上海市第二中学2027届高三上学期摸底考数学试卷

2027届市二中学高三上摸底考数学 一、填空题 1．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是_________． 2．设曲线在点处的切线方程为，则_________． 3．已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 4．五一节放假期间，甲、乙、丙三人来厦门旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来厦门旅游的概率为_________． 5．设，则_________（结果用数值表示） 6．若函数（）的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为_________． 7．函数，图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，．则的最小值是_________． 8．已知，，且，．则的值为_________． 9．已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．则四边形面积的最小值为_________． 10．如图，已知椭圆的方程为，为椭圆的左顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于_________． 11．如图，已知在多面体中，平面是正方形，平面，，，，取的中点，点为线段上的一动点． ①当时，平面 ②直线与所成角的正切值为； ③存在点使； ④的中点到平面的距离为．则以上说法正确的序号是_________． 12．已知，若存在，，，使得，若的最大值为，最小值为，则_________． 二、单选题 13．在等比数列中，，，则（ ）． A． B． C． D． 14．函数的图象大致是（ ）． A． B． C． D． 15．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为4，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 16．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）． A． B． C． D． 三、解答题 17．已知等差数列满足：，，其中是数列的前项和． （1）求数列的通项； （2）令，证明：． 18．在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状． 19．如图一，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图二所示的四棱锥，其中平面平面． （1）设为的中点，在上是否存在一点，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的，，，都有． （1）若，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意和都恒成立，求实数的取值范围． 21．双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于，两点． （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，且，求的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届市二中学高三上摸底考数学试卷参考答案 一、填空题 1.-14.8 2.3 3.(0,2) 3 4.4 5.0 6. 7.8 3π 8.4 9.2 2v2 10.3 11.①③④ 3π 12.2 二、单选题 13.A 14.A 15.A 16.C 三、解答题 17.【答案】(1)am=”；(2)见解析 6a+15d=21 【解析】(1)数列a,}为等差数列，依题意S,=21,S,=28,所以7a+21d=28 所以a=1,d=1,所以an=n. =(-2a.-02a,+0 4n (2) -r"r 2n+1 4+*6+写写传》--W =1-(-1)” 1-≤1+ 1 2n+2 2n+1 2n+12n+1. 2π 18.【答案】(1)3；(2)等腰三角形 tan4=3-tanB tan元-tanB 3 tan 1+3tanB 1+tan z.tanB 【解析】(1)因为 3 A=-B+,k∈Z,即 所以3 LA+B=5+kmk∈Z 3 因为A+B∈(0，)，所以 +B-号.数C=x-(4+= 23,故 (2)由A+B+C=元，所以sinC=sin[π-(4+B]=sim(A+B) t故由2sin4cosB+sinC=2sin(A+B)→2sin4cosB+sin(A+B)=2sim(A+B) 则2sin4cosB=sin(A+B）,化简得sin4cosB-cos4sinB=0, 即si血(A-B)=0,所以A-B=0, 又因为 +B=元-C=及A=B= 3,所以 6, 所以△ABC是等腰三角形. AM=14B √2 19.【答案】(1)存在，且 4 :(2)3 AM=1AB 【解析】(1)存在，且 取DE的中点L,连接AL,FL, FL-1AB :FLIIEC,ECI∥AB,.FLI∥AB且 4 ∴.FLIAM,FL=AM, .AMFL为平行四边形，∴.MF∥AL, 因为MF￠ADE上，ALC平面ADE,所以MF∥平面ADE AM 1 故线段AB上存在满足题意的点M,且AB4. (2)取AB的中点K,AE的中点O,连接OK, D,O⊥AE,OK⊥AK, 因为平面D,AE上平面ABCE,则DOL平面ABCE, 故以O为坐标原点，OA,OK,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得B(-2,25.0.C(225,0）.(-5.00.D(00,2)】 Ec=(2,2,0).ED=(2,02).BD=(2,-22,V2) 设平面CD,E的一个法向量为m=(x少2)】 m.EC=0 「-V2x+V2y=0 由m:ED=0,即V2x+V2z=0 令术=1，解得y=1,z=-1,所以m=(1,-), 2 D 设直线BD与平面CD,E所成角为0， sin=cos(m,BD)- m BD 22 √2 BD V3×V123 √2 所以直线BD与平面CD,E所成角的正弦值为3、 【解析】(1)设任意，七，满足-2≤x<,≤2 f6)-f,)=fk)+f)=)x-5)<0 由题意可得 x+(-53) 即f()<f(), f()在定义域[2,2]上是增函数。 a<1 则f(2a-)<f(a)可化为-2≤2a-1<a≤2，解得2 e0A子】 (2)由1)知不等式f()s(5-2a1+1对任意re[-2,2]和a∈-1,2]都恒成立， f=()s(5-2)+1对任意的a∈-1,2]都恒成立， f(2)=3≤(5-20)r+1恒成立， 即21a-51+2≤0对任意的a∈-，2]都恒成立， 令8(a)=2a-5+2,a∈[l,2]. 「g(-1)=-7t+2≤0 则只需8(2)=-1+2≤0 解得≥2，t的取值范国2，+0)】 21.【答案】(1)y=±V2x:(2) ￥5 5 【解析】(1)设A(x4少) 由愿意，B(c,0),c=V1+6.片=b2(c2-1)=b 因为△F4B是等边三角形，所以2c=V5y, 即401+B)=36,解得62=2 故双曲线的渐近线方程为y=±V2x (2)由已知，F(-2,0)E(2,0) 设4(，H),B(x,乃)，直线：y=k(x-2).显然k≠0 3 由Dy=k(x-2),得（k-3)r2-4kx+4h2+3=0 因为1与双曲线交于两点，所以2-3≠0，且△=36(1+)>0 设AB的中点为M(xM,w) 由(A+F8=0FM.B=0,知RM1AB,散kwk=-1 而=古52 3k 2k2二3yM=kxM-2)=2一3kFM2k2 所以22-36=-12=3 3k *5 ,得5，故的斜率为5