精品解析：湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

2026年秋季高二数学入学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求集合，再根据，求实数的取值范围. 【详解】由或，，若，则实数a的取值范围为. 故选：A 2. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由，，可得， 由正弦定理可得，故， 故选：B 3. 已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，，，则有可能或m与相交，不一定，故充分性不成立， 若，，，则由线面垂直的性质得，故必要性成立， 因此“”是“”的必要不充分条件． 4. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由欧拉公式得，结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所在象限. 【详解】由题意知：， ∴在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 故选：B. 5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过做轴的平行线，交轴与点，作轴，垂足为 ， 由斜二测画法规则知在原图中对应的点为在轴上，且 ，可得答案． 【详解】过做轴的平行线，交轴与点，作轴，垂足为 ， 如图所示： 则 ， ， 由斜二测画法规则知在原图中对应的点为在轴上，且 ， 此即为的边上的高． 故选：D． 6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件不是独立事件 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型判断事件互斥，计算事件概率判断是否独立. 【详解】事件，事件，事件， 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误； ，所以，又因为，所以 ，B错误； ，所以， 所以，事件与事件是独立事件，C错误； ，所以，所以，D正确； 故选：D. 7. 中，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的形状，再设，用表示出，结合函数的单调性可求的取值范围. 【详解】， 以，为邻边作平行四边形，如图： 所以，因此， 所以平行四边形是菱形． 设，，所以， 在中，， ， 设，因为，所以， 当时，是增函数，故． 8. 已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知，构造并确定其单调性，由，讨论的范围，结合以及正余弦函数的单调性，判断选项的正误. 【详解】由题设知：，若，则上为单调增函数， ∴，当时有，即； 当时有，即， ∴恒成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，由讨论，结合以及正余弦函数的单调性，判断的大小及范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. ， C. ， D. 命题“”的否定是“” 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，设，由，所以，故A错误； 对B，设，因为，， 所以，使得. 所以，使得，即 .故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”.故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，求得，即可判断；对于B，由题意可得，求出的范围，即可判断；对于C，求得直线的斜率为，从而可得其倾斜角为，即可判断；对于D，由题意可得，求出其倾斜角的取值范围，即可判断. 【详解】对于A，， 故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，， 即，， 即，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，直线的斜率为， 又倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，故C错误； 对于D，直线的斜率为， 由于，所以， 因此， 设直线的倾斜角为， 则有， 由于， 所以， 即倾斜角的取值范围是，故D正确． 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，根据异面直线的定义即可判断；对于A，当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于C，根据题意得到当E，O，F三点共线时，平面平面BCD，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于D，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，所以直线与直线异面，故B正确. 当时，，分别是棱，的中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故A错误. 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线， 即当且仅当，，三点共线时，平面平面， 因为，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为，，三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故C正确. 易知，在中 ，，所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的平均数为__________． 【答案】71 【解析】 【分析】先求出的值，再根据平均数的公式求解即可. 【详解】根据频率分布直方图可知：， 即， 由图可估计平均数: ． 13. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数的取值. 【详解】由于三条直线，，不能围成三角形， 则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点. （1）直线与直线平行，则，解得； （2）直线与直线平行，则，解得； （3）若三条直线交于一点，联立，解得， 所以直线，交于点， 由题意可知，点在直线上，可得，解得. 因此，实数的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽略三线交于一点这种情况的讨论. 14. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值 【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有， 由可得，整理得， ∴， ∵，∴，∴， 由正弦定理可得， ∴，则有. 故的面积 . ∵，∴，当时，的面积取得最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【小问2详解】 （i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）略 16. 已知平面向量． （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线性向量的坐标表示列出关于的方程组，然后求解即可. （2）先根据向量的垂直坐标表示求出的值，然后根据向量的模的计算公式进行求解即可. （3）根据向量的数量积和向量的夹角计算公式可列出不等式方程组，从而求出的范围. 【小问1详解】 因为， 所以解得． 【小问2详解】 若，则，解得， 所以，，. 【小问3详解】 因为与的夹角为锐角，所以且不同向，即 解得且，即的取值范围是． 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，再求出和平面的法向量，利用空间向量法即可求解； （ii）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）连接，因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 而平面，故，， 如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，又，解得， 则， 易得平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则． （ii），则，， 设平面的法向量为， 则即可取， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的平面角的余弦值为． 18. 已知向量，函数的最小值为. （1）当时，求的值； （2）求； （3）已知函数为定义在上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1);(2)；(3). 【解析】 【详解】分析：（1）数的最小值为.利用向量的乘积运算求出的解析式，求出最小值可得，当时，可得的值； （2）根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求； （3）假设存在符合条件的实数，则依题意有，对所有θ恒成立．设，则，利用三角函数的有界限转化为对勾函数的求最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围． 详解： （1）设，则 当时，在为减函数， 所以时取最小值. （2），，其对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 综上， （3）假设存在符合条件的实数，则依题意有， 对所有恒成立. 设，则， ∴，恒成立 即，恒成立， ∵， ∴ ∴，恒成立 令 由在上单调递增 则 ∴ 所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为. 点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，二次函数最值的讨论，换元思想，利用最值和单调性是解题的关键．属难题. 19. 设，函数． （1）若，求证：函数为奇函数； （2）函数满足，在（1）的条件下，若对任意且，不等式恒成立，求的取值范围． （3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围． 【答案】（1）时，有且定义域为， ， 综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定时的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再验证与的关系，依据奇偶性定义完成证明； （2）先代入求出的表达式，再推导关于的表达式，令，将不等式转化为关于的不等式恒成立问题，通过分离参数或二次函数最值方法求的范围； （3）先分析的单调性，根据值域与定义域的对应关系得到、，可知、是方程的两个不等实根，令将方程转化为关于的二次方程，结合二次方程正根的分布条件求解的范围． 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 设，因为且，，所以． 因为， 所以不等式可化为，即在时恒成立， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以实数的取值范围是． （3）由知：，由知：，所以， ， ，所以或， ∴当时，易知在上单调递增，结合题意有， 得即，是的两个不同的实根， ∴令，则在上有两个不同实根， 故可得； 当时，在，上都递减， 若，有，则与矛盾，舍去； 若，有，即有 即所以两式相减得 ，又，即有，则， ∴综上有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二数学入学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件不是独立事件 D. 7. 中，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. ， C. ， D. 命题“”的否定是“” 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的平均数为__________． 13. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________． 14. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 16. 已知平面向量． （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 18. 已知向量，函数的最小值为. （1）当时，求的值； （2）求； （3）已知函数为定义在上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 设，函数． （1）若，求证：函数为奇函数； （2）函数满足，在（1）的条件下，若对任意且，不等式恒成立，求的取值范围． （3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $