福建省龙岩市重点中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三诊断考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设集合A={-1,1,10,100},B={x|x2+x-2026<0},则A∩B= A.{-1} B.{1,10,100》 鞍 C.{-1,1,10) D.{-1,1,10,100} 2.复数(2-i)(1十i)的实部为 A.5 B.3 C.1 D.-1 3.若sina=√2cosa,则tan(r一a)= 封 A-√2 B.-2√2 C.√② D.2√2 4.已知向量a,b满足a⊥b,a-b1=2,a=(0,1),则|b|= A.1 B.2 C.2 D.3 5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N,其 中为常数.在此条件下，训练104个单位的数据量所需要的时间是训练108个单位的数据 量所需要的时间的 A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍 6.已知平行直线11，l2分别过点A(2,5)和B(1,2),则这两条直线之间的距离的最大值为 A.3 B.4 线 C.23 D.√10 7.某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：kg)如下： 4.8,4.9,4.9,5.0,5.0,5.0,5.0,5.1,5.1,5.2.这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍 标准差范围内的有 剂 A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 8.四棱台的各顶点都在球O的球面上，其上、下底面分别是边长为4√2和5√2的正方形，高为 3,则球O的体积为 A.100π B.200元 C500r D.10002x 3 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=sin(2x十p)(lp<)的部分图象如图所示，则 A9=5 7π Bf(x)的图象关于点(-石，0)中心对称 C.函数y=sin2x的图象可以由f(x)的图象向左平移5个单位长度得到 D.函数y=sn2x的图象可以由f(x)的图象向右平移个单位长度得到 6 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2一2x,则 A.f(0)=0 B.f(x)的值域为R C.当x<0时，f(x)=-x2-2x D.f(x)>0的解集为(-∞，一2)U(2,十∞) 1,已知O为坐标原点圆C1(@>b>0)的右焦点为F1,0),A,B为C上两 且关于原点对称，M,N分别为线段AF,BF的中点，下列结论正确的是 AIMN|的取值范围为[b,a] B.若|MN|=b,则直线AB的斜率为0 C若MN=1,则C的离心率的取值范图为灯号，) D.若|MN|=1,则M,N,O,F四点共圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=4-2+1+1的值域为▲： 13.已知点P在双曲线C:x2一兰=1上，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积 6 为▲ 14.已知有穷整数数列{an}共有m项.若对任意的k∈{1,2，…，6}，在{am}中存在a:,a+1, a+2,…,a+(j≥0)，使得a:十at1十a+2十…十at=k,则m的最小值为▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥ AB,BC=2AD=2,PD=AB=√3」 (1)若E为PB的中点，证明：AE/平面PCD. (2)求二面角A-PB-C的正弦值， D 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 甲组与乙组进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目决出胜组、负组，胜组得20分，负组 得10分.已知甲组在三个项目中得胜的概率依次为0.5,0.4,0.3，各项目的比赛结果相互 独立 (1)求甲组得分比乙组得分高的概率 (2)用X表示甲组的总得分，求X的分布列与期望 1 17.(15分) a sin(C+B) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,6=$imC-B (1)证明：C=2B, (2)若A为钝角，a=11,△ABC的面积为22，求b. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 组 已知F是抛物线C:y2=2px(0<p≤4)的焦点，N是圆M:(x一2)2十y2=1上的动点， 互 1 IFN的最大值为4 (1)求抛物线C的方程 (2)过抛物线C上一点P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B. (i)若直线AB的斜率为1，求点P的坐标； (i)求△PAB面积的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=sinx十ax2(a≥l) (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程. 31 (2)证明：f(x)>16a一2 封》 (3)证明：对任意的s,t∈(0，十∞)，有f(s十t)>f(s)十f(t). 线 墨 【高三数学第4页（共4页）】 高三诊断考试 数学参考答案 1.C经验证可得，A∩B={一1,1,10. 2.B(2一i)(1+i)=2-i+2i-=3+i,实部为3. 3.A tan a-sin a-,tan(x-a)=-tan a=-2. cos a 4.D因为a⊥b,所以a·b=0.(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+b2=4,解得|b|=3. 5.B设训练104与108个单位的数据量所需要的时间分别为T1,T2. 210_2402103,所以训练10个单位的数据量所需要的时间是训练 T2klog2108-81og210 位的数据量所需要的时间的3倍. 6.D当直线l1,l2与AB垂直时，这两条直线之间的距离d取得最大值，dmx=|AB|= √(2-1)2+(5-2)2=√/10 7.C这10个西瓜质量的平均值云=5.0，方差g2=0×[48-5.02+2X(4.9-5.0)2+4× (5.0一5.0)2十2×(5.1一5.0)2+(5.2-5.0)2]=0.012，标准差s=√0.012.在以平均数为 中心，1倍标准差范围内，即在(5.0一√0.012,5.0十√0.012)内的西瓜有8个. 8.C四棱台下底面中心到上底面的顶点的距离为5，等于其到下底面各顶点的距离，所以球O 的半径为5，体积为暂×5-50 3 9.ABD 由()=-1，得sn(2×登+)=-1，所以2×登+9=一受+2xA∈Z,解得9 +2kx,k∈z又因为g<受，所以g=5,f(x)=sin(2x+）,A正确f(x)的图 象关于点（一石，0）中心对称，B正确，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y= 一si血2x的图象，C错误.函数y=sin2x的图象可以由了(x)的图象向右平移石个单位长度 得到，D正确 10.ABCf(0)=0,A正确. 当x>0时，f(x)=x2一2x≥一1，由奇函数的性质可得，当x<0时，f(x)≤1，所以f(x) 的值域为R,B正确. 当x>0时，f(x)=x2-2x,则当x<0时，一x>0,f(x)=-f(-x)=一[(-x)2-2X (-x)]=一x2一2x,C正确 f(x)>0的解集为(-2,0)U(2,十∞)，D错误. 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 11.ACD设MN与x轴交于点E.因为M,N分别为线段AF,BF的中点，所以MN∥AB, MNI=2AB1,EF1=OE1=台-因为AB1∈[26,2a],所以IMN1∈[b,a],A 正确。 若|MN|=b,则|AB|=2b,A,B分别为C的上、下顶点，此时直线AB的斜率不存在，B 错误。 若MN=1,则10A=OB=1,所以0<b≤1，a=√+c∈(1W2],C的离心率∈ [受)，c正确 因为A,B为C上两点，且关于原点对称，所以|OA|=|OB|,IEN|=|EM.因为|MN|= 1,所以EN=EM=EF=OE1=2,M,N,O,F四点共圆，D正确. 12.[0,+∞)f(x)=4-2+1+1=(2-1)2≥0 13.号设P(红9)，则z号-曾-1.双曲线C的渐近线方程为y=士6x,P到两条渐近线的 距离的乘积为N6x十l.6x。-_16x-y_6 √7 今 7 14.3若m≤2，则至多有a1,a2,a1十a2这3个数字，而k的取值有6个，不符合题意.当m=3 时，数列1,3,2满足a1=1,a3=2,a2=3,a1十a2=4,a2十a3=5,a1十a2十a3=6,所以m的 最小值为3. 15.(1)证明：取BC的中点F,连接EF,AF.… …1分 在△PBC中，E,F分别为PB,BC的中点，所以EF∥PC 因为EF平面PCD,PCC平面PCD,所以EF平面PCD.…2分 又ADBC,AD=CF=1,所以四边形AFCD是平行四边形，所以AFCD 因为AF庄平面PCD,CDC平面PCD,所以AF平面PCD.…3分 因为EF∩AF=F,EFC平面AEF,AFC平面AEF,所以平面AEF平面PCD.… …4分 因为AEC平面AEF,所以AE平面PCD.… …5分 (2)解：连接DF,以D为坐标原点，DA,DF,DP所在直线分别 为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,W3,0),F(0,W3,0),P(0,0,W3),…6分 AB=(0,3,0),AP=(-1,0,N3),B2=(-1,-√3，W3),BF =(-1,0,0).…7分 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1), 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 n1·AB=3y1=0, 则 取x1=√3，则n1=(W3,0,1).…9分 n1·Ap=-x1+√3x1=0, n2·B2=-x2-3y2十V3x2=0, 设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 n2·BF=-x2=0, 取y2=1,则n2=(0,1,1).… …11分 设平面PAB与平面PBC所成的角为0， 则cos0=cos(n1,n21=m1·n:=1=2 Γn1ln2|2√2 4,sin0=①4 41 所以二面角A:PBC的正孩值为平。 …13分 [注]第(1)问另证如下： 取PC的中点G,连接EG,DG(图略).… …1分 在△PBC中，E,G分别为PB,PC的中点，所以EG/BC,EG=2BC=1=AD.因为AD∥ BC,所以ADEG,所以四边形ADGE为平行四边形，AEDG.…3分 因为AE中平面PCD,DGC平面PCD,所以AE平面PCD.… …5分 16.解：(1)设甲组在三个项目中得胜的事件依次为A,B,C, 甲组得分比乙组得分高的概率P=P(ABC)+P(ABC)十P(ABC)+P(ABC)·4分 =0.5×0.4×0.3+0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.35.…6分 (2)X的可能取值为30,40,50,60.…7分 P(X=30)=0.5X0.6X0.7=0.21,…8分 P(X=50)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,…10分 P(X=60)=0.5X0.4X0.3=0.06,…11分 P(X=40)=1-P(X=30)-P(X=50)-P(X=60)=0.44.…13分 X的分布列为 X 30 40 50 60 P 0.21 0.44 0.29 0.06 E(X)=30X0.21+40×0.44+50X0.29+60×0.06=42.…15分 1证明：因为后-欲C+所以品合 sin A sin B sin(C-B)' …3分 因为sinA≠0，所以sin(C-B)=sinB.…4分 所以C-B=B或C-B+B=π（舍去），所以C=2B. ……6分 (2)解：在△ABC中，作BC边上的高AD(图略). 因为△ABC的面积为2a…AD=2,a=1,所以AD=4.…8分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 设BD=x,则CD=11-x. mB品-兰mc8 x 10分 2tan B tan C=tan 2B= 18p2p 12分 4 2X4 所以1一 ,化简得3x-2x-16=0,解得x=8(x=-号舍去) …14分 1-() CD=11-x=3,AC=√AD2+CD2=5,即b=5.…15分 18.解：()F(号，0），圆M的圆心为M(2,0),半径r=1.…1分 1FN的最大值为FM+r=√（侵一-2）+1-是，解得=(p-艺会去)，…3分 所以抛物线C的方程为y2=x.… …4分 (2)(1)因为AB⊥PM,直线AB的斜率为1，所以直线PM的斜率为一1，…5分 所以直线PM的方程为y=一x十2.… …6分 y=-x十2，x=1,x=4, 由 y2=x, 得 或 y=1y=-2, 所以P(1,1)或P(4,-2).…8分 (i)记AB与PM交于点E. R△PBERAPME,器-器-品，PEI=,BE-PB1 |PB|2 PBI PM IPB:.PBL PBIPMP-BMT) △PAB的面积S=|PEI·IBE引=PM·PM=PM亦 PM2 (IPM-1) PM2 …12分 设P(6),则1PM2=(8-2》+=-3+4=(8-)+7≥子，当且仅当 气士y时，等号成立，- …14分 令x=1Pw≥名则5-D令届数f)-红，≥子则ru) x-1)(2x+ >0,所以f(c)在[子，十o∞)上单调递增，…16分 fC≥f(?)-所以△PAB面积的最小值为2源 17分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 19.(1)解：当a=1时，f(x)=sinx十x2,f(0)=0.…1分 f'(x)=c0sx十2x,f'(0)=1.…2分 曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x.…4分 (2)证明：f'(x)=cosx+2ax. 令函数g(x)=f'(x),则g'(x)=一sinx十2a>0,所以g(x)=f'(x)是增函数.…5分 f(0)=1>0f'(-2）=c0s2-a<0,… …6分 所以存在x,∈(-号，0)，使得fx,）=c0sx十2a,=0,即co…7分 所以当x∈(-∞，xo)时，f'(x)<0,当x∈(xo,十∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在（一∞，xo)上单调递减，在(xo,十∞）上单调递增.…8分 f(z)2≥fc)=-sin o+a6=sinx十0cosx,马 4asin2zo十sino十 4a …9分 因为x,∈(-号，0），所以0>sinx,>sin(-号)>sin(-）=-号， …10分 因为函数A()=+x+在(-，0)上单调递增， 所以fc≥mx,+n+>×分号+品。 ，…11分 (3)证明：令m(x)=f(x十t)-f(x)(x>0),则m'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)- g)..................................... …13分 因为t>0,所以x十t>x>0.因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以g(x十t)>g(x),则 m'(x)=g(x十t)-g(x)>0,m(x)在(0，十o∞)上单调递增.…15分 因为s>0,所以m(s)>m(0),即f(s十t)-f(s)>f(t)-f(0).…16分 因为f(0)=0,所以f(s十t)>f(s)+f(t).… …17分 织 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】