专题02 勾股定理高频选择填空题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 （重庆专用）

专题02 勾股定理高频选择填空题 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 利用勾股定理求解】 1 【类型2 以直角三角形三边为边长的正方形】 2 【类型3 弦图相关求解】 5 【类型4 勾股数】 8 【类型5 勾股定理相关折叠问题】 11 【类型6 网格相关勾股定理应用】 15 【类型7 判断是否是直角三角形】 17 【类型8 勾股定理的证明】 21 【类型9 利用勾股定理求平方差或平方和】 26 【类型10 利用勾股定理逆定理求解】 29 【类型11 勾股定理实际应用】 31 【类型12 勾股定理相关最值问题】 34 【类型1 利用勾股定理求解】 1．如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 2．在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两条直角边长度，求斜边长，直接运用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边，，为直角边． 又∵，， ∴由勾股定理得． 3．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和， ∴第三边长为． 4．直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8和15， ∴斜边长为． 5．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【类型2 以直角三角形三边为边长的正方形】 6．如图，分别以直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：， ∴， 即所代表的正方形的边长为10． 7．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，， ∴（负值舍去）， 故选：D ． 8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键. 根据题意得出，即可得到答案. 【详解】解：，， ， ， 即两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为， 故选：C. 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题属于基础应用题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，正方形E的面积为：， 则正方形D的面积． 故选：D． 10．如图，AD是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解题即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【类型3 弦图相关求解】 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（    ） A．8 B．16 C．2 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了以勾股定理为背景的图形面积的计算，掌握勾股定理的计算是关键． 根据小正方形的面积与4个直角三角形的面积和为大正方形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：4个全等三角形的面积为， ∴小正方形的面积为， 故选：D ． 12．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长， ∴小正方形的面积为：； 故选C． 14．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 15．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴，， ∴， ∴，即小正方形边长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键． 【类型4 勾股数】 16．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．7，24，25 C．3，7，8 D．10，24，26 【答案】C 【分析】计算各选项中较小两数的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则该组数不能作为直角三角形的三边长. 【详解】解： 选项A：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意； 选项B：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意； 选项C：，，， ∴不能作为直角三角形三边长，符合题意； 选项D：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意. 17．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．3、4、5 B．4、5、6 C．6、8、10 D．8、15、17 【答案】B 【分析】验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，若不相等则不能作为直角三角形的三边长度，若相等则可以作为直角三角形的三边长度． 【详解】解：∵， 3，4，5能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； B、∵，，， 4，5，6不能作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意； C、∵， 6，8，10能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； D、∵， 8，15，17能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意． 18．用下列数字为长度的线段，能构成直角三角形的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对每个选项，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，满足该条件即可构成直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，不能构成直角三角形， ∴A选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴，，不能构成直角三角形， ∴B选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴，，能构成直角三角形， ∴C选项符合题意； ∵，， ∴， ∴，，不能构成直角三角形， ∴D选项不符合题意． 19．下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的是（    ） A．2，5，6 B．3，4，5 C． D．5，12，13 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，验证各选项三边是否满足该关系即可得到结果． 【详解】解：A选项∵，， ∴，因此2，5，6不能构成直角三角形，符合题意； B选项∵， ∴3，4，5能构成直角三角形，不符合题意； C选项∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D选项∵， ∴5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； 20．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【详解】解：A．，不能构成直角三角形，不合题意； B．，不能构成直角三角形，不合题意； C．，能构成直角三角形，符合题意； D．，不能构成直角三角形，不合题意． 【类型5 勾股定理相关折叠问题】 21．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB10， 由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE， ∴BE=4， ∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12． 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E， ∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6， ∴AB=6， ∵A1为BC的中点， ∴A1B=3， 设AE=A1E=x，则BE=6-x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=， 故选D． 【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用． 23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】作DG⊥BC，连接AE，先根据Rt△CDG，∠DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出DG=4，则AB= DG=4，设BE=x，则CE=8-x，根据折叠得AE= CE=8-x，再根据勾股定理在Rt△ABE列出方程进行求解. 【详解】作DG⊥BC，连接AE， 在Rt△CDG，∠DCG=60°，得出CG=4， ∴DG=4，则AB= DG=4， 设BE=x，则CE=8-x，根据折叠得AE= CE=8-x， 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，即(8-x)2=(4)2+x2 解得x=1， 故选A. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 25．如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【类型6 网格相关勾股定理应用】 26．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 27．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 28．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】根据勾股定理分别求解，，，，从而可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得： ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的解本题的关键． 29．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积=， ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键． 30．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 【类型7 判断是否是直角三角形】 31．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 32．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴设，，（）， ∵， ∴是直角三角形． ②∵，，， ∵， ∴不满足勾股定理逆定理， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ④∵，且， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个． 故选：C． 33．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合三角形内角和为度以及勾股定理的逆定理进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∴不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵ 则 ∴不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，故D选项符合题意； 故选D 34．在中，、、的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B．，，（m为常数） C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据所给条件结合判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，故是直角三角形，故A不符合题意； B、，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，故B不符合题意； C、，且，则，整理得，即，故是直角三角形，故C不符合题意； D、，，则 最大角，三角形没有直角，不能判定是直角三角形，故D符合题意． 35．在中，所对的边分别是a、b、c，在下列关系中，不属于直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一判断各选项三角形是否为直角三角形，找出不属于直角三角形的选项． 【详解】解：A、，变形得，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，A不符合要求； B、设，则，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，B不符合要求； C、，则，而，则，得，是直角三角形，C不符合要求； D、设，则，解得，则最大角，不是直角三角形，D符合要求． 【类型8 勾股定理的证明】 36．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 37．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 38．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 39．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 40．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 【类型9 利用勾股定理求平方差或平方和】 41．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 42．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 43．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 44．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 45．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【类型10 利用勾股定理逆定理求解】 46．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 47．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 48．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 49．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 50．在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 【类型11 勾股定理实际应用】 51．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 52．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 53．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 54．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 55．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 【类型12 勾股定理相关最值问题】 56．如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过作，使，连接，可证，得到，即得，可知当点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，过作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的值最小为． 57．如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 58．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， ∵是的平分线， ∴点在上， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 59．如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称性质转化线段，结合两点之间线段最短求解最小值是解题的关键． 本题是最短路径问题．根据折叠性质，点与点关于直线对称，因此的周长根据两点之间线段最短，当点位于与的交点时，取得最小值因此，周长的最小值为接下来需要利用直角三角形和折叠的性质，求出的长度． 【详解】解：连接、， ∵在中，，， ∴， ∵沿直线折叠得到， ∴，，， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴ ∴的周长 ∵当在与的交点时，最小，最小值为 ∴周长的最小值 故答案为： 60．如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点B关于的对称点，连接，此时有最小值，由轴对称的性质可得，则可推出当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接， 根据轴对称的性质有， ∴， ∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，，， ，， ∵， ， ， ∴的最小值是． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理高频选择填空题 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 利用勾股定理求解】 1 【类型2 以直角三角形三边为边长的正方形】 2 【类型3 弦图相关求解】 3 【类型4 勾股数】 5 【类型5 勾股定理相关折叠问题】 5 【类型6 网格相关勾股定理应用】 7 【类型7 判断是否是直角三角形】 8 【类型8 勾股定理的证明】 8 【类型9 利用勾股定理求平方差或平方和】 10 【类型10 利用勾股定理逆定理求解】 11 【类型11 勾股定理实际应用】 11 【类型12 勾股定理相关最值问题】 13 【类型1 利用勾股定理求解】 1．如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 4．直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【类型2 以直角三角形三边为边长的正方形】 6．如图，分别以直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 10．如图，AD是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【类型3 弦图相关求解】 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（    ） A．8 B．16 C．2 D．27 12．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 14．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 15．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A． B． C． D． 【类型4 勾股数】 16．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．7，24，25 C．3，7，8 D．10，24，26 17．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．3、4、5 B．4、5、6 C．6、8、10 D．8、15、17 18．用下列数字为长度的线段，能构成直角三角形的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 19．下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的是（    ） A．2，5，6 B．3，4，5 C． D．5，12，13 20．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【类型5 勾股定理相关折叠问题】 21．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 22．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 25．如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【类型6 网格相关勾股定理应用】 26．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 27．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 28．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 29．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 30．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【类型7 判断是否是直角三角形】 31．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 32．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 34．在中，、、的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B．，，（m为常数） C． D． 35．在中，所对的边分别是a、b、c，在下列关系中，不属于直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【类型8 勾股定理的证明】 36．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 37．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 38．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 39．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 40．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【类型9 利用勾股定理求平方差或平方和】 41．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 42．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 43．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 44．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 45．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【类型10 利用勾股定理逆定理求解】 46．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 47．已知，，，，，连接，则的度数为______． 48．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 49．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 50．在中，，，，则的面积为 _______________． 【类型11 勾股定理实际应用】 51．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 52．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 53．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 54．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 55．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【类型12 勾股定理相关最值问题】 56．如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 57．如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 58．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 59．如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 60．如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $