26.4 实际问题与二次函数（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4　实际问题与二次函数（第2课时）

1．能根据销售问题中的数量关系建立二次函数模型，利用二次函数性质求解利润最值；结合自变量实际取值范围判断最值．

2．通过涨价、降价分类讨论，体会分类思想，感受二次函数在最优化问题中的应用．

3．对比上节课面积、运动模型，归纳实际问题二次函数最值通用解题流程．

建立销售利润问题的二次函数模型，求解实际情境下的最大利润．

1．销售问题中准确寻找单件利润、销售量之间的数量关系；

2．分类讨论涨价、降价两种情形；

3．结合自变量实际限制，正确寻找最值．

       知识回顾      

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果a＞0，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．如果a＜0，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．

2．一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝时，二次函数有最小（大）值．

思考：在上一节课的实际问题里，是不是顶点处一定可以取到最值？为什么？

【学生活动】学生独立思考、自由发言．

【师生小结】实际问题中自变量存在取值范围，若顶点横坐标不在取值区间内，需要利用函数增减性在区间端点寻找最值．

 

【过渡】上一节课，我们借助二次函数解决抛体运动最大高度、矩形面积最值问题，认识到解决实际最值问题需要兼顾自变量取值限制．本节课我们沿用相同的建模思路，探究商品销售中的最大利润问题．

【设计意图】复习二次函数增减性、顶点最值相关公式；借助思考题回扣第 1 课时区间最值这一核心难点，打通两节课知识脉络；为本节课利润模型的求解做好方法铺垫，实现解题方法的迁移．

       新知探究      

一、探究学习

【探究】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？

【师生活动】教师出示问题，引导学生审题，拆分条件；学生以小组为单位讨论，尝试自主建立函数关系式，限时 3～4 分钟．多数学生遇到障碍后，教师出示填空提示作为思考支架，引导学生逐层梳理数量关系．学生根据提示交流发言，教师板书推导过程．

教师分层引导设问：

①利润的基本等量关系是什么？（总利润＝单件利润×销售量）

②价格调整分为几种情形？（涨价、降价两类，需要分类讨论）

教师提示：

（1）设每件涨价x元，每星期少卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元．

（2）设每件降价x元，每星期多卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元．

学生根据提示，分小组讨论交流，并派代表发言，教师板书．

【分析】调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况．

【答案】解：（1）设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化．我们先来确定 y 随 x 变化的函数解析式．

每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．

因此，所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，

即y＝－10x2＋100x＋6 000，

其中，0≤x≤30，x为整数．

追问：自变量范围0≤x≤30从何而来？

预设：销售量不能为负数 300－10x≥0，同时涨价金额非负．

配方，得y＝－10(x－5)2＋6 250，

当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6 250元．

教师可强调：涨价情形设每件涨价x元；研究降价情形时，为避免字母含义混淆，建议同学们草稿中将降价金额设为m元．本解答统一使用字母x仅为书写简洁，解题时务必区分两种情形下变量的实际意义．

（2）设每件降价x元，则每星期多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．

因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，

即y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000，

其中，0≤x≤20，x为整数．

配方，得y＝－20(x－2.5)2＋6 125，

当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6 125元．

追问：题目要求单价为整数，x＝2.5不是整数，这个理论最大值能否取到？

学生讨论后小结：

x只能取整数，取邻近整数x＝2或x＝3，此时最大利润为 6 120 元．

综合降价情形实际可取最大利润 6 120 元，对比涨价情形最大利润 6 250 元，因此最优定价依旧是 65 元．

对比（1）（2）两种情况，当定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6 250元．

追问：今天求解利润最值的思路，和上节课研究抛体运动、矩形面积最值的解题流程有哪些共同点？

预设：先建立二次函数模型，再确定自变量取值范围，最后结合自变量区间利用函数性质寻找最值．

【归纳】利用二次函数解决利润最值问题的一般步骤：