专题3 特殊四边形存在性问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中数学函数解 拓展提升 如图，若A,B,C,D 四点构成平行四边形， [Xa+xc=xb+xd, 则 [ya+yc=Yb+ya. C(xe,ye) D(xd,ya) B(xb,yo) Axa,ya） 变式训练 1.如图，在平面直角坐 标系中，抛物线y=号(x 1)2-多与x轴交于4， B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C, 顶点为D,以AB为直径 作⊙M.给出下面三个 结论： ①抛物线的对称轴是直 线x=1; 76 专题3： 特殊四边形存在性问题 ⊙考点突破 考点个 平行四边形存在性问题3年316考重点 求解平行四边形存在性问题的一般步骤，如下. 第一步 写出或设出平行四边形四个顶点的坐标 第二步 以对角线为分类标准，分三类讨论，利用 中点坐标公式，求出四个顶点的坐标 检验求出的点是否符合题意，即能否构成 第三步 平行四边形 母题1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x- 5与x轴交于A,C两点，直线BC所对应的函数解析式为 y=-x-5,与y轴交于点B,5OA=OB=OC.若点P是 线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q, 求四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标 交思路分析 已知 未知 抛物线所对应 的函数解析式、 根据平行四边形的判 一次函数的解 定和性质求解 点P的坐标 析式 ®规范解答 解：令y=x2+4x-5=0,解得x1=-5,x2=1,.C(-5, 0),A(1,0),OA=1,OB=OC=5.如图1,2所示， 模块穴函数中动点存在性问题 ②⊙M的面积为4π； ③抛物线上存在点E, 使四边形ACEM为平行 B 四边形. 图1 图2 设点P（x,-x-5)，根据过点P作y轴的平行线交抛物线 于点Q.由四边形OBQP为平行四边形，得Q(x,X+4x-5), .PO=OB=5, 上述结论中，所有正确 结论的序号是 PQ=(-x-5)-(x2+4x-5)=-x2-5x=5, +5+5=0.解得=5含5，=5之5 当x=55时，y=x-5=-55-5=55, 即P(55,55). 2 当x=-5≥5时，y=x5=-5y5-5=5y5, 即p(55,-5+5). ∴点P的坐标为(55，-55)或(55,55). 考点② 矩形存在性问题3年213考难点 易错警示 在构成矩形的四个顶点中任取三个点，必构成直角 先直角， 解决矩形存在性问题时， 三角形，因此，可先确定其中三个点，构造直角三 再矩形 需分以给定线段为边或 角形，再确定第四个点 对角线两种情况讨论. 当AC为对角线时，若点A,B,C,D的坐标满足 以下三个等式，则四边形ABCD为矩形. 先平行， xAt+xc=xB+XD,① 再矩形 Ya+Yc=YB+yD,② V(x-xc)2+(ya-yc)2=(xB-XD)2+(VB-yp)2,3 其中①②是平行四边形的要求，再加上③可判定为 矩形 7 初中数学函数解 变式训练 2.如图，点A在双曲线 y=(x>0)上，点B 在双曲线y(x>0)上， 且AB∥x轴，点C和点 D在x轴上，若四边形 ABCD为矩形，则矩形 ABCD的面积为() ⊙ O D C B.1 C.2 D.3 78 母题2如图，点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上滑 动，点C,D分别在x轴、y轴的负半轴上滑动，四边形 ODMA,四边形OBNC都是矩形.若AB=3,CD=2,则 OM2+ON2= 交思路分析 已知 未知 矩形OBNC, 证明OM+ON2= 矩形ODMA AB+CD2即可 OM2+ON2 ®规范解答 ~点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C,D分别在 x轴、y轴的负半轴上， ∴.∠AOB=∠COD=90 四边形ODMA,四边形OBNC都是矩形，AB=3,CD=2, ∴.∠OBN=∠OAM=90°，BN=OC,AM=OD, OA2+0B2=AB2=9,OD2+0C2=CD2=4, .OM2=042+AM2=042+OD2, ON2=OB2+BN2=OB2+OC2, OM2+ON2=042+OB2+OD2+OC2=AB2+CD2=9+ 4=13. 侣答案 13 考点③ 正方形存在性问题3年198考难点 ①若已知菱形，则证明一个角是直角或对角线相等. 从正方形②若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相 的判定入垂直 手 ③若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他 条件 续表 ①若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般 任取三个顶点必然能构成等腰直角三角形.若已经知 道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第 构造三垂 直全等 三个点，然后进一步求出第四个点· ②若题目中给了四个动点，则先要判断此时的四边形 是否为特殊四边形，在特殊四边形的基础上，添加某 些条件，使其成为一个正方形 母题3如图，抛物线经过A（1,0),B(5,0),C(0, 号)三点，设E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方， 四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形 (1)求抛物线所对应的函数解析式. (2)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形？ 若存在，求点E,F的坐标；若不存在，请说明理由. 交思路分析 已知 未知 抛物线上三点 二次函数的解 利用待定系数法求二 坐标，平行四 次函数的解析式 析式，点E,点 边形OEBF F的坐标 ®规范解答 解：（1)设抛物线所对应的函数解析式为y=ax2+bx+c. :抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0,9), 「a+b+c=0, 则由题意，可得25a+5b+c=0,解得 b=-4, 10 10 C=3 莫块穴函数中动点存在性问题 变式训练 3.如图，在平面直角坐 标系中，已知点A在反 比例函数y=-8(x<0) 的图象上.过点A作 AB⊥x轴，垂足为B. 在AB的右侧，以AB 为斜边作等腰直角三角 形ABC,再过点B作 BP∥AC,交反比例函数 y=-8(x<0)的图象于点P. x 79 初中致学函数》解 ∴抛物线所对应的函数解析式为y= （1)当点A的横坐标 2-4x+9 为-4时，求点C的坐标 （2)存在. 和直线BP所对应的函数 ,当OB⊥EF,且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形， 解析式； （2)当四边形ACBP是 “点E的坐标为(3，-)。 正方形时，求点A的坐 当x=时，y=号2-4x+9-多 3 标. 坐标为(3，-马)的点在该抛物线上， 存在点E(,-多)，使平行四边形OEBF为正方形， 此时点F的坐标为(3，多). © 分层训练 @基础过关 (2)若点P在抛物线的对称轴上， 是否存在点P,Q,使以点A,C, 1.如图，已知直线y=号x+4与x轴交 P,O为顶点的四边形是以AC 于点A,与y轴交于点C,抛物线y= 为对角线的菱形？若存在，请 ax2+bx+c经过A,C两点，且与x 轴的另一个交点为B,对称轴为直线 求出P,Q两点的坐标；若不 x=-1. 存在，请说明理由。 B (1)求抛物线所对应的函数解析式. 80 2.如图，在平面直角坐标系中，双曲线 y=(k≠0)经过点A(1,2),B(2, m).直线AO,BO分别交该双曲线 的另一支于点C,D,顺次连接AB, BC,CD,DA.求证：四边形ABCD 是矩形. 模块穴函数中动点存在性问题 心素养拔高 3.如图，已知点A(1,0),B(4,0), C在y轴的负半轴上，S△Bc=6,P为 直线BC上一点 (1)求直线BC所对应的函数解析式： (2)点Q为平面内任一点，若以点 A,B,P,Q为顶点的四边形是 正方形，求点Q的坐标 81初中数学？函数解 ∴.∠CAB=∠ADO=90° 又.∠AOD=∠COA, ∴.△AOD△COA, 器8册 点A的坐标为（1,2)， .OA=√22+1=√5，OD=1, 是方解得0c=5, 点C的坐标为(5,0). 综上可得，点C的坐标为（√5,0）或 (5,0) 4.解：(1)由题意可得，新抛物线所对 应的函数解析式为y=（x-a)2,.新 抛物线的顶点为A(a,0),∴.OA=a 当x=0时，y=2,∴点B的坐标为(0， a2),即OB=a2. ·△AOB为等腰直角三角形， .OA=OB,.a=d2,解得a=1或 a=0（舍去)，∴.a的值为1. (2)存在. 如图，作点B关于新抛物线对称轴对 称的点C,连接AC,BC,BC交新抛 物线的对称轴于点D. .△AOB是等腰直角三角形， ∴.△ABD是等腰直角三角形， .∠BAD=45° 106 .·AD为新抛物线的对称轴， ∴.∠CAD=∠BAD=45°，AB=AC, .∠BAC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形. 由（1)得，点B的坐标为(0,1)， 新抛物线的对称轴为直线x=1, .点C的坐标为（2,1)， 故存在点C,使△ABC为等腰直角三 角形，点C的坐标为（2,1) 专题3特殊四边形存在性问题 变式训练 1.①根据抛物线的解析式y=)(x-1)2- 多可知其对称轴是直线x=1,顶点坐 标为(1，-)，故①正确； 令y=x-1)2=0,解得x=5+1, x2=1-√5，.AB=25, :⊙M的面积为π(25)2=5元，故 2 ②错误； 当x=0时，y=3×(0-1)23=-2, .点C的坐标为（0，-2). AB为直径， ∴.点M的坐标为(1,0)，AM=√5」 四边形ACEM为平行四边形， .CE∥AM,CE=AM, 点E的坐标为（√5，-2）. 当x=5时，y=3×(5-1)2 35≠-2. .点E不在抛物线上，故③错误. 2.C.·四边形ABCD为矩形， 点A与点B的纵坐标相等，点A与 点D的横坐标相等. 又：点A在双曲线y=(x>0)上， 点B在双曲线y=3(x>0)上， 设A(x,),B(3x,),D(x, 0),则AD=,AB=3x-x=2x, ·.S矩形ABCD=AD·AB=·2x=2。 3.解：(1)令x=-4,则y=-8=2, .A(-4,2),B(-4,0),AB=2 如图1，过点C作CD⊥AB于点D. 图1 .·△ABC是等腰直角三角形， CD=5AB=1,C(-3,1). 设直线AC所对应的函数解析式为y= c+b（k≠0)， 将(-4,2)，(-3,1)分别代入y= kx+b, 「-4k+b=2, 「k=-1, 得-3k+b=, 解得b=-2, .直线AC所对应的函数解析式为y= -x-2 :BP∥AC, ..直线BP的斜率为-1. 设直线BP所对应的函数解析式为y= -x+m,则4+m=0,解得m=-4, :.直线BP所对应的函数解析式为y= 参考答案 -x-4. (2)如图2，当四边形ACBP是正方 形时， B O 图2 设点A的坐标为(a,-8) :以AB为斜边作等腰直角三角形 ABC,CD=AD=BD=号4B=-合 .四边形ACBP是正方形， ..△ABP是等腰直角三角形. :AB⊥x轴，∴.AB和PC互相垂直 平分，点P和点C关于直线AB对称， 点P的坐标为(a+子-鲁) a :点P在反比例函数y=-8(x<0) 的图象上，-4=-8 ,解得a1= a+. -2,a2=2（舍去). a .点A的坐标为(-2,4) 分层训练 1.解：(1)当x=0时，y=专x+4=4, 点C的坐标为(0,4). 当y=0时，等x+4=0, x=-3,点A的坐标为(-3,0). .对称轴为直线x=-1, .点B的坐标为（1,0). 设抛物线所对应的函数解析式为y= a(x-1)(x+3).点C也在抛物线上， 107 初中数学？函数解 .4=-3a,解得a=-3 .抛物线所对应的函数解析式为y= 含(x-1)(x+3)=-号-8x+4 （2)存在点P,Q,使以点A,C,P, Q为顶点的四边形是以AC为对角线的 菱形. 设点P的坐标为（-1，n) 以点A,C,P,Q为顶点的四边形 是以AC为对角线的菱形， .PA=PC,即PA=PC2, .(-1+3)2+n2=1+(n-4)2, 解得m=号点P的坐标为(1，骨). .xp+xo=xA+Xc,yp+yo=y4+yc, ∴.x0=-3-（-1)=-2, %=4号号 点0的坐标为(2,2). 2证明：将A(1,2)代入y=(k≠0)， 得=2、子 将B(2,m)代人y=是得m=1, .点B的坐标为（2,1)， .OA=√+2=√5，OB=√+22= √5，.OA=OB. 由反比例函数图象的对称性可得OA= OC,OB=OD,即OA=OB=OC= OD,∴.四边形ABCD是矩形， 3.解：（1).A（1,0),B(4,0), ∴.AB=3. 1 S△Bc=6,S△ac=2XAB×OC= 1 2×3×0C=6,0C=4. 108 .点C在y轴的负半轴上，∴.C(0,-4) 设直线BC所对应的函数解析式是y= 「4k+b=0,解得 a+b,1b=-4, [k=1, b=-4, .直线BC所对应的函数解析式为y= x-4. （2)如图，分情况讨论： ①当AB是正方形的边时，对应的正方 形为APQ'B ·A（1,0),.点P的横坐标为 1,将x=1代入y=x-4,得y=-3, .P(1,-3). B(4,0),.Q(4,-3). B P ②当AB是正方形的对角线时，对应的 正方形为APBQ.连接PQ AB,PQ是正方形的对角线， .线段AB和线段PQ互相垂直平分， 点户，Q的藏坐标为'号兰- P是直线BC上的点， 将x=代人y=x-4,得y=, P(3-,0(33 综上所述，点Q的坐标为(4，-3)或 3》.