专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，湖北专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．C 2．AC 3．ACD 4．B 5．D 6．BC 7．BC 8．AC 9．AC 10．ACD 11．【答案】 【分析】 利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【详解】 令， 则 ， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为： 12．【答案】 【分析】 先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】 设， 所以 ，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】 设，即 ，解得 . 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．D 2．A 3．B 4．B 5．ACD 6．BCD 7．AC 8．C 9．ABC 10．D 11．A 12．AC 13．B 14．ABD 15．ACD 16．BCD 17．ABC 18．BC 19．ACD 20．BCD 21．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式求最值，利用不等式恒成立求参数范围； （2）利用二次函数求出最小值，再利用存在不等式成立求参数范围. 【详解】 （1）由题意可知：，    当且仅当，即，时取等号， 因为不等式恒成立，所以，    即，即， 解得，即实数的取值范围是. （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 则在区间上，， 故，成立等价于，    即， 故实数的取值范围是. 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知换元，再应用基本不等式计算求解； (1) 小问详解： 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为； (2) 小问详解： ，，，又， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，或，等号成立. 所以的最小值是4； (3) 小问详解： ， ， ， 的最大值为 当且仅当取等号, 所以的最大值为. 23．【答案】 【分析】 由题意可得，，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】 由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即 时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 24．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）设，由勾股定理得，，即可求解三角形BCE面积，由 求解x的取值范围； （2）根据题意结合基本不等式求最值，并注意等号成立的条件． (1) 小问详解： ，则．    设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由 ，得． 所以x取值范围是． (2) 小问详解： 因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 25．【答案】（1）长和宽分别为和；总长最小为     （2）长和宽分别为和；面积最大为      【分析】 （1）设长方形长和宽分别为，，可得，利用基本不等式可求； （2）设长方形田地的长和宽分别为，，其中，，可得，利用基本不等式可求得面积的最大值. (1) 小问详解： 设长方形长和宽分别为，，其中，.由题意，得. 由基本不等式，，当且仅当，时取等. 即长和宽分别为和，总长最小为. (2) 小问详解： 设长方形田地的长和宽分别为，，其中，，则. 由基本不等式，解得， 当且仅当，时取等号. 即长和宽分别为和，面积最大为. 26．【答案】 【详解】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可. 【详解】 因为两个正实数，满足， 所以， 则， 当且仅当时取得等号， 所以不等式恒成立，等价为，即， 解得，所以实数的取值范围是，. 故答案为：，. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式解决恒成立问题，解题的关键在于利用基本不等式“1”的妙用，来求不等式的最小值，再将问题等价于，即可求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 27．【答案】（1）     （2），S最小值      【分析】 （1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值. (1) 小问详解： 设，因，则，即， 则 ； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，此时S最小值为（元）. 28．【答案】 【分析】 由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 解：因为正数，满足， 则有，即， ，即， 所以， 当且仅当即，又， 即，时取得最小值，且最小值为． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】 由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 30．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式即可求解； （2）利用乘1法即可求解. 【详解】 （1）， 当且仅当即取等.所以原式最大值为. （2）原式 当且仅当时取等号.所以原式的最小值为. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．ABD 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C 13．A 14．C 15．A 16．D 17．AC 18．C 19．C 20．B 21．D 22．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为, 故答案为： 23．【答案】 【分析】 根据题意，由求解. 【详解】 因为，使成立， 所以，解得得或． 故答案为： 24．【答案】（1）     （2）最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得     （3）      【分析】 （1）利用利润等于收入减去成本，列出函数即可； （2） 利用分段函数求最值，再作比较，即可得最大利润； （3）利用分段函数解不等式，从而可求年接待游客量的取值范围. (1) 小问详解： 当时，；    当时，，    所以 ； (2) 小问详解： 若，即， 当时，万元；    若时，， 当且仅当时，即时，万元，    因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. (3) 小问详解： 当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.    当时，由，即， 解方程，得两根为，    由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 25．【答案】 【分析】 求得，，再根据并集的定义求解即可. 【详解】 ，， 所以. 故答案为： 26．【答案】 【分析】 使用换元法结合不等式的性质求不等式的解集. 【详解】 令，则原不等式： 展开得： 化简得：， 即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负， 即可得 或 ， 解得或； 故，代回： ，，整理得. 故答案为： 27．【答案】 【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可． 【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为， 由韦达定理知，， 所以当且仅当取等号． 【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题． 28．【答案】 【分析】 利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】 由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解一元二次不等式，求出集合再求； （2）分别求出为真，为真时的范围，再分真假，假两种情况讨论即可得解. (1) 小问详解： ，，所以， (2) 小问详解： 若为真，则，即只需.时取得最小值，所以； 若为真，则，，只需，只需或解得. 若真假，则 ，解得； 若假真，则 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 30．【答案】（1）； （2）. （3） 【分析】 （1）根据韦达定理求值. （2）结合已知的思路，探索一元三次方程根与系数的关系. （3）利用（2）的结论，可求的值. 【详解】 （1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式求得集合，结合集合的补集、交集的运算，即可求解； （2）由题意得到，分和两种情况讨论即可求解. (1) 小问详解： 由，解得， ， 当时，， 或， . (2) 小问详解： 若，则，    ①时，满足，此时，解得；    ② 当时，有 ， 解得 .    综上所述，当时，实数的取值范围是. 32．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）分类讨论，根据集合中的3个整数，求出范围即可； （2）根据集合B中元素特点，由求范围即可. (1) 小问详解： 当时，，此时中有三个整数，则； 当时，，此时中有1，2，3三个整数，则. 综上所述，或. (2) 小问详解： 表示偶数集， 当时，集合中包含2，则； 当时，集合中包含0，则. 当时，集合中不包含偶数， 所以或. 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出函数的最小值，再根据命题p为真得到关于k的不等式，进而求解k的取值范围， （2）先分别求出命题p和q为假命题时k的取值范围再取交集得到k的最终取值范围. (1) 小问详解： 因为，当，即 时，有最小值4， 又因为命题为真命题，则， 得到，解得， 所以求实数的取值范围是. (2) 小问详解： 由（1）知当命题为假命题时或 ； 又因为命题为假命题， 所以为真命题，所以恒成立， 当时，成立； 当时， ，解得 ； 综上所述当为假命题时. 所以命题和均为假命题时，取交集得到 所以k的最终取值范围. 34．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）分离参数，再求出右边的最大值即可； （2）分别求出命题和命题为假命题时的范围，再求其交集即可. (1) 小问详解： 当命题为真命题时， 当时，， ，即 实数的取值范围为． (2) 小问详解： 当命题为真命题时，， 解得或， 故为假命题时， 当为假命题时，. 所以命题和命题均为假命题， ，解得， 所以实数的取值范围为． 35．【答案】（1）16     （2）.      【分析】 （1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值； （2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值. (1) 小问详解： 设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； (2) 小问详解： 设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： ，，. ，. 不等式的解集为； (2) 小问详解： 由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 37．【答案】（1）     （2）①，②.      【分析】 （1）利用根与系数关系可得 ，再将目标式转化为含有、的表达式，进而求范围. （2）① 根据二次函数的性质只需保证 即可求的取值范围；② 由已知可得，又只需保证即可求参数范围. (1) 小问详解： 由题设， 且， ∴. (2) 小问详解： ① 由的开口向上，对称轴为，且判别式恒大于等于0， ∴要使的解集中恰有一个整数，则 ， ∴. ② 由题设，，又， ∴， ，则， ∴. 38．【答案】（1），     （2）{1}     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以 ，解得， (2) 小问详解： 由，即， 即对于实数时恒成立， 则 ，解得，则x的取值范围为{1} (3) 小问详解： 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 39．【答案】5 【分析】 由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】 因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 40．【答案】（1） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. (1) 小问详解： 由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) 小问详解： 由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 41．【答案】（1），b=6     （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或.     （3）      【分析】 （1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. (2) 小问详解： 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. (3) 小问详解： 由得， ∵对恒成立， ∴ ， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 42．【答案】（1）； （2）当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为或. 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）讨论参数a的取值，求不等式解集即可. 【详解】 （1）因为的解集为， 所以与是方程的两根，且， 将代入，得，则， 所以不等式为，转化为，所以原不等式解集为，所以． （2）由，整理得，即， 当时，，故不等式的解集为或； 当时，，不等式为，故其解集为； 当时，，故不等式的解集为或； 综上：① 当时，原不等式解集为或； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为或. 43．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得： ，解得： . 所以二次函数的表达式为：. (2) 小问详解： 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值 . (3) 小问详解： 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 44．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. (1) 小问详解： 由 （等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： ，解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组 的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则 ，解得， ∴实数t的范围为． (3) 小问详解： 二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且 ，即为方程的两根， 得 ，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 45．【答案】（1）最小值，最大值为；是     （2）     （3）8      【分析】 （1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. (1) 小问详解： 根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. (2) 小问详解： ① 若，则，， 根据题意：，无解； ② 若，则，， 根据题意：，解得：； ③ 若，则，， 根据题意：，解得：； ④ 若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. (3) 小问详解： 因为，则， ① 若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ② 若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当 时取等号， 即 或 时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】 含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案. 【详解】 由，得到， 又因为，所以，故C正确； 当时，，故AD错误； ，故B错误. 故选：C 2．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）（多选）已知，则下列不等式正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由不等式的性质进行判断． 【详解】 对于A项，根据不等式的性质，，故A选项成立； 对于B项，当时，满足，但不符合，故B项错误； 对于C项，当时，，所以，故C选项成立； 对于D项，当时，满足，但不符合，故D项错误． 故选：AC 3．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用同向不等式的可加性等性质进行判断即可. 【详解】 因为，所以，即，故A正确； 因为，所以，又因为，所以，故B错误； 因为，所以，又因为，所以，故C正确； 因为，，所以，故D正确； 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）已知，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用特殊值法计算判断A，C，D，应用不等式的性质计算判断B. 【详解】 对于A：当时，，A选项错误； 由题意，则，B正确； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D：取，所以，D选项错误； 故选：B. 5．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 取特殊值可求得A、B、C错误，由作差法可得D正确. 【详解】 由可知，不妨取， 对于A，，所以A错误， 对于C，，可得C错误； 对于B，当时，不成立，即B错误； 对于D，，即可得，即D正确. 故选：D 6．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 通过特殊值、作差法及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假. 【详解】 选项A，当时，，故A错误； 选项B，，因，，则， 故，B正确； 选项C，由得，又，故，C正确； 选项D，由得，故，D错误. 故选：BC 7．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】 对于A，取,则，故A不正确； 对于B，因为，则，所以，即，故B正确； 对于C，因为，则，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：BC 8．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）已知，则下列结论错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 对于AC，举反例说明即可；对于BD，直接根据不等式性质证明即可. 【详解】 对于A，取，则，故A错误； 对于B，若，则，所以若，则一定有，此时，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：AC. 9．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 对于A，作差比较即可；对于B，可举反例说明；对于C，根据不等式的性质可判断，对于D，作差即可判断． 【详解】 A选项，， ，，且， ，即，A正确； B选项，因为，当时，，B错误； C选项，，， ，C正确； D选项，， ，，即， ，D错误， 故选：AC． 10．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 【答案】ACD 【分析】 由不等式的基本性质即可判断A选项；由函数定义域的定义即可求得函数的定义域，判断B选项；分别解两个不等式得到解集，即可判断C选项；设，解的值，然后由不等式的同向可加性得到的范围，判断D选项. 【详解】 ∵，∴，∴， 即，所以，A选项正确； 令，∴，∴函数的定义域为，B选项错误； ，则，，解得，C选项正确； 令，即， 即 ，解得 ，即， ∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【详解】 令， 则 ， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为： 12．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）已知，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】 设， 所以 ，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】 设，即 ，解得 . 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）下列各式中最小值等于2的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由基本不等式及二次函数的值域进行判断选项． 【详解】 对于A项，当时，得，则不合题意，故A项错误； 对于B项，，等号成立时，，但，故等号取不到， 故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，因为，所以，等号成立时，，故D项正确． 故选：D 2．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）若，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断得解. 【详解】 由，，得，当且仅当时取等号， 反之，取，满足，而， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（       ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 【答案】B 【分析】 利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】 设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则 ，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 4．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 0 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 由变形可得，利用基本不等式求解. 【详解】 因为，所以， 因为，，所以，同理， 又， 因为，，， 由基本不等式就可得， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）（多选）若正实数满足，则（       ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【分析】 由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值. 【详解】 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； ，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； ， 当时，取得最小值，故D正确. 故选：ACD. 6．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）下列命题中，真命题有（     ） A. 任意非零实数a,b，都有 B. ，使得 C. 函数的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】 根据反例可判断A，求出方程的解后可判断B，根据双勾函数的单调性求出最小值后可判断C，根据基本不等式求出代数式的最小值后可判断D. 【详解】 对于A，取，则，故A错误； 对于B，即为，故或， 而，故B正确； 对于C，， 设，， 由双勾函数的单调性可得该函数在为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故C正确； 对于D，， 因为，故，故 由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立，故的最小值为， 故D正确； 故选：BCD. 7．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）（多选）若，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【分析】 根据基本不等式计算即可判断ABD；根据二次函数的图象与性质即可判断C. 【详解】 A：，当且仅当，即 时等号成立， 所以，即的最大值为，故A正确； B：， 当且仅当，即 时等号成立， 所以的最小值为4，故B错误； C：， 即的最小值为，故C正确； D： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AC 8．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】 因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 9．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）（多选）设正实数，满足，则（     ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 【答案】ABC 【分析】 利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B. 【详解】 对于A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故A正确； 对于B：因为正实数，满足，所以，又 ，解得， 所以，当时，有最小值为，此时，故B正确； 对于C：，因为， 所以，即最大值为，等号成立条件是，，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：ABC 10．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）下列说法正确的是（       ） A. 若，则的最大值为1 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则的最小值为2 D. 函数的最小值为 【答案】D 【分析】 根据基本不等式的“一正二定三相等”与“和定积最大，积定和最小”的要求逐一推理判断各选项即可. 【详解】 对于A，因，得，， 当且仅当时，即时等号成立，即的最大值为，故A错误； 对于B，因，， 由可得，方程无解，则，即函数的最小值不是2，故B错误； 对于C，由，，可得，即， 解得因，则得，即无最小值，故C错误； 对于D，设，因，则，，当且仅当，即时等号成立， 也即时，函数的最小值为，故D正确. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）已知，，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 12．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）（多选）已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】AC 【分析】 根据给定的解集可得，再结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】 由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的二根， 则，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，而，因此上述等号不能取到，D错误. 故选：AC 13．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 9 【答案】B 【分析】 变形有，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】 因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 14．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的最小值是9 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 【答案】ABD 【分析】 基本不等式求出各个选项中代数式的最值，即可得到结果. 【详解】 A选项，，当且仅当，即时，取等号，A选项正确； B选项，，当且仅当，即时，取等号，B选项正确； C选项，，当且仅当时，取等号，但当方程无解，C选项错误； D选项，，， 当且仅当时，即时，取等号，D选项正确. 故选：ABD. 15．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B. 的最大值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 对于A，由题设易得，进而求解判断即可；对于BCD，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可. 【详解】 对于A，由，，且， 显然，则，即，故A正确； 对于B，由，，且， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4，故B错误； 对于C，由，，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，由C知，， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时，满足题意， 则的最大值为3，故D正确. 故选：ACD 16．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）（多选）已知函数，若，则（     ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C.  D. 的最大值为 【答案】BCD 【分析】 由题意计算可得，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次函数性质可得D. 【详解】 由题意可得，又，则， 即，即有，且，； 对A：由，则，则， 由在上单调递增，则，故A错误； 对B：，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对C：， 取，由A知，，则在上单调递增， 故，故C正确； 对D：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 17．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）（多选）设正实数满足，则下列结论正确的是（       ） A. 的取值范围是 B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】 根据基本不等式的性质，根据换元法，以及构造函数，根据函数单调性判断函数最值，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】 由题意得，即 ，因为，则 ，解得 ； 对于A，则， 设函数，可知函数在上单调减，即， 可得，即，所以A正确； 对于B，可知，即，化简得，当且仅当，即时取等号；所以B正确； 对于C，， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上的最小值为，所以C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因为，即，所以D错误； 故选：ABC. 18．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【分析】 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】 由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以 ，所以，， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以， 当，时，的最小值为，故B正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误. 故选：BC． 19．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）（多选）已知均为正实数，且，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为5 C.  的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】 对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案. 【详解】 对于A，由基本不等式可得， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B，， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当 时，即当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为，C对. 对于D，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，与联立可得 ． 又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为， 当且仅当时等号成立． 所以仅当时等号成立， 综上，的最小值为. 故选：ACD. 20．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）（多选）下列是真命题的是（     ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 【答案】BCD 【分析】 由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】 对于A， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值，故A错误； 对于B，由，可得， 又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意，，，， 所以转化为， 可得，即， 因为， 当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确； 对于D，由可得， 两边同乘以， ， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立， 令，则有，即， 解得，因此的最小值为， 此时且满足； 的最大值为，此时且满足，故D正确． 故选：BCD 21．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）（1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式求最值，利用不等式恒成立求参数范围； （2）利用二次函数求出最小值，再利用存在不等式成立求参数范围. 【详解】 （1）由题意可知：，    当且仅当，即，时取等号， 因为不等式恒成立，所以，    即，即， 解得，即实数的取值范围是. （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 则在区间上，， 故，成立等价于，    即， 故实数的取值范围是. 22．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知，， （1）若，求的最大值; （2）若，求的最小值; （3）若，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知换元，再应用基本不等式计算求解； (1) 小问详解： 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为； (2) 小问详解： ，，，又， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，或，等号成立. 所以的最小值是4； (3) 小问详解： ， ， ， 的最大值为 当且仅当取等号, 所以的最大值为. 23．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得，，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】 由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即 时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． （1）设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； （2）求三角形面积最大值及相应x的值； 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）设，由勾股定理得，，即可求解三角形BCE面积，由 求解x的取值范围； （2）根据题意结合基本不等式求最值，并注意等号成立的条件． (1) 小问详解： ，则．    设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由 ，得． 所以x取值范围是． (2) 小问详解： 因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 25．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）黄冈市某高中“校园农场”于2025年9月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成. （1）若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？总长最小是多少？ （2）现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？面积最大是多少？ 【答案】（1）长和宽分别为和；总长最小为     （2）长和宽分别为和；面积最大为      【分析】 （1）设长方形长和宽分别为，，可得，利用基本不等式可求； （2）设长方形田地的长和宽分别为，，其中，，可得，利用基本不等式可求得面积的最大值. (1) 小问详解： 设长方形长和宽分别为，，其中，.由题意，得. 由基本不等式，，当且仅当，时取等. 即长和宽分别为和，总长最小为. (2) 小问详解： 设长方形田地的长和宽分别为，，其中，，则. 由基本不等式，解得， 当且仅当，时取等号. 即长和宽分别为和，面积最大为. 26．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　. 【答案】 【详解】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可. 【详解】 因为两个正实数，满足， 所以， 则， 当且仅当时取得等号， 所以不等式恒成立，等价为，即， 解得，所以实数的取值范围是，. 故答案为：，. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式解决恒成立问题，解题的关键在于利用基本不等式“1”的妙用，来求不等式的最小值，再将问题等价于，即可求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 27．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.    （1）设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）； （2）当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值. 【答案】（1）     （2），S最小值      【分析】 （1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值. (1) 小问详解： 设，因，则，即， 则 ； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，此时S最小值为（元）. 28．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）若正数，满足，则的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 解：因为正数，满足， 则有，即， ，即， 所以， 当且仅当即，又， 即，时取得最小值，且最小值为． 故答案为：． 29．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】 由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式即可求解； （2）利用乘1法即可求解. 【详解】 （1）， 当且仅当即取等.所以原式最大值为. （2）原式 当且仅当时取等号.所以原式的最小值为. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，则集合中元素个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 无数个 【答案】B 【分析】 解一元二次不等式得，求出集合A，即可求解. 【详解】 由，解得， 所以，共个元素. 故选：B 2．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】 由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 3．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求解一元二次不等式确定集合，再根据交集定义求解. 【详解】 根据题意，集合， 所以. 故选：C 4．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，且，，则实数的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 将原问题转化为不等式在上恒成立，结合对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】 由题意知，， 则不等式在上恒成立， 由对勾函数的性质知，在上单调递增， 所以当时，取到最大值， 即的最大值为. 故选：B 5．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】 由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出两集合，根据交集含义即可得到答案. 【详解】 ，， 则. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）集合，则的子集的个数为（       ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 用列举法表示出集合，然后可得，可得子集个数. 【详解】 解不等式，得，又，故； 解不等式，得，又，故. 所以，所以的子集的个数为. 故选：D 8．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 分别解不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】 解不等式得，记， 解不等式得，记， 因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 根据求解. 【详解】 由题意可得，，得或， 故实数的取值范围是或. 故选：A 10．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解分式不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】 由，即，等价于 ，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以或，则. 故选：B 11．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围． 【详解】 令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，， 题目中p为假命题，所以或， 将不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，， 结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：A． 12．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）设，若关于的不等式在上有解，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过分离参数，得到，由对勾函数单调性求得最大值即可求解. 【详解】 由， 得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为， 所以， 故选：C 13．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】 不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ， ，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 14．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解分式不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】 因为 ， ， 所以. 故选：C 15．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B. {或} C.  D. 或 【答案】A 【分析】 根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集． 【详解】 解：因为不等式的解集为， 的两根为，2，且，即，，解得，， 则不等式可化为，解得，则不等式的解集为． 故选：A. 16．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分和两种情况讨论即可. 【详解】 不等式转化为． 当，即时，恒成立，符合题意． 当时， ，解得． 故的取值范围为． 故选：D. 17．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D.  【答案】AC 【分析】 根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得 ，代入不等式，根据即可判断选项B；根据 ，代入不等式求解，即可判断选项C；根据 ，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】 关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得 ，解得 . 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为 ，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 18．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次不等式和分式不等式的解法，求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】 由不等式，解得，即， 又由不等式，解得，即， 所以. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，且，则的最小值为（       ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【分析】 根据基本不等式列不等式求解即可. 【详解】 因为，所以，即， 令，得， 解得（不符合题意舍去）或， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故选：C 20．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（       ） A. 9 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得 ，所以，且，所以， 所以， 当且仅当 ，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 21．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作出函数的图象，对分类讨论，求解函数的最值，即可根据不等式的性质求解. 【详解】 作出 的大致图象如下： 当时，令，则， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 此时在区间的最大值一定大于，不符合题意，舍去， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时， 若时，在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时，则， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时， 当时，在区间的最小值为， 此时在区间的最小值一定大于0，不符合题意，舍去， 综上可知：的范围为， 故选：D 22．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为, 故答案为： 23．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中），使成立，求m的取值范围　　　　　　； 【答案】 【分析】 根据题意，由求解. 【详解】 因为，使成立， 所以，解得得或． 故答案为： 24．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且 由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. （1）求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； （2）2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ （3）若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【答案】（1）     （2）最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得     （3）      【分析】 （1）利用利润等于收入减去成本，列出函数即可； （2） 利用分段函数求最值，再作比较，即可得最大利润； （3）利用分段函数解不等式，从而可求年接待游客量的取值范围. (1) 小问详解： 当时，；    当时，，    所以 ； (2) 小问详解： 若，即， 当时，万元；    若时，， 当且仅当时，即时，万元，    因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. (3) 小问详解： 当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.    当时，由，即， 解方程，得两根为，    由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 25．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知集合，集合，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求得，，再根据并集的定义求解即可. 【详解】 ，， 所以. 故答案为： 26．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 使用换元法结合不等式的性质求不等式的解集. 【详解】 令，则原不等式： 展开得： 化简得：， 即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负， 即可得 或 ， 解得或； 故，代回： ，，整理得. 故答案为： 27．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可． 【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为， 由韦达定理知，， 所以当且仅当取等号． 【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题． 28．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）若且，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】 由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 29．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知全集，集合. （1）设，，求； （2）在（1）的前提下，命题，，命题，，若与一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解一元二次不等式，求出集合再求； （2）分别求出为真，为真时的范围，再分真假，假两种情况讨论即可得解. (1) 小问详解： ，，所以， (2) 小问详解： 若为真，则，即只需.时取得最小值，所以； 若为真，则，，只需，只需或解得. 若真假，则 ，解得； 若假真，则 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 30．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. （3） 【分析】 （1）根据韦达定理求值. （2）结合已知的思路，探索一元三次方程根与系数的关系. （3）利用（2）的结论，可求的值. 【详解】 （1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 31．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式求得集合，结合集合的补集、交集的运算，即可求解； （2）由题意得到，分和两种情况讨论即可求解. (1) 小问详解： 由，解得， ， 当时，， 或， . (2) 小问详解： 若，则，    ①时，满足，此时，解得；    ② 当时，有 ， 解得 .    综上所述，当时，实数的取值范围是. 32．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）已知集合，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）分类讨论，根据集合中的3个整数，求出范围即可； （2）根据集合B中元素特点，由求范围即可. (1) 小问详解： 当时，，此时中有三个整数，则； 当时，，此时中有1，2，3三个整数，则. 综上所述，或. (2) 小问详解： 表示偶数集， 当时，集合中包含2，则； 当时，集合中包含0，则. 当时，集合中不包含偶数， 所以或. 33．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）已知命题，命题. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出函数的最小值，再根据命题p为真得到关于k的不等式，进而求解k的取值范围， （2）先分别求出命题p和q为假命题时k的取值范围再取交集得到k的最终取值范围. (1) 小问详解： 因为，当，即 时，有最小值4， 又因为命题为真命题，则， 得到，解得， 所以求实数的取值范围是. (2) 小问详解： 由（1）知当命题为假命题时或 ； 又因为命题为假命题， 所以为真命题，所以恒成立， 当时，成立； 当时， ，解得 ； 综上所述当为假命题时. 所以命题和均为假命题时，取交集得到 所以k的最终取值范围. 34．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知命题，，命题，. （1）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）分离参数，再求出右边的最大值即可； （2）分别求出命题和命题为假命题时的范围，再求其交集即可. (1) 小问详解： 当命题为真命题时， 当时，， ，即 实数的取值范围为． (2) 小问详解： 当命题为真命题时，， 解得或， 故为假命题时， 当为假命题时，. 所以命题和命题均为假命题， ，解得， 所以实数的取值范围为． 35．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）16     （2）.      【分析】 （1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值； （2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值. (1) 小问详解： 设草坪的宽为x米，长为y米， 因为两块绿草坪的面积均为400平方米，所以， 因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则，即， 解得，所以草坪宽的最大值为16米； (2) 小问详解： 设整个绿化面积为S平方米， 由题意可得，，当且仅当时取等号， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 36．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： ，，. ，. 不等式的解集为； (2) 小问详解： 由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 37．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设为实数，已知函数． （1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围； （2）设集合． ①若中恰有一个整数，求的取值范围； ②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）①，②.      【分析】 （1）利用根与系数关系可得 ，再将目标式转化为含有、的表达式，进而求范围. （2）① 根据二次函数的性质只需保证 即可求的取值范围；② 由已知可得，又只需保证即可求参数范围. (1) 小问详解： 由题设， 且， ∴. (2) 小问详解： ① 由的开口向上，对称轴为，且判别式恒大于等于0， ∴要使的解集中恰有一个整数，则 ， ∴. ② 由题设，，又， ∴， ，则， ∴. 38．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】（1），     （2）{1}     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以 ，解得， (2) 小问详解： 由，即， 即对于实数时恒成立， 则 ，解得，则x的取值范围为{1} (3) 小问详解： 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 39．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】 因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 40．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. (1) 小问详解： 由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) 小问详解： 由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； (3) 小问详解： 由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 41．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6     （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或.     （3）      【分析】 （1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. (2) 小问详解： 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. (3) 小问详解： 由得， ∵对恒成立， ∴ ， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 42．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）（1）若关于的不等式的解集是，求，的值. （2）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为或. 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）讨论参数a的取值，求不等式解集即可. 【详解】 （1）因为的解集为， 所以与是方程的两根，且， 将代入，得，则， 所以不等式为，转化为，所以原不等式解集为，所以． （2）由，整理得，即， 当时，，故不等式的解集为或； 当时，，不等式为，故其解集为； 当时，，故不等式的解集为或； 综上：① 当时，原不等式解集为或； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为或. 43．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由已知可得： ，解得： . 所以二次函数的表达式为：. (2) 小问详解： 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值 . (3) 小问详解： 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 44．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. （1）设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； （2）不等式组 解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； （3）已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. (1) 小问详解： 由 （等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： ，解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组 的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则 ，解得， ∴实数t的范围为． (3) 小问详解： 二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且 ，即为方程的两根， 得 ，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 45．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】（1）最小值，最大值为；是     （2）     （3）8      【分析】 （1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. (1) 小问详解： 根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. (2) 小问详解： ① 若，则，， 根据题意：，无解； ② 若，则，， 根据题意：，解得：； ③ 若，则，， 根据题意：，解得：； ④ 若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. (3) 小问详解： 因为，则， ① 若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ② 若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当 时取等号， 即 或 时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】 含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）（多选）已知，则下列不等式正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）已知，则下列不等式中恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）（多选）若，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）已知，则下列结论错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）（多选）下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 11．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为　　　　　. 12．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）已知，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）下列各式中最小值等于2的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）若，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（       ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 4．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 0 B.  C.  D. 4 5．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）（多选）若正实数满足，则（       ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 6．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）（多选）下列命题中，真命题有（     ） A. 任意非零实数a,b，都有 B. ，使得 C. 函数的最小值为 D. 若，则的最小值为 7．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）（多选）若，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 8．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知实数满足，则的最小值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）（多选）设正实数，满足，则（     ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 10．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）下列说法正确的是（       ） A. 若，则的最大值为1 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则的最小值为2 D. 函数的最小值为 11．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）已知，，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）（多选）已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 13．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 9 14．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的最小值是9 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 15．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B. 的最大值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为3 16．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）（多选）已知函数，若，则（     ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C.  D. 的最大值为 17．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）（多选）设正实数满足，则下列结论正确的是（       ） A. 的取值范围是 B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为2 18．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 19．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）（多选）已知均为正实数，且，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为5 C.  的最小值为 D. 若，则的最小值为 20．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）（多选）下列是真命题的是（     ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 21．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）（1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围. 22．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知，， （1）若，求的最大值; （2）若，求的最小值; （3）若，求的最大值. 23．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． （1）设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； （2）求三角形面积最大值及相应x的值； 25．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）黄冈市某高中“校园农场”于2025年9月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成. （1）若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？总长最小是多少？ （2）现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？面积最大是多少？ 26．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　. 27．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.    （1）设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）； （2）当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值. 28．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）若正数，满足，则的最小值为　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知，则的最大值为　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）设，求的最小值. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，则集合中元素个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 无数个 2．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为或 3．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，且，，则实数的最大值为（       ） A.  B.  C. 3 D.  5．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·湖北沙中学·期中）集合，则的子集的个数为（       ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 8．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  10．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·湖北十堰八校教联体学校·期中）设，若关于的不等式在上有解，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B. {或} C.  D. 或 16．（25-26学年高一上·湖北襄阳第一中学·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D.  18．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，且，则的最小值为（       ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 20．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（       ） A. 9 B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·湖北十堰·期中），使成立，求m的取值范围　　　　　　； 24．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且 由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. （1）求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； （2）2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ （3）若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 25．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知集合，集合，则　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）若且，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·湖北襄阳·期中）已知全集，集合. （1）设，，求； （2）在（1）的前提下，命题，，命题，，若与一真一假，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 31．（25-26学年高一上·湖北部分学校·期中）已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·湖北鄂东南联考·期中）已知集合，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 33．（25-26学年高一上·湖北楚天协作体·期中）已知命题，命题. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为假命题，求实数的取值范围. 34．（25-26学年高一上·湖北黄石·期中）已知命题，，命题，. （1）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和命题均为假命题，求实数的取值范围. 35．（25-26学年高一上·湖北荆州中学·期中）2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 36．（25-26学年高一上·湖北鄂北六校·期中）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 37．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设为实数，已知函数． （1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围； （2）设集合． ①若中恰有一个整数，求的取值范围； ②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 38．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 39．（高一上·湖北武汉部分重点中学·期中）用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年高一上·湖北武汉部分学校·期中）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 41．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 42．（25-26学年高一上·湖北黄冈浠水县第一中学·期中）（1）若关于的不等式的解集是，求，的值. （2）若，求关于的不等式的解集. 43．（25-26学年高一上·湖北十堰郧阳中学·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 44．（25-26学年高一上·湖北襄阳第四中学·期中）定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. （1）设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； （2）不等式组 解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； （3）已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 45．（25-26学年高一上·湖北十堰东风高级中学·期中）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $