26.3.2 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值同步教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3.2 利用二次函数的图象 求一元二次方程根的近似值 学习目标 学习重点 知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系. 了解用图象法求一元二次方程的近似根. 了解用图象法求一元二次方程的近似根 探究思考 思考：你如何看待等式2-1=0? 你能求出x的值吗? 等式 -1=0 方程角度 一元一次方程2-1=0的解 函数观点 一次函数-1，当0时对应的自变量的值 数 2x=1 一次函数与常数函数=1，当函数值相等时，对应的自变量的值 直线与直线=1交点的横坐标 直线与x轴交点的横坐标 形 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 复习回顾 数学应用 例1 利用函数图象求方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数的图象，如图所示. 尝试多次估算x1、 x2 ： -1 ≤ ≤ -0.5， 2.5 ≤ ≤ 3. 方法提示：在预估的范围内取x值计算y值，根据所得y值的正负逐步调整取值范围，逐步逼近近似值. y= -2-2 根x 2.5 ≤ ≤ 3 0.0625 2.75 -0.35938 2.625 -0.15234 2.6875 -0.0459 2.71875 0.00807 2.73438 -0.01899 2.72656 -0.00547 2.73047 0.00131 2.73243 根据y的正负去进一步逼近x的准确值. 下一步是在2.6875~2.75之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. 2.7≈ y= 2-2 根 -1 ≤ ≤ -0.5 0.0625 -0.75 -0.35938 -0.625 -0.15234 -0.6875 -0.04590 -0.71875 0.00807 -0.73438 -0.01896 -0.72657 -0.00547 -0.73047 0.00131 -0.73243 下一步是在-0.75 ~ -0.6875之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. -0.7≈ 例2 利用函数图象求方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程的实数根为≈-0.7，≈2.7. 探究新知 巩固练习 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. 解：画出函数的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是-3，2.5. 所以方程的实数根≈-3，≈2.5. 利用函数图象求下列方程根的近似值 (结果保留小数点后一位)： (1) － 3+1=0; (2) － －+1=0. 解：≈0.4，≈2.6 解≈－1.6，≈0.6 知识探究 问题1：函数y=+c的图象如图，那么 方程a+c=0的根是____________； =-1，=3 方程a+c=0的根是____________； <-1或>3 不等式a+b+c<0的解集是____________. -1<<3 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是__________.方程ax2+bx+c=0的根是______. 问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点， 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 1 (2, 0) 2 0 y O x 当a>0时，a+b+c<0无解； 当a<0时，a+b+c<0的解集是一切实数. 探究新知 二次函数y=a+c的图象与轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 或 有一个交点 ≠或≠ 无解 无交点 全体实数 无解 二次函数y=a+c的图象与轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 无解 无解 或 或 全体实数 巩固练习 1.根据下列表格的对应值： 判断方程a+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ). A. 3<<3.23 B. 3.23<<3.24 C. 3.24<<3.25 D. 3.25<<3.26 3.23 3.24 3.25 3.26 y=a+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 2. 如图，抛物线у=a+c的对称轴是直线 =-1，与轴的一个交点为（-5，0），则关于x的不等式a+c≤0的解集为 . ≤-5或≥3 课堂练习 3. 如图，抛物线y=－与坐标轴交于O，B两点，直线y=k－ 2与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为(2,0). (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求出点A的坐标，并结合图象直接写出不等式 > － 2的解集. 2 －2 归纳小结 课外作业 必做题：教材49页习题26.3的第2题； 选做题：教材50页习题26.3的第5，6题； 大美数学 今天我们学会了利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值。从图象与x轴的交点中“读出”根的所在范围，再通过取中点、缩小范围等方法不断逼近真实解——这个过程告诉我们：精确有时遥不可及，但逼近从未停止。人生何尝不是如此？面对复杂的难题，我们不必苛求一步到位的完美答案，而应像“二分法”那样，在试错与调整中逐渐靠近目标。每一次观察图象、每一次计算近似值，都是对真理的一次虔诚叩问。愿你们在未来的学习与生活中，永葆这份“逼近”的耐心与智慧，在数形结合的世界里，找到属于自己的人生“根”之所在。 $