第2章 13-2.5.2 圆与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、公切线、公共弦及对称问题，通过直线与圆位置关系复习导入，以基础过关练和能力提升练为支架，衔接旧知与新知，构建完整知识脉络。 其亮点在于分层设计题组，结合具体例题（如外切求参数、公共弦与基本不等式结合）培养学生数学思维与推理意识，方法总结和名师点睛帮助学生形成结构化认知，提升问题解决能力，也为教师提供清晰教学思路与分层教学资源。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　圆与圆的位置关系 1.[2026湖南师范大学附属中学月考]圆C1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的位置关系为  ( ) A.内切　    B.相交　    C.外切　    D.外离     C 解析　圆C1:x2+y2-2x-4y+4=0即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为C1(1,2),半径r=1; 圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的圆心为C2(1,-2),半径R=3. 因为|C1C2|= =4=R+r,所以两圆外切. 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结 判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法:将两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较. (2)代数法:联立两圆方程,将问题转化为代数问题,求所得方程组的解的组数. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南TOP二十名校调研]已知圆C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y+3)2=m-4外切,则m= ( ) A.5　    B.7　    C.11　    D.13     D     解析　圆C1:(x+2)2+y2=4的圆心为C1(-2,0),半径r1=2, 圆C2:(x-2)2+(y+3)2=m-4的圆心为C2(2,-3),半径r2= , 因为两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即5=2+ ,解得m=13. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京第八十中学期中]已知圆C1:x2+y2=a(a>0)与圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0关于直线l对称,则a=_____, 直线l的方程为__________________.     6x-4y-13=0         4     解析　由题意知两圆半径相等. 圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0即(x-3)2+(y+2)2=4, 其圆心为C2(3,-2),半径r2=2; 圆C1:x2+y2=a的圆心为C1(0,0),半径r1= , 则 =2,所以a=4. C1C2的中点坐标为 , =- ,由对称性可知kl· =-1,解得kl= , 所以直线l的方程为y+1=  ,即6x-4y-13=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东泰安第一中学月考]已知圆C:x2+(y+2)2=a2(a>0)与圆心在原点O处的单位圆恰有两条公切 线,则正数a的取值范围为_____________.     (1,3)     解析　圆C:x2+(y+2)2=a2(a>0)的圆心为C(0,-2),半径r1=a. 单位圆的圆心为O(0,0),半径r2=1. 两圆的圆心距为|OC|= =2. 因为两圆恰有两条公切线,所以两圆相交,所以|a-1|<2<a+1,则  得 所以a∈(1,3). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东菏泽鄄城第一中学月考]写出与圆C:(x-4)2+(y+3)2=16和圆O:x2+y2=1都相切的所有直线的方 程:_________________________________.     y=1,24x+7y+25=0和4x-3y-5=0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1; 圆C:(x-4)2+(y+3)2=16的圆心为C(4,-3),半径为4, 因为两圆的圆心距为|OC|=5=1+4,所以两圆外切, 则两圆有三条公切线,分别记为l1,l2,l3,如图,   可得切线l1的方程为y=1; 因为l3⊥OC,且kOC=- ,所以 = ,设l3:y= x+b,即4x-3y+3b=0, 第1讲　描述运动的基本概念 则O(0,0)到l3的距离为 =1,解得b= (舍去)或b=- , 所以l3:4x-3y-5=0. 易知l1和l2关于直线OC:y=- x对称,联立 得 可知点 在l2上, 在l1上取点(0,1),设其关于直线OC的对称点为(x0,y0), 则  解得 则 = =- , 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线l2:y-1=-  ,即24x+7y+25=0. 综上,所求切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0. 名师点睛　处理圆与圆相切问题时要注意:①定性,先确定是内切还是外切,必要时要考虑分两圆内切 和两圆外切两种情况讨论;②转化思想的应用,即将两圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的 绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南三门峡联考]已知一组圆C1,C2,…,Ck(k∈N*)均与三个定圆x2+y2=4,x2+y2=64,(x-5)2+y2=3相切, 则圆C1,C2,…,Ck的面积和为____________.     136π     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设圆D1:x2+y2=4,D2:x2+y2=64,D3:(x-5)2+y2=3, 由于圆D1和D3均在圆D2的内部,所以这组圆一定与圆D2:x2+y2=64内切, 不妨取圆C1为研究对象,设其圆心为(m,n),半径为r,所以 =8-r, 若圆C1与圆D1,D3均内切, 则 则8-r=r-2,即r=5, 由于圆D1,D3,D2均关于x轴对称,所以根据对称性可知这样的圆C1有两个; 同理,若圆C1与圆D1,D3均外切,可得r=3,且这样的圆C1有两个; 若圆C1与圆D1内切,与圆D3外切,可得r=5,且这样的圆C1有两个; 若圆C1与圆D3内切,与圆D1外切,可得r=3,且这样的圆C1有两个. 综上所述,共有8个圆满足题意,它们的面积和为136π. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两圆的公共弦问题 7.[教材习题改编][2026河南南阳期中]已知圆C1:(x+1)2+y2=1与圆C2:x2+(y-2)2=4,则( ) A.C1与C2相交,相交弦所在直线的方程为x+2y-2=0 B.C1与C2相交,相交弦所在直线的方程为x+2y=0 C.C1与C2外切,内公切线的方程为x+2y-2=0 D.C1与C2外切,内公切线的方程为x+2y=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1:(x+1)2+y2=1的圆心为C1(-1,0),半径r1=1, 圆C2:x2+(y-2)2=4的圆心为C2(0,2),半径r2=2, 易得|C1C2|= = , 因为r2-r1<|C1C2|<r2+r1,所以C1与C2相交, 将两个圆的方程作差,得x2+(y-2)2-(x+1)2-y2=4-1,整理得x+2y=0, 即相交弦所在直线的方程为x+2y=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026黑龙江大庆实验中学月考]已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的 公共弦所在直线上,则 + 的最小值为 ( ) A.2　    B. 　    C.5　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(2,2),半径r2=2, 则|C1C2|= =2 ,r1+r2=2+2=4,r1-r2=2-2=0, 则r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交, 则其公共弦所在直线的方程为x2+y2-4-[(x-2)2+(y-2)2-4]=0, 即x+y-2=0,则P(a,b)(a>0,b>0)在直线x+y-2=0上,即有a+b=2, 则 + =  ·(a+b)=  1+4+ +  ≥  5+2  = , 当且仅当 = ,即a= ,b= 时等号成立,故 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东潍坊期中]“晚旁”徽标是借助两个圆设计而成的,其状如月(如图中阴影部分所示).已知圆 C1:x2+y2-2ax+4y+1=0,C2:x2+y2-3ax+(4+ )y+4+2 =0,其中0<a<3.A,B为圆C1与圆C2的两个交点,若弦AB 将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧,则组成“晚旁”的两段弧的长度之比为____________.(请写出较 短的弧与较长的弧的长度之比)       3 ∶8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=a2+3的圆心为C1(a,-2),半径r1= ; 圆C2: + = 的圆心为C2 ,半径r2= . 两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程,为ax- y-3-2 =0, 由弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧可知∠AC1B=120°, 因此圆心C1(a,-2)到直线ax- y-3-2 =0的距离为 r1, 即 =  ,解得a2=1或a2=9,又0<a<3,故a=1, 此时C2 ,易知C2在弦AB所在直线上,所以弦AB为圆C2的直径. 易知r1=2,r2= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以弦AB截圆C2所得的组成“晚旁”的弧的长为πr2= π,截圆C1所得的组成“晚旁”的弧的长为 πr1 = π, 则组成“晚旁”的两段弧长之比为πr2∶ πr1=3 ∶8. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026重庆第八中学校月考]已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-2)2+(y-1)2=9. (1)求圆O与圆M的公共弦所在直线的方程及公共弦的长; (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标,并求公切线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆O的圆心为O(0,0),半径为1,圆M的圆心为M(2,1),半径为3, 将两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程为4x+2y+3=0. 点O到直线4x+2y+3=0的距离为 = ,所以公共弦的长为2× = . (2)由(1)知两圆相交,故共有两条公切线.易知点O(0,0)到直线x=-1的距离为1,点M(2,1)到直线x=-1的距离 为3, 则圆O与圆M的一条公切线的方程为x=-1. 直线OM:y= x与直线x=-1的交点为 ,该点在另一条公切线上,则可设另一条公切线的方程为y+  =k(x+1),即kx-y+k- =0, 第1讲　描述运动的基本概念 则点M(2,1)到该公切线的距离d= =3,解得k=- , 此时满足点O(0,0)到该直线的距离为1, 所以另一条公切线的方程为- x-y- - =0,即3x+4y+5=0. 综上,两圆的公切线方程为x=-1和3x+4y+5=0.   第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆与圆的位置关系的应用 1.[2026江西九江第一中学月考]过点P(3,2)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=3的两条切线,切点分别为A和B,则切点弦 AB所在直线的方程为 ( ) A.2x+y-6=0　    B.x+2y-7=0 C.x-y+1=0　    D.3x+y-9=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,连接CA,CB,CP,   由直线PA,PB为圆C的两条切线知,CA⊥PA,CB⊥PB,则点P,A,C,B共圆,且CP为直径,记该圆为圆D. 因为P(3,2),C(1,1),所以圆D的圆心为PC的中点 ,半径为 |PC|= × = , 所以圆D的方程为(x-2)2+ = ,即x2+y2-4x-3y+5=0. 又直线AB为这两个圆的公共弦所在直线, 所以方程(x-1)2+(y-1)2=3与x2+y2-4x-3y+5=0相减,可得直线AB的方程为2x+y-6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东烟台第一中学月考]已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 · =3, 则实数a的值不可以为 ( ) A.-2　    B.-1　    C.0　    D.3     D     解析　设M(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,-y), 所以 · =(-1-x)×(1-x)+y2=3,整理得x2+y2=4, 由题意知,圆x2+y2=4与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1有公共点(关键点), 所以2-1=1≤ ≤2+1=3,平方后化简得 解得-2≤a≤1, 结合选项可知实数a的值可以为-2,-1,0,不可以为3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026吉林四平第一高级中学月考]已知M是圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0上的一点,N是圆C2:x2+y2-6x+8=0 上的一点,P为直线l:x-y+2=0上的一点,则下列说法不正确的是 ( ) A.|MN|的最大值为 +4 B.|PM|-|PN|的最大值为 +4 C.|PM|+|PN|的最小值为 -4 D. · 的最小值为      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0,即(x-1)2+(y+5)2=9,则圆心为C1(1,-5),半径为3;圆C2:x2+y2-6x+8=0即(x-3)2+ y2=1,则圆心为C2(3,0),半径为1, 则两圆圆心距为|C1C2|= = >4=1+3,即两圆相离. 对于A,由题意可得两圆上的点之间的距离的最大值为|C1C2|+1+3= +4,故A中说法正确; 对于B,如图,易知当P,M,N三点共线(N在PM上),且|MN|取得最大值时,|PM|-|PN|取得最大值,为|MN|,   由A知|MN|的最大值为 +4,故B中说法正确; 对于C,因为点(3,-2)关于直线y=x对称的点为(-2,3), 第1讲　描述运动的基本概念 所以点C2(3,0)关于直线l:y=x+2对称的点为(-2,5),(点拨:同时向上平移2个单位长度)   如图,作圆C2关于直线l对称的圆C'2,设点N关于直线l的对称点为N', 由图可知,当C'2,N',M,C1四点按此顺序共线时,|PM|+|PN|取得最小值,为|C1C'2|-1-3= -4=  -4,故C中说法正确; 对于D,由题可设P(x,x+2), 则 · =(1-x,-7-x)·(3-x,-x-2)=(1-x)(3-x)+(-7-x)(-x-2)=2x2+5x+17=2 + , 所以当x=- 时, · 取得最小值,为 ,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026重庆清华中学校月考]已知点M在圆Q:x2+(y+2)2=4上,点P是直线l:4x-3y+6=0上一点,过点 P作圆Q的两条切线,切点分别为A,B,设直线l分别交x,y轴于点C,D,则( ) A.|PA|的最小值为 　     B.直线AB必过定点  C.满足MC⊥MD的点M有一个　     D.|MD|+2|MC|的最小值为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆Q:x2+(y+2)2=4的圆心为Q(0,-2),半径r=2, 则Q到直线l:4x-3y+6=0的距离d= = , 则|PA|min= = = ,故A正确; 设P ,则PQ的中点为  ,  , = + , 则以PQ为直径的圆的方程为 + = + , 将该圆的方程与圆Q的方程相减,得ax+ y=-4- , 即a +4+4y=0, 第1讲　描述运动的基本概念 由 解得 因此直线AB过定点 ,故B正确; 对于直线l:4x-3y+6=0,令x=0,得y=2,令y=0,得x=- ,即D(0,2),C , 则CD的中点为 ,|CD|= = ,记E , 则以CD为直径的圆E的方程为 +(y-1)2= , 又|EQ|= = ,且2- < <2+ ,所以圆E与圆Q相交,所以满足MC⊥MD的点M有两个,故C 错误; 由C知D(0,2),设S(0,-1),M(x,y),则由M在圆Q上可得x2+(y+2)2=4, 则x2+(y-2)2=4x2+4(y+1)2, 第1讲　描述运动的基本概念 即 =2 , 又|MD|= ,|MS|= ,所以 |MD|=|MS|, 所以|MD|+2|MC|=2 =2(|MS|+|MC|)≥2|SC| =2× = , 当且仅当M为线段CS与圆Q的交点时取等号,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏南京七校联考]已知圆M:x2+(y-3)2=4,点P为x轴上一个动点,过点P作圆M的两条切 线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的有 ( ) A.四边形PAMB周长的最小值为4+2  B.若P( ,0),则△PAB的面积为4  C.|AB|的最小值为  D.若Q ,则|CQ|的最大值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆M:x2+(y-3)2=4的圆心为M(0,3),半径r=2. 对于A,设P(m,0),则|PM|= = , 因为直线PA,PB是圆M的切线, 所以MA⊥PA,MB⊥PB,且|MA|=|MB|=2,|PA|=|PB|. 在Rt△PAM中,根据勾股定理可得|PA|= = = , 那么四边形PAMB的周长为2|PA|+2|MA|=2 +4, 所以当m=0时,四边形PAMB的周长取得最小值,为4+2 ,A正确. 对于B,由P( ,0),M(0,3),得|PM|= =4, 可得|PB|=|PA|= = =2 , 则S△PAM= |PA|·|MA|= ×2 ×2=2 , 第1讲　描述运动的基本概念 又S△PAM= |PM|·|AC|=2|AC|, 所以|AC|= , 则|PC|= = =3, 则△PAB的面积S△PAB=2× |AC|·|PC|=2× × ×3=3 ,B错误. 对于C,同A设P(m,0),则由A中分析知|PM|= ,|PB|=|PA|= , 又△PAM的面积S△PAM= |PA|·|MA|= |PM|·|AC|, 所以|AC|= = , 则|AB|=2|AC|= , 第1讲　描述运动的基本概念 令t=m2+9,则t≥9,|AB|= =4 , 因为t≥9,所以当t=9时,|AB|取得最小值,为4× = ,C正确. 对于D,当点P与原点重合时,|MP|=3,则|PA|= = , 结合等面积法知|AC|= = ,则|PC|= = = , 所以C ,又Q ,所以|CQ|= = . 当点P与原点不重合时, 因为MA⊥PA,MB⊥PB,所以A,B在以PM为直径的圆上. 设P(a,0),a≠0,则PM的中点坐标为 , |PM|=  , 第1讲　描述运动的基本概念 则以PM为直径的圆的方程为 + = (a2+9), 将此圆的方程与圆M的方程x2+(y-3)2=4相减, 可得直线AB的方程为ax-3y+5=0, 易得直线MP的方程为y=- x+3, 联立  消去a得x2+y2- y+5=0,即x2+ = , 所以点C的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,记O1 ,R= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以|CQ|的最大值为|O1Q|+R= + = ,D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京外国语学校月考]已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相 切,|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,则a的值为_____________.     17或19     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)的圆心为C1(-3,0),半径R1=a, 圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径R2=1, 由a>7,得R1-R2=a-1>6=|C1C2|,所以圆C2内含于圆C1. 设圆M的半径为r,r>0, 若动圆M内切于圆C1,外切于圆C2(r<a),则|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=R2+r=1+r,则|C1M|+|C2M|=a+1, 又|C1C2|=6,所以由|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,得a+1=18,因此a=17; 若动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M,则|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=r-R2=r-1,则|C1M|+|C2M|=a-1, 又|C1C2|=6,所以由|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,得a-1=18,因此a=19. 所以a的值为17或19. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026福建漳州联考]已知P为圆C1:(x-5)2+y2=4位于第一象限的一点,过点P作圆C2:x2+y2-2ax+a2-a+2=0 (2<a<5)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线PM,PN分别交x轴于点A(1,0),B(4,0),则 =_______, |MN|=_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆C2的方程化成标准方程,为(x-a)2+y2=a-2,其圆心为C2(a,0). 设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则 + =4, 所以 = = =2. 由题意知PC2平分∠APB,所以 = =2,即|AC2|=2|BC2|,又2<a<5,故a-1=2|4-a|,所以a=3,则C2:(x-3)2+y 2=1, 所以点N与点B(4,0)重合, (点B在圆C2上,又在切线PN上,因此点B是切点,与点N重合) 此时|C2M|=1,|AC2|=2|BC2|=2|MC2|,则∠MAC2=30°,可得M ,所以|MN|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西萍乡上栗中学月考]平面直角坐标系Oxy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2 +y2=4交于两点A,B,圆M:(x-2)2+(y-1)2=1交于两点C,D. (1)若直线AB的斜率为 ,求弦CD的长; (2)若CD的中点为E,求△ABE面积的取值范围; (3)已知圆O交y轴于G,H两点(G在H上方),当直线AB的斜率存在时,证明:直线AH,BG的交点在一条定直 线上.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆M:(x-2)2+(y-1)2=1的圆心为M(2,1),半径r1=1. 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2. 若直线AB的斜率为 ,则直线CD的斜率为- , 则直线CD的方程为y=- x+1,即x+ y- =0, 所以圆心M(2,1)到直线CD的距离d= = , 则|CD|=2 =2× = . 故弦CD的长为 . (2)①当直线AB的斜率不存在时,如图1,此时△ABE的面积S= ×4×2=4; 第1讲　描述运动的基本概念   ②当直线AB的斜率为0时,如图2,此时直线AB的方程为y=1,经过圆心M(2,1),则过点P(0,1)且垂直于AB的 直线不与圆M相交,故此时△ABE不存在;   第1讲　描述运动的基本概念 ③当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:y=kx+1,即kx-y+1=0. 则直线CD:y=- x+1,即- x-y+1=0. 由题知,圆心M(2,1)到直线CD的距离d1= <1,得k2>3,解得k∈(-∞,- )∪( ,+∞). 圆心O到直线AB的距离d2= , 因为 + = ,即 + =4,所以|AB|=2 . 连接ME,由E为CD的中点知ME⊥CD,又AB⊥CD,所以ME∥AB, 所以E点到直线AB的距离即为M(2,1)到直线AB的距离,记为d3,则d3= = , 第1讲　描述运动的基本概念 所以△ABE的面积S= |AB|·d=2 , 令t=k2+1,则t>4, 所以S=2 = 2 =2 , 因为t>4,所以0< < ,所以S∈ . 综上所述,△ABE面积的取值范围是 . (3)证明:由题意可设直线AB:y=mx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 第1讲　描述运动的基本概念 联立 消y,得(1+m2)x2+2mx-3=0,由根与系数的关系得x1+x2=- ,x1x2=- , 则x1+x2= mx1x2, 即mx1x2= (*). 又圆O与y轴交于G,H两点(G在H上方),所以G(0,2),H(0,-2), 则直线AH:y+2= x,直线BG:y-2= x, 联立两直线方程,消x,得 = = = , 将(*)式代入,得 = = =3,解得y=4. 故直线AH,BG的交点在定直线y=4上. 第1讲　描述运动的基本概念 $