29.3.1 弧长和扇形面积 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

（人教版）九年级上 第二十九章 圆 29.3.1 弧长和扇形面积 2 学习目标 1.理解扇形的概念，掌握扇形面积公式以及它的变形，能运用公式进行有关计算. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式解决相关问题. 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的外角等于它的内对角. 圆内接四边形 复习导入 情境导入 在运动会的 4×100 米比赛中，运动员们的起跑位置相同吗？为什么？ 起跑位置不同，因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 怎样计算弯道的“展直长度”？ 探索新知 弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分. （1）半径为R的圆的周长为_______. （2）圆的周长可以看成是_____°的圆心角所对的弧长. （3）1°的圆心角所对的弧长为__________. （4）n°的圆心角所对的弧长为__________. 小组讨论： 2πR 360 ·2πR ·2πR 探究1：弧长公式 新知探究 探究 我们已经复习了圆的周长公式，那么圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？ 已知圆的周长 ； 圆的周长可以看作 的圆心角所对的弧长； O A B 的圆心角所对的弧长是圆周长的 即 ； 的圆心角所对的弧长是 圆心角所对弧长的 倍 即 探究1：弧长公式 新知探究 概念归纳 弧长公式 在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为 常考 公式中的 和 均表示 的圆心角的倍数，没有单位； 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 l = ·2πR = . 【注意】用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义. n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. O R n° l 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.计算下图所示管道的展直长度L（结果取整数）. 解：由弧长公式，得AB的长 l = = 500π ≈ 1570. 因此所要求的展直长度 L ≈ 2×700+1570=2970（mm）. 在本书中，如无特殊说明，π取3.14. 公式中 、、 三个量，知二求一（已知任意两个量可以求第三个量）； 注意事项 方法总结 探究1：弧长公式 新知探究 弧长公式的本质是 “部分占整体的比例”—— 占 的几分之几，弧长就占圆周长的几分之几； 弧长公式与圆周长公式的关系：当 时，，与圆周长公式一致. 【分析】将圆心角度数与半径代入弧长公式 ，直接计算弧的长度。 新知巩固 弧长公式 已知圆弧的半径为，圆心角为，求此圆弧的长度。 解：由弧长公式 已知 ， 答：该圆弧的长度为，近似值可取。 如图，在☉O中，直径AB=6，BC是☉O的弦，若 ∠B=60°，则AC的长为（ ） 变式训练 A. 6π B. 4π C. 2π D. π O A C B C 什么是扇形？ 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. O A B 思考：怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？ R n° 探究2：扇形的概念与扇形面积公式 新知探究 探究 除了弧长，我们还需要计算扇形的面积，什么是扇形呢？ 扇形的定义 弧与半径 围成的图形记作扇形 与半径 围成的图形记作扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 探究2：扇形的概念与扇形面积公式 新知探究 探究 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分。我们已经学过圆的面积，圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为的扇形面积是多少？圆心角为的扇形呢？ 已知圆的面积 ； 圆面积可以看作圆心角为360°的扇形的面积； 圆心角为的扇形面积是1°扇形面积的n倍 即 圆心角为的扇形面积是圆面积的 即 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分. （1）半径为R的圆的面积为_______. （2）圆的面积可以看成是_____°的圆心角的扇形面积. （3）1°的圆心角的扇形面积为__________. （4）n°的圆心角的扇形面积为__________. 小组讨论： πR2 360 ·πR2 ·πR2 扇形面积公式 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积是 S扇形 = S圆 = . O R n° 【注意】扇形的面积与圆心角、半径有关.在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大 . 探究2：扇形的概念与扇形面积公式 新知探究 概念归纳 扇形面积公式 圆心角为的扇形面积 其中为扇形的弧长，为半径。 推导变形公式： 比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积： 常考 常考 公式中的和均表示的圆心角的倍数，没有单位； 注意事项 方法总结 探究2：扇形的概念与扇形面积公式 新知探究 扇形面积公式有两个：标准公式（知求）和变形公式（知求）； 四个量中，知二求二（已知任意两个量可以求另外两个量） 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. O 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC. A B C D ∵OD=OC −DC，OC=0.6，DC=0.3， ∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC， ∴AD是线段OC的垂直平分线. O A B C D ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 则有水部分的面积 S=S扇形OAB−S△OAB = ×0.62 − AB·OD = 0.12π− ×0.6××0.3 ≈ 0.22π（m2）. 【分析】连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可. 巩固训练1 求弧长 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 解：如图，连接， ∵ ， ∴ ， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 巩固训练1 求弧长 变式题 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长为多少？ 解：连接，如图所示：， ， 根据作图可知：， ，， ， ， ， 的长为 方法小结 O O 左图：S弓形=S扇形−S三角形 右图：S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 25 课堂小结 弧长和 扇形面积 弧长 扇形 定义 弧长是圆周长的一部分 计算公式 l = 定义 两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形 计算公式 S扇形 = 弧长与扇形面积的关系 S扇形 = lR 谢谢大家聆听 $