2.2 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用讲义-2026-2027学年人教版七年级数学上册

有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用讲义 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用讲义 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与相乘，都得。 核心步骤：先定符号，再算绝对值乘积。 1. 多个有理数相乘的符号法则 几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： · 负因数有奇数个时，积为负； · 负因数有偶数个时，积为正。 简称：奇负偶正。 几个数相乘，若其中有一个因数为，则积直接为。 1. 分数乘法规则 分数相乘，分子乘分子、分母乘分母；能约分的先约分，再计算结果；带分数必须先化为假分数再参与运算。 二、解题思路 1. 两数相乘：先判断两数同号还是异号，确定积的符号，再计算绝对值的乘积； 1. 多数相乘：第一步先检查是否有因数为，有则直接得；无时数负因数个数定符号，最后算绝对值乘积； 1. 带分数相乘：先把所有带分数化为假分数，交叉约分后再分子分母分别相乘。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 例2．（25-26七年级上·广西柳州·阶段检测）计算：（1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】本题考查的知识点为有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则； （1）根据同号得正的法则进行计算即可； （2）根据异号得负先确定符号然后进行约分化简求值； （3）将小数和分数进行统一后进行计算； （4）先确定符号，然后将代分数化为假分数进行计算. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 例3．（25-26七年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可； （2）运用乘法运算法则即可； （3）运用乘法运算法则即可； （4）运用乘法运算法则即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 变式3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的乘法规则，多个有理数相乘，先确定乘积符号，再利用乘法交换律、结合律简化计算，最后计算绝对值得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点二 有理数乘法运算律 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 三大基本运算律 · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 · 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 · 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。 · 推广：可推广到多个数的和与差，如。 1. 简便运算核心技巧 · 凑整结合：乘积为整数、整十、整百的因数优先结合（如、）；分数中互为倒数的因数优先结合，乘积为1简化计算。 · 分配律正用：括号外因数分别乘括号内每一项，常用于去括号简化计算。 · 分配律逆用（提取公因数）：各项含有相同公因数时，提取公因数，将剩余部分合并计算，即，是最常用的简便方法。 · 拆项凑整：将接近整数的因数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律，如。 二、解题思路 1. 观察特征：整体浏览算式，识别可凑整、互为倒数、有公因数等简便特征； 1. 选运算律：根据特征选择交换律、结合律调整运算顺序，或用分配律拆分/合并计算； 1. 计算验证：按简便方法计算后，可通过常规运算顺序验证结果正确性。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 例2．（25-26七年级上·广西百色·期末）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 例3．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算法则，关键是交换因数的位置，利用乘法结合律进行解答． 利用有理数乘法运算法则进行计算． 【详解】解：＝＝1， 故答案为：1． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：5． 变式4．（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）式子运用了乘法________律． 【答案】交换 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法交换律即可求解． 【详解】解：式子应用了乘法交换律． 故答案为：交换． 考点三 有理数乘法的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用核心 用正负数表示具有相反意义的量，将实际问题中的“每份变化量×份数”转化为有理数乘法，最终得到总变化量或总量。 1. 常见应用场景 · 销售盈亏：单件利润×销量=总利润，盈利为正、亏损为负；涨价为正、降价为负。 例：每件亏损5元，卖出8件，总盈亏：元，即亏损40元。 · 行程问题：速度×时间=路程，规定正方向后，速度的正负表示方向。 · 升降变化：每次变化量×次数=总变化量，上升为正、下降为负；增长为正、减少为负。 · 工程问题：工作效率×工作时间=总工作量，效率正负表示进度增减。 · 倍数与占比：求一个数的几倍、几分之几是多少，用乘法计算。 1. 核心数量关系 二、解题思路 1. 定正负：明确相反意义的量，规定其中一种为正，对应另一种为负； 1. 找数量：确定每份的量（带符号）和对应的份数； 1. 列算式：根据“每份数×份数=总量”列出乘法算式； 1. 算结果：运用乘法法则计算结果； 1. 释意义：将结果的正负对应回实际场景，说明具体含义（如盈利/亏损、上升/下降）。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）构造一种新的进位制：第k位（从右向左数）上的数字满进1，即个位满2进1，十位满3进1，依此类推…，这样的进位制称为“对应进制”．（例如：十进制1，2，3，4，5，6，7，8分别对应“对应进制”的数是1，10，11，20，21，100，101，110），若一个对应进制的数是321，则它对应的十进制的数是（    ） A．23 B．22 C．21 D．24 【答案】A 【分析】本题考查不同进制之间的转化，根据题意，得到个位数为1，十位上的一个1表示2，百位上的一个1表示，据此进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 例2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 【答案】C 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量260立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量260立方米＞240立方米，∴需分段计算： 第一阶梯水费：（元）， 第二阶梯水费：（元）， 第三阶梯水费：（元）， ∴总水费：（元）． 故选：C． 例3．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）李阿姨把元存入银行，定期年，年利率是，到期后从银行取回（    ）元． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算应用，熟练掌握本息和是解本题的关键． 到期取回的钱包括本金和利息，计算公式为：本息和=本金+本金×年利率×存期，代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 例4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在我国征收利息税的某段时期，利息税的税率是(即储蓄利息的)．小江在银行存入人民币2千元，定期一年，年利率为，存款到期时，应交利息税_______元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．先根据本金和年利率计算利息，再根据利息税率计算利息税，即可求解． 【详解】解：本金为2000元，年利率为， 则利息元． 利息税税率为， 故利息税元． 故答案为：元． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义和有理数乘法的应用，根据题目中对答对和答错的记分规定来判断答错4道题的记分. 【详解】解：∵答错1题记为， ∴4道错题记为． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用．根据题意先计算涨价时的售价，再计算打折后的售价，即可求解． 【详解】解：元， 即每件商品还能盈利4元． 故选：C 变式3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知某银行存款年利率为，现存入本金1万元，则存钱x年的本息和可表示为（每一年的利息都基于最初的本金计算）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，根据题意，利息每年基于最初本金计算，故为单利．先计算年利息，再乘以年数x，加上本金即可得本息和． 【详解】解：∵本金为10000元，年利率为， ∴年利息元， ∴存x年的总利息元， ∴本息和． 故选A． 变式4．（25-26七年级上·山西运城·期中）负数是与正数表示相反含义的量，例如某水库水位上升记为正，水位下降记为负，若该水库每天水位下降，经过天后，可列算式为，计算结果为，比现在低．若该水库每天下降，天前的水位变化情况可列算式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用，正负数的意义；根据题意，水位下降记为负，每天下降．对于“天前”的水位变化情况，由于时间方向为过去，时间间隔为负，因此算式应为速率乘以负的时间间隔，即，计算结果表示水位上升，即天前的水位比现在高． 【详解】解：水库每天水位下降，记为天．天前的时间间隔为天， 因此水位变化算式为． 根据有理数乘法法则，两负数相乘结果为正，故计算结果为，表示水位上升， 即天前的水位比现在高． 故答案为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用讲义 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用讲义 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与相乘，都得。 核心步骤：先定符号，再算绝对值乘积。 1. 多个有理数相乘的符号法则 几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： · 负因数有奇数个时，积为负； · 负因数有偶数个时，积为正。 简称：奇负偶正。 几个数相乘，若其中有一个因数为，则积直接为。 1. 分数乘法规则 分数相乘，分子乘分子、分母乘分母；能约分的先约分，再计算结果；带分数必须先化为假分数再参与运算。 二、解题思路 1. 两数相乘：先判断两数同号还是异号，确定积的符号，再计算绝对值的乘积； 1. 多数相乘：第一步先检查是否有因数为，有则直接得；无时数负因数个数定符号，最后算绝对值乘积； 1. 带分数相乘：先把所有带分数化为假分数，交叉约分后再分子分母分别相乘。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（25-26七年级上·广西柳州·阶段检测）计算：（1）． （2）． （3）． （4）． 例3．（25-26七年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： (1)； (2) 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 变式3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 考点二 有理数乘法运算律 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 三大基本运算律 · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 · 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 · 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。 · 推广：可推广到多个数的和与差，如。 1. 简便运算核心技巧 · 凑整结合：乘积为整数、整十、整百的因数优先结合（如、）；分数中互为倒数的因数优先结合，乘积为1简化计算。 · 分配律正用：括号外因数分别乘括号内每一项，常用于去括号简化计算。 · 分配律逆用（提取公因数）：各项含有相同公因数时，提取公因数，将剩余部分合并计算，即，是最常用的简便方法。 · 拆项凑整：将接近整数的因数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律，如。 二、解题思路 1. 观察特征：整体浏览算式，识别可凑整、互为倒数、有公因数等简便特征； 1. 选运算律：根据特征选择交换律、结合律调整运算顺序，或用分配律拆分/合并计算； 1. 计算验证：按简便方法计算后，可通过常规运算顺序验证结果正确性。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·广西百色·期末）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 例3．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：_______________． 例4．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）计算：______． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 变式2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：_____． 变式4．（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）式子运用了乘法________律． 考点三 有理数乘法的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用核心 用正负数表示具有相反意义的量，将实际问题中的“每份变化量×份数”转化为有理数乘法，最终得到总变化量或总量。 1. 常见应用场景 · 销售盈亏：单件利润×销量=总利润，盈利为正、亏损为负；涨价为正、降价为负。 例：每件亏损5元，卖出8件，总盈亏：元，即亏损40元。 · 行程问题：速度×时间=路程，规定正方向后，速度的正负表示方向。 · 升降变化：每次变化量×次数=总变化量，上升为正、下降为负；增长为正、减少为负。 · 工程问题：工作效率×工作时间=总工作量，效率正负表示进度增减。 · 倍数与占比：求一个数的几倍、几分之几是多少，用乘法计算。 1. 核心数量关系 二、解题思路 1. 定正负：明确相反意义的量，规定其中一种为正，对应另一种为负； 1. 找数量：确定每份的量（带符号）和对应的份数； 1. 列算式：根据“每份数×份数=总量”列出乘法算式； 1. 算结果：运用乘法法则计算结果； 1. 释意义：将结果的正负对应回实际场景，说明具体含义（如盈利/亏损、上升/下降）。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）构造一种新的进位制：第k位（从右向左数）上的数字满进1，即个位满2进1，十位满3进1，依此类推…，这样的进位制称为“对应进制”．（例如：十进制1，2，3，4，5，6，7，8分别对应“对应进制”的数是1，10，11，20，21，100，101，110），若一个对应进制的数是321，则它对应的十进制的数是（    ） A．23 B．22 C．21 D．24 例2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 例3．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）李阿姨把元存入银行，定期年，年利率是，到期后从银行取回（    ）元． A． B． C． D． 例4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在我国征收利息税的某段时期，利息税的税率是(即储蓄利息的)．小江在银行存入人民币2千元，定期一年，年利率为，存款到期时，应交利息税_______元． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 变式3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知某银行存款年利率为，现存入本金1万元，则存钱x年的本息和可表示为（每一年的利息都基于最初的本金计算）（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26七年级上·山西运城·期中）负数是与正数表示相反含义的量，例如某水库水位上升记为正，水位下降记为负，若该水库每天水位下降，经过天后，可列算式为，计算结果为，比现在低．若该水库每天下降，天前的水位变化情况可列算式为_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $