1.5等腰三角形（提升练习）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.如果等腰三角形的顶角为，那么它的底角为（ ） A. B. C. D. 或 2.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 5或11 3.在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 4.如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.如图，在四边形中，，，点从点出发，沿折线方向移动到点停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 6.如图，在中，，，，（ ） A. B. C. D. 7.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8.如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于点M，AD交CE于点N，AD，BE交于点P．则下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形、其中，正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 10.等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是__________． 12.如图，在中，，，平分交于点D，点E是的中点，连接，则的度数为__________． 13.如图，，，若，则______． 14.如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 15.如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 16.如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，等边中，是边上的高，延长到点，使，求证：． 18.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 19.如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 20.如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21.如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 22.小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明． 已知：如图，中，平分 求证：是等腰三角形． 证明：…… （1）请完成证明过程； （2）小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 23.如图①，已知等腰直角中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且于G，AG交BD于F. （1）求证：AF=BE. （2）如图②，当点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明． 24.【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　；（按从小到大写） （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值　 　． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.如果等腰三角形的顶角为，那么它的底角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 2.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A. 5 B. 8 C. 11 D. 5或11 【答案】A 3.在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 【答案】C 4.如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，在四边形中，，，点从点出发，沿折线方向移动到点停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 【答案】C 6.如图，在中，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 8.如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于点M，AD交CE于点N，AD，BE交于点P．则下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形、其中，正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】 10.等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是__________． 【答案】或 12.如图，在中，，，平分交于点D，点E是的中点，连接，则的度数为__________． 【答案】 13.如图，，，若，则______． 【答案】 14.如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 15.如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 16.如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，等边中，是边上的高，延长到点，使，求证：． 【答案】∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 18.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19.如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 20.如图，在中，，是的平分线，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 21.如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵，平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠AFE∠ACB， ∴ 22.小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明． 已知：如图，中，平分 求证：是等腰三角形． 证明：…… （1）请完成证明过程； （2）小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ = 90°． 在和中， ∴； ∴，是等腰三角形． 【小问2详解】 解：中线． 方法1： 如图1，过点D作于点E，于点F． ∵ 平分， ∴，． ∵ D是中点， ∴ ． ∴； ∴ ， ∴是等腰三角形． 方法2： 如图2，延长至点E，使，连接． ∵ D是中点， ∴ ． 在和中， ∴； ∴ ． ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形． 23.如图①，已知等腰直角中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且于G，AG交BD于F. （1）求证：AF=BE. （2）如图②，当点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明． 【答案】（1）∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线， ∴BD=ADAC，∠ADB=90°， ∴∠1+∠GAD=90°． ∵AG⊥BE于G， ∴∠2+∠DBE=90°． ∵∠1=∠2， ∴∠DAF=∠DBE． 在△AFD和△BED中， ∵， ∴△AFD≌△BED（ASA）， ∴AF=BE； （2）①的结论还能成立．证明如下： ∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线， ∴BD=ADAC，∠ADB=90°， ∴∠DBE+∠DEB=90°． ∵AG⊥BE于G， ∴∠GBF+∠F=90°． ∵∠DBE=∠GBF， ∴∠F=∠DEB． 在△AFD和△BED中， ∵， ∴△AFD≌△BED（AAS）， ∴AF=BE； 24.【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 （1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　；（按从小到大写） （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值　 　． 【答案】解：【理解】如图1，如图2所示， 【应用】 （1）①如图3， 当∠A＝24°，CD为“好线”， 则AD＝CD，BD＝BC，故这个三角形最大内角是∠B＝84°； ②如图4， 当∠A＝24°，CD为“好线”， 则AD＝CD＝BC，这个三角形最大内角是∠ACB＝108°； ③如图5， 当∠A＝24°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°， ④如图6， 当∠A＝24°时，BD为“好线”， 则AD＝AB，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ABC＝117°， 当∠A＝24°时，CD为“好线”，则AD＝CD，DC＝BD时，故这个三角形最大内角是∠ABC＝90°， 综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或90°或108°或117°， 故答案为：84°或90°或108°或117°； （2）设∠B＝x， ①当AD＝DE时，如图1（a）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠DAE＝2x， ∴27°×2+2x+x＝180°， ∴x＝42°， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1（b）， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠ADE＝2x， ∴2x+x＝27°+27°， ∴x＝18°， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90°﹣x+27°+27°+x＝180°， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：∠B的度数的所有可能值为42°或18°， 故答案为：42°或18°． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $