湖南省湘潭市2026-2027学年高三上学期数学第一次月考自编卷（高考范围）

湖南省湘潭市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：高考范围。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数,,且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 2．已知函数若，则实数a的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．设集合，，或，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 4．已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 8．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（ ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．的最小值是 10．已知，（为常数，且），则的值可能为（　　） A． B．2 C．4 D．36 11．如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与相切 B． C． D．的最小值为4 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则的面积为_____. 13．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示） 14．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为___________，并求出此时四边形的面积为___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(I) 已知，化简； (II) 已知，，试用表示 16．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 17．四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点,点在侧棱上. (1)求证：； (2)若是中点，求二面角的余弦值； (3)是否存在，使平面？若存在,求出的值；若不存在,说明理由. 18．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣， 拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况， 从该市全体中学生中随机抽取500名学生， 调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长(单位:分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟. 时长t 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈， 抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在内记0分，在内记1分，在内记2分. 用表示这两名学生得分之和，求的分布列和数学期望. 19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，，求a，c的值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B C D C D BC CD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】解：∵复数，∴，又，∴ 故答案为C． 点评：本题考查复数代数形式的运算，复数相等的知识，是基础题． 2．C 【详解】∵ ∴函数是奇函数，且在R上单调递增, ∴等价于 即， 解得 ∴实数的取值范围是,选C． 3．B 【详解】检验可知和都满足集合，所以，故选B． 4．B 【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合正弦函数性质确定其范围，即可求得答案. 【详解】由题意知直线的方程为， ， 即，即直线的斜率． 由 ，得 ． 又直线的倾斜角的取值范围为 ， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为 ． 故选：B． 5．C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 6．D 【分析】构造，，利用导数研究单调性判断大小，构造且，利用导数研究单调性判断大小. 【详解】对于，令，， 所以，即在上递增， 故，即在上恒成立，所以； 由，，则， 令，且， 所以，即在上递增， 所以，即. 综上，. 故选：D 7．C 【分析】根据题意可知限时秒杀类选品不需要考虑；因为新鲜助农水果、核心助农产品要相邻，所以将其捆绑考虑；先求出不限制非遗手工艺品上架顺序的排列种数，最后从总排列方式中减去非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式，即可得到符合条件的排列种数. 【详解】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 8．D 【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断. 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 9．BC 【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由，，，得各点坐标，由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标表示判断每个选项的正误. 【详解】 以O为坐标原点，OB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，，， 所以， 设， 对于A项，，故A错误， 对于B项，，即，解得， 所以，故B正确， 对于C项，因为， 所以在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D项， ， 因为，所以，所以， 所以当时，最小为，故D不正确. 故选：BC. 10．CD 【分析】根据题意分、两种情况讨论，结合恒成立问题可得，结合选项分析求解即可. 【详解】因为，， 当时，则，可得对任意恒成立， 若，可得，不合题意，故A错误； 当时，设函数，， 令，得，令，得（正根已舍去）， 作出这两个函数的图象，如图所示． 由题意可得，因为，则为正整数， 结合选项可知或，故B错误，CD正确； 故选：CD. 11．ABD 【分析】由抛物线的定义可得，结合即可判断A；设的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得，由中点坐标公式和两点表示直线斜率可得，即可判断B；由选项B知、，结合抛物线的定义化简计算即可判断C；由选项C得，由射影定理得，则，结合基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由题意得， 又以为直径的圆与切于点，故A正确； B：设的方程为，联立整理得， ，又， 则，，即，故B正确； C：由选项B知， ，故C错误； D：由选项C，得，则， 在中，，，由射影定理得， ， 当且仅当时，等号成立，且，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 12． 【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。 【详解】，是双曲线的两个焦点， ，， 设，， 点是双曲线上一点，且， ，解得 的面积 故答案为：. 13． 【分析】由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求数量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量. 【详解】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为， 又，则， ∴向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 14． 【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图， 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在中，由余弦定理得： ，② 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 从而，③ 由①②③解得 ，因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 故答案为：；. 15．(Ⅰ)；(Ⅱ). 【分析】(Ⅰ)直接利用分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；(Ⅱ)直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】(Ⅰ)＝＝； (Ⅱ). 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 16．(1) (2)   (3) 【分析】（1）根据角速度，结合三角函数的定义，即可列式求解； （2）根据（1）的结果，利用“五点法”作图； （3）根据（1）的结果，解不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设 由，即， ，， 所以 故函数 （2）由知， 根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知 易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可， 所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时， 则有，且， 所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间， 故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 17．(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）由面面垂直的性质可得底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）假设存在，设，求出平面的法向量为，根据平面，可得，求得即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为，所以， 因为菱形中，，所以， 所以， 因为，且平面， 所以平面， 又平面， 所以； （2）解：由（1）可知,, 因为侧面底面，且平面底面，面， 所以底面， 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 因为为中点，所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，即， 同理设平面的法向量为 则，即， 令,则，即， 则， 由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为； （3）解：假设存在，设， 由（2）可知， 设,则， 又因为， 所以，即， 所以在平面中，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 又因为平面，所以， 即，解得. 所以当时，平面. 18．(1) (2)的分布列为: X 0 1 2 3 4 0.01 0.12 0.42 0.36 0.09 【分析】（1）用该组区间的中点值为代表，根据平均数的计算即可求解； （2）由题意，随机变量的可能取值为，根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列和期望. 【详解】（1）由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ， 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为 （2）每天课外阅读平均时长在的概率为:， 每天课外阅读平均时长在的概率为:， 每天课外阅读平均时长在的概率为:. 由题意，随机变量的可能取值为， ， ， ， 的分布列为: X 0 1 2 3 4 0.01 0.12 0.42 0.36 0.09 的数学期望 . 19．（1）； （2）. 【分析】（1）利用正弦定理统一为三角函数，利用两角和正弦公式的逆用，即可得出，化简即可求出cosB（2）利用余弦定理得，再利用可求出，联立，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理可得：， ，即. . （2）由及余弦定理得，即又 . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $