2027届高考物理一轮复习-习题讲解 第四章　曲线运动

第四章　曲线运动 第1节　曲线运动　运动的合成与分解 曲线运动的条件和特征T1、7　　运动的合成与分解T3、4、5　　小船渡河模型T2、8　　关联速度模型T6、9、10 1.★(2023辽宁,1,4分)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　) A　　B　　C　　D 1.答案　A 2.★★(2021辽宁,1,4分)1935年5月,红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m,水流速度3 m/s,木船相对静水速度1 m/s,则突击队渡河所需的最短时间为(　　) A.75 s　　　　B.95 s C.100 s　　　　D.300 s 2.答案　D 3.★★(2025湖南,2,4分)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　 3.答案　C 4.★★(2023浙江1月,5,3分)如图所示,在考虑空气阻力的情况下,一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动,其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比,则小石子竖直方向分运动的加速度大小(　　) A.O点最大 B.P点最大 C.Q点最大 D.整个运动过程保持不变 4.答案　A 5.★★★(多选)(2024广西,8,6分)如图,在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。M水平向右运动,速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰,碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力,则碰撞后,N在(　　) A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动 B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动 C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v 5.答案　BC 6.★★★(2025黑吉辽蒙,6,4分)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　) A.一直减小　　　　B.一直增大 C.先减小后增大　　　　D.先增大后减小 6.答案　B 7.★★(2026届四川遂宁六中开学考)如图所示,质量为m的质点在Oxy平面上以某一速度运动时(方向如图中箭头所示),受到大小不变、方向沿-y方向的合力作用。已知质点的最小速度为v,合力的大小为F。则下列判断正确的是(　　) A.质点沿着初速度方向做匀变速直线运动 B.质点做匀变速曲线运动,向+y方向弯曲 C.当质点速度大小为2v时,速度方向和x轴之间的夹角为60° D.质点的速度由v增大到2v的过程所用时间为 7.答案　C 8.★★★(2025届江苏检测三)如图甲,某同学需要通过小木筏渡过一条河,已知小木筏在静水中的速度大小为5 m/s。受地形等因素影响,不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度的倒数与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示,已知小木筏前端始终垂直河岸,最终到达对岸偏离正对面20 m的B处,则以下说法正确的是(　　) 　　 A.小木筏在河水中的轨迹是直线 B.河的宽度为16.25 m C.若水流速度恒为8 m/s,小木筏渡河时间将变短 D.若水流速度恒为8 m/s,小木筏可调节前端指向使小木筏垂直河岸渡河 8.答案　B 9.★★★(2025届河北部分校模拟)一台四冲程内燃机的结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动,连杆两端分别连接曲轴上的P点和活塞上的Q点,若曲轴绕O点做匀速圆周运动,转速n=1 800 r/min,lOP=10 cm,lPQ=30 cm。下列说法正确的是(　　) A.Q点运动周期为 s B.Q点运动速率为2π m/s时,OP与PQ间的夹角为60° C.P点的向心加速度大小为360π2 m/s2 D.P点和Q点的速度大小始终相等 9.答案　C 10.★★★(2025届浙江湖州三模)如图所示,一足够长、不可伸长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A,另一端跨过光滑定滑轮连接重物B,此时两边细线竖直。某时刻,水平拉力F作用在滑块A上,使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m,滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则(　　) A.若A做匀速运动,则B也做匀速运动 B.若B做匀速运动,则A做加速运动 C.若A缓慢向右运动,当细线与细杆间的夹角为30°时,拉力F有最小值 D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°的过程中,拉力F一直在增大 10.答案　D “费马原理”在运动分解中的迁移应用 (2025届黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模)法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最短的路径,即费马原理,光的折射即遵从这一原理,实际生活中的现象也可类比折射定律来理解。如图所示,地面上救生员在距笔直的河岸10 m处的A点,发现落水者位于水面上距河岸50 m处的B点。救生员在地面上奔跑的速度大小为v1=5 m/s,在水中游泳的速度大小为v2,奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中,救生员在陆地的速度与河岸夹角为30°、在水中的速度与河岸夹角为60°将最省时。由题中信息结合所学物理知识可知(　　) A.救生员在水中游泳的速度大小为v2= m/s B.救生员在水中游泳的速度大小为v2=2.5 m/s C.救生员到达落水者处的最短时间为12 s D.救生员到达落水者处的最短时间约为16 s 答案 A 第2节　抛体运动 平抛运动的基本规律T1、2、6　　与斜面或圆弧面有关的平抛运动T9 类平抛运动的分析T7、8　　斜抛运动T3、4、5 1.★★(2024新课标,15,6分)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试,测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后,落到海面上。调整弹射装置,使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力,则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的(　　) A.0.25倍　　B.0.5倍　　C.2倍　　D.4倍 1.答案　C 2.★★(2025江西,4,4分)如图所示,人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率v1水平向右抛球,小孩以速率v2水平向左匀速运动,接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为l时,机器人将小球抛出。忽略空气阻力,重力加速度为g。若小孩能接到球,则v1为(　　) A.l-v2　　　　B.l-v2 C.l-v2　　　　D.l-v2 2.答案　B 3.★★(2025湖北,6,4分)某网球运动员两次击球时,击球点离网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.答案　C 4.★★(2024江苏,4,4分)喷泉a、b出射点高度相同,形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b(　　) A.加速度相同 B.初速度相同 C.在最高点的速度相同 D.在空中的时间相同 4.答案　A 5.★★★(多选)(2024山东,12,4分)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　) A.运动时间为2 s B.落地速度与水平方向夹角为60° C.重物离PQ连线的最远距离为10 m D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m 5.答案　BD 6.★★(2026届河南南阳六校调研)如图所示,在南阳野生动物园里,某同学将两粒玉米从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到玉米。若将玉米的运动视为平抛运动,且两运动轨迹在同一竖直平面内,则(　　) A.在N点被接到的玉米先抛出 B.从抛出到被小鸟接到的过程中,两粒玉米的速度变化量相同 C.两粒玉米在M、N两点的速度方向可能相同 D.在N点被接到的玉米平抛的初速度较大 6.答案　A 7.★★(多选)(2025届甘肃白银靖远一中月考)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0(沿x轴正方向)穿过一段风带,经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直(沿y轴正方向)的恒力作用,风带在0≤x≤l区域,其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示,已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是(　　) A.小球穿过风带所需时间为 B.小球穿过风带过程中的加速度大小为 C.小球穿过风带时所受恒力的大小为 D.小球穿过风带后的速度大小为v0 7.答案　CD 8.★★★(2025届江西联考二)如图所示,倾角为60°的光滑斜面上固定着半径R=2 m的光滑三分之二圆弧形轨道ABC,以圆心O为原点、沿斜面向下为正方向建立坐标轴Ox,OA、OC与x轴负方向间的夹角均为60°。一质量m=0.1 kg的小球(可看成质点)从-x轴上的M点沿垂直于x轴方向以速度v0水平抛出,小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧形轨道,重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　) A.小球的初速度v0的大小为5 m/s B.M点的坐标为xM=- m C.小球对轨道的最大压力为 N D.小球在圆弧BC中间某点脱离轨道 8.答案　B 9.★★★(多选)(2025届吉林松原月考)如图,一倾角为30°的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合,斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q(可视为质点)同时由斜面顶端以相等的初速度大小v0向左、右水平抛出,重力加速度的大小为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　) A.若初速度v0=,两球将同时撞到斜面和圆弧上 B.若初速度v0=,P球将落到斜面的底端 C.若P球恰好落到斜面的底端,则Q球在圆弧上的落点距地面高度大于 D.在小球能落到斜面上的条件下,P球落到斜面上的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 9.答案　AC 运用动量定理巧解抛体碰撞问题 (2025届江西赣州二模)“打水漂”是一种投掷扁平物体,使其在水面连续弹跳的游戏。图甲是打水漂的图片,图乙是扁平物体运动轨迹的示意图。现将打水漂简化成如下理想模型,弹性薄片沿倾斜方向落到足够大水平弹性面上,薄片每次从水平面弹起时速度与水平面的夹角均为30°,速率损失25%。测得薄片第1次弹起后的滞空时间为0.6 s。薄片运动过程中不计空气阻力,并始终在同一竖直面内且没有旋转。碰撞过程中忽略薄片重力的影响,重力加速度g取10 m/s2,结果可保留根号。求: (1)薄片第1次弹起后速度的大小v及第2次弹起到第3次弹起的水平距离x; (2)薄片与弹性水平面间的动摩擦因数μ。 　 答案　(1)6 m/s　 m　(2) 解析　(1)薄片第1次弹起至运动到最高点的时间t1= s=0.3 s, 第一次弹起瞬间竖直方向的分速度vy=gt1=3 m/s, 第一次弹起的速度大小v==6 m/s; 薄片第2次弹起的速度大小v2=(1-25%)v, 在空中运动的时间t2=, 第2次弹起到第3次弹起的水平距离 x=v2 cos 30°·t2= m。 (2)【关键:水平方向和竖直方向分别根据动量定理列式,再利用滑动摩擦力的定义式计算动摩擦因数】 在薄片与水平面接触时对其进行受力分析,如图,碰撞过程中,在竖直方向上规定向上为正方向, 根据动量定理可得FNΔt=mv'sin 30°-(-mv sin 30°), 在水平方向上规定向右为正方向, 根据动量定理可得-μFNΔt=mv'cos 30°-mv cos 30°,其中v'=(1-25%)v,联立可得μ=。 微专题7　抛体运动中的综合问题 题组1　抛体运动中的临界极值问题 1.★★(2024湖北,3,4分)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　) A.荷叶a　　　　B.荷叶b　　　　C.荷叶c　　　　D.荷叶d 1.答案　C 2.★★(2026届云南丽江诊断)如图所示,一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6 m的C点以水平速度v0跳出,要到达蛛丝,水平速度v0至少为(　　) A. m/s　 B.2 m/s　 C.2 m/s　 D.2 m/s 2.答案　C 3.★★★(多选)(2025届四川遂宁蓬溪中学模拟)如图所示,内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置,轨道半径为R0,圆心为A点,AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度v0(未知量),小球从A点离开后运动到圆弧上的D点,重力加速度为g,小球可视为质点,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　) A.若∠BAD=θ,小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为β,则有 tan θ tan β=1 B.若小球从A到D的运动时间为t0,则v0= C.改变v0的大小,小球落到圆弧BC上的速度最大值为 D.改变v0的大小,小球落到圆弧BC上速度的最小值为 3.答案　BD 4.★★★(多选)(2025届广西3月调研)桂北全州县大西江镇,在红七军走过的湘桂古道上有一座古炮台。如图所示,炮筒与水平面夹角为α,炮筒口到地面的距离为h。已知炮弹从炮筒口发射的速率为v0,当地重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的有(　　) A.若α角确定,炮弹离地面的最大高度为y= B.若α角确定,炮弹从炮筒口运动到最高点所用时间为t= C.若α角不确定,炮弹射程的最大值为x= D.若α角不确定,炮弹射程的最大值为x= 4.答案　BC 题组2　立体空间中的抛体运动问题 1.★★★(多选)(2025山东,10,4分)如图所示,在无人机的某次定点投放性能测试中,目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1=5 m的圆形区域,OO'垂直地面,无人机在离地面高度H=20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2=3 m的匀速圆周运动,A、B为圆周上的两点,∠AO'B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放,为保证落点在目标区域内,无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时,相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响,物品可视为质点且落地后即静止,重力加速度大小g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.ωmax= rad/s B.ωmax= rad/s C.无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地 D.无人机运动到B点时,在A点释放的物品尚未落地 1.答案　BC 2.★★★(2025届山东济南一模)如图所示,弹珠发射器(可视为质点)固定于足够高的支架顶端,支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动,同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2(v2>v1)的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x,竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的距离为L,重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　) A.x的最小值为L　　　　B.x的最小值为L C.y的最小值为　　　　D.y的最小值为 2.答案　C 题组3　抛体运动中的相遇问题 1.★★(2026届安徽A10联盟调研)如图,小球甲、乙距离地面一定高度,同时以大小相等的初速度抛出,初速度与水平方向夹角均为α(α≠0),两球均可视为质点、在同一竖直平面内运动,不计空气阻力。两小球在空中运动的过程中,下列说法正确的是(　　) A.小球甲与小球乙在空中运动时间相等 B.小球甲与小球乙可能在空中相遇 C.小球乙相对小球甲做匀加速运动 D.小球乙相对小球甲的速度大小不变 1.答案　D 2.★★★(2025届湖南益阳安化二中三模)如图所示,在同一竖直平面内,水平面的右端固定一倾角为θ=24°的斜面,在水平面上D点正上方O点处水平向右以v0=6 m/s的速度抛出一个小球M,同时位于斜面底端C点、质量m=5 kg的滑块,在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由静止开始向上加速运动,经过时间t=1 s恰好在P点被M击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数μ=0.2,CD=3.75 m,cos 24°=0.9,sin 24°=0.4,重力加速度g=10 m/s2,小球和滑块均可看成质点,不计空气阻力,则拉力F大小为(　　) A.27 N　　　　B.36 N C.48 N　　　　D.54 N 2.答案　D 3.★★★(2026届湖南师大附中月考)如图所示,A、B、C三个球(可视为质点)初速度大小均相同,以不同方式同时抛出(地面水平长度足够),不计任何阻力,乙图中B球与地面相比无高度。假定任意球与地面碰撞后都立即消失。则有关碰撞可能性分析中,下列说法正确的是(　　) 　　 　　 A.甲图中A、B不可能碰撞,B、C可能碰撞,A、C可能碰撞 B.乙图中A、B一定碰撞,B、C可能碰撞,A、C可能碰撞 C.丙图中A、B不可能碰撞,B、C可能碰撞,A、C不可能碰撞 D.丁图中A、B可能碰撞,B、C不可能碰撞,A、C不可能碰撞 3.答案　C 第3节　圆周运动 圆周运动的运动学问题T1、3、4、8、9　　圆周运动的动力学问题T2、5、6、7、10 1.★★(多选)(2025福建,5,6分)在2025年央视春晚上,人形机器人表演了一个精彩的扭秧歌、转手绢节目。如图,机器人转动手绢,手绢绕其中心点O在一竖直面内匀速转动,O点在空间中保持不动,P、Q是固定在手绢上可视为质点的两个小饰物,与O点的距离分别为d、d,则手绢转动过程中(　　) A.Q的线速度大小是P的倍 B.Q的角速度大小是P的倍 C.P的加速度大小是Q的倍 D.P受到的合外力方向始终指向O点 1.答案　AD 2.★★(2023全国甲,17,6分)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于(　　) A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 2.答案　C 3.★★(2025重庆,3,4分)“魔幻”重庆的立体交通层叠交错,小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示,轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发,列车做匀速直线运动,汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点,则(　　) A.汽车到O点时,列车行驶距离为s B.汽车到O点时,列车行驶距离为 C.汽车在OP段的向心加速度大小为 D.汽车在OP段的向心加速度大小为 3.答案　B 4.★★(2025江苏,4,4分)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴,在水平面内沿顺时针方向匀速转动,O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置,杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　　) A.A点做匀速圆周运动 B.O'点做匀速圆周运动 C.此时A点的速度小于O'点 D.此时A点的速度等于O'点 4.答案　B 5.★★(2025山东,4,3分)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球,让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片,曝光时间为 s。由于小球运动,在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　) A.11 N　　　　B.9 N C.7 N　　　　D.5 N 5.答案　C 6.★★★(多选)(2025广东,8,6分)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2。关于该小球,下列说法正确的是(　　) A.角速度为5 rad/s B.线速度大小为4 m/s C.向心加速度大小为10 m/s2 D.所受支持力大小为1 N 6.答案　AC 7.★★(2026届重庆八中开学考)将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔,轻绳两端连接质量分别为m1、m2的小球A、B,旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动。如图所示,稳定时,轻绳和杆始终共面,连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为θ1、θ2,圆孔与A、B间的轻绳长度分别为l1、l2。若θ1<θ2,则(　　) A.m1=m2,l1=l2　　　　B.m1<m2,l1<l2 C.m1>m2,l1>l2　　　　D.m1>m2,l1<l2 7.答案　D 8.★★★(多选)(2026届四川达州中学开学考)某学校的机动车出入口采用如图所示的曲杆道闸,道闸由转动杆OM与横杆MN链接而成,M、N为横杆的两个端点。某天中午快递员将快递袋挂在了校门口道闸的横杆MN上,由于门卫没有及时将快递袋取下,在道闸抬起过程中,快递袋始终与横杆MN保持相对静止,且杆MN始终水平,此过程中杆OM绕O点从水平方向匀速转动到接近竖直方向。若快递袋可视为质点,与横杆之间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,转动杆OM长度为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.M、N两点的加速度不同 B.N点的加速度始终沿ON方向 C.M、N两点都在做匀速圆周运动 D.快递袋能够与横杆MN保持相对静止一起运动的最大速率为 8.答案　CD 9.★★★(2025届云南昆明三校联考)图1为某修正带照片,图2为其结构示意图。修正带由出带轮、传动轮、收带轮、基带、出带口等组成。测量可知出带轮有45齿,半径为12 mm,传动轮齿数未知,半径为2.4 mm,收带轮有15齿,半径未知,下列选项正确的是(　　) A.使用时,出带轮与收带轮转动方向相反 B.根据题中信息,可以算出传动轮的齿数 C.根据题中信息,不能算出收带轮轴心到齿轮边缘的半径 D.在纸面长时间匀速拉动修正带时,出带轮边缘某点的向心加速度大小不变 9.答案　B 10.★★★(多选)(2025届黑龙江哈尔滨三中月考)竖直杆上有A、B两点,间距为0.8 m。长为1 m的轻质细线一端固定于A点,另一端连接一个质量为m=0.1 kg的可看作质点的小球C,另一根长为0.6 m的轻质细线一端固定于B点,另一端也连接在小球C上,如图。现让整个系统绕竖直杆转动,取重力加速度大小g=10 m/s2,则(　　) A.当角速度等于 rad/s时,细线AC上的拉力等于 N B.当角速度等于 rad/s时,细线AC上的拉力等于 N C.当角速度大于 rad/s时,细线BC上的拉力与角速度的二次方成线性关系 D.当角速度大于 rad/s时,细线AC上的拉力与角速度的二次方成线性关系 10.答案　AC 微专题8　圆周运动的临界极值问题 题组1　水平面内圆周运动的临界极值问题 1.★★(2024广东,5,4分)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为(　　) A.r　　　　B.l C.r　　　　D.l 1.答案　A 2.★★★(2024届四川成都石室中学5月模拟)如图所示,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与中心轴的距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　) A.μ1+μ2=1　　　　B.=1 C.μ1μ2=1　　　　D.=1 2.答案　C 3.★★★(2026届河北十六校联考)如图所示,半径R=3l的光滑圆筒竖直固定,长度为5l的轻绳一端固定在圆筒轴线上一点,另一端悬挂可视为质点、质量为m的小球。现使小球在水平面内做匀速圆周运动,小球始终在圆筒内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.小球的角速度越小,轻绳的拉力越大 B.小球的角速度ω=时,轻绳的拉力为mg C.小球的角速度ω=时,小球受三个力作用 D.小球的角速度ω=时,筒壁与小球之间的作用力大小为mg 3.答案　D 4.★★★(多选)(2025届黑龙江哈尔滨双城兆麟中学月考)如图所示,在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C,圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO'转动。三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ=0.1,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三个物体与轴OO'共面且OA=OB=BC=r=0.2 m,现将三个物体用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。若圆盘从静止开始转动,角速度ω缓慢地增大,已知重力加速度为g=10 m/s2,则对于这个过程,下列说法正确的是(　　) A.A所受的摩擦力先增大再减小后不变 B.B、C两个物体受到的静摩擦力先增大后不变 C.当ω> rad/s时整体会相对圆盘发生滑动 D.当 rad/s<ω< rad/s时,在ω增大的过程中B、C间细线的张力不断增大 4.答案　BC 题组2　竖直面内圆周运动的临界极值问题 1.★★★(多选)(2023湖南,8,5分)如图,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大 B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变 C.小球的初速度v0= D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道 1.答案　AD 2.★★★(2026届浙江强基联盟一模)如图甲,小孩将足球用力从N点向前踢出,足球在竖直管道内完整绕一周后,继续运动,在P位置离开管道,恰好在管道截面圆心O点落入书包。某同学参照图甲中足球的运动轨迹画了运动示意图如图乙,图中虚线为足球的运动轨迹。若足球质量为m,运动轨迹半径为R,且忽略空气阻力的影响,下列分析正确的是(　　) 　　 A.足球离开管道前,始终做匀速圆周运动 B.足球在P点脱离管道后,处于完全失重状态 C.足球离开管道前,所受摩擦力随时间逐渐减小 D.若将足球视为质点,则P、O的连线与水平方向的夹角为30° 2.答案　B 3.★★★(2025安徽,14,14分)如图,M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距L=0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上,另一端竖直悬挂质量m=0.1 kg的小球,小球与水平地面接触但无压力。t=0时,小球以水平向右的初速度v0=10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M,运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小; (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离; (3)若在t=0时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过N的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。 3.答案　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m (3)2 m/s 解题导引　解答本题应注意以下关键点 (1)根据动能定理,计算小球通过M正下方与M相距L位置时的速度大小; (2)根据牛顿运动定律,计算绳子所受的最大拉力大小; (3)根据平抛运动规律,计算抛出点到落地点的水平距离; (4)根据动能定理和牛顿运动定律,计算小球初速度的最小值。 解析　(1)小球运动到M正下方与M相距L的位置时,绳子刚好被拉断,以小球作为研究对象,根据动能定理有-mg·2L=mv2-m 解得v=4 m/s 设绳子所受的最大拉力为Fm,根据牛顿第三定律可知小球所受的拉力Fm'=Fm,根据牛顿第二定律得Fm'-mg=m 解得Fm=17 N (2)小球做平抛运动时,水平方向有x=vt 竖直方向有2L=gt2 解得x=4 m (3)设小球的初速度最小值为v1,小球能通过N的正上方时速度的最小值为v2。 在最高点有mg=m 根据动能定理有-mg·5L=m-m 解得v1=2 m/s 题组3　斜面上圆周运动的临界极值问题 ★★★(2025届安徽江南十校一模)如图所示,用绝缘圆管做成的圆形管道固定在倾角为37°的固定斜面体上,管道内有一个直径略小于管道内径的带正电的小球。小球的质量为m,带电荷量为q。空间存在范围足够大的水平向右的匀强电场,电场强度大小为。小球以水平向右的速度v0通过最低点C,且恰好能运动到管道的最高点A,BD是管道的水平直径,不计一切摩擦,小球在运动过程中带电荷量保持不变,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　) A.小球在A点时对管道的压力大小为0.6mg B.小球的最大动能为m C.小球不能运动到管道上的D点 D.小球到达B点时的机械能最小 答案　C 实验5　探究平抛运动的特点 1.[2024河北,11(2)]图1为探究平抛运动特点的装置,其斜槽位置固定且末端水平,固定坐标纸的背板处于竖直面内,钢球在斜槽中从某一高度滚下,从末端飞出,落在倾斜的挡板上挤压复写纸,在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球,得到了如图3所示的印迹,坐标纸的y轴对应竖直方向,坐标原点对应平抛起点。 图1 ①每次由静止释放钢球时,钢球在斜槽上的高度　　　　(填“相同”或“不同”)。  ②在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。 ③根据轨迹,求得钢球做平抛运动的初速度大小为　　　　m/s(当地重力加速度g为9.8 m/s2,保留2位有效数字)。  1.答案　①相同　②见解析　③0.70 解析　①本实验探究平抛运动特点。需保证每次实验时钢球做相同的平抛运动,即每次钢球都从相同高度处静止释放。 ②如图所示 ③根据描绘出的轨迹,选出三个坐标点(8.0,5.8)、(10.0,9.0)、(12.0,13.0) 水平方向x=v0T,竖直方向Δy=y2-y1=gT2。其中y2=13-9=4 cm y1=9.0-5.8=3.2 cm 联立解得v0=0.70 m/s 2.[2022海南,14(2),6分]某学习小组探究平抛运动的特点。 ①采用如图甲所示装置探究平抛运动竖直分运动的特点。用小锤击打弹性金属片后,A球沿水平方向抛出,做平抛运动;同时B球被释放,自由下落,做自由落体运动。实验发现两球同时落地。分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度,多次重复实验,发现两球仍同时落地。根据该实验现象,可以得到的实验结论是  　。  　 ②探究平抛运动水平分运动的特点时,得到小球平抛运动的轨迹如图乙所示,其中O为抛出点,a、b、c是轨迹上选取的三个点,O与a、a与b、b与c之间的竖直距离分别为h、3h、5h,则小球从O到a、a到b、b到c的运动时间　　　　(填“相等”或“不相等”);又测得O与a、a与b、b与c之间的水平距离相等,均为x,则可分析得出平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动,小球平抛运动的初速度为　　　　(用h、x和重力加速度g表示)。  2.答案　①做平抛运动的物体,在竖直方向上做自由落体运动 ②相等　x 解析　①经过多次实验发现两个小球总是同时落地,共同点就是竖直方向的运动形式一致,即做平抛运动的物体,在竖直方向上做自由落体运动。 ②小球在竖直方向做自由落体运动,且O到a、a到b、b到c三个过程中,相邻两个过程在竖直方向上运动的距离之差均为2h,由公式Δx=aT2可知,三个过程的运动时间相等;设经过相邻两点时间间隔为t,则x=vt,在竖直方向上有2h=gt2,解得t=,所以v=x。 3.[2023浙江6月,16Ⅰ(1)]在“探究平抛运动的特点”实验中 ①用图1装置进行探究,下列说法正确的是　　　　。  A.只能探究平抛运动水平分运动的特点 B.需改变小锤击打的力度,多次重复实验 C.能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点 ②用图2装置进行实验,下列说法正确的是　　　　。  A.斜槽轨道M必须光滑且其末端水平 B.上下调节挡板N时必须每次等间距移动 C.小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下 　　 ③用图3装置进行实验,竖直挡板上附有复写纸和白纸,可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端,钢球从斜槽上P点静止滚下,撞击挡板留下点迹0,将挡板依次水平向右移动x,重复实验,挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点,竖直向下建立坐标轴y,各点迹坐标值分别为y1、y2、y3、y4。重力加速度为g,测得钢球直径为d,则钢球平抛初速度v0为　　　　。  A.　　　　B. C.　　　　D. 3.答案　①B　②C　③D 解析　①题图1装置只能用于探究平抛运动竖直分运动的特点,B正确。 ②用题图2装置进行实验时,斜槽末端必须水平,但轨道不必光滑,A错误;调节水平挡板N时,不需要等间距移动,只要能把小球的轨迹记录下来即可,B错误;为了保证小球平抛初速度相同,小球必须从M上同一位置静止滚下,C正确。 ③小球在竖直方向做自由落体运动,计算水平位移时,需要考虑小球半径的影响,根据y1=gt2、x-=v0t可知v0=,同理可得v0==,A、C错误,D正确;由y1=gt2、x-=v0t、y2=gt'2、2x-=v0t'联立可得v0=,B错误。 4.(2023北京,16,10分)用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置,探究平抛运动的特点。 (1)关于实验,下列做法正确的是　　　　(选填选项前的字母)。  A.选择体积小、质量大的小球 B.借助重垂线确定竖直方向 C.先抛出小球,再打开频闪仪 D.水平抛出小球 (2)图1所示的实验中,A球沿水平方向抛出,同时B球自由落下,借助频闪仪拍摄上述运动过程。图2为某次实验的频闪照片。在误差允许范围内,根据任意时刻A、B两球的高度相同,可判断A球竖直方向做　　　　　　运动;根据　　　　　　　　　　　　　　　,可判断A球水平方向做匀速直线运动。  　　 (3)某同学使小球从高度为0.8 m的桌面水平飞出,用频闪照相拍摄小球的平抛运动(每秒频闪25次),最多可以得到小球在空中运动的　　　　个位置。  (4)某同学实验时忘了标记重垂线方向。为解决此问题,他在频闪照片中,以某位置为坐标原点,沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向,建立直角坐标系xOy,并测量出另外两个位置的坐标值(x1,y1)、(x2,y2),如图3所示。根据平抛运动规律,利用运动的合成与分解的方法,可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为　　　　。  4.答案　(1)ABD　(2)自由落体　相等时间内A球水平分位移相等　(3)11　(4) 解析　(1)选择体积小、质量大的小球,这样可以减小空气阻力的影响,A正确;该实验应借助重垂线确定竖直方向,B正确;应先打开频闪仪,再抛出小球,C错误;实验中应使小球做平抛运动,所以要水平抛出小球,D正确。 (2)在误差允许范围内,根据任意时刻A、B两球的高度相同,可判断A球竖直方向做自由落体运动;根据相等时间内A球水平分位移相等可判断A球水平方向做匀速直线运动。 (3)小球从高度为0.8 m的桌面水平飞出,则根据h=gt2可求得小球的运动时间t≈0.404 s,每秒频闪25次,则每0.404 s可照相11次,最多可以得到小球在空中运动的11个位置。 (4)分析可知,小球在x轴方向和y轴方向均做匀变速直线运动,则相邻相等时间内的位移差相等,即Δx=aT2,则x方向有(x2-x1)-x1=axT2,y方向有(y2-y1)-y1=ayT2,重垂线方向与y轴夹角的正切值tan θ=,联立解得tan θ=。 5.(2026届山西大学附中月考)某实验小组用如图甲所示的实验装置,探究小球做平抛运动的规律,其中桌面高度为H。 　　 　　 (1)关于该实验,下列说法正确的是　　　　　(多选)。  A.斜槽轨道末端应保持水平 B.应想办法尽量减小小球与轨道之间的摩擦 C.每次应将小球从斜槽轨道上同一位置由静止释放 D.实验时,必须控制挡板高度等间距下降 (2)某次正确实验后,在方格纸上记录了小球在不同时刻的位置如图乙中a、b、c所示,建立如图乙所示的平面直角坐标系,y轴沿竖直方向,方格纸每一小格的边长为L,a、b、c三点的坐标分别为a(2L,2L)、b(4L,3L)、c(8L,8L)。在小球轨迹上取一个点d(图中未画出),使小球从b点到d点和从d点到c点的运动时间相等,则d点的纵坐标为　　　　。  (3)该小组实验过程中,利用n个厚度相同的垫板放在桌面上,通过改变垫板的个数探究初速度相同的平抛运动,如图丙所示。通过记录得到垫板个数n和小球落地时的水平位移,得到n-x2图像如图丁所示,其中H=1.5 m,g=10 m/s2。则小球平抛的初速度v0=　　　　,垫板的厚度d=　　　　。  5.答案　(1)AC　(2)5L　(3)2 m/s　0.05 m 解析　(1)为了确保小球飞出时初速度方向沿水平方向,实验中,应使斜槽轨道末端保持水平,A正确。小球每次均从斜槽同一高度由静止释放,则每次小球做平抛运动的初速度不会因为摩擦力而变化,所以实验中不需要想办法尽量减小小球与轨道之间的摩擦,B错误。为了确保小球飞出斜槽末端时的速度大小一定,实验中,应每次将小球从斜槽轨道上同一位置由静止释放,C正确。实验时,需要描出小球在纸面上的多个位置点,便于确定小球的运动轨迹,但不需要控制挡板高度等间距下降,D错误。 (2)小球飞出斜槽末端后做平抛运动,其水平分运动为匀速直线运动,为使小球从b点到d点和从d点到c点的运动时间相等,则d点的横坐标为6L;小球在竖直方向做自由落体运动,由于相邻点迹之间的时间间隔相等,根据Δy=gT2可得,相邻点迹竖直方向上的位移之差均相等,令d点的纵坐标为y,则有(y-3L)-(3L-2L)=(8L-y)-(y-3L),解得y=5L。 (3)小球做平抛运动,则有H+nd=gt2,x=v0t,解得n=x2-,结合题图丁有= m-2,-=-30,解得v0=2 m/s,d=0.05 m。 实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 1.[2023浙江1月,16Ⅰ(2)]“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。 ①采用的实验方法是　　　;  A.控制变量法 B.等效法 C.模拟法 ②在小球质量和转动半径相同的情况下,逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的　　　　之比(填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”);在加速转动手柄过程中,左右标尺露出红白相间等分标记的比值　　　　(填“不变”“变大”或“变小”)。  1.答案　①A　②角速度平方　不变 解析　①本实验是为了探究向心力与影响它的多个因素的关系,故采用控制变量法。 ②根据向心力Fn=mrω2可知,当m、r一定时,标尺露出的等分标记的比值即向心力之比,等于角速度平方之比,且加速转动过程比值保持不变。 2.[2024海南,14(1),6分]水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体,如图(a)所示,图(b)为俯视图,测得圆盘直径D=42.02 cm,小圆柱体质量m=30.0 g,圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动,转动时小圆柱体相对圆盘静止。 　　 为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况,某同学设计了如下实验步骤: ①用秒表测圆盘转动10周所用的时间t=62.8 s,则圆盘转动的角速度ω=　　　　　rad/s(π取3.14)。  ②用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的横截面直径,某次测量的示数如图(c)所示,该读数d=　　　mm,多次测量后,得到平均值恰好与d相等。  ③写出小圆柱体所需向心力表达式F=　　　　(用D、m、ω、d表示),其大小为　　　　　N(保留2位有效数字)。  2.答案　①1　②16.2　③mω2(D-d)　6.1×10-3 解析　①圆盘转动的周期T==6.28 s,则角速度ω==1 rad/s。 ②根据游标卡尺读数规则有d=16 mm+2×0.1 mm=16.2 mm。 ③由圆周运动向心力表达式有F=mω2×,代入数据解得F≈6.1×10-3 N。 3.(2025届广东广州二模)某小组用图(a)装置探究“向心力大小与半径、周期的关系”。通过紧固螺钉(图中未画出)可在竖直方向调整水平横梁位置,位移传感器、力传感器均固定在横梁上,两传感器和光电门都与计算机相连;小球放在一端有挡光片的水平横槽上,细绳一端p连接小球,另一端q绕过转向轮后连接力传感器,力传感器可测量细绳拉力,位移传感器可测量横梁与横槽之间的距离。小球和细绳所受摩擦力可忽略,细绳q端与直流电机转轴在同一竖直线上。光电门未被挡光时输出低电压,被挡光时输出高电压。实验步骤如下。 　 (1)如图(b),用螺旋测微器测量小球直径d=　　　　mm,若测得直流电机转轴到小球之间绳长为L,则小球做圆周运动的半径r=　　　　　(用d、L表示)。  (2)探究向心力大小与半径的关系:启动直流电机,横槽带动小球做匀速圆周运动,保持　　　　不变,记录力传感器读数F0,位移传感器读数H0,小球做圆周运动的半径r0。降低横梁高度,当位移传感器读数为H1时,小球做圆周运动的半径r1=　　　　(用r0、H0、H1表示),待电机转动稳定后再次记录力传感器读数F1,重复多次实验得到多组数据,通过计算机拟合F-r图像,可得线性图像。  (3)探究向心力大小与周期的关系:保持小球做圆周运动的半径不变,调节直流电机转速,待电机转动稳定后,计算机采集到光电门输出电压u与时间t的关系如图(c),则小球做圆周运动周期T=　　　　　(选用t0、t1、t2表示)。记录力传感器读数F和周期T,重复多次得到多组数据,通过计算机拟合　　　　　图像(选填下列选项字母代号),可得线性图像。  A.F-T　　　　B.F-T2　　　　C.F- 3.答案　(1)7.884(7.883或7.885也正确)　L+　(2)周期　r0+H0-H1　(3)t2-t0　C 解析　(1)螺旋测微器的读数为7.5 mm+0.01 mm×38.4=7.884 mm,小球做圆周运动的半径r=L+。 (2)探究向心力大小与半径的关系,应控制变量周期不变;探究过程中连接小球的绳长不变,根据几何关系可得H0+r0=H1+r1,解得r1=r0+H0-H1。 (3)由题图(c)可知,t0时刻进入光电门,t2时刻再次进入,则T=t2-t0;向心力F=mr,要得到线性图像,应拟合F-图像,C正确。 第 2 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $