3.3 轴对称与坐标变化（讲义）数学新教材北师大版八年级上册.

第三章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 课标要点 1.经历观察、猜想、归纳的探究过程，探索点关于轴、轴对称的坐标规律，体会数形结合思想，积累几何坐标探究的活动经验。 2.掌握点关于坐标轴、原点对称的坐标特征，可以实现“已知点求对称点”“已知对称关系求参数”两类双向计算。 3.理解图形轴对称与顶点坐标变化的关系，能根据坐标变化画出简单图形对称后的图形，能依据坐标变化判断图形的对称方式。 4.会运用轴对称与坐标变化解决线段、面积、简单最短路径问题，发展几何直观与推理意识。 学习重难点 重点： 1.熟记点关于轴、轴对称的坐标规律：关于轴对称横不变、纵变号；关于轴对称纵不变、横变号。 2.掌握图形对称作图方法：只需变换图形各个顶点坐标，描点后顺次连接顶点即可得到对称图形。 3.能够结合对称规律进行计算，解决对称点求坐标、求参数、线段长度、图形面积基础题型。 难点： 1.容易混淆关于轴、轴对称的符号变化，做题出现横纵坐标符号记反的低级错误。 2.实现图形与坐标双向互推：既能由图形对称推导坐标变化，也能通过坐标变化想象图形对称变换。 3.综合题型中融合象限、距离、中点、参数，容易忽略条件限制，产生错解、漏解。 4.理解坐标背景下最短路径原理，会利用作对称点把折线段转化为直线段，建立数形转化的几何直观。 知识点 点关于轴对称的坐标规律 定义：在平面直角坐标系中，若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点关于轴的对称点坐标为。两点连线垂直于轴，两点到轴的距离相等。 特别提醒 轴上的点关于轴对称，对称点是它本身；判断两点是否关于轴对称：看横坐标是否相等，纵坐标是否互为相反数。 易错提醒 容易和轴对称规律记反，错误写成横坐标变号，纵坐标不变；负数取相反数计算出错，如点关于轴对称错写为；混淆“关于轴对称”与“平行于轴”的坐标特征。 教材延伸 关于轴对称，本质是以轴为对称轴做翻折变换，后续学习一次函数、二次函数图像翻折时会反复用到该坐标变换规则。 随学随练 1．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 4．若点关于轴的对称点是，则______________． 5．在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 知识点 点关于轴对称的坐标规律 基本概念：在平面直角坐标系中，若两点关于轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数。点关于轴的对称点坐标为。两点连线垂直于轴，两点到轴的距离相等。 特别提醒 轴上的点关于轴对称，对称点是它本身；判断两点是否关于轴对称：看纵坐标是否相等，横坐标是否互为相反数。 易错提醒 高频错误：把轴对称规律混淆，错写成纵坐标变号；当横坐标本身为负数时，取相反数容易符号出错，如关于轴对称错写为；做题只记公式，不在脑海中想象坐标系图像，导致符号反复出错。 教材延伸 轴对称对应图像左右翻折，在函数图像对称、图案设计、网格作图题中是基础工具，也是中考作图常考考点。 随学随练 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 4．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 5．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 知识点 图形的轴对称与坐标变换 定义：一个平面图形关于坐标轴做轴对称变换，只需要将图形每一个顶点做对应的对称坐标变换，再按照原图形顶点顺序依次连接各对称点，即可得到对称后的图形。 横坐标不变，纵坐标全部 图形关于轴对称；纵坐标不变，横坐标全部 图形关于轴对称；变换前后图形的形状、大小、边长、面积完全不变，仅位置发生改变。 特别提醒 图形变换必须所有顶点同步变换，不能只变换部分点；描点之后连接顶点的顺序必须和原图保持一致，否则图形会变形。 易错提醒 只变换一部分顶点坐标，剩余顶点不变；顶点算对，但是连线顺序错乱，画出错误图形；混淆坐标乘对应的对称轴，分不清是关于还是轴对称。 教材延伸 实现“图形变换”与“坐标运算”互相转化，是数形结合的典型体现；以后学习函数图像平移、翻折、旋转全部沿用这套“处理顶点”的思想。 随学随练 1．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的（A，B，C的对应点分别是，，）； (2)写出点和的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求的面积． (2)作关于轴的对称图形． 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A，D的坐标； (3)写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 知识点 点到坐标轴距离与对称综合 概念：点到轴距离，点到轴距离。轴对称变换后，点到对称轴的距离保持不变：关于轴对称，两点到轴距离相等；关于轴对称，两点到轴距离相等。 特别提醒 距离一定是非负数，计算距离必须带绝对值；已知距离反求坐标，坐标有正负两种可能，需要结合象限条件确定符号。 易错提醒 求距离忘记加绝对值，算出负数距离；混淆：到轴看纵坐标，到轴看横坐标；已知距离求对称点，忽略象限限制，不做取舍，出现多解错解。 教材延伸 距离公式结合对称，常用于坐标系求线段长、图形底和高，是坐标求面积类计算题的核心工具。 随学随练 1．在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是（　　） A．2 B． C．6 D． 2．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 3．在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 4．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 5．在平面直角坐标系中，点G的坐标为． (1)若点G在x轴上，求点G的坐标； (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标． 6．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 知识点 坐标系下将军饮马（最短路径） 定义：在坐标轴上找一动点，使得最小。利用轴对称 “化折为直”：作其中一个定点关于动点所在坐标轴的对称点，连接对称点与另一个定点，与坐标轴交点即为动点，线段长度就是最小值。 特别提醒 动点在轴上，就作轴对称点；动点在轴上，就作轴对称点；依据：两点之间，线段最短。 易错提醒 对称点作错坐标轴；直接连接找交点，没有做对称变换；只会机械背步骤，不理解 “化折为直” 的几何原理。 教材延伸 将军饮马是初中几何经典模型，放在坐标系背景下综合考查，八上打好基础，八下、九年级几何、函数压轴会多次出现。 随学随练 1．如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 3．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 4．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 5．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 拓展 轴对称与坐标变化中的数形结合 依托平面直角坐标系，搭建代数坐标与几何图形对称之间的桥梁，实现以数释形、以形助数双向转化。利用坐标符号变化判断点和图形的对称变换；借助坐标系图形直观理解记忆对称坐标规律；运用坐标代数计算求解线段长度、图形面积、最短路径等几何问题，打通代数与几何的思维壁垒。 素养拓展要点 1.会通过坐标数值变化判断图形发生的轴对称、中心对称变换； 2.遇到符号易混淆的规律，借助坐标系画图辅助理解，减少计算错误； 3.能够用坐标运算解决几何求值、最值类习题，为本册后续函数学习做好铺垫。 活学活用 1．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 2．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 拓展 轴对称与坐标系中的几何直观素养 借助坐标系图像开展观察、猜想、归纳活动，自主总结x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律；能够依据轴对称的几何性质，推理得到对称点距离相等、折线段最短路径等结论；处理参数求解、作图、最短路径题型时做到有理有据，摒弃机械套公式的做题习惯，养成严谨的逻辑思维，为后期几何证明、综合压轴题打基础。 素养拓展要点 1.经历从图像观察到归纳坐标规律的过程，提升归纳推理能力； 2.做题要能说出解题依据，不凭主观感觉做题； 3.综合题型中会结合象限、距离、对称多条件分析，规避漏解、错解。 活学活用 1．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的． (2)在轴上找出一点，使最小； (3)请用无刻度的直尺，在轴负半轴上找出一点，使． 2．在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 题型 求点关于x轴对称的坐标 解题贴士 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数。公式：，x轴上的点，对称点是本身. ▌例1 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型 求点关于y轴对称的坐标 解题贴士 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数。公式：，y 轴上的点，对称点是本身. ▌例1在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 题型 已知两点轴对称，求参数的值 解题贴士 x轴对称：横相等、纵相反；y轴对称：纵相等、横相反；列方程求解，必须代回验证. ▌例1在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． ▌例2 已知点与点关于轴对称，则________． ． ▌对点练1-1已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 ▌对点练1-2若点与点关于轴成轴对称，则______． ▌对点练1-3 已知与点关于x轴对称，则______． ▌对点练1-4 已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 题型 根据对称作轴对称图形 解题贴士 找出原图所有顶点；逐个求出每个顶点的对称点坐标；在坐标系描出全部对称顶点；按原图顶点顺序依次连线。 口诀：先求点，再描点，最后顺次连线。 ▌例1在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． ▌对点练1-1如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并写出点E的坐标． 题型 根据轴对称变换后，求多边形面积 解题贴士 轴对称前后图形全等，面积相等。可以直接算原图形面积，不用重新算对称图形；用割补法求坐标图形面积. ▌例1如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． (1)画出，使与关于y轴对称． (2)求的面积． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 题型 坐标系内与轴对称有关的最短路径 解题贴士 作其中一个定点关于坐标轴的对称点；连接对称点和另外一个定点；连线与坐标轴交点即为所求 P； 典型特征：定点A、B，在x轴（或y轴）找一点P，使最小； 原理：轴对称转化线段，两点之间线段最短。 ▌例1 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． ▌对点练1-1如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． ▌对点练1-2如图所示，在平面直角坐标系中，已知 (1)在平面直角坐标系中画出，并求出的面积； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_____； (3)已知在轴上移动时，在（2）的条件下，求最小值． ▌对点练1-3 【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 题型7 坐标系动点问题（无函数） 解题贴士 设动点坐标；利用轴对称性质：对应点到对称轴距离相等；列等式，分情况讨论，不要漏掉多解；算出结果后带回检验，排除不符合题意的解. ▌例1如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．若点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．点到轴的距离是 B．点到轴的距离是 C．点关于轴对称的点的坐标是 D．点关于轴对称的点的坐标是 6．如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 7．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 8．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC与关于x轴对称，则点A的对应点的坐标为______． 10．如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____；点的坐标为_____． 12．如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别是点、、； (2)在（1）的条件下，点、之间的距离为___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； (2)写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； (3)求的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 素养提升 1．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 4．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的有（    ）个 ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ②点位于第三象限； ③点到轴的距离为； ④点和点关于轴对称，则的值为； ⑤若，则点在第一、三象限角平分线上． A． B． C． D． 6．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 8．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 10．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 11．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出各个顶点的坐标； (2)分别写出顶点A关于x轴对称的点的坐标和顶点B关于y轴对称的点的坐标； (3)求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 13．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 迁移创新 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 课标要点 1.经历观察、猜想、归纳的探究过程，探索点关于轴、轴对称的坐标规律，体会数形结合思想，积累几何坐标探究的活动经验。 2.掌握点关于坐标轴、原点对称的坐标特征，可以实现“已知点求对称点”“已知对称关系求参数”两类双向计算。 3.理解图形轴对称与顶点坐标变化的关系，能根据坐标变化画出简单图形对称后的图形，能依据坐标变化判断图形的对称方式。 4.会运用轴对称与坐标变化解决线段、面积、简单最短路径问题，发展几何直观与推理意识。 学习重难点 重点： 1.熟记点关于轴、轴对称的坐标规律：关于轴对称横不变、纵变号；关于轴对称纵不变、横变号。 2.掌握图形对称作图方法：只需变换图形各个顶点坐标，描点后顺次连接顶点即可得到对称图形。 3.能够结合对称规律进行计算，解决对称点求坐标、求参数、线段长度、图形面积基础题型。 难点： 1.容易混淆关于轴、轴对称的符号变化，做题出现横纵坐标符号记反的低级错误。 2.实现图形与坐标双向互推：既能由图形对称推导坐标变化，也能通过坐标变化想象图形对称变换。 3.综合题型中融合象限、距离、中点、参数，容易忽略条件限制，产生错解、漏解。 4.理解坐标背景下最短路径原理，会利用作对称点把折线段转化为直线段，建立数形转化的几何直观。 知识点 点关于轴对称的坐标规律 定义：在平面直角坐标系中，若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点关于轴的对称点坐标为。两点连线垂直于轴，两点到轴的距离相等。 特别提醒 轴上的点关于轴对称，对称点是它本身；判断两点是否关于轴对称：看横坐标是否相等，纵坐标是否互为相反数。 易错提醒 容易和轴对称规律记反，错误写成横坐标变号，纵坐标不变；负数取相反数计算出错，如点关于轴对称错写为；混淆“关于轴对称”与“平行于轴”的坐标特征。 教材延伸 关于轴对称，本质是以轴为对称轴做翻折变换，后续学习一次函数、二次函数图像翻折时会反复用到该坐标变换规则。 随学随练 1．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的规律求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称的点的坐标为． 2．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 3．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称点的坐标规律，用到的知识点是：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴的对称点坐标是． 4．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 5．在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得，， 解得， 知识点 点关于轴对称的坐标规律 基本概念：在平面直角坐标系中，若两点关于轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数。点关于轴的对称点坐标为。两点连线垂直于轴，两点到轴的距离相等。 特别提醒 轴上的点关于轴对称，对称点是它本身；判断两点是否关于轴对称：看纵坐标是否相等，横坐标是否互为相反数。 易错提醒 高频错误：把轴对称规律混淆，错写成纵坐标变号；当横坐标本身为负数时，取相反数容易符号出错，如关于轴对称错写为；做题只记公式，不在脑海中想象坐标系图像，导致符号反复出错。 教材延伸 轴对称对应图像左右翻折，在函数图像对称、图案设计、网格作图题中是基础工具，也是中考作图常考考点。 随学随练 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 2．已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，利用该规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴则它关于轴对称的点的坐标为． 3．在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征及平方差公式的应用，本题先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出和的值，再运用平方差公式计算的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴，， ∴． 故选：A． 4．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 5．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【答案】5 【分析】根据关于轴对称的点的坐标性质：关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 知识点 图形的轴对称与坐标变换 定义：一个平面图形关于坐标轴做轴对称变换，只需要将图形每一个顶点做对应的对称坐标变换，再按照原图形顶点顺序依次连接各对称点，即可得到对称后的图形。 横坐标不变，纵坐标全部 图形关于轴对称；纵坐标不变，横坐标全部 图形关于轴对称；变换前后图形的形状、大小、边长、面积完全不变，仅位置发生改变。 特别提醒 图形变换必须所有顶点同步变换，不能只变换部分点；描点之后连接顶点的顺序必须和原图保持一致，否则图形会变形。 易错提醒 只变换一部分顶点坐标，剩余顶点不变；顶点算对，但是连线顺序错乱，画出错误图形；混淆坐标乘对应的对称轴，分不清是关于还是轴对称。 教材延伸 实现“图形变换”与“坐标运算”互相转化，是数形结合的典型体现；以后学习函数图像平移、翻折、旋转全部沿用这套“处理顶点”的思想。 随学随练 1．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的（A，B，C的对应点分别是，，）； (2)写出点和的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)， 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求的面积． (2)作关于轴的对称图形． 【答案】(1)； (2)即为所求： 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算以及关于轴对称的图形的绘制，核心知识点为：平行于轴的线段长度计算、三角形面积公式、关于轴对称的点的坐标特征． （1）先根据、两点纵坐标相同判断平行于轴，计算的长度作为底，再求出到的垂直距离作为高，最后代入三角形面积公式求解； （2）利用关于轴对称的点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的特征，求出三个顶点的对称点坐标，再顺次连接各对称点得到对称图形． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴，， 点到的垂直距离为， ∴； （2）解：根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，在平面直角坐标系中顺次连接、、三点，所得即为关于轴的对称图形． 3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A，D的坐标； (3)写出点关于轴的对称点的坐标，连接，，求出的面积． 【答案】(1) 依题意，平面直角坐标系如图所示： (2)， (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，轴对称的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合点的坐标为，点的坐标为，建立正确的平面直角坐标系，即可作答． （2）直接读取点A，D的坐标，进行作答； （3）先描出的坐标，再运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，，； （3）解：∵点关于轴的对称点的坐标，点的坐标为， ∴的坐标为， ∴的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(1)如图，即为所作；(2)如图，即为所作： (3) 知识点 点到坐标轴距离与对称综合 概念：点到轴距离，点到轴距离。轴对称变换后，点到对称轴的距离保持不变：关于轴对称，两点到轴距离相等；关于轴对称，两点到轴距离相等。 特别提醒 距离一定是非负数，计算距离必须带绝对值；已知距离反求坐标，坐标有正负两种可能，需要结合象限条件确定符号。 易错提醒 求距离忘记加绝对值，算出负数距离；混淆：到轴看纵坐标，到轴看横坐标；已知距离求对称点，忽略象限限制，不做取舍，出现多解错解。 教材延伸 距离公式结合对称，常用于坐标系求线段长、图形底和高，是坐标求面积类计算题的核心工具。 随学随练 1．在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是（　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离． 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，与横坐标无关． 【详解】解：点的坐标为，其纵坐标为，因此到轴的距离为． 故选A． 2．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5， ∴，且， ∴， 解得， 此时，符合题意． 3．在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离的性质，根据点到x轴距离为纵坐标的绝对值，到y轴距离为横坐标的绝对值，列出绝对值方程求解即可. 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，点坐标为， 点到轴的距离为，到轴的距离为. 点到轴的距离等于到轴的距离， . 分两种情况求解： ① 当时，解得； ② 当时，解得. 因此的值为或. 4．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 【答案】或 【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离为，到轴的距离为，由点到两坐标轴距离相等列出绝对值方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； ∴的值为或． 5．在平面直角坐标系中，点G的坐标为． (1)若点G在x轴上，求点G的坐标； (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，列出方程求解； （2）根据G到x轴、y轴的距离相等，列出含绝对值的方程求解． 【详解】（1）解：∵点G在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点G的坐标为； （2）解：∵点G到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或． 6．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）轴上所有点的横坐标为，因此令横坐标，求出后代入纵坐标计算即可． （2）平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此点纵坐标等于点纵坐标，先求，再算横坐标． （3）第二象限内点特征：横坐标，纵坐标；点到轴距离=纵坐标绝对值，到轴距离=横坐标绝对值；距离相等即，结合第二象限正负去绝对值列方程求解． 【详解】（1）解：点在轴上， 横坐标为， 即， 解得：， 将代入纵坐标：， 点的坐标为． （2）解：轴， 、两点纵坐标相等， 即， 解得：， 将代入横坐标：， 点的坐标为． （3）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∵点到轴、轴距离相等， ∴， 移项得：， ， 解得：， 验证：时，，，符合第二象限条件． ． 知识点 坐标系下将军饮马（最短路径） 定义：在坐标轴上找一动点，使得最小。利用轴对称 “化折为直”：作其中一个定点关于动点所在坐标轴的对称点，连接对称点与另一个定点，与坐标轴交点即为动点，线段长度就是最小值。 特别提醒 动点在轴上，就作轴对称点；动点在轴上，就作轴对称点；依据：两点之间，线段最短。 易错提醒 对称点作错坐标轴；直接连接找交点，没有做对称变换；只会机械背步骤，不理解 “化折为直” 的几何原理。 教材延伸 将军饮马是初中几何经典模型，放在坐标系背景下综合考查，八上打好基础，八下、九年级几何、函数压轴会多次出现。 随学随练 1．如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，先做A关于x轴的对称点，再链接，由图象求交点坐标即可． 【详解】解：点A关于x轴的对称点为， 连接，交x轴于点P， 由图象得：点P的坐标为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 3．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长度，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 4．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 5．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 拓展 轴对称与坐标变化中的数形结合 依托平面直角坐标系，搭建代数坐标与几何图形对称之间的桥梁，实现以数释形、以形助数双向转化。利用坐标符号变化判断点和图形的对称变换；借助坐标系图形直观理解记忆对称坐标规律；运用坐标代数计算求解线段长度、图形面积、最短路径等几何问题，打通代数与几何的思维壁垒。 素养拓展要点 1.会通过坐标数值变化判断图形发生的轴对称、中心对称变换； 2.遇到符号易混淆的规律，借助坐标系画图辅助理解，减少计算错误； 3.能够用坐标运算解决几何求值、最值类习题，为本册后续函数学习做好铺垫。 活学活用 1．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)， 则点 (2) (3) 【分析】（1）确定三角形顶点的坐标关于轴的对称点即可求解； （2）利用割补法求解面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点即为所求． 【详解】（1）解：由题可知点的坐标为，则关于轴对称点; （2）解：的面积为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短，∴最小，则最小． 2．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)2 (2)解：， 证明：作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由关于y轴的对称点的坐标为，得，，则，，由，，求得 （2）作交的延长线于点F，则，由，，，可证明，得，，由，，得，而，可证明，得，所以，则． 【详解】（1）解： 关于y轴的对称点的坐标为， ，， ，， ，， ，， ， 的面积为． （2）略 拓展 轴对称与坐标系中的几何直观素养 借助坐标系图像开展观察、猜想、归纳活动，自主总结x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律；能够依据轴对称的几何性质，推理得到对称点距离相等、折线段最短路径等结论；处理参数求解、作图、最短路径题型时做到有理有据，摒弃机械套公式的做题习惯，养成严谨的逻辑思维，为后期几何证明、综合压轴题打基础。 素养拓展要点 1.经历从图像观察到归纳坐标规律的过程，提升归纳推理能力； 2.做题要能说出解题依据，不凭主观感觉做题； 3.综合题型中会结合象限、距离、对称多条件分析，规避漏解、错解。 活学活用 1．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的． (2)在轴上找出一点，使最小； (3)请用无刻度的直尺，在轴负半轴上找出一点，使． 【答案】(1)如图所示 (2)如图所示，作点关于轴的对称点，再连接，，与轴的交点即为点； (3)如图所示，作，连接，得到等腰，再延长与轴的交点即为点． 2．在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)S (2) (3)或 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，中点坐标公式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）点关于x轴的对称点，，从而得出S是点C关于（点B，x轴）的中似点， （2）线段关于直线l的对称线段是，其中，线段关于直线l的对称线段是，其中，当时，，当时，，进而得出结果； （3）当P关于的对称点在y轴时，，此时，当点P关于的对称点在y轴上时，，此时，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1， ∵点关于x轴的对称点，， ∴S是点C关于（点B，x轴）的中似点， 故答案为：S； （2）如图2， 线段关于直线l的对称线段是，其中， 当时，， 当时，， ∴； （3）如图， 设直线与直线的交点记作， 点B关于直线m的对称点，点E关于直线m的对称点， 当y轴上只有两点时，P关于上一点的对称点在y轴上， 当P关于的对称点在y轴时，，此时， 当点P关于的对称点在y轴上时，，此时， ∴， 如图， 当x轴上只有两点时， 当P关于的对称点在x轴时， ，此时， 当P关于的对称点在y轴时， ，此时， ∴， 综上所述：或． 题型 求点关于x轴对称的坐标 解题贴士 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数。公式：，x轴上的点，对称点是本身. ▌例1 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解，关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为； 故选：C． ▌对点练1-1．点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数． 【详解】解:∵点关于轴对称的坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，原点坐标为， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． ▌对点练1-2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是． 题型 求点关于y轴对称的坐标 解题贴士 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数。公式：，y 轴上的点，对称点是本身. ▌例1在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标规律． 关于y轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标为． 故选：A． ▌对点练1-1点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中，点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． ▌对点练1-2.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系内点关于轴对称的坐标变化规律，直接变换横坐标符号、纵坐标不变，得到对称点坐标，匹配对应选项． 【详解】解：∵点关于轴对称的点坐标为， ∴点关于轴对称的点坐标为． 题型 已知两点轴对称，求参数的值 解题贴士 x轴对称：横相等、纵相反；y轴对称：纵相等、横相反；列方程求解，必须代回验证. ▌例1在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标性质，解题关键是掌握“关于轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数”，易错点是混淆轴对称的坐标规律，解题思路为：根据关于轴对称的点的坐标性质求出、的值，进而计算． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴（横坐标相等）， （纵坐标互为相反数）， ∴； 故选：C． ▌例2 已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． ▌对点练1-1已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． ▌对点练1-2若点与点关于轴成轴对称，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． ▌对点练1-3 已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． ▌对点练1-4 已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 题型 根据对称作轴对称图形 解题贴士 找出原图所有顶点；逐个求出每个顶点的对称点坐标；在坐标系描出全部对称顶点；按原图顶点顺序依次连线。 口诀：先求点，再描点，最后顺次连线。 ▌例1在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)解：，，， (2)解：如图， 对称点坐标为，，，. ▌对点练1-1如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求，则． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并写出点E的坐标． 【答案】如图，即为所求． 点E的坐标为． 题型 根据轴对称变换后，求多边形面积 解题贴士 轴对称前后图形全等，面积相等。可以直接算原图形面积，不用重新算对称图形；用割补法求坐标图形面积. ▌例1如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵点A的坐标为， ∴顶点关于轴对称的点的坐标为； （3）解：由题意得 ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． (1)画出，使与关于y轴对称． (2)求的面积． 【答案】(1)即为所求： (2)解：的面积 ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解： ， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 题型 坐标系内与轴对称有关的最短路径 解题贴士 作其中一个定点关于坐标轴的对称点；连接对称点和另外一个定点；连线与坐标轴交点即为所求 P； 典型特征：定点A、B，在x轴（或y轴）找一点P，使最小； 原理：轴对称转化线段，两点之间线段最短。 ▌例1 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 【答案】(1)（1）解：的面积； (2)如图，即为所作： (3)如图，点P即为所求，，10 ▌对点练1-1如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 【答案】(1) 点，， (2) 点的坐标是． ▌对点练1-2如图所示，在平面直角坐标系中，已知 (1)在平面直角坐标系中画出，并求出的面积； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_____； (3)已知在轴上移动时，在（2）的条件下，求最小值． 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2) (3) 【分析】（1）先描点，再画出，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为最小值，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； （2）解：因为点与点关于轴对称，则点的坐标为； （3）解：如图， ∵， 作点关于轴的对称点，则，， ∴， 的最小值． ▌对点练1-3 【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)5 【分析】（1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，进而得到，根据两点间的距离公式求出的长即可. 【详解】（1）解：∵、、， ∴；；； （2）解：作点关于轴的对称点，连接， ∵点M的坐标为，点P是x轴上的动点， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，求的值最小，为的长， ∵，点N的坐标为， ∴. 题型7 坐标系动点问题（无函数） 解题贴士 设动点坐标；利用轴对称性质：对应点到对称轴距离相等；列等式，分情况讨论，不要漏掉多解；算出结果后带回检验，排除不符合题意的解. ▌例1如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需1秒，然后求出前几秒点的坐标，归纳规律并运用规律求解即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2023秒时，点P的坐标是，即选项C符合题意。 基础通关 1．已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的坐标变换规律，直接利用规律即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，的相反数为，纵坐标保持不变， ∴点关于轴的对称点坐标为． 2．如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据轴上点的纵坐标为求出的值，再确定点的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 3．蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，根据关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对应点为，点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 4．若点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值，再代入计算幂即可得到结果. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴. 5．下列说法正确的是（    ） A．点到轴的距离是 B．点到轴的距离是 C．点关于轴对称的点的坐标是 D．点关于轴对称的点的坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，点到轴的距离为，到轴的距离为，关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是． 【详解】A、点到轴的距离是，说法错误，该选项不符合题意； B、点到轴的距离是，说法错误，该选项不符合题意； C、点关于轴对称的点的坐标是，说法错误，该选项不符合题意； D、点关于轴对称的点的坐标是，说法正确，该选项符合题意． 故选：D 6．如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 7．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 8．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 【答案】 【分析】根据坐标变换得到点与点的坐标特征，结合对称点的坐标特征判断对称轴即可． 【详解】解：设点的坐标为 由题意得，变换后点的坐标为 根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于轴对称． 可得点与点关于轴对称． 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC与关于x轴对称，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】点关于x轴对称的点坐标为． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴点A的对应点的坐标为． 10．如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，正比例函数的图象．由关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换，进行解答即可． 【详解】解：∵关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换， ∴点关于对称的点的坐标为， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____；点的坐标为_____． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， 【分析】本题考查了轴对称作图，坐标与图形等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于x轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴关于x轴对称的点坐标分别为，，， 故答案为：，，． 12．如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 【答案】(1)见解析 (2)，1；，；， 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点 的坐标，再描点，连线画出对应的图形即可； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：由（1）得． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别是点、、； (2)在（1）的条件下，点、之间的距离为___________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求． (2)10 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图象可得，结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； (2)写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； (3)求的面积． 【答案】(1) 解：作出关于x轴对称的， 即为所求作； (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，利用网格求三角形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据三个顶点的位置，作出关于x轴对称的； （2）根据关于x轴对称的特征求出三个顶点的坐标； （3）长方形的面积减去周围的三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于x轴对称的，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解： ． 15．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出； （2）根据轴，可得点P的纵坐标为，根据题意列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，点与点关于y轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为， ， ， ， 点的坐标为． 素养提升 1．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 3．在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：平行于x轴或平行于y轴．因为，结合点A的坐标，所以可分别求出两种情况下点B的坐标．对于小明的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再利用三角形面积公式计算的面积，判断结论是否成立．对于小丽的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再判断点B所在象限，判断结论是否成立． 【详解】解：∵，直线与坐标轴平行，， ∴分两种情况列出所有可能的点坐标： 若轴，则，， 解得或， ∴或． 若轴：则，， 解得或， ∴或． 评判小明的结论（时，）： ∵， ∴同号， ∴符合条件的点为和： 当：，在直线上，原点到的距离为，． 当时，，在直线上，原点到的距离为2，． ∴小明的结论不完全正确． 评判小丽的结论（时，一定在第四象限）： ∵， ∴异号，符合条件的点为和， 两个点都满足横坐标正、纵坐标负，都在第四象限． ∴小丽的结论正确． 综上，小明错误，小丽正确． 4．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可得出答案． 【详解】解： 与关于y轴对称，M的坐标为， 点N的坐标是． 5．下列说法中正确的有（    ）个 ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ②点位于第三象限； ③点到轴的距离为； ④点和点关于轴对称，则的值为； ⑤若，则点在第一、三象限角平分线上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系的相关知识，涉及点到坐标轴的距离、所在象限的判断、关于坐标轴对称的点的性质等知识，充分掌握直角坐标系的相关知识，是解答本题的关键.解答此类题目时要善于举反例求证．根据直角坐标系的特点可判断正确；举反例即可判断②错误；根据点到坐标轴的距离为非负数即可判断③错误；关于轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此可知④正确；由可得，可知直线是第二、四象限的角平分线，即可判断错误． 【详解】解：∵坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的， ∴ ①正确； ∵ 点中，当时，点不在第三象限， ∴ ②错误； ∵ 点到轴的距离为，不一定为， ∴ ③错误； ∵ 点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴④正确； ∵即，点在第二、四象限角平分线上， ∴ ⑤错误． ∴ 正确的有个． 故选：B． 6．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 7．若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再利用勾股定理计算点到坐标原点的距离． 【详解】解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得 ， 解得 ，， 即点的坐标为， 点到坐标原点的距离，由勾股定理得 ． 8．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 10．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 11．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出各个顶点的坐标； (2)分别写出顶点A关于x轴对称的点的坐标和顶点B关于y轴对称的点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）观察网格：； （2）关于轴对称点， 关于轴对称点： （3）用框住三角形的最小矩形减去周围3个直角三角形面积， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求， ，，； (2)P点的坐标为或． 【分析】（1）找到关于y轴对称点，顺次连接即可得到，再写出的坐标即可； （2）根据面积得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：图略 ，，； （2）解：， ∴， ∴P点的坐标为或． 13．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，描点如下： (3)2秒或5秒 【分析】（1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案； （2）根据时间得到路程即可得到点的坐标，再描点； （3）根据距离列式求解即可得到答案. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：当点P移动了4秒时，点P移动了个单位长度， ∵C点的坐标为， ∴， ∴， ∴此时，点P的位置在线段上，且， ∴点P的坐标为． 画图略 （3）解：当点P在上时，， 此时所用时间为； 当点P在上时，，， ∵A点的坐标为， ∴， ∵C点的坐标为， ∴，， 此时所用时间为：； 综上所述，当点P移动2秒或5秒时，点P到x轴的距离为4个单位长度． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 迁移创新 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)2 (4)点P的坐标为 【分析】（1）根据点到轴距离求出点纵坐标，根据点横坐标和轴，求出横坐标，即可求出点坐标． （2）观察图形判断点的纵坐标和点纵坐标一样，点纵坐标是0，利用点的运动时间和运动速度，求出对应线段和长度，从而知道坐标． （3）根据轴，确定，列关于的方程，解出方程即可求出答案． （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离是4，是第一象限的点 点的纵坐标是4， 过点作轴的平行线，点的坐标为， 点的横坐标是6， ． （2）解：由题意可知，， ， ，，则． ，点横坐标是3， 轴， 的纵坐标等于的纵坐标即4， ． （3）解：轴， 的横坐标相等，即， ， ． （4）解：点移动到轴左侧，且四边形的面积为10， ，， 到的距离等于到的距离，即， ， ， ， 在第二象限，即， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可求解； （2）设的坐标为，过点作轴于点，分两种情况讨论，当在点上方时，即，；当时，，分别解方程，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，，则或，根据建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且满足：， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵点在轴上， 设的坐标为 ∵ ∴， ∴ ∴ 如图，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ 显然，当点在之间时，，不合题意， 分两种情况讨论： ①如图，当在点上方时，即 ∴ 解得： ∴ ②当时，如图 ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 （3）如图，过作直线， 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵将轴向下平移2个单位得到直线， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，即或即 ∵，， 当时， 如图，共线，连接 ∴ 当时，即 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 即或 当时，如图，过点作于点，则， 当时，即时 ∴ ∴，解得： ∴ 当时，即时 如图，延长交轴于点 ∴，， ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 3．定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； （2）解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $