专题01 有理数的加减运算（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题01 有理数的加减运算 （题型突破·举一反三） 题型1 同号、异号两数相加 题型2 互为相反数及与0相加 题型3 加法运算律与简便运算 题型4 减法法则与符号转化 题型5 加减混合运算的统一化 题型6  程序流程图与有理数加减运算 题型7 新定义问题中的加减运算 题型8 实际情境中的应用 ▌题型01 同号、异号两数相加 1. 同号两数相加法则　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加法则　 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数相加　 互为相反数的两个数相加得 0： 4. 一个数与 0 相加　 一个数与 0 相加，仍得这个数： 5. 易错提醒 ① 异号相加时，误将绝对值相加（应为相减）。 ② 确定符号时，忽略“取绝对值较大的加数的符号”。 ③ 混淆同号相加与异号相加的法则。 【典例1】（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】根据有理数加减混合运算规则逐个算出答案即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式； （9）解：原式． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数加法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-4】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． ▌题型02 互为相反数及与0相加 1. 相反数的定义　 只有符号不同的两个数互为相反数。数的相反数是，特别地，的相反数是。 2. 互为相反数的性质 ① 互为相反数的两个数和为 0： 互为相反数 ② 互为相反数的两个数绝对值相等： 3. 与 0 相加　任何数与 0 相加，仍得这个数： 4. 易错提醒 ① 误认为相反数一定一正一负，忽略的相反数是自身。 ② 误认为一定是负数（当为负数时，为正数）。 ③ 混淆相反数与倒数（相反数和为 0，倒数积为 1）。 【典例1】（2026·山西运城·二模）下列选项中与4的和为0的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴与4的和为0的是. 【变式1-1】（2026·江苏无锡·二模）计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 【变式1-2】（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 【变式1-3】（2026·河北张家口·三模）与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 【变式1-4】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）计算：_________． 【答案】 【详解】解：． ▌题型03 加法运算律与简便运算 1. 加法交换律　两个数相加，交换加数的位置，和不变： 2. 加法结合律　三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变： 3. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的数先相加。 ② 同号结合法：将正数与正数、负数与负数分别相加。 ③ 同分母结合法：将同分母的分数先相加。 ④ 相反数结合法：将互为相反数的数先相加得 0。 4. 易错提醒 ① 交换加数位置时，忘记带符号一起交换。 ② 结合律使用不当，导致符号错误。 ③ 分组计算时，漏掉某些加数。 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 【变式1-2】（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】解： ． 【变式1-4】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . ▌题型04 减法法则与符号转化 1. 有理数减法法则　减去一个数，等于加上这个数的相反数： 2. 符号转化要点 ① 减法转化为加法时，减数变为其相反数，被减数不变。 ② 两数相减，若被减数大于减数，差为正；若被减数小于减数，差为负。 ③ 减去一个正数，结果变小；减去一个负数，结果变大。 3. 省略加号的和的形式　 将减法统一成加法后，可省略加号和括号，写成省略加号的和的形式，如： 4. 易错提醒 ① 减法转加法时，只改变减数的符号，忘记改变运算符号。 ② 减去负数时，误将结果写成负数（应变为加法，结果可能为正）。 ③ 省略加号时，符号处理混乱。 【典例1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）按照有理数减法法则，可以转化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法法则． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数． 【详解】解：∵， ∴可以转化为． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌题型05 加减混合运算的统一化 1. 统一化步骤 ① 将减法转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数）。 ② 写成省略加号的和的形式。 ③ 运用加法交换律和结合律进行简便运算。 2. 运算顺序　同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算括号内的。 3. 常见化简形式 ① （因为）。 ② 多重符号化简：看负号个数，奇负偶正。 4. 易错提醒 ① 减法转加法时符号出错。 ② 省略加号后，将负号误认为减号。 ③ 多重括号去括号时，符号处理错误。 【典例1】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）计算下列各题，写出必要的计算过程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】（26-27六年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，运用加法交换律先把符号相同的数结合起来计算，再根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，再运用加法结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌题型06 程序流程图与有理数加减运算 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “”表示加上。 ② “”表示减去，即加上。 ③ “”表示减去。 ④ “取绝对值”表示对当前结果取绝对值。 3. 逆推法求输入值　 若已知输出结果，可沿流程图逆推，逐步还原输入值。逆推时注意运算的逆运算和判断条件的限制。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 逆推时忘记检验结果是否符合判断条件。 【典例1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，这是一个运算程序．若输入，则输出的结果为______． 【答案】3 【详解】解：，，， 不成立， ，，， 成立，则输出的结果为． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，理解流程图是解题关键． 根据流程图计算求解即可． 【详解】解：当输入时，结果为，不能输出； 进入循环，结果得，输出结果； 故选：B． 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值后，根据程序，进行第一次计算后，将第一次计算输出的结果输入进行第二次计算，第二次计算输出的结果是9，则最初输入x的值是____． 【答案】13 【分析】本题主要考查程序运算，解一元一次方程，读懂题意，分情况讨论是解题的关键．根据题意，分情况讨论，再解一元一次方程即可． 【详解】解：若为奇数，则为偶数， 则由题意可得，， 解得，符合条件； 若为偶数，则为奇数， 则由题意可得，， 解得，不符合条件， 综上，最初输入x的值是13． 故答案为：13． 【变式1-4】（25-26七年级上·四川南充·期末）按如图所示的程序运算，当输出的值为1，那么输入的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序图中的一元一次方程，根据程序图得方程，解方程，即可求解． 【详解】解：由程序图得， ， 解得， 故答案为． ▌题型07 新定义问题中的加减运算 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【答案】 【分析】根据题目给出的新定义，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可得 ∵表示小于或等于的最大整数，而小于或等于的最大整数是， ∴， ∴． 【变式1-1】（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 【答案】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）由数轴得：， ， ． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）如果用表示a的全部因数的和，如，那么_______． 【答案】 【分析】根据新定义，分别找出和的全部因数，计算二者的因数和后作差即可得到结果． 【详解】解：先找出的全部因数为，，，，，，因此， 再找出的全部因数为，，，，因此， 计算得． 【变式1-3】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ， ； ，，； ，． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算______________________________________， 异号两数运算________________________________________________________， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍_________________． 【用数学的思维思考】 (2)计算： ①_________； ②_________． (3)若，，求的值． 【答案】(1)结果为正，并把两数的绝对值相加；结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；得这个数 (2)①43；② (3)2 【分析】（1）根据已知等式归纳运算法则即可； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合运算规律即可解答． 【详解】（1）解：两数进行运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：① ； ② ． （3）解：∵， ∴a与同号，即， ． ∵， ∴b与1异号，即， ． ∴． 【变式1-4】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）【新定义】对于任意有理数 a、b，规定． (1)求的值； (2)求的值，并判断“”运算是否满足交换律（即与是否总相等）． 【答案】(1)7 (2)，不满足交换律 【详解】（1）解：． （2）解：． 因为，，，即与不总相等，所以“”运算不满足交换律． ▌题型08 实际情境中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上 +5°C，零下 -3°C。 海拔：高于海平面 +100m，低于海平面 -50m。 盈亏：盈利 +200 元，亏损 -100 元。 方向：向东 +3km，向西 -2km。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数加减法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 比较温度时，误认为 -10°C 比 -5°C 高。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（长度单位：）为：．收工时，检修小组在A地的哪一边？距离A地多远？ 【答案】 收工时，检修小组在地东侧，距离地 【分析】将所有行驶记录求和，根据和的符号判断方向，和的绝对值为距地的距离． 【详解】解： （千米）， ∵， ∴收工时，检修小组在地东侧，距离地， 答：收工时，检修小组在地东侧，距离地． 【变式1-1】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先算所有数字总和，推出每组和，再分类求与． 【详解】解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为， 所有数字总和：， ∵内外两圆总和相等， ∴每个圆 4 数和为， ∵竖线现有，和为， 又∵竖线 4 数和为 ， ∴，即， ∵内圆总和为， ∴， 解得， ∵外圆总和为， ∴，即， 又∵剩余未填数字为与， ∴或， ∴或． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元. 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某天早晨的气温是，到中午升高了，到晚上又降低了，到午夜又降低了．求午夜时的气温．（提示：降低了就是升高了） 【答案】午夜时的气温为． 【详解】解：由题意得 ， 答：午夜时的气温为． 【变式1-4】（2024·河北衡水·模拟预测）佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的加减运算 （题型突破·举一反三） 题型1 同号、异号两数相加 题型2 互为相反数及与0相加 题型3 加法运算律与简便运算 题型4 减法法则与符号转化 题型5 加减混合运算的统一化 题型6  程序流程图与有理数加减运算 题型7 新定义问题中的加减运算 题型8 实际情境中的应用 ▌题型01 同号、异号两数相加 1. 同号两数相加法则　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加法则　 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数相加　 互为相反数的两个数相加得 0： 4. 一个数与 0 相加　 一个数与 0 相加，仍得这个数： 5. 易错提醒 ① 异号相加时，误将绝对值相加（应为相减）。 ② 确定符号时，忽略“取绝对值较大的加数的符号”。 ③ 混淆同号相加与异号相加的法则。 【典例1】 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】根据有理数加减混合运算规则逐个算出答案即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式； （9）解：原式． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数加法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． ▌题型02 互为相反数及与0相加 1. 相反数的定义　 只有符号不同的两个数互为相反数。数的相反数是，特别地，的相反数是。 2. 互为相反数的性质 ① 互为相反数的两个数和为 0： 互为相反数 ② 互为相反数的两个数绝对值相等： 3. 与 0 相加　任何数与 0 相加，仍得这个数： 4. 易错提醒 ① 误认为相反数一定一正一负，忽略的相反数是自身。 ② 误认为一定是负数（当为负数时，为正数）。 ③ 混淆相反数与倒数（相反数和为 0，倒数积为 1）。 【典例1】 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴与4的和为0的是. 【变式1-1】 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 【变式1-2】 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 【变式1-3】 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 【变式1-4】 【答案】 【详解】解：． ▌题型03 加法运算律与简便运算 1. 加法交换律　两个数相加，交换加数的位置，和不变： 2. 加法结合律　三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变： 3. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的数先相加。 ② 同号结合法：将正数与正数、负数与负数分别相加。 ③ 同分母结合法：将同分母的分数先相加。 ④ 相反数结合法：将互为相反数的数先相加得 0。 4. 易错提醒 ① 交换加数位置时，忘记带符号一起交换。 ② 结合律使用不当，导致符号错误。 ③ 分组计算时，漏掉某些加数。 【典例1】 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式1-1】 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 【变式1-2】 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-3】 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】解： ． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . ▌题型04 减法法则与符号转化 1. 有理数减法法则　减去一个数，等于加上这个数的相反数： 2. 符号转化要点 ① 减法转化为加法时，减数变为其相反数，被减数不变。 ② 两数相减，若被减数大于减数，差为正；若被减数小于减数，差为负。 ③ 减去一个正数，结果变小；减去一个负数，结果变大。 3. 省略加号的和的形式　 将减法统一成加法后，可省略加号和括号，写成省略加号的和的形式，如： 4. 易错提醒 ① 减法转加法时，只改变减数的符号，忘记改变运算符号。 ② 减去负数时，误将结果写成负数（应变为加法，结果可能为正）。 ③ 省略加号时，符号处理混乱。 【典例1】 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法法则． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数． 【详解】解：∵， ∴可以转化为． 故选：D． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌题型05 加减混合运算的统一化 1. 统一化步骤 ① 将减法转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数）。 ② 写成省略加号的和的形式。 ③ 运用加法交换律和结合律进行简便运算。 2. 运算顺序　同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算括号内的。 3. 常见化简形式 ① （因为）。 ② 多重符号化简：看负号个数，奇负偶正。 4. 易错提醒 ① 减法转加法时符号出错。 ② 省略加号后，将负号误认为减号。 ③ 多重括号去括号时，符号处理错误。 【典例1】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，运用加法交换律先把符号相同的数结合起来计算，再根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，再运用加法结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌题型06 程序流程图与有理数加减运算 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “”表示加上。 ② “”表示减去，即加上。 ③ “”表示减去。 ④ “取绝对值”表示对当前结果取绝对值。 3. 逆推法求输入值　 若已知输出结果，可沿流程图逆推，逐步还原输入值。逆推时注意运算的逆运算和判断条件的限制。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 逆推时忘记检验结果是否符合判断条件。 【典例1】 【答案】3 【详解】解：，，， 不成立， ，，， 成立，则输出的结果为． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，理解流程图是解题关键． 根据流程图计算求解即可． 【详解】解：当输入时，结果为，不能输出； 进入循环，结果得，输出结果； 故选：B． 【变式1-2】 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【变式1-3】 【答案】13 【分析】本题主要考查程序运算，解一元一次方程，读懂题意，分情况讨论是解题的关键．根据题意，分情况讨论，再解一元一次方程即可． 【详解】解：若为奇数，则为偶数， 则由题意可得，， 解得，符合条件； 若为偶数，则为奇数， 则由题意可得，， 解得，不符合条件， 综上，最初输入x的值是13． 故答案为：13． 【变式1-4】 【答案】 【分析】本题考查了程序图中的一元一次方程，根据程序图得方程，解方程，即可求解． 【详解】解：由程序图得， ， 解得， 故答案为． ▌题型07 新定义问题中的加减运算 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】 【答案】 【分析】根据题目给出的新定义，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可得 ∵表示小于或等于的最大整数，而小于或等于的最大整数是， ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）由数轴得：， ， ． 【变式1-2】 【答案】 【分析】根据新定义，分别找出和的全部因数，计算二者的因数和后作差即可得到结果． 【详解】解：先找出的全部因数为，，，，，，因此， 再找出的全部因数为，，，，因此， 计算得． 【变式1-3】 【答案】(1)结果为正，并把两数的绝对值相加；结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；得这个数 (2)①43；② (3)2 【分析】（1）根据已知等式归纳运算法则即可； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合运算规律即可解答． 【详解】（1）解：两数进行运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：① ； ② ． （3）解：∵， ∴a与同号，即， ． ∵， ∴b与1异号，即， ． ∴． 【变式1-4】 【答案】(1)7 (2)，不满足交换律 【详解】（1）解：． （2）解：． 因为，，，即与不总相等，所以“”运算不满足交换律． ▌题型08 实际情境中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上 +5°C，零下 -3°C。 海拔：高于海平面 +100m，低于海平面 -50m。 盈亏：盈利 +200 元，亏损 -100 元。 方向：向东 +3km，向西 -2km。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数加减法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 比较温度时，误认为 -10°C 比 -5°C 高。 【典例1】 【答案】 收工时，检修小组在地东侧，距离地 【分析】将所有行驶记录求和，根据和的符号判断方向，和的绝对值为距地的距离． 【详解】解： （千米）， ∵， ∴收工时，检修小组在地东侧，距离地， 答：收工时，检修小组在地东侧，距离地． 【变式1-1】 【答案】A 【分析】先算所有数字总和，推出每组和，再分类求与． 【详解】解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为， 所有数字总和：， ∵内外两圆总和相等， ∴每个圆 4 数和为， ∵竖线现有，和为， 又∵竖线 4 数和为 ， ∴，即， ∵内圆总和为， ∴， 解得， ∵外圆总和为， ∴，即， 又∵剩余未填数字为与， ∴或， ∴或． 【变式1-2】 【答案】 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元. 【变式1-3】 【答案】午夜时的气温为． 【详解】解：由题意得 ， 答：午夜时的气温为． 【变式1-4】 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的加减运算 （题型突破·举一反三） 题型1 同号、异号两数相加 题型2 互为相反数及与0相加 题型3 加法运算律与简便运算 题型4 减法法则与符号转化 题型5 加减混合运算的统一化 题型6  程序流程图与有理数加减运算 题型7 新定义问题中的加减运算 题型8 实际情境中的应用 ▌题型01 同号、异号两数相加 1. 同号两数相加法则　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加法则　 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数相加　 互为相反数的两个数相加得 0： 4. 一个数与 0 相加　 一个数与 0 相加，仍得这个数： 5. 易错提醒 ① 异号相加时，误将绝对值相加（应为相减）。 ② 确定符号时，忽略“取绝对值较大的加数的符号”。 ③ 混淆同号相加与异号相加的法则。 【典例1】（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 【变式1-4】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． ▌题型02 互为相反数及与0相加 1. 相反数的定义　 只有符号不同的两个数互为相反数。数的相反数是，特别地，的相反数是。 2. 互为相反数的性质 ① 互为相反数的两个数和为 0： 互为相反数 ② 互为相反数的两个数绝对值相等： 3. 与 0 相加　任何数与 0 相加，仍得这个数： 4. 易错提醒 ① 误认为相反数一定一正一负，忽略的相反数是自身。 ② 误认为一定是负数（当为负数时，为正数）。 ③ 混淆相反数与倒数（相反数和为 0，倒数积为 1）。 【典例1】（2026·山西运城·二模）下列选项中与4的和为0的是（     ） A． B． C． D．4 【变式1-1】（2026·江苏无锡·二模）计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【变式1-3】（2026·河北张家口·三模）与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）计算：_________． ▌题型03 加法运算律与简便运算 1. 加法交换律　两个数相加，交换加数的位置，和不变： 2. 加法结合律　三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变： 3. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的数先相加。 ② 同号结合法：将正数与正数、负数与负数分别相加。 ③ 同分母结合法：将同分母的分数先相加。 ④ 相反数结合法：将互为相反数的数先相加得 0。 4. 易错提醒 ① 交换加数位置时，忘记带符号一起交换。 ② 结合律使用不当，导致符号错误。 ③ 分组计算时，漏掉某些加数。 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【变式1-2】（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【变式1-3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【变式1-4】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． ▌题型04 减法法则与符号转化 1. 有理数减法法则　减去一个数，等于加上这个数的相反数： 2. 符号转化要点 ① 减法转化为加法时，减数变为其相反数，被减数不变。 ② 两数相减，若被减数大于减数，差为正；若被减数小于减数，差为负。 ③ 减去一个正数，结果变小；减去一个负数，结果变大。 3. 省略加号的和的形式　 将减法统一成加法后，可省略加号和括号，写成省略加号的和的形式，如： 4. 易错提醒 ① 减法转加法时，只改变减数的符号，忘记改变运算符号。 ② 减去负数时，误将结果写成负数（应变为加法，结果可能为正）。 ③ 省略加号时，符号处理混乱。 【典例1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）按照有理数减法法则，可以转化为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ▌题型05 加减混合运算的统一化 1. 统一化步骤 ① 将减法转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数）。 ② 写成省略加号的和的形式。 ③ 运用加法交换律和结合律进行简便运算。 2. 运算顺序　同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算括号内的。 3. 常见化简形式 ① （因为）。 ② 多重符号化简：看负号个数，奇负偶正。 4. 易错提醒 ① 减法转加法时符号出错。 ② 省略加号后，将负号误认为减号。 ③ 多重括号去括号时，符号处理错误。 【典例1】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）计算下列各题，写出必要的计算过程． (1)； (2)． 【变式1-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（26-27六年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． ▌题型06 程序流程图与有理数加减运算 1. 程序流程图的理解 ① 按箭头方向依次进行每一步运算。 ② 遇到判断框时，根据条件判断走“是”或“否”分支。 ③ 若结果不满足输出条件，则结果作为新的输入再次进入循环，直到满足条件为止。 2. 常见运算框含义 ① “”表示加上。 ② “”表示减去，即加上。 ③ “”表示减去。 ④ “取绝对值”表示对当前结果取绝对值。 3. 逆推法求输入值　 若已知输出结果，可沿流程图逆推，逐步还原输入值。逆推时注意运算的逆运算和判断条件的限制。 4. 易错提醒 ① 忽略循环结构，只计算一次就输出。 ② 判断条件理解错误，走错分支。 ③ 逆推时忘记检验结果是否符合判断条件。 【典例1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，这是一个运算程序．若输入，则输出的结果为______． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值后，根据程序，进行第一次计算后，将第一次计算输出的结果输入进行第二次计算，第二次计算输出的结果是9，则最初输入x的值是____． 【变式1-4】（25-26七年级上·四川南充·期末）按如图所示的程序运算，当输出的值为1，那么输入的值是______． ▌题型07 新定义问题中的加减运算 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【变式1-1】（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）如果用表示a的全部因数的和，如，那么_______． 【变式1-3】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ， ； ，，； ，． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算______________________________________， 异号两数运算________________________________________________________， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍_________________． 【用数学的思维思考】 (2)计算： ①_________； ②_________． (3)若，，求的值． 【变式1-4】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）【新定义】对于任意有理数 a、b，规定． (1)求的值； (2)求的值，并判断“”运算是否满足交换律（即与是否总相等）． ▌题型08 实际情境中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上 +5°C，零下 -3°C。 海拔：高于海平面 +100m，低于海平面 -50m。 盈亏：盈利 +200 元，亏损 -100 元。 方向：向东 +3km，向西 -2km。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数加减法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 比较温度时，误认为 -10°C 比 -5°C 高。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（长度单位：）为：．收工时，检修小组在A地的哪一边？距离A地多远？ 【变式1-1】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某天早晨的气温是，到中午升高了，到晚上又降低了，到午夜又降低了．求午夜时的气温．（提示：降低了就是升高了） 【变式1-4】（2024·河北衡水·模拟预测）佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $