培优：恒成立与能成立问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学解析 编号： bx1-2-10 不等式恒成立与能成立问题解析 题型探究： 探究一：恒成立问题 角度 1 数形结合法（判别式法） 适用场景：变量取遍全体实数的二次不等式恒成立；注意讨论二次项系数为 0。 例 1 (1) 已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。 解析： ①当，原不等式化为，恒成立，符合题意； ②当，二次函数图像全部在轴下方，需要开口向下，与轴无交点： 化简：，解得。 综合①②：，即。 (2) 若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围。 解析： 不等式对全体实数恒成立，等价左边二次函数的最大值小于等于右侧。 ，。 故：，整理， 解得：或，即。 训练 1 (1)若不等式解集为，则的取值范围 。 \\ 解析：\\ 解集为空集，等价对恒成立。 ，得。 (2)对任意，恒成立，则的范围 。 解析： ①：时，不等式为恒成立； 时，不等式为，不是全体实数成立，舍去。 ②， 解得。 综合得：。 角度 2 分离参数法 适用：参数可以单独移到不等式一侧，转化为求函数最值。 口诀：参数大于函数恒成立参数大于函数最大值；参数小于函数恒成立参数小于函数最小值。 例 2 (1) 对任意，恒成立，求范围。 **解析：**移项分离参数：，恒成立。 即要小于在上的最小值。 ，当，。 所以。 (2) 命题：为真命题，求最大值。 解析：，在单调递增，取最小值，。 ，最大值。 训练 2 (1)，恒成立，则的范围 。 解析：，两边乘：。 ，，故。 (2) 命题 “” 是假命题，求的范围。 解析：原命题为假它的否定为真。 变形对全部恒成立，求右侧函数最小值。 当，，，。 角度 3 主参换位法（反客为主） 适用：已知参数范围，求变量范围；把参数当做自变量，看作常数，构造一次函数。 一次函数在闭区间恒大于 0：只需区间两个端点函数值大于 0。 例 3 已知，不等式恒成立，求取值。 解析：整理为关于参数的一次函数： 时，恒成立，则端点都大于 0： ； ； 取交集得或，即。 训练 3 不等式，对任意恒成立，则取值（） A. B. C. D. 解析：整理关于的一次函数：，恒成立。 化简 解得：或，选 A。 探究二：能成立（有解、存在性）问题 逻辑关系：全称命题为假命题 特称命题为真命题。 例 4 (1) 命题 “” 是假命题，求的取值范围。 解析：命题为假，等价，成立。 · ，式子变为，不可能，舍去； · ：开口向下，抛物线必然存在使得函数小于等于 0，满足题意； · ：开口向上，要有解，则判别式 ，得。 综上：或。 (2) 不等式有解，求范围。 解析：二次不等式有解， ，。 训练 4 1.为真命题，则取值范围 。 解析：存在解，二次函数和轴有交点，，。 2.有实数解，则的取值范围 。 解析： ：显然有解； ：开口向下，必有解； ：开口向上，要有解； 综合。 课后练 1. 已知不等式对任意实数都成立，则的取值范围是 (　　) A.　B.　C.　D. 解析：成立；；综合。 2. 已知不等式的解集为空集，则的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：，。 3. 已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C.或 D. 解析：。 4.“不等式恒成立” 的一个充分不必要条件是 (　　) A. B. C. D. 解析：恒成立充要条件；充分不必要是它的真子集，选 D。 5. 设，则 “” 是 “不等式在上恒成立” 的 () A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：恒成立条件；是真子集，充分不必要。 6. 已知关于的不等式的解集为，设，，则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 解析：和代入不等式均成立，，解得。 7. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 解析：，换元，最大值为，。 8. 若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是。 解析：整理关于一次函数：，，端点代入解不等式组。 9. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是。 解析：左边最大值，。 10. 当时，不等式恒成立，求的取值范围。 答案： 解　由题意，不等式ax2-x+1-a≤0对a∈[2，3]恒成立， y=(x2-1)a-x+1是关于a的一次函数，只需满足 由2x2-x-1≤0，得-≤x≤1，由3x2-x-2≤0，得-≤x≤1， 所以x的取值范围是. 11. 若存在，使得成立，求实数的取值范围。 解析：分母，去分母：，能成立。 最小值，。 12. 若存在实数，使得成立，求实数的取值范围。 解析：，有解；，；恒成立。综上。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：gqlx-bx1-2-10 培优：不等式恒成立与能成立问题 学习目标 1、会区分恒成立与 \ 能成立（有解）\\问题，掌握两类问题解题思路。 2、熟练运用数形结合（判别式 Δ）、分离参数法、主参换位法求解参数范围。 3、体会转化与化归、数形结合数学思想。 重点：恒成立、能成立问题的解题方法 难点：主参换位；恒成立与能成立的逻辑区分 知识铺垫 1. 二次不等式在上恒成立（） 1）对恒成立 2）对恒成立 2. 恒成立、能成立核心转化口诀 设函数在上有意义 1）恒成立 · 恒成立 · 恒成立 2）能成立（存在性、有解） · 有解 · 有解 辨析： 恒成立：全部都要满足；能成立：至少有一个满足 题型探究： 探究一：恒成立问题 角度 1 数形结合法（判别式法） 例 1(1) 已知不等式对恒成立，求范围。 (2) 若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围。 训练 1 (1)若不等式解集为，则的取值范围 . (2)对任意，恒成立，则的范围 . 角度 2 分离参数法 例 2(1) 对任意，恒成立，求范围。 (2) 命题：为真命题，求最大值。 训练 2 （1），恒成立，求的范围。 （2）命题 “” 是假命题，求的范围。 角度 3 主参换位法（反客为主） 例 3 、已知，不等式恒成立，求取值。 训练 3、不等式，对任意恒成立，则取值（ ） A. B. C. D. 探究二：能成立（有解、存在性）问题 例 4(1) 、命题 “” 是假命题，求的取值范围。 (2) 、不等式有解，求范围。 训练 4（1）为真命题，则取值范围 。 （2）有实数解，则的取值范围 。 课后练 1.已知不等式mx2-mx+1>0对任意实数x都成立，则m的取值范围是(　　) A.(-∞，-4)∪[0，+∞) 　B.[0，4) C.(-∞，0]∪(4，+∞) 　D.[-4，0) 2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A.[-4，4] C.(-∞，-4]∪[4，+∞) B.(-4，4) D.(-∞，-4)∪(4，+∞) 3.已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A.k> B.k<- C.k>或k<- D.-<k< 4.“不等式ax2+2ax-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是(　　) A.-1≤a<0 B.a≤0 C.-1<a≤0 D.-1<a<0 5.设m∈R，则“m>-”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知关于x的不等式ax2+(1-3a)x+2≥0的解集为A，设B={-1，1}，B⊆A，则实数a的取值范围为(　　) A.-≤a≤ B.-≤a≤ C.a≤- D.a≥ 7.若∀x>0，不等式ax2-2x+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  8.若不等式x2-2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是　　　　.  9.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围是　　　　.  10.当a∈[2，3]时，不等式ax2-x+1-a≤0恒成立，求x的取值范围. 11.若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 12.若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，求实数m的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $