26.4 实际问题与二次函数 第1课时 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数求最值”核心知识点，通过回顾二次函数顶点式与配方法求最值的旧知，搭建从数学模型到实际应用的学习支架，衔接后续实际问题分析。 以跳水运动、靠墙围菜园等生活实例为载体，引导学生经历“审题→设元列式→求最值→检验作答”过程，培养模型意识与抽象能力，通过配方法和顶点公式运算发展推理意识，助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供高效教学路径。

26.4 实际问题与二次函数（第1课时·求最值） 教学设计 课题 26.4 实际问题与二次函数 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）能解决实际问题中给出解析式求最值的问题； （2）经历探索实际问题中面积等最值问题，体会二次函数是最优化模型，感受数学与生活的联系，发展分析问题和解决问题的能力，培养应用意识。 教学重点 审题、列出函数解析式，并解决最值问题。 教学难点 根据题意列出正确的函数解析式（确定自变量取值范围）。 教学方法 情境探究、配方法、建模思想、数形结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 完成检测反馈2题及教材第50~52页相应练习。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 【创设情境】 1. 的顶点坐标是______、当 x=______ 时函数有最______值，是______。【答案】(3,5)；3；大；5） 2. 的顶点坐标是______、当 x=______ 时函数有最______值，是______。【答案】配方得 ，故(2,1)；2；小；1） （设计意图：回顾顶点式与配方法求最值，为实际最值问题提供工具。） 求两函数的顶点坐标、取最值的 x 及最值大小。 复习二次函数最值求法，衔接实际应用。 二、探索归纳 【探索归纳】例1　在一次跳水运动中，运动员的重心相对于水面的高度 h(m) 与起跳后的时间 t(s) 的关系式是 h=-4.9t²+2.8t+11。运动员起跳后经过多长时间达到最高点？最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 。 问题1　此问题实质上是求什么？ 实质是求二次函数的最大值；而“何时达到最高点”即取最大值的自变量 t 取值。 问题2　你有几种方法？ 方法一：配成顶点式，由顶点求最值与自变量的值；方法二：利用一般式求对称轴与顶点坐标公式。 方法二：对称轴 ，直接代回求最大值（顶点纵坐标）。 问题3　请自己求值。 方法一配方：，故 t= s（≈0.3 s）时达最高点，最大高度 11.4 m。 学生板演小结：先配方成顶点式，详见顶点坐标即得结果；注意保留一位小数并写单位。 例2　如图，利用一面墙（墙长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使其面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为 x m，由矩形面积公式列解析式，面积最大问题转化为函数最大值问题。 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20-2x) m，面积 ，即 （0<x<10）。 当 x= 时，S 有最大值 50。因此，垂直于墙的边长为 5 m 时菜园面积最大，最大面积为 50 m²。 解决例2 的步骤：1.审题；2.设元列式（注意 x 的取值范围）；3.配方求最值；4.作答并检验。 （设计意图：由给出解析式的例1到自主列式的例2，归纳“审题→列式→求最值→作答”的通法。） 对跳水关系式配方或套顶点公式求时间与最大高度；对菜园设元列 S=-2x²+20x 配方求最大面积并归纳四步。 以跳水、靠墙菜园两个实例，落实列解析式与求最值。 三、巩固 【巩固】1.喷水池水柱问题 以水管与地面交点为原点、原点与水柱落地处所在直线为 x 轴、水管所在直线为 y 轴建系，水柱高度 y(m) 与水平距离 x(m) 的函数关系为 y=-x²+2x+2。 (1) 求抛物线形水柱的最高点到地面的距离；(2) 求水柱落地处与池中心的距离。解：配方 ，顶点 A(1,3)，故最高点到地面 3 m；令 y=0 得 ，即 ，x=1±，舍去负根，，故落地处与池中心约 2.7 m。 2.(2025·巴中中考) 如图，用 40 m 长绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长 25 m）。 (1) 围栏面积为 150 m² 时，三边分别长多少米？(2) 面积最大时三边分别长多少米？ (1) 设垂直于墙的一边长 x m，则平行墙边长 (40-2x) m，由 得 x=5或15；x=5 时 40-2x=30>25 舍，故三边长 15、10、15 m； (2) 面积 ，x=10 时最大 200，40-2x=20<25 符合，三边长 10、20、10 m。 （设计意图：以喷水池与中考围栏巩固列式、配方求最值，并强调检验 x 的范围。） 对喷水池配方求最高点并解落地横坐标（舍负根）；对巴中围栏列方程与函数求边长并检验墙长。 通过两组实际题巩固列式与配方求最值及解的检验。 四、检测反馈 【检测反馈】 1.植物生长速度 y（厘米/天）与光照强度 x（勒克斯）的关系，低光照（200≤x<1000）近似一次函数，中高光照（x≥1000）近似二次函数，部分图象如图。下列结论正确的是（　　）A.当 x≥1000 时 y 随 x 增大而减小　B.当 x=2000 时 y 有最大值　C.当 y≥0.6 时 x≥1000　D.当 y=0.4 时 x=600 【答案】选 B（中高段图象在 x≈2000 处取得最高）。 2.综合与实践：校园花圃方案设计。花圃一边靠墙（墙不限），其余部分用总长 60 m 栅栏围成。 方案一：围成面积为 450 m² 的矩形花圃，求与墙垂直的边的长度。 解：设垂直边 x m，平行边 (60-2x) m，由 得 ，x=15，故垂直边长 15 m。 方案二：用栅栏将花圃分隔为两个小矩形，并在花圃两侧各留一个宽 3 m 的进出口（不用栅栏）。要使花圃面积最大，与墙平行的边长为多少米？ 解：设与墙平行的边长为 t m，结合进出口与分隔结构，栅栏整理后面积 ，因 -<0，故 t=33 时 S 最大 363，答：与墙平行边长为 33 m。 （设计意图：通过光照读图与花圃两种方案，当堂检验最值建模与配方。） 由图判断最值结论；解方案一方程求垂直边；对方案二列并配方求最大面积对应的平行边长。 当堂落实读图、列方程与配方求最值。 五、课堂小结 【课堂小结】 1.本节课有哪些收获？（会用二次函数求实际最值问题。）2.解决实际问题应注意：审清题意、正确列式、注意变量的实际范围、检验结果是否符合实际，并突出数形结合与建模思想。 （设计意图：总结“审题→列式→求最值→检验作答”，强调应用意识。） 回顾列式模型与求最值步骤、易错点及所用数学思想。 归纳最值应用通法，深化建模思想。 板书设计 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 一、求最值步骤 审题→设元列式→配方/顶点式→求最值→作答检验 二、例1 跳水 定义域；最大高度为 h=-4.9t²+2.8t+11 的顶点高度 三、例2 靠墙菜园 垂直于墙 x·面积 S=-2x²+20x(0<x<10) 配方法/顶点式求最大值 练习：喷水池·巴中围栏·花圃两种方案 ★ 数学思想：建模·数形结合·配方法 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $