湖南省长沙市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

HUN202609 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.直线x=cos180°的倾斜角为 A.0 B.45° C.90° D.135° 2.已知平面向量a,b不共线，若向量ka+b与a-3b共线，则实数k的值为 A-号 B号 C.-3 D.3 3.若A(0,1),B(2,0),C(-2,a)三点共线，则实数a= A.2 B.3 C.4 D.5 4.设α，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A.若a⊥B,m⊥，则m∥B B.若m∥a,n⊥m,则n⊥a C.若mCB,xnB=n,m∥a,则m∥n D.若mCa,nCB,a∥B,则m∥n 5.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,1,1),则向量b在向量a上的投影向量为 A(合，g别 B(仔-引 C.(2,-1,2) D.(1,1,1) 6.若一个正四面体的体积为？，则其表面积为 A号 B.23 C.5 D.23 3 数学第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 7已知锐角△M1BC的内角A,BC所对的边分别为a6c,且2=+cA,则cosC的 取值范围是 A0,2) B0,引 D.(分 8.已知空间向量a,b,c两两互相垂直，且Ial=1b1=Icl=1,向量d满足Id-a-b-cl=1, 则d·(a+b)的最大值为 A.1+2 B.1+5 C.2+√2 D.2+√5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设复数z的共轭复数为z,若1z=1,则 A.z·2=1 B.z=1 Cz+-定是实数 D.z可能是方程x2-x+2=0的根 10.已知|a,b,c是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有 A.a,a+b,a+b+c B.a+b,b+c,c+a C.a-b,b-c,c-a D.a+b,a-b,3b 11.如图，圆锥S0的底面圆心为0，高S0=2,AB为底面直径，且AB=4,点C为底面圆周上异 于A,B的动点，E为母线SC的中点，则下列说法正确的是 A.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为定值 B.存在点C,使得直线OE⊥平面SBC C.直线0B与平面SAB所成角的正弦值的最大值为？ D,若LB0C=60°，则平面SAB与平面SBC夹角的余弦值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立，则P(AUB)= 13.已知向量a=(2,1,-2),向量c满足1cl=2,(a+c)·c=1,则向量a与c的夹角为 14.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点E,F分别为棱A,B1,BC的中点，P为线段 BD1上的动点，则△PEF面积的最小值为 数学第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学 习时长（单位：分），将所有数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]分成 5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 6 18 14 8 (1)估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表) (2)现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人 进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来 自同一学习时长区间的概率。 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥CD,AB=2CD.设AB=a,AD=b, AP=c. (1)试用基底{a,b,c表示向量P元， (2)设M为PB的中点，点N在直线PD上，且PN=入PD.若A,M,N,C四点共面，求实数 λ的值，并说明此时点N的位置 0 数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 17.（15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B,C,D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2,AA1=6, E为棱BB,的中点 (1)求异面直线AE与A,C所成角的余弦值； D (2)求证：A1C⊥平面BDC 18.(17分) 如图，圆台O0,的轴截面为等腰梯形ABB,A1,上、下底面半径分别为2,4，母线与底面所成 的角为7，C是下底面圆周上一点，且AC=4,P是BC的中点。 (1)求证：B1P∥平面A1AC; (2)求点B到平面AB,C的距离； (3)求平面A,AC与平面AB,C夹角的余弦值. A 9.(17分) 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在△ABC 中，CD为AB边上的高，AD=1,BD=2,CD=2.将△ACD沿CD折起，得到四面体S-BCD (点A对应点S),且满足SC⊥BD (1)求证：四面体S-BCD为对垂四面体； (2)求直线CD与平面SBC所成角的正弦值； (3)设点P在棱sG上，点Q在棱S8上，且满足完-器-A(A>0),记平面0P0与平面 BCD所成的锐二面角为O,求cosO的最大值及此时入的值 数学笛4而（共4而） CS扫描全能王 壁3亿人都在用的扫描ApP