模型二：不同轨迹比较时间模型（含等时圆） 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

模型二 不同轨迹比较时间模型（内含等时圆模型） 一、比较小球沿不同斜面下滑时间 1.模型解析 （1）背景 完全相同的小球分别在不同光滑轨迹上从顶端下滑到底端，斜面的高或底边相等，比较小球在不同斜面下滑所用时间。 ①等高不同底斜面轨迹，如图所示。 ②等底不同高斜面轨迹，如图所示。 （2）知识回顾 ①[相互作用－基础知识]受力分析。 ②[直线运动－基础知识]运动学公式。 2.解题步骤 （1）找到多段轨迹的关联边（不同轨迹中共同的量），根据几何关系求得位移 x （2）对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律求得加速度 a （3）根据匀变速直线运动公式 列方程求解时间 t，并进行比较。 3.案例分析 （1）案例一：等高不同底斜面轨迹 如图所示，一质量为 m 的物体分别从高度相同、倾角不同的光滑固定斜面 1、2 的顶端由静止下滑。设两斜面的高均为 h，斜面 1 的倾角为 ，斜面 2 的倾角为 (），物体沿斜面 1 下滑的时间为 ，物体沿斜面 2 下滑的时间为 。请比较 与 的大小关系？ [解析] 第一步，找到两段轨迹共同的关联边，根据几何关系求得位移 x 由图可知，两斜面的高 h 相同，故可选用含 h 的表达式计算出物体运动的位移。 设斜面 1 的长度为 ，斜面 2 的长度为 ，则由几何关系可知：， 第二步，对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度 a 小球沿斜面 1 下滑时，沿斜面方向，由牛顿第二定律得：，故 同理，小球沿斜面 2 下滑时，由 可得 第三步，根据匀变速直线运动公式 ，求解时间 t 并进行比较 小球沿斜面 1 下滑时，由 得 ，解得 同理，小球沿斜面 2 下滑时，由 ，解得 由于 ，故 ，因此 （2）案例二：等底不同高斜面轨迹 如图所示，一质量为 m 的物体分别从底边长度相同、倾角不同的光滑固定斜面 1、2 的顶端由静止下滑。设两斜面的底边长度 ，斜面 1 的倾角为 ，斜面 2 的倾角为 (）。物体沿斜面 1 下滑的时间为 ，物体沿斜面 2 下滑的时间为 。请比较 与 的大小关系？ [解析] 第一步，找到多段轨迹共同的关联边，根据几何关系求得位移 x 由图可知，两斜面的底边长度 l 相同，故可选用含 l 的表达式计算出物体运动的位移。 设斜面 1 的长度为 ，斜面 2 的长度为 ，则由几何关系可知：， 第二步，对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度 a 小球沿斜面 1 下滑时，沿斜面方向，由牛顿第二定律得：，故 同理，小球沿斜面 2 下滑时，由 可得 第三步，根据匀变速直线运动位移 x 与时间 t 的关系，列方程求解时间 t 并进行比较 小球沿斜面 1 下滑时，由 得 解得 同理，小球沿斜面 2 下滑时，由 可得 由于 ，故 ，因此 ，故可知 4.思路总结 （1）对于物体沿等高不同底的斜面下滑比较时间的问题，先用斜面的高 h 和倾角 θ 表示出物体位移 x 和加速度 a，再代入 求出时间 t，最后根据 θ 的大小关系进行比较。 （2）对于物体沿等底不同高的斜面下滑比较时间的问题，先用斜面的底边长 l 和倾角 θ 表示出物体位移 x 和加速度 a，再代入 求出时间 t，最后根据 θ 的大小关系进行比较。 （3）对于此类问题，解题的核心是抓住题目情境中的不变量，再巧妙利用不变量和一个变量表示出待求的物理量。 二、等时圆模型（二级结论） 1.模型解析 （1）结论描述 ①物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到最低点所用时间相等。如图甲所示， ②物体从竖直圆环最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等。如图乙所示， （2）结论证明 对甲图进行分析：任选甲图中的一段轨迹进行研究。如图所示，设圆环的半径为 R，轨迹 MN 所对的圆周角为 θ，则物体从 M 运动到 N 的位移为 物体下滑过程中，对物体受力分析： 牛顿第二定律可得 ，故滑块沿斜面下滑的加速度大小为 根据 ，可知 t 的值只与圆的半径 R 有关，与 θ 无关，故有 注：图乙的证明过程与上述过程类似，先任取一段轨道研究，设轨迹所对圆周角为 θ，再用含 θ 的表达式计算出物体的位移 x 和加速度 a，之后根据 计算出 ，最后根据 t 与 θ 无关，得出 2.解题思路（等时圆模型使用说明） （1）识别模型：物体由静止开始分别沿多段一端相交的光滑斜面下滑，比较下滑过程所用的时间。 （2）设置顶点 ①多段轨迹在上端相交：交点为等时圆的最高点。 ②多段轨迹在下端相交：交点为等时圆的最低点。 （3）作等时圆：先过最高点或最低点作竖直线，再以某轨迹为弦，作圆心在竖直线上的圆。 （4）比较时间：根据等时圆模型的结论，比较物体沿多段轨迹下滑的时间。 3.案例分析 （1）案例一：多段轨迹在上端相交 如图所示，倾角为 θ 的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方 A 点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上 B、C、D 三点，其中 AB 竖直向下，AC 与斜面垂直，现有三个质量均为 m 的小圆环（看作质点）分别套在三根细杆上，依次从 A 点由静止滑下，滑到斜面上 B、C、D 三点所用时间分别为 、、。请比较 、、 之间的大小关系？ [解析] 第一步：识别模型 小圆环 3 次运动过程均从 A 点由静止滑下，轨迹 AB、AC、AD 光滑且在上端相交，需要比较 、、 的关系，由此联想到等时圆模型。 第二步：设置顶点 AB、AC、AD 轨迹在上端 A 点处相交，故选取 A 点作为等时圆的上顶点（最高点）。 第三步：作等时圆 过顶点 A 作竖直线，该竖直线与 AB 重合。由于 AC⊥BC，故可选取 AC 作为等时圆的一条弦，AB 可作为等时圆的直径。根据上述分析，作出如下图所示的等时圆。 第四步：比较时间 如图，B、C、E 点都在等时圆上，故由等时圆模型的结论可知： ，又因为 ，故 （2）案例二：多段轨迹在下端相交 如图所示，在竖直墙面上有 A、B 两点，地面上有 M 点，A、M 连线与水平面成 45°角，B 点在 A 点上方，C 点位于 M 点正上方且与 A 等高。现在 AM、BM 之间架设光滑轨道，让三个处于静止状态的小球 a、b、c 分别从 A、B、C 三点沿轨道 AM、BM 下滑和自由下落，不计空气阻力，则 a、b、c 运动到地面所需的时间 、、 的大小关系是？ [解析] 第一步：识别模型 3 个小球最终均到达 M 点，轨迹 AM、BM 光滑，物体沿 CM 自由落体的过程可视为沿竖直轨迹下滑。 三段轨迹 AM、BM、CM 在下端 M 点处相交，需要比较 、、 的大小关系，由此联想到等时圆模型。 第二步：设置顶点 轨迹 AM、BM、CM 在下端 M 点相交，故选取 M 点作为等时圆的下顶点（最低点）。 第三步：作等时圆 过顶点 M 作竖直线，该竖直线与 CM 重合。选取轨道 AM 为圆的一条弦，则由 A、M 连线与水平面成 45°角可知 C 为等时圆的圆心。根据上述分析，作出如下图所示等时圆： 第四步：比较时间 如图，A、E、D 点都在圆周上，故由等时圆模型的结论可知： ，又因为 ，，故 （1）熟记等时圆模型的结论：物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到最低点所用时间相等，物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间也相等。 （2）应用等时圆模型：先通过多段轨迹的交点确定等时圆的最高点或最低点，再以某段轨迹为弦作等时圆，最后根据等时圆的二级结论比较物体沿斜面下滑所用的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $