专题08 平面几何（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面解析几何 6大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆及其性质 考点03双曲线及其性质 考点04抛物线及其性质 考点05圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06圆锥曲线中的新定义 》 考点01直线与圆 1.(25-26学年高三上山东青岛青岛第一中学.期中)（多选)已知直线1：kX-y+2k=0和圆0： x2+y=9交于A,B两点，则下列结论正确的是( A.直线l恒过定点2,0 B.存在k使得直线l与直线lo:x-2y+2=0垂直 C当∠A0B最小时，共余弦值为司 D.若k=-1,直线被圆O截得的弦长为2V可 2.(25-26学年高三上山东青岛第五十八中学期中)己知直线：X-’+6石与圆x2+y2=12交于A,B两 点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则CD= 3.(25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中)将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记 为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使两条直线l1:ax+by=3,12:x+2y=2平行的概率为 P,相交的概率为P,若点D,P在圆X-m+y三的内部，则实数m的取值范围是 D考点02椭圆及其性质 0<q<T片+只图音性塑《中断去装三 y=kxk≠0交椭置C于M,N两点.老1PM=到FN∠MFN=2.则椭圆C的高心本为 A.▣ B.V▣ 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c婴 D.▣ 2. (2526学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中)已知点F,F,是椭圆B:艾+兰=1a>b>0的左、 a2'b2 右焦点，点M为椭圆B上一点，点F1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若 7 Cos∠FMF2=g,则椭圆B的离心率为( ) A.▣ B.▣ c.▣ D.▣ 子牛高三上山东莱州第一中学·期中)椭圆E:+y=1(α>b>0)的左石焦点分别为正 焦距为2只叵，O为原点.椭圆E上任意一点到F1,F2距离之和为2只V石 (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点P(0,2)的斜率为2的直线交椭圆E于A、B两点，求△OAB的面积 4,（25-26学年高三上~山东青岛青岛第一中学期中)已知椭圆米+少=1a>b>0的左右顶点分别为 a2b21 A1,A,右焦点为F已知|A1F=3,A,F=1 (1)求椭圆的方程和离心率： (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A2P交y轴于点Q,若三角形A,PQ的面积是三角形A2PF 面积的二倍，求直线A2P的方程. 5.(2526学年高三上山东青岛青岛第一中学期中)已知椭圆C:×+兰=1，E,上，为C的左，右焦点， 43 P为C上的一个动点（异于左右顶点），设△F1PF2的外接圆面积为S1,内切圆面积为S2,则S1+2S2的 最小值为 D考点03双曲线及其性质 1(25-26学年高三上山东青岛第五十八中学期中)已知双曲线过点(4，口，且渐近线方程为y=士X, 则该双曲线的标准方程为 D考点04抛物线及其性质 213 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学期中)已知抛物线C:x=4y的焦点为F,准线为l,与y轴 平行的直线与1和抛物线C分别交于A,B两点，且直线AF的倾斜角为150°，则AB=( A.2V▣ B.2V▣ C.6 D.4 ①考点05圆锥曲线中的定点、定值问题 1.（25-26学年高三上：山东青岛第二中学期中)已知A,B分别为稀圆八， 4+y=1的左顶点和下顶点， T为直线x=3上的动点 I)求ATBT的最小值： (2)设直线TA与椭圆T的另一交点为D,直线TB与椭圆T的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时， 求点T的坐标： (3)已知直线1：y=kx-V叵(k≥0)与圆F: 交于M,N两点，与椭圆厂交于P,Q两 点，其中M,P在第一象限，d为原点O到直线1的距离，是否存在实数k,使得NQ-MPd取得最 大值？若存在，求出k;若不存在，说明理由 考点06圆锥曲线中的新定义 1.(25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中)已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系XOy 中，将任意向量0Q=X,y饶原点0，沿逆时针方向旋转日角，会得到向量 OP=xocos 0-yo'sine,xo'sin0+yo'cos (1)将0Q绕着原点0沿逆时针方向旋转号后得到0P,且0p=1,1求0Q的坐标： (2)者Q为曲线y-之上任意一点，将0Q绕若限点0沿递时针方向旋铃7牙后得到0p:记P点的轨迹曲 线为E. (i)求E的方程； (i)若等腰直角△ABC的三个顶点均在曲线E上，求△ABC面积的最小值. 3/3 专题08 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）（多选）已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线：垂直 C. 当最小时，其余弦值为 D. 若，直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【分析】 对于A：整理可得，即可判断定点；对于B：分析可知对任意，直线与圆相交，取符合题意；对于C：分析可知取到最小值，等价于取到最小值，结合余弦定理运算求解；对于D：先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】 对于选项A：因为直线：，即， 所以直线恒过定点，且斜率为，故A错误； 对于选项B：圆：的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 则对任意，直线与圆相交， 又因为直线：的斜率为， 所以当，则，两直线垂直， 所以存在使得直线与直线：垂直，故B正确； 对于选项C：若取到最小值，等价于取到最小值， 当且仅当时，取到最小值， 此时直线：,， ， 又因为直线：不可能表示，所以,即无最小，故C不正确； 对于选项D：若，则直线：， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故D正确； 故选：BD. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则　　　　　　　　　. 【答案】4 【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 【考点】直线与圆的位置关系 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解. 【详解】 若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】 设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，所以椭圆的离心率为.   故选：A. 2．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】 由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 3．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的斜率为2的直线交椭圆于､两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果. (1) 小问详解： 由题意可得，，∴，，， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 直线l的方程为， 代入椭圆方程得，设，， 则，，， ∴， 又∵点O到直线AB的距离， ∴ ， 即△OAB的面积为. 4．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.     （2）.      【分析】 （1）由 解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. (1) 小问详解： 如图，    由题意得 ，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. (2) 小问详解： 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组 ，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 5．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可. 【详解】 由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：，整理可得， 所以的面积，故的内切圆半径， 所以，因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为． 【点睛】 结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论： (1)椭圆焦点三角形的周长； (2)椭圆焦点三角形的面积； (3)三角形外接圆的半径公式：； (4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长) 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为. 点为该双曲线上的点， . 该双曲线的方程为：，即. 故本题正确答案是. 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（     ） A.  B.  C. 6 D. 4 【答案】D 【分析】 由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】 由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值； （2）首先利用点的坐标表示直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，求点和点的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解； （3）一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得关于的关系式，利用基本不等式得最值即可得结论. (1) 小问详解： 设，，， ， 当时，的最小值为； (2) 小问详解： ，与椭圆：联立，    ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理为，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； (3) 小问详解： 由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外，    在直线上四点满足：, 由 ，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系中，将任意向量绕原点，沿逆时针方向旋转角，会得到向量. （1）将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，且，求的坐标； （2）若为曲线上任意一点，将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，记点的轨迹曲线为. （i）求的方程； （ii）若等腰直角的三个顶点均在曲线上，求面积的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）由坐标旋转的定义列式求解； （2）（i）设和，由坐标旋转的定义可得 ，结合点在曲线上，代入运算得解； （ii）将的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积表达式，再利用导数即可求出最小值. (1) 小问详解： 设，， 则有， 所以. (2) 小问详解： （i）设和，且，， 则， 则 ， 在曲线上， ，将，的表达式代入化简得，故的方程为. （ii）由（i）知的内接等腰面积的最小值，等于曲线的内接等腰面积的最小值. 如图，设为直角顶点，，， 则， 则斜率，斜率， ，，即…， ，，化简得：， 即，显然， 所以， 将式代入得…，易知， 将式和式代入式得， 令，则，则， 令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 所以曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．BD 2．【答案】4 【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 【考点】直线与圆的位置关系 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 3．【答案】 【分析】 首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解. 【详解】 若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 考点02 椭圆及其性质 1．A 2．B 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果. (1) 小问详解： 由题意可得，，∴，，， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 直线l的方程为， 代入椭圆方程得，设，， 则，，， ∴， 又∵点O到直线AB的距离， ∴ ， 即△OAB的面积为. 4．【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.     （2）.      【分析】 （1）由 解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. (1) 小问详解： 如图，    由题意得 ，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. (2) 小问详解： 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组 ，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 5．【答案】 【分析】 当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可. 【详解】 由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：，整理可得， 所以的面积，故的内切圆半径， 所以，因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为． 【点睛】 结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论： (1)椭圆焦点三角形的周长； (2)椭圆焦点三角形的面积； (3)三角形外接圆的半径公式：； (4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长) 考点03 双曲线及其性质 1．【答案】 【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为. 点为该双曲线上的点， . 该双曲线的方程为：，即. 故本题正确答案是. 考点04 抛物线及其性质 1．D 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值； （2）首先利用点的坐标表示直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，求点和点的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解； （3）一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得关于的关系式，利用基本不等式得最值即可得结论. (1) 小问详解： 设，，， ， 当时，的最小值为； (2) 小问详解： ，与椭圆：联立，    ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理为，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； (3) 小问详解： 由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外，    在直线上四点满足：, 由 ，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）由坐标旋转的定义列式求解； （2）（i）设和，由坐标旋转的定义可得 ，结合点在曲线上，代入运算得解； （ii）将的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积表达式，再利用导数即可求出最小值. (1) 小问详解： 设，， 则有， 所以. (2) 小问详解： （i）设和，且，， 则， 则 ， 在曲线上， ，将，的表达式代入化简得，故的方程为. （ii）由（i）知的内接等腰面积的最小值，等于曲线的内接等腰面积的最小值. 如图，设为直角顶点，，， 则， 则斜率，斜率， ，，即…， ，，化简得：， 即，显然， 所以， 将式代入得…，易知， 将式和式代入式得， 令，则，则， 令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 所以曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $