26.4 实际问题与二次函数（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”中的销售利润最值，通过复习二次函数增减性、顶点最值及区间取值限制，衔接上节课面积、运动模型，以填空提示为支架引导学生建立利润函数模型。 特色在于以分类讨论（涨价、降价）培养推理意识，通过探究题中单价整数限制检验顶点合理性，强化模型观念，归纳“建模-定范围-求最值-作答”流程。提升学生用数学思维解决实际问题能力，为教师提供清晰的方法迁移教学路径。

26.4　实际问题与二次函数（第2课时） 教学目标 1．能根据销售问题中的数量关系建立二次函数模型，利用二次函数性质求解利润最值；结合自变量实际取值范围判断最值． 2．通过涨价、降价分类讨论，体会分类思想，感受二次函数在最优化问题中的应用． 3．对比上节课面积、运动模型，归纳实际问题二次函数最值通用解题流程． 教学重点 建立销售利润问题的二次函数模型，求解实际情境下的最大利润． 教学难点 1．销售问题中准确寻找单件利润、销售量之间的数量关系； 2．分类讨论涨价、降价两种情形； 3．结合自变量实际限制，正确寻找最值． 教学过程 知识回顾 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果a＞0，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．如果a＜0，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 2．一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝时，二次函数有最小（大）值． 思考：在上一节课的实际问题里，是不是顶点处一定可以取到最值？为什么？ 【学生活动】学生独立思考、自由发言． 【师生小结】实际问题中自变量存在取值范围，若顶点横坐标不在取值区间内，需要利用函数增减性在区间端点寻找最值． 【过渡】上一节课，我们借助二次函数解决抛体运动最大高度、矩形面积最值问题，认识到解决实际最值问题需要兼顾自变量取值限制．本节课我们沿用相同的建模思路，探究商品销售中的最大利润问题． 【设计意图】复习二次函数增减性、顶点最值相关公式；借助思考题回扣第 1 课时区间最值这一核心难点，打通两节课知识脉络；为本节课利润模型的求解做好方法铺垫，实现解题方法的迁移． 新知探究 一、探究学习 【探究】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【师生活动】教师出示问题，引导学生审题，拆分条件；学生以小组为单位讨论，尝试自主建立函数关系式，限时 3～4 分钟．多数学生遇到障碍后，教师出示填空提示作为思考支架，引导学生逐层梳理数量关系．学生根据提示交流发言，教师板书推导过程． 教师分层引导设问： ①利润的基本等量关系是什么？（总利润＝单件利润×销售量） ②价格调整分为几种情形？（涨价、降价两类，需要分类讨论） 教师提示： （1）设每件涨价x元，每星期少卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元． （2）设每件降价x元，每星期多卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元． 学生根据提示，分小组讨论交流，并派代表发言，教师板书． 【分析】调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况． 【答案】解：（1）设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化．我们先来确定 y 随 x 变化的函数解析式． 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元． 因此，所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)， 即y＝－10x2＋100x＋6 000， 其中，0≤x≤30，x为整数． 追问：自变量范围0≤x≤30从何而来？ 预设：销售量不能为负数 300－10x≥0，同时涨价金额非负． 配方，得y＝－10(x－5)2＋6 250， 当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6 250元． 教师可强调：涨价情形设每件涨价x元；研究降价情形时，为避免字母含义混淆，建议同学们草稿中将降价金额设为m元．本解答统一使用字母x仅为书写简洁，解题时务必区分两种情形下变量的实际意义． （2）设每件降价x元，则每星期多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元． 因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)， 即y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000， 其中，0≤x≤20，x为整数． 配方，得y＝－20(x－2.5)2＋6 125， 当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6 125元． 追问：题目要求单价为整数，x＝2.5不是整数，这个理论最大值能否取到？ 学生讨论后小结： x只能取整数，取邻近整数x＝2或x＝3，此时最大利润为 6 120 元． 综合降价情形实际可取最大利润 6 120 元，对比涨价情形最大利润 6 250 元，因此最优定价依旧是 65 元． 对比（1）（2）两种情况，当定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6 250元． 追问：今天求解利润最值的思路，和上节课研究抛体运动、矩形面积最值的解题流程有哪些共同点？ 预设：先建立二次函数模型，再确定自变量取值范围，最后结合自变量区间利用函数性质寻找最值． 【归纳】利用二次函数解决利润最值问题的一般步骤： （1）建模：理清单件利润、销售量，列出总利润关于调价变量的二次函数． （2）定范围：结合实际意义写出自变量取值范围． （3）求最值：结合对称轴与自变量区间，利用函数性质确定最值． （4）作答：回归实际情境，检验结果是否符合现实要求（如本题单价为整数）． 教师小结：无论是上节课抛体最大高度、矩形最大面积，还是本节课商品最大利润，求解二次函数实际最值遵循同一核心原则：顶点仅仅是理论最值点，必须检验顶点横坐标是否落在自变量取值范围内，同时兼顾题目中的现实约束（整数、数量非负等）． 同时注意：调价类利润问题需要对涨价、降价进行分类讨论，审题时重点关注题干是否存在整数等限制条件． 【设计意图】通过商品销售最大利润探究，引导学生建立销售问题中的二次函数模型；借助分类讨论体会分类思想；延续上一节课“自变量存在取值范围，顶点不一定可取”的核心难点，实现方法迁移；归纳通用解题流程，让学生感受二次函数模型在最优化实际问题中的价值． 二、典例精讲 【例1】某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．市场调查反映：在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 【师生活动】教师出示题目，引导学生找出单件盈利、销售量的变化关系；学生独立列式完成，同桌互相核对思路，教师选取学生板书． 教师追问：自变量x有取值范围吗？下限、上限分别是什么？ 【答案】解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 则单件利润为(20－x)元，销售量为(40＋10x)件． 由得自变量取值范围为0≤x＜20， 由题意，得y＝(20－x)(40＋10x) ＝－10x2＋160x＋800 ＝－10(x－8)2＋1 440(0≤x＜20)． ∵－10＜0，对称轴x＝8在取值范围0≤x<20内， ∴当x＝8时，y有最大值1 440． 即当每件降价8元时，每天的盈利最多． 【例2】某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数解析式y＝－2x＋80．设这种产品每天的销售利润为W元(x≥20)． （1）求W与x之间的函数解析式； （2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【师生活动】教师引导学生辨析：本题和前面例题区别在哪里？（销售量不再直接文字给出，由一次函数提供）；学生独立完成，教师巡视纠错． 追问：除了x≥20，还有隐藏范围吗？（销售量y＞0，可以适当拓展） 【答案】解：（1）由题意，得W＝(x－20)y＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1 600， 由得自变量取值范围为20≤x＜40， 故W与x的函数解析式为W＝－2x2＋120x－1 600(20≤x＜40)； （2）W＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200， ∵－2＜0，对称轴x＝30在取值范围20≤x＜40内， ∴当x＝30时，W有最大值，W最大值＝200． 即该产品销售价定为30元/千克时，每天销售利润最大，最大利润为200元． 追问：观察探究题、例 1、例 2，解题时有什么关键区别？审题要留意哪个条件？ 预设：探究题明确规定单价为整数，顶点对应的数值不一定符合实际要求，不能直接采用；例 1、例 2 无整数约束，若对称轴落在自变量取值区间内，可直接利用顶点求得最值． 【设计意图】 例 1 巩固基础利润模型，熟练运用“单件利润×销售量”建立函数，强化自变量取值范围意识； 例 2 拓展变式，体会“销售量由一次函数给出”这类新题型，拓宽学生建模视野． 两道例题沿用新知探究归纳出的四步解题流程，实现方法巩固；引导学生规范书写解题步骤，提升利用二次函数求解销售最值问题的能力． 课堂小结 板书设计 实际问题与二次函数——最大利润问题 一、基本等量关系 总利润 = 单件利润 × 销售量 二、解题一般步骤 （1）建模：列出二次函数解析式 （2）定范围：根据实际意义确定自变量取值范围 （3）求最值：结合对称轴与自变量区间判断最值 （4）作答：检验结果符合现实约束（整数、售价下限、非负等） 三、重要提醒 顶点仅为理论最值，必须结合自变量取值范围、题目现实约束综合检验 课后任务 　　完成教材第55～56页习题26.4第7，8题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $