2.5.2圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 人教A版（2019） 选择性必修第一册 一 二 三 学习目标 掌握圆与圆的位置关系 能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系,培养逻辑推理的核心素养 能应用圆与圆的位置关系解决综合问题. 学习目标 情境引入 生活中圆与圆的组合随处可见，这些场景里的圆，位置关系各不相同。 那么，从数学角度看，应该如何用数学语言精准描述呢？ 按照两个圆的公共点个数来划分，两个圆之间有哪些位置关系？ 圆与圆的位置关系有五种： 外离、外切、相交、内切、内含. 外离 外切 相交 内切 内含 0个 1个 2个 1个 0个 复习回顾 4 新知探究 问题1 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 直线和圆的位置关系 几何方法 代数方法 圆和圆的位置关系 几何方法 代数方法 类比 猜想 5 新知探究 问题1 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 判断直线与圆位置关系 求圆心坐标及 半径r 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式) 几 何 角 度 几 何 角度 两圆心坐标及半径 圆心到圆心之间的距离d （两点间距离公式） 比较d和r1,r2的 关系，下结论 判断圆与圆位置关系 6 1.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. (1)把两圆的方程化成标准方程，求出两圆的圆心坐标及半径r1, r2； (2)求两圆的圆心距d； (3)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论： 若圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12，圆C2：(x-x2)+(y-y2)=r22，则两圆的圆心分别为C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，半径分别为r1，r2. 判断圆与圆位置关系 新知探究 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1，r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 r1-r2<d<r1+r2 d=r1－r2 0≤d<r1－r2 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r1 C1 C2 r2 r1 C1 C2 r2 新知探究 问题1 类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？ 判断直线与圆位置关系 代数角度 类比 猜想 判断圆与圆位置关系 代数角度 ②消去x或y后得一元二次方程，求出△ ②消去x或y后得一元二次方程求出△ △＞0 △＝0 △＜0 两圆相交 两圆相切 两圆相外（外离或内含） （外切或内切） △＞0 △＝0 △＜0 相交 相切 相离 ①联立直线与圆的方程组 ①联立两个圆的方程 ③判断解的个数(△的正负) ③判断解的个数(△的正负) 2.代数法：联立两者方程看是否有解 8 例5 思路1 借助图形，可以依据连心线的长(圆心距)与两半经的和r1+r2的或两半径差的绝对值|r1ￚr2|的大小关系，判断两圆的位置关系. y x A B C2 C1 解法2: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 典例解析 课本P96 思路2 圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定。 例5 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 ∴方程④有两个不相等的实数根x1，x2. 把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，这两个圆相交. 典例解析 课本P96 典例解析 课本P96 例5 思考1： 本例中，是否有必要求出圆C1与圆C2的交点的坐标？ 本题只要判断画出圆C1与圆C2圆是否有公共点，以及公共点的个数。所以并不需要求出公共点的坐标，因此不必解出方程④，具体求出两个实数根，借助△的正负性判断根的个数即可。 思考2：圆C1与圆C2的交点分别为A、B，则线段AB为两圆的公共弦，你能求出圆C1与圆C2公共弦所在的方程吗？ 解得 ，公共弦所在的直线方程： ⑤. A B 思考3： 观察方程③和方程⑤，你发现了什么？ 公共弦所在的直线方程： ⑤. 典例解析 课本P96 例5 当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。 问题2 如果两圆方程联立消元后得到的方程的∆＝0,它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢? 当∆<0时，两圆是什么位置关系? 还要根据两圆的半径与圆心距作进一步判断. 当∆＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切. 若d=r1+r2，则两圆外切； 若d=|r1-r2| ，则两圆内切； 当∆<0时, 方程组没有解, 此时两圆无公共点，但不能确定两圆是外离还是内含. 若d>r1+r2 ，则两圆外离； 若0≤d<|r1-r2| ，则两圆内含． 新知探究 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨迹方程,从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。 • P • M x y O • A B 解: 如图示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系. 由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0). 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半 径为4的一个圆. 课本P97 典例解析 本节课你学会了哪些主要内容？ 课堂小结 圆与圆的 位置关系 五种位置 关系 相离 外离 内含 相交 相切 外切 内切 判断位置关系的方法 代数法 求交点、求公共弦所在直线方程 几何法 精准判断 位置关系 解: 把圆C2方程化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2外切. 课本P98 布置作业 解: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 把圆C1与圆C2的方程相减，得 ∴圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为 课本P98 布置作业 1.已知圆 ,圆 ,则当a为何值时,圆与圆 (1)相切? (2)相交? (3)外离? (4)内含? [解析] 由题意得圆 , 圆心,半径 , 圆,圆心,半径 (1)当,即 时,两圆外切; 当,即 时,两圆内切. (2) 当,即 时,两圆相交. (3)当,即 时,两圆外离. (4)当,即 时,两圆内含. 布置作业 布置作业 解题核心 ①两个圆心的中点落在直线上 ②两个圆心所在直线与已知直线垂直 课本P98 目标：求圆心/半径 $