你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？ 先画出函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 探究新知 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程(a≠0)的解 抛物线(a≠0)与轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数(a≠0)，当时对应的自变量的值 数 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 数学应用 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 追问1 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 15 1 3 【教材P48 练习】 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？ 20.5 追问3 小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. (1)证明：∵m≠0， ∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点. 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 对应练习 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令=0，则(x-1)(mx-2)=0，即-1=0或m-2=0， 解得=1，= . 当m为正整数1或2时，x2的值为整数. 又∵当m为2时， Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点， ∴正整数m的值为1. 对应练习 1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ). A.x1=1, x2=-1 B.x1=1, x2=2 C.x1=1, x2=0 D.x1=1, x2=3 2.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ). A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 B D 课堂练习 知识归纳 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）． 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 解二元一次方程(a≠0) 确定二次函数y(a≠0)的图象与轴公共点的横坐标 数 形 课堂小结 课外作业 必做题：教材49页习题26.3的第1题； 选做题：（1）教材49页习题26.3的第3，4题； 已知函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 大美数学 今天我们揭开了二次函数与一元二次方程之间那层神秘的面纱。我们发现：函数图象与x轴交点的横坐标，恰恰就是对应方程的两个根；而判别式则预言了交点是否存在。 这不仅仅是知识的关联，更是一种思维方式的飞跃——函数是运动的方程，方程是静止的函数，二者犹如一枚硬币的两面。 由数学思考人生，人生又何尝不是这样？我们常常在“动态”与“静态”之间转换视角：面对问题，有时需要“函数”的全局眼光，看趋势、看变化；有时又需要“方程”的聚焦思维，锁定关键、求解定点。更重要的是，判别式小于零时，图象与x轴无交点，但那并不意味着抛物线没有意义——它依然向上开口，依然承载着最小值。 生活中，我们或许也会经历“无实根”的困境，看似没有答案，但换个角度，也许正在孕育着另一种高度的美。 愿你们今后既能用函数的动态眼光洞察变化，又能用方程的精确思维找到支点，在数形结合的世界里，书写属于自己的精彩解。 $