26.4 实际问题与二次函数(第2课时)-教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教学设计 《26.4 实际问题与二次函数(第2课时)》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时是实际问题与二次函数第二课时，探究销售利润最值问题．教材以商品涨价降价为探究背景，梳理进价、售价、销量、利润之间复杂数量关系，分涨价、降价两种情况分别建立二次函数，求解最大利润．利润问题是中考高频应用题．本课继续巩固二次函数建模完整流程，重点训练学生梳理复杂的商业情境中的数量关系，确定自变量的取值范围，结合范围求最值．学生要理解：单件利润=售价‑进价；总利润=单件利润×销售量．本课把二次函数最值应用到经济生活，让学生体会数学的实用价值，承接上节课面积模型，进一步提升学生从文字情境提取等量关系的建模能力． 学习者分析 学生已经掌握二次函数求最值，会处理面积类实际问题．但销售利润题目文字信息量大，变量多，学生很难理清售价、涨价、销量、单件利润、总利润之间逻辑关系．学生经常搞错销售量随价格变化的表达式；容易漏掉自变量的取值限制（如单价为整数）．部分学生只会机械套公式，不会拆解文字条件．教学依靠小组合作，分步拆解各个数量，一步步写出单件利润、销售量，再得到总利润函数． 教学目标 1.分析销售利润类问题，列出二次函数关系式． 2.结合自变量取值范围，求解利润最大问题． 3.辨析题目数量关系，提高建模能力． 教学重点 梳理利润问题数量关系，建立总利润的二次函数模型． 教学难点 正确表示涨价（降价）之后的销售量与单件利润，确定自变量取值范围． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.分析销售利润类问题，列出二次函数关系式． 2.结合自变量取值范围，求解利润最大问题． 3.辨析题目数量关系，提高建模能力． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：说一说利用二次函数解决实际问题的步骤？ 答案：①审题，确定变量； ②列二次函数解析式，确定自变量取值范围； ③利用二次函数性质求最值； ④检验结果是否符合实际； ⑤作答. 导入：利用二次函数的性质.可以解决生活中的一些最大值(或最小值)问题，比如的最大高度，最大面积.下面我们再来看一个最大利润问题. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 通过复习已经学过的二次函数知识，为新课“二次函数实际应用——最大利润问题”作铺垫． 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1)设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化.我们先来确定随变化的函数解析式. 每件涨价元时，每星期要少卖10x件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付40元.因此，所得利润 即 配方，得 y＝－10(x－5)2＋6 250， 其中，为整数. 根据上面的函数，填空： 当_____时，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是_____元. 答案：5，5，65，6250 (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解. 解：设每件降价x元，每星期多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元． 　　因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)， 　　即y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000， 　　其中，0≤x≤20，为整数． 　　配方，得y＝－20(x－2.5)2＋6 125， 　　当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6 125元． 追问：由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 答案：　对比（1）（2）两种情况，当定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6 250元． 【归纳】利用二次函数解决利润最大问题的一般策略： （1）明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式． （2）讨论最大值时可借助顶点式y＝a(x－h)2＋k，然后利用二次函数的性质确定最大值． （3）在求商品利润最大的问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的函数的最大值并不一定是实际问题的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得． 学生活动3： 学生读题，圈画关键条件；开展小组合作探究，小组先分析涨价情形，互相说一说涨价后单件利润、销量分别是多少，合作写出函数解析式；小组讨论自变量为什么且整数；小组自主尝试完成降价部分探究；小组汇报，比较涨价、降价两种情况的最大利润，得出最终定价，整理解题步骤笔记． 活动意图说明： 借助小组合作拆解复杂文字条件，区分涨价、降价两种情形，强化自变量整数、非负现实约束，提升复杂情境下建模能力． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：26.4 实际问题与二次函数(第2课时) 最大利润问题 一、基本思路 二、一般策略 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 答案：A 2．某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为__________． 答案： 3．某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件．如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元．当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 解：∵每件童装降价x元， ∴则每件利润为元，平均多售出件， 由题意有，即， ∴ 设利润为y元，则有， 由可知，该函数的开口向下，是图像的对称轴， 此时y有最大值为 ， 即当每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 选做题： 4．销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 【综合拓展类练习】 5．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 解：（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3） ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 答案：B 2．流感期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 答案：35 3．在淘宝网店，某种服装的进价为60元，据市场调查，当每件服装的销售价定为80元时，每月可卖200件，当每件的销售价每涨1元，每月的销售数量将减少5件，如果每件服装的销售价涨x元，当x为何值时，该月获得的总利润（元）最大？并求出最大利润？ 解：设每件服装的销售价涨x元，获得利润为元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为4500， 每件服装的销售价涨10元，该月获得的总利润元最大，最大利润为4500元． 选做题： 4．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，利润不能超过成本价的30%，则每周获得的最大利润为（　　） A．80元 B．1000元 C．1350元 D．1800元 答案：C 【综合拓展类作业】 5．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 解：（1）将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 教学反思 本节课利润情境文字量大，小组合作拆解条件．部分学生分不清涨价之后单件利润与销量，列式出错；经常忽略自变量整数、非负等现实限制．后续教学训练学生圈画题干关键信息，分步拆解数量，规范建模解题流程，提升处理复杂应用题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $