专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 5 2．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若角的终边上有一点，且，则　　　　　　； 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）角的终边过点，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 2．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知第二象限角满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东德州·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（        ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）下列化简正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（       ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知，，则的值（     ） A.  B.  C. 2 D.  12．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知锐角满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　　　. 15．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知，，则　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）在矩形中，，为边上的两个点，，当在线段上运动时，记，，则的最大值为　　　　　. 17．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知锐角满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　　　　　　　　　　． 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为32，则（       ） A.  B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 点是图象的一个对称中心 3．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝ A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东日照·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 5．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 6．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.设函数，若的最小值为，则（     ） A.  B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递增 7．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）函数是（       ） A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为 C. 周期函数，且在上单调递减 D. 非周期函数，且在上单调递减 8．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为 D. 的最小正周期为 9．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 10．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A.  B. 函数为奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 11．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知函数，，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位得到的图象 12．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（       ）． A． B． C． D． 13．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数，则在上的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  16．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 0 18．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）（多选）已知函数的部分图象如图，则（       ） A. 函数为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 20．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 21．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）（多选）若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（       ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 22．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 23．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. （1）求函数的表达式及的值； （2）已知，若函数，的值域为，求，的值. 24．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知函数. （1）求函数的单调减区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象，若对都有恒成立，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.在斜坐标系中，完成下列问题： （1）若，求； （2）已知，，设，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是函数的一个对称中心，求函数的单调递增区间. 28．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 29．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 30．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）设，则的最大值为　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知函数的最小正周期为，且. （1）求在的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，，当时，恒成立，求的最小值. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知的内角，，满足，其外接圆半径为2，则的面积为（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  3．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）记内角、、的对边分别为，，，若，，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 4．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）在中，，为边上的两点，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 5．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，线段上一点满足，求的长． 6．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 7．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中） 中，是上的点, 平分,. （1）求 ； （2）若,求. 8．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，共线． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，且，求的值． 9．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 10．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 11．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高. 12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 13．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，角、、的对边分别为、、，为锐角，且. （1）求角的大小； （2）再从下面①、②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. ①，；②，. 注：如果选择①和②分别解答，按第一个解答计分. 14．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知的三个内角，，对应的边为，，，，. （1）求； （2）求的取值范围； （3）求的最大值. 15．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知函数． （1）当时，求的值域； （2）在中，是边的中点，已知的面积为，，求的长． 16．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 17．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 18．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 19．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是　　　　　　. 20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 21．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，求的值． 22．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知三个内角的对边分别为，且，若求时有两解，则的取值范围为　　　　　. 23．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知的内角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 24．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）记的内角的对边分别为，其面积为，已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 26．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，已知，，则的面积为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． （1）求角的大小； （2）若，求； （3）若，求 28．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 29．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，为边上一点，，，，，.当面积最小时，　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】 由,所以. 故选：C 2．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【详解】 因为，所以， 又， 所以. 故选：B 3．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若角的终边上有一点，且，则　　　　　　； 【答案】 【分析】 根据公式,即可得解. 【详解】 ，即，解得. 由于,故，则. 故答案为：-1 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）角的终边过点，则（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】B 【分析】 根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】 由题意有：，所以， 故选：B. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】 设，则， . 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知第二象限角满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用诱导公式可得，由平方关系可求，由商数关系可得：，利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】 由题可得：，则， 因为在第二象限，所以， 则， 所以. 故选：D 4．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】 由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 5．（25-26学年高三上·山东德州·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由诱导公式将所求正弦转化为余弦，再结合余弦倍角公式计算即可. 【详解】 由题. 故选：D 6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦公式可求得值. 【详解】 因为， 所以， 又， 所以， 所以，， 所以， 故选：C 7．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】 设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）下列化简正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】 对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 9．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将弦化切，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】 因为，所以，解得或， 又，所以，则， 所以. 故选：C 10．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（       ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 利用和差角的余弦公式判断①，根据正弦定理判断② ，结合锐角三角形及正弦函数的性质判断③，结合两角和的余弦公式判断④ . 【详解】 对于①：若，即， 即，则， 所以，所以， 又，所以，所以，则，所以， 则一定是等腰三角形，故①正确； 对于② ：在中，由正弦定理及，得，故② 正确； 对于③：由是锐角三角形，得 ，所以， 又在上单调递增， 因此，即，故③正确； 对于④：由，得，在中，， 所以， 则，即，于是， 即，所以，因此是钝角，则为钝角三角形，故④错误. 故选：C 11．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知，，则的值（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 先利用二倍角的正弦公式和切化弦可将三角函数式化为，然后我们可以利用同角的三角函数关系和两角和的余弦公式可求三角函数式的值，也可以利用两角和的余弦和平方关系直接展开求，后可求三角函数式的值，也可以逆用两角和的正切公式和二倍角公式求三角函数式的值，也可以利用角的整合，结合两角差的余弦求出后求三角函数式的值. 【详解】 . 解法1：， ，，故， ，，两边平方后可得， ，. 解法2：，得， 平方得，， ，，， 原式. 解法3：因为，，所以，即， 又， 故原式. 解法4：因为，，所以 ， 又，所以，， 原式. 12．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用和两角和差余弦公式可化简得，结合两角和差正切公式可构造方程组求得. 【详解】 ，即， ， 整理可得：，， ，， 由 得：或， 又，. 故选：C. 13．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知锐角满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由条件可知，通过已知条件与和差角公式化简得的值，解方程得到，的值，再由二倍角公式求得的值，从而得出角的值. 【详解】 由，得， 所以，又， 则， 解得或， 当时，因为，所以，此时不存在； 当时，因为，所以，而， 则， 因为为锐角，所以. 故选：B. 14．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 因为，所以 由 ， 故答案为： 15．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知，，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意得，根据同角三角函数的关系，可得和的值，代入两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】 因为，且， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 16．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）在矩形中，，为边上的两个点，，当在线段上运动时，记，，则的最大值为　　　　　. 【答案】 【分析】 设，，用表示，最后借助基本不等式求得最大值. 【详解】 设，作于H，    由对称性，不妨设， 设，， 则有，，则， ， ① 当H在上时，； ② 当H在上时，； 故. 所以 ，（令） ，（令） ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为：. 17．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知锐角满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】 ∵，∴， 将左边括号展开移项后两边同除可得， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】B 【详解】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得， ∵，∴，∴函数在上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性． 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为32，则（       ） A.  B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】 由面积公式可判断A；由函数的奇偶性可判断B；由正弦函数的单调区间可判断C；由正弦函数的对称中心可判断D. 【详解】 根据题意可得，解得，A错误； ，， 所以是奇函数，B正确； 令，得，取，则在上单调递减，C正确； 令，得，当时，，D正确． 故选：BCD 3．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝ A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可． 【详解】由题意可知T，所以ω＝2， 函数的解析式为：f（x）＝Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0＝Atan（φ）所以φ， 图象经过（0，1），所以，1＝Atan，所以A＝1，所以f（x）＝tan（2x）则f（）＝tan（） 故答案为B. 【点睛】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力． 4．（25-26学年高三上·山东日照·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】 由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】 因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 5．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【分析】 结合图像得到，利用周期公式得到，从图像中可知是一个下零点，得到即可求解判断选项A；将代入不成立即可判断选项B；利用伸缩变换求出解析式即可判断C；利用平移变换得到解析式即可判断选项D. 【详解】 选项A，，，，，， ，是一个下零点， ，，所以， ，故选项A正确； 选项B，因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B错误； 选项C，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，与相同，故选项C正确； 选项D，的图象向左平移个单位长度，得到， 图象关于轴对称，故选项D正确. 故选：ACD. 6．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.设函数，若的最小值为，则（     ） A.  B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递增 【答案】AC 【分析】 根据已知由诱导公式可得，结合的最小值可得的值，由三角恒等变换确定函数的解析式，根据正弦型函数的对称性、单调性逐项判断即可. 【详解】 由题可得， 则，所以， 因为，所以当时，得的最小值为，则，故A正确； 因为， 则， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B不正确； 又， 故点是图象的一个对称中心，故C正确； 当，则，所以在上不单调，故D不正确. 故选：AC. 7．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）函数是（       ） A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为 C. 周期函数，且在上单调递减 D. 非周期函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】 利用特殊值法可判断AB选项；利用函数周期性的定义、复合函数的单调性可判断CD选项. 【详解】 因为的定义域为， 因为，， 所以，即函数不是偶函数，AB选项都错； 因为， 故函数是周期函数， 因为， 当时，令，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上为减函数，C对D错. 故选：C. 8．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为 D. 的最小正周期为 【答案】BC 【分析】 根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，可得函数为偶函数，所以A错误，B正确； 又由函数的最小正周期为，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 9．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【分析】 根据向量数量积的几何意义可得出的图象的两条相邻对称轴之间的距离，进而得出，再利用图象变换依次得出满足各个选项条件的解析式即可. 【详解】 设在上的投影向量为，则， 因，则，， 因分别为的图象的两条相邻对称轴上的动点，则， 得， 故，， 将的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象： A： B：， C：， D： ，故符合题意的只有B选项. 故选：B 10．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A.  B. 函数为奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【分析】 对A：计算出结合值域即可得；对B：求出后结合奇函数定义即可得；对C：代入计算即可得；对D：结合余弦函数图象计算即可得. 【详解】 对A：，由于， 故，故A正确； 对B：， 由， 故不为奇函数，故B错误； 对C：，则，， 则或，，故C正确； 对D：，当时，， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知函数，，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】BD 【分析】 利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】 因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，在上单调递增，B对； 对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错； 对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，D对. 故选：BD. 12．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】 单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】 本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 13．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数，则在上的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先化简的表达式，然后采用换元法令，求解出的最小值即可知的最小值. 【详解】 ， 当时，令，且在上单调递增， 所以， 所以，此时， 故选：D. 14．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】 因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 15．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  【答案】ACD 【分析】 根据图像的平移变换得，利用二倍角的正弦公式得，又由的图像关于点对称得，，进而求解. 【详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 又因为的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 则，，所以，， 又因为，所以的最小值为1， 故可取的值为1，，4. 故选：ACD. 16．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求函数的对称轴，再结合已知的对称轴求的值. 【详解】 函数的对称轴方程为： ，，. 由函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称， 所以函数的一条对称轴为. 由，. 因为，所以时，. 故选：C 17．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】 因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ② ①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 18．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合代入即可分析求解. 【详解】 由题函数 ， 当，则， 因为在区间内没有零点， 所以即， 且，解得， 令得 或0， 则当时，有；当时，有； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 19．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）（多选）已知函数的部分图象如图，则（       ） A. 函数为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 【答案】BCD 【分析】 根据图象求出函数的解析式，再根据函数奇偶性判断A，根据正弦函数单调性判断B，根据正弦函数的周期判断C，根据函数在上有2个零点判断D即可. 【详解】 由图象可得， ,, ，又点在图象上，代入可得, 由，可得， 故. 对于A，， 令，由于，故为奇函数，A错误； 对于B，令，, 解得， 故函数的单调递增区间为 当时，单调区间为， 而，故B正确. 对于C，若  ，则  的最小值为  ， 若  ，则  和  分别为最大值 和最小值 ，或反之. 函数  的周期为  ， 因此相邻最大值和最小值之间的距离为半个周期, 因此，选项C正确. 对于D，函数，，令，得，解得, 当时，时，； 时，； 时，（时，，不符合有2个零点）， 故函数在上有2个零点，则， 解得，故D正确. 故选：. 20．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】ACD 【分析】 选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项B不正确；选项C，由对称轴为，计算得解； 选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为，结合图像得到，计算得解. 【详解】 选项A，，在的图象上， ，，，，， ，，， 在轴左侧，，，， 的最大值为4，最小值为，又，， ，，，，，故选项A正确； 选项B，，，，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 故选项B不正确； 选项C，，对称轴为，，当时，对称轴为，故选项C正确； 选项D，， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， ，， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，，故选项D正确. 故选：ACD. 21．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）（多选）若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（       ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 【答案】ACD 【分析】 A选项，先得到，，利用三角恒等变换和最小正周期公式得到A正确；B选项，求导，得到，B错误；C选项，求出，不妨设，即，求导，得到的单调性，从而得到函数的最大值；D选项，转化为，求出，同一坐标系内画出，及的图象，数形结合得到答案. 【详解】 A选项，由题意得，， ，故最小正周期为，A正确； B选项，，则， 不是函数的一个极值点，B错误； C选项，，不妨设，即， ， 由于恒成立，令得，， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 极大值，又， 因为,所以的最大值为，C正确； D选项，， 令得， 其中，则， 同一坐标系内画出，及的图象，如下： 要想函数在只有一个零点， 即，与只有1个交点， 则，D正确. 故选：ACD 22．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 【答案】AD 【分析】 由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围得解可判断A；由正弦定理求出外接圆半径得出面积可判断B；由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值判断C；由题可知点在以为直径的圆上，根据三点共线求最值判断D. 【详解】 ，由可知，故， 由，则， 由在区间上单调递增可知，得到， 代入可知题设条件成立，故，于是，故A正确； 因为，由可得，由正弦定理得外接圆直径 ，所以的外接圆面积为，故B错误； 不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，故， 由等面积法可得，于是， 而，故， 于是，故， 故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故C错误； 当取得最大值时，，记的中点为，如图， 由，可知点在以为直径的圆上（除去B、C），则，由等腰三角形性质可知，故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立，故的取值范围是，故D正确. 故选：AD 23．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. （1）求函数的表达式及的值； （2）已知，若函数，的值域为，求，的值. 【答案】（1），.     （2），或，.      【分析】 （1）由函数图象的最高和最低点可得、，进而.将点代入函数可得或，分别验证即可； （2）利用三角函数的有界性求得，根据换元法（），将原函数变形为，，分类讨论的单调性，根据一次函数的图象与性质和值域建立关于的方程组，解之即可. (1) 小问详解： 因为该函数在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和， 所以，周期满足，解得. 由函数的图象与轴的交点为， 可得，即. 又，解得或. 当时，. 由，即，得， 当时，，即. 当时，. 此时函数图象在轴右侧第一个最低点的坐标为，第一个最高点坐标是，不合题意. 综上，，. (2) 小问详解： 当时，， 所以，即. 令，则原函数变形为，. 当时，函数不合题意，舍去. 当时，函数在上为严格增函数，原函数值域为， 即 解得，； 当时，函数在上为严格减函数，原函数值域为， 即 解得，. 综上，，或，. 24．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】 由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 25．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详解】 由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则， 即. 故答案为：. 26．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知函数. （1）求函数的单调减区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象，若对都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，对称中心为     （2）      【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出函数的减区间，利用正弦型函数的对称性可求出函数的对称中心坐标； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在区间上的最大值和最小值，由已知得出 ，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为 ， 由得， 由可得， 所以函数的单调递减区间为，对称中心为. (2) 小问详解： 将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 当时，，则， 故， 由可得，则对任意的恒成立， 所以 ，解得， 因此实数的取值范围是. 27．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.在斜坐标系中，完成下列问题： （1）若，求； （2）已知，，设，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是函数的一个对称中心，求函数的单调递增区间. 【答案】（1）     （2）()      【分析】 （1）先表示出，然后采用先平方再开方的方法结合向量的数量积运算可计算出； （2）根据数量积运算结合二倍角公式和辅助角公式化简，通过整体替换法求解出的值，再通过整体替换法可求解出的单调递增区间. (1) 小问详解： 由已知得， 所以， 故. (2) 小问详解： ， 由的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则， 因为是的一个对称中心， 所以()，所以()， 因为，所以，所以， 由()，解得()， 所以的单调增区间为(). 28．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）化简，代入对称点得，结合即可得到答案； （2）根据平移和收缩的原则得，再根据余弦型函数的性质即可得到值域. (1) 小问详解： 由题知，， 所以， 即，所以． 因为图象关于点对称，所以， 所以，又因为，所以． (2) 小问详解： 由（1）知，． 将函数图象上各点横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到， 再将得到的图象向左平移个单位，故得到函数． 当时，， 故当，即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增． 所以，则值域为. 29．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 【答案】（1）；对称轴方程为     （2）      【分析】 （1）利用三角恒等变换可得，结合周期性求的值，再以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）根据图象变换可得，结合三角恒等变换运算求解，注意以整体和三角函数值的符号性. (1) 小问详解： 因为 ， 由题意可知：函数的最小正周期为，且， 可得，解得，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为. (2) 小问详解： 将的图象向左平移个单位长度，可得， 再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 因为，即， 且，则， 可得，， 则 ， 所以. 30．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）设，则的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 对展开化简得到：，使用辅助角公式换元化简求出其最大值并检验其是否存在即可. 【详解】 对展开化简得：， 令，，使用辅助角公式得：， 其中，， 故， ，当时取得最大值， 故. 当且仅当且时取到等号， ，存在，使得， 故最大值为， 故答案为： 31．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知函数的最小正周期为，且. （1）求在的值域； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，，当时，恒成立，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）整理可得，根据周期和求，以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解； （2）根据图像变换可知，分析可知函数在内单调递减，结合正弦函数的单调性运算求解. (1) 小问详解： 由题意可知： ， 因为函数的最小正周期为，且， 则，可得，即， 又因为，可得， 所以. 因为，则， 可得，即， 所以在的值域为. (2) 小问详解： 将的图象向右平移个单位长度， 得到函数， 若，即， 且，，，可知函数在内单调递减， 则， 因为，则， 可得，解得， 所以的最小值为. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】 设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知的内角，，满足，其外接圆半径为2，则的面积为（       ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 因为， 即， 即 又，故， 所以 所以 ， 因为外接圆半径为2， 又因为， 所以， 故选：A. 3．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）记内角、、的对边分别为，，，若，，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 由正弦定理、三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】 因为，由正弦定理可得：，因为， 所以，则, 因为，当且仅当时取等号， 所以，则. 故选：B 4．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）在中，，为边上的两点，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 对于A：由题意知，由及余弦定理分析判断；对于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面积最大值；对于C：可知点在外接圆的优弧上运动，当经过圆心时最长，根据余弦定理可求得最长值；对于D：取的中点，设，可知，根据角度关系结合三角恒等变换求的值，进而求和. 【详解】 在中，设角所对的边分别为， 对于选项A：因为， 则， 可得， 且 ，可得，即， 由余弦定理， 消去可得， 所以，故A正确； 对于选项B：在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 所以，故B错误； 对于选项C：在中，设外接圆半径为，圆心为，    则点在外接圆的优弧上运动（不包括端点）， 则，即， 且，，则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以当经过圆心时最长，最长为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接，    因为，， 可知，且点为的中点， 设， 在中，则， 在中，可得， 因为， 则， 即，解得， 可得 ， 且为锐角，所以，故D正确； 故选：ACD 5．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，线段上一点满足，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出、，即可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理计算可得. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得：， 所以, 在中，， 所以，化简得：， 由于，则，则， 又，所以. (2) 小问详解： 由余弦定理， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中，由正弦定理，即，解得. 6．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. (1) 小问详解： 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. (2) 小问详解： 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 (3) 小问详解： 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 7．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中） 中，是上的点, 平分,. （1）求 ； （2）若,求. 【答案】（1）     （2）30°      【分析】 (1) 利用正弦定理转化得：(2)由诱导公式可得 由(1)知, 所以 (1) 小问详解： 由正弦定理得 因为AD平分,,所以. (2) 小问详解： 因为 所以 由(1)知, 所以. 8．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，共线． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用共线向量的坐标表示及正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）根据给定条件，取中点，可得，由（1）中信息结合直角三角形边角关系求解. (1) 小问详解： 向量，，由， 得，由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得，而， 则，而，所以外接圆的半径. (2) 小问详解： 由，得，取中点，连接，则， 由，得，由（1）知，则， ，所以. 9．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解； （2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解. (1) 小问详解： ， 令，解得， 故函数的单调递减区间为； (2) 小问详解： ，则，则， 即，又，故， 则，故， ， 即，则， 即有，故的周长为. 10．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 【答案】（1）2     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）将已知条件转化成，利用余弦定理得出，化简得，再代入面积公式求解即可. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 则，所以， 因为在中，，所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 由及得. 在中，利用余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积为. 11．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，结合三角形的性质即可求出角； （2）利用余弦定理结合三角形的面积即可求出边上的高. (1) 小问详解： 由正弦定理得：， 在三角形中， 即， 即， 因为，所以，即，而， 所以，所以，所以. (2) 小问详解： 由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得， 得，所以，又，所以， 故边上的高为. 12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用正弦定理得，由两角差的余弦公式得，进而求解； （2）由，利用两角和的正弦公式结合得，利用为锐角三角形得，进而求解. (1) 小问详解： 由，由正弦定理得， 又，则，故， 化简得， 又，故； (2) 小问详解： 由， 所以， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 13．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，角、、的对边分别为、、，为锐角，且. （1）求角的大小； （2）再从下面①、②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. ①，；②，. 注：如果选择①和②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 条件① ：的面积为； 条件② ：的面积为.      【分析】 （1）利用正弦定理化简得出的值，结合已知条件可得出角的值； （2）选① ，利用余弦定理可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选② ，利用正弦定理求出的值，并求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 因为，则，所以. 因为，所以. (2) 小问详解： 条件① ：，； 因为，，由（1）得， 所以根据余弦定理得，化简整理为，解得， 所以的面积； 条件② ：，， 由（1）知，， 根据正弦定理得，所以. 因为， 所以， 所以的面积. 14．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知的三个内角，，对应的边为，，，，. （1）求； （2）求的取值范围； （3）求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化结合同角三角函数关系即可求出角； （2）由三角恒等变换转化为只含角三角函数关系，应用角的范围即可求出的取值范围； （3）把向量乘积转化为三角形边与夹角的问题，再结合正弦定理边角互化，转化为同角三角函数关系求最值即可. (1) 小问详解： ，， 由正弦定理得： ， 为三角形内角，，， ， (2) 小问详解： ，， ， ，， (3) 小问详解： ， 下面求的最大值： 由正弦定理：，， ， ，， 最大值为，最大值为. 15．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知函数． （1）当时，求的值域； （2）在中，是边的中点，已知的面积为，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数性质计算即可得； （2）由可解出，再利用面积公式计算可得，利用同角三角函数基本关系与三角形内角关系计算可得，则可由正弦定理得到，从而可计算出、，最后在中运用余弦定理计算即可得解. (1) 小问详解： ， 当时，，故； (2) 小问详解： 由，即，则， 即，又，故， ，则， 由，，则， 则 ， 则由，有， 又，则，则，故， 在中，有， 即. 16．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； (2) 小问详解： 由正弦定理得：，则，则，. 17．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式逆用以及商数关系化简运算即可求解； （2）由平方后结合基本不等式得，进一步结合余弦定理即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以， 则， 故， 因为，，， 所以，又，所以． (2) 小问详解： 因为BC边的中线长为2，所以，两侧平方可得， 即，解得，当且仅当时取等号， 所以，可得， 所以a的最小值为． 18．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1）     （2）4     （3）      【分析】 （1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. (2) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. (3) 小问详解： 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组 ，解得，所以， 所以的面积. 19．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由余弦定理结合基本不等式可得，由三角函数性质计算可得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】 由余弦定理可得， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 因为，在上单调递减， 所以，则， 所以的面积. 故答案为：. 20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式、辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）（i）利用三角形的面积公式可得出，结合余弦定理可得出，由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得线段的长； （ii）由正弦定理结合两角差的正弦公式得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，可得出的取值范围，设，可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围，即为所求. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 因为， 化简得， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得. (2) 小问详解： （i）由余弦定理可得，即， 又因为，可得，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ，故； （ii）由正弦定理得， 因为为锐角三角形，且，由 得， 所以，则，故， 设，则，所以，解得， 因此长度的取值范围是. 21．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，求的值． 【答案】（1） 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或(舍去，此时，不符合条件)， 所以.     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理进行边化角，然后结合两角和差的正弦公式可完成证明； （2）先求得的值，然后通过等面积法求得的关系式，进而求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 且， 所以， 在中，， . 22．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知三个内角的对边分别为，且，若求时有两解，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据余弦定理可得，结合题意可得 ，进而求解即可. 【详解】 由余弦定理得，， 则， 由题意，有两解，且，则 ，解得， 又，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 23．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知的内角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1） 由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以.     （2）      【分析】 （1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证； （2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，再用两角和的余弦公式可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 故. 24．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）记的内角的对边分别为，其面积为，已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 应用余弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得. 【详解】 由，则， 所以，，则. 故答案为： 25．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，且，      【分析】 （1）借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得； （2）（Ⅰ）设，借助正弦定理与三角形面积公式可表示出，再结合三角恒等变换公式与的范围计算即可得；（Ⅱ）由题意可得为定值，则可借助三角恒等变换公式将等式变形成含有相关角的形式，再令含变量的系数为计算即可得解. (1) 小问详解： ，则， 则； (2) 小问详解： （Ⅰ）由，则， 则， 又，则，，有， 故，， 不妨设更靠近，如下图，设，则， 则，， 在中，有，即， 在中，有，即， 则 ， 由，则，故， 故； （Ⅱ） ， 由 ， 则， 故可变形为： ， 即， 由，，，故， 则当为常数时，为定值，又为常数， 则需满足 ， 则， 即，又，故， 则， 故存在，且，，使得对于任意满足题意的，， 都有恒成立. 26．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，已知，，则的面积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用辅助角公式以及正弦、余弦函数的有界性可得出、、的值，利用余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】 因为，即， 其中为锐角，且， 由 ，所以，， 因为，，则， 又因为，故， 因为，则，故，所以， 所以，， 因为，，则， 因为，则，所以，所以， 由余弦定理可得， 可得，故. 故答案为：. 27．（25-26学年高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． （1）求角的大小； （2）若，求； （3）若，求 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. (1) 小问详解： 因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. (2) 小问详解： 在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. (3) 小问详解： 设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 28．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由三角形三个角的关系、诱导公式以及二倍角公式化简等式即可求得角，由圆周角与圆心角的关系即可得到的值； （2）由正弦定理得到边关于的关系式，然后由锐角三角形的角的关系求出的取值范围，即可求得边的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，得到点坐标，设坐标，得到坐标，从而求出其模长，由锐角三角形得到变量的取值范围，即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以； (2) 小问详解： 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以 ，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是； (3) 小问详解： 以为原点，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以，所以， 设，则， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 29．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在中，为边上一点，，，，，.当面积最小时，　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据三角形面积公式可得，利用正弦定理化简计算可得，利用换元法（）得，结合二次函数的图象与性质求解即可. 【详解】 ， 所以. 在中，由正弦定理得，化简得. 在中，由正弦定理得，化简得. 故， 令， 则， 由二次函数性质可知，， 函数开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值， 即当，取最小值， 此时. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 根据公式,即可得解. 【详解】 ，即，解得. 由于,故，则. 故答案为：-1 考点02 三角恒等变换 1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．C 8．ABD 9．C 10．C 11．B 12．C 13．B 14．【答案】 【分析】 利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 因为，所以 由 ， 故答案为： 15．【答案】 【分析】 由题意得，根据同角三角函数的关系，可得和的值，代入两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】 因为，且， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 16．【答案】 【分析】 设，，用表示，最后借助基本不等式求得最大值. 【详解】 设，作于H，    由对称性，不妨设， 设，， 则有，，则， ， ① 当H在上时，； ② 当H在上时，； 故. 所以 ，（令） ，（令） ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】 ∵，∴， 将左边括号展开移项后两边同除可得， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．B 2．BCD 3．B 4．ABD 5．ACD 6．AC 7．C 8．BC 9．B 10．ACD 11．BD 12．A 13．D 14．D 15．ACD 16．C 17．B 18．D 19．BCD 20．ACD 21．ACD 22．AD 23．【答案】（1），.     （2），或，.      【分析】 （1）由函数图象的最高和最低点可得、，进而.将点代入函数可得或，分别验证即可； （2）利用三角函数的有界性求得，根据换元法（），将原函数变形为，，分类讨论的单调性，根据一次函数的图象与性质和值域建立关于的方程组，解之即可. (1) 小问详解： 因为该函数在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和， 所以，周期满足，解得. 由函数的图象与轴的交点为， 可得，即. 又，解得或. 当时，. 由，即，得， 当时，，即. 当时，. 此时函数图象在轴右侧第一个最低点的坐标为，第一个最高点坐标是，不合题意. 综上，，. (2) 小问详解： 当时，， 所以，即. 令，则原函数变形为，. 当时，函数不合题意，舍去. 当时，函数在上为严格增函数，原函数值域为， 即 解得，； 当时，函数在上为严格减函数，原函数值域为， 即 解得，. 综上，，或，. 24．【答案】 【分析】 由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】 由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 25．【答案】 【分析】 结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详解】 由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则， 即. 故答案为：. 26．【答案】（1）单调递减区间为，对称中心为     （2）      【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出函数的减区间，利用正弦型函数的对称性可求出函数的对称中心坐标； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在区间上的最大值和最小值，由已知得出 ，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为 ， 由得， 由可得， 所以函数的单调递减区间为，对称中心为. (2) 小问详解： 将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 当时，，则， 故， 由可得，则对任意的恒成立， 所以 ，解得， 因此实数的取值范围是. 27．【答案】（1）     （2）()      【分析】 （1）先表示出，然后采用先平方再开方的方法结合向量的数量积运算可计算出； （2）根据数量积运算结合二倍角公式和辅助角公式化简，通过整体替换法求解出的值，再通过整体替换法可求解出的单调递增区间. (1) 小问详解： 由已知得， 所以， 故. (2) 小问详解： ， 由的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则， 因为是的一个对称中心， 所以()，所以()， 因为，所以，所以， 由()，解得()， 所以的单调增区间为(). 28．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）化简，代入对称点得，结合即可得到答案； （2）根据平移和收缩的原则得，再根据余弦型函数的性质即可得到值域. (1) 小问详解： 由题知，， 所以， 即，所以． 因为图象关于点对称，所以， 所以，又因为，所以． (2) 小问详解： 由（1）知，． 将函数图象上各点横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到， 再将得到的图象向左平移个单位，故得到函数． 当时，， 故当，即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增． 所以，则值域为. 29．【答案】（1）；对称轴方程为     （2）      【分析】 （1）利用三角恒等变换可得，结合周期性求的值，再以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）根据图象变换可得，结合三角恒等变换运算求解，注意以整体和三角函数值的符号性. (1) 小问详解： 因为 ， 由题意可知：函数的最小正周期为，且， 可得，解得，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为. (2) 小问详解： 将的图象向左平移个单位长度，可得， 再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 因为，即， 且，则， 可得，， 则 ， 所以. 30．【答案】 【分析】 对展开化简得到：，使用辅助角公式换元化简求出其最大值并检验其是否存在即可. 【详解】 对展开化简得：， 令，，使用辅助角公式得：， 其中，， 故， ，当时取得最大值， 故. 当且仅当且时取到等号， ，存在，使得， 故最大值为， 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）整理可得，根据周期和求，以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解； （2）根据图像变换可知，分析可知函数在内单调递减，结合正弦函数的单调性运算求解. (1) 小问详解： 由题意可知： ， 因为函数的最小正周期为，且， 则，可得，即， 又因为，可得， 所以. 因为，则， 可得，即， 所以在的值域为. (2) 小问详解： 将的图象向右平移个单位长度， 得到函数， 若，即， 且，，，可知函数在内单调递减， 则， 因为，则， 可得，解得， 所以的最小值为. 考点04 解三角形 1．C 2．A 3．B 4．ACD 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出、，即可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理计算可得. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得：， 所以, 在中，， 所以，化简得：， 由于，则，则， 又，所以. (2) 小问详解： 由余弦定理， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中，由正弦定理，即，解得. 6．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. (1) 小问详解： 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. (2) 小问详解： 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 (3) 小问详解： 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 7．【答案】（1）     （2）30°      【分析】 (1) 利用正弦定理转化得：(2)由诱导公式可得 由(1)知, 所以 (1) 小问详解： 由正弦定理得 因为AD平分,,所以. (2) 小问详解： 因为 所以 由(1)知, 所以. 8．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用共线向量的坐标表示及正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）根据给定条件，取中点，可得，由（1）中信息结合直角三角形边角关系求解. (1) 小问详解： 向量，，由， 得，由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得，而， 则，而，所以外接圆的半径. (2) 小问详解： 由，得，取中点，连接，则， 由，得，由（1）知，则， ，所以. 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解； （2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解. (1) 小问详解： ， 令，解得， 故函数的单调递减区间为； (2) 小问详解： ，则，则， 即，又，故， 则，故， ， 即，则， 即有，故的周长为. 10．【答案】（1）2     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）将已知条件转化成，利用余弦定理得出，化简得，再代入面积公式求解即可. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 则，所以， 因为在中，，所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 由及得. 在中，利用余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积为. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，结合三角形的性质即可求出角； （2）利用余弦定理结合三角形的面积即可求出边上的高. (1) 小问详解： 由正弦定理得：， 在三角形中， 即， 即， 因为，所以，即，而， 所以，所以，所以. (2) 小问详解： 由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得， 得，所以，又，所以， 故边上的高为. 12．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用正弦定理得，由两角差的余弦公式得，进而求解； （2）由，利用两角和的正弦公式结合得，利用为锐角三角形得，进而求解. (1) 小问详解： 由，由正弦定理得， 又，则，故， 化简得， 又，故； (2) 小问详解： 由， 所以， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 13．【答案】（1）     （2） 条件① ：的面积为； 条件② ：的面积为.      【分析】 （1）利用正弦定理化简得出的值，结合已知条件可得出角的值； （2）选① ，利用余弦定理可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选② ，利用正弦定理求出的值，并求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 因为，则，所以. 因为，所以. (2) 小问详解： 条件① ：，； 因为，，由（1）得， 所以根据余弦定理得，化简整理为，解得， 所以的面积； 条件② ：，， 由（1）知，， 根据正弦定理得，所以. 因为， 所以， 所以的面积. 14．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化结合同角三角函数关系即可求出角； （2）由三角恒等变换转化为只含角三角函数关系，应用角的范围即可求出的取值范围； （3）把向量乘积转化为三角形边与夹角的问题，再结合正弦定理边角互化，转化为同角三角函数关系求最值即可. (1) 小问详解： ，， 由正弦定理得： ， 为三角形内角，，， ， (2) 小问详解： ，， ， ，， (3) 小问详解： ， 下面求的最大值： 由正弦定理：，， ， ，， 最大值为，最大值为. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数性质计算即可得； （2）由可解出，再利用面积公式计算可得，利用同角三角函数基本关系与三角形内角关系计算可得，则可由正弦定理得到，从而可计算出、，最后在中运用余弦定理计算即可得解. (1) 小问详解： ， 当时，，故； (2) 小问详解： 由，即，则， 即，又，故， ，则， 由，，则， 则 ， 则由，有， 又，则，则，故， 在中，有， 即. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； (2) 小问详解： 由正弦定理得：，则，则，. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式逆用以及商数关系化简运算即可求解； （2）由平方后结合基本不等式得，进一步结合余弦定理即可求解. (1) 小问详解： 因为，所以， 则， 故， 因为，，， 所以，又，所以． (2) 小问详解： 因为BC边的中线长为2，所以，两侧平方可得， 即，解得，当且仅当时取等号， 所以，可得， 所以a的最小值为． 18．【答案】（1）     （2）4     （3）      【分析】 （1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. (2) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. (3) 小问详解： 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组 ，解得，所以， 所以的面积. 19．【答案】 【分析】 由余弦定理结合基本不等式可得，由三角函数性质计算可得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】 由余弦定理可得， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 因为，在上单调递减， 所以，则， 所以的面积. 故答案为：. 20．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式、辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）（i）利用三角形的面积公式可得出，结合余弦定理可得出，由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得线段的长； （ii）由正弦定理结合两角差的正弦公式得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，可得出的取值范围，设，可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围，即为所求. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理可得， 因为， 化简得， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得. (2) 小问详解： （i）由余弦定理可得，即， 又因为，可得，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ，故； （ii）由正弦定理得， 因为为锐角三角形，且，由 得， 所以，则，故， 设，则，所以，解得， 因此长度的取值范围是. 21．【答案】（1） 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或(舍去，此时，不符合条件)， 所以.     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理进行边化角，然后结合两角和差的正弦公式可完成证明； （2）先求得的值，然后通过等面积法求得的关系式，进而求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 且， 所以， 在中，， . 22．【答案】 【分析】 根据余弦定理可得，结合题意可得 ，进而求解即可. 【详解】 由余弦定理得，， 则， 由题意，有两解，且，则 ，解得， 又，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 23．【答案】（1） 由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以.     （2）      【分析】 （1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证； （2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，再用两角和的余弦公式可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 故. 24．【答案】 【分析】 应用余弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得. 【详解】 由，则， 所以，，则. 故答案为： 25．【答案】（1）     （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，且，      【分析】 （1）借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得； （2）（Ⅰ）设，借助正弦定理与三角形面积公式可表示出，再结合三角恒等变换公式与的范围计算即可得；（Ⅱ）由题意可得为定值，则可借助三角恒等变换公式将等式变形成含有相关角的形式，再令含变量的系数为计算即可得解. (1) 小问详解： ，则， 则； (2) 小问详解： （Ⅰ）由，则， 则， 又，则，，有， 故，， 不妨设更靠近，如下图，设，则， 则，， 在中，有，即， 在中，有，即， 则 ， 由，则，故， 故； （Ⅱ） ， 由 ， 则， 故可变形为： ， 即， 由，，，故， 则当为常数时，为定值，又为常数， 则需满足 ， 则， 即，又，故， 则， 故存在，且，，使得对于任意满足题意的，， 都有恒成立. 26．【答案】 【分析】 利用辅助角公式以及正弦、余弦函数的有界性可得出、、的值，利用余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】 因为，即， 其中为锐角，且， 由 ，所以，， 因为，，则， 又因为，故， 因为，则，故，所以， 所以，， 因为，，则， 因为，则，所以，所以， 由余弦定理可得， 可得，故. 故答案为：. 27．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. (1) 小问详解： 因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. (2) 小问详解： 在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. (3) 小问详解： 设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 28．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由三角形三个角的关系、诱导公式以及二倍角公式化简等式即可求得角，由圆周角与圆心角的关系即可得到的值； （2）由正弦定理得到边关于的关系式，然后由锐角三角形的角的关系求出的取值范围，即可求得边的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，得到点坐标，设坐标，得到坐标，从而求出其模长，由锐角三角形得到变量的取值范围，即可求出的取值范围. (1) 小问详解： 因为， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以； (2) 小问详解： 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以 ，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是； (3) 小问详解： 以为原点，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以，所以， 设，则， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 29．【答案】 【分析】 根据三角形面积公式可得，利用正弦定理化简计算可得，利用换元法（）得，结合二次函数的图象与性质求解即可. 【详解】 ， 所以. 在中，由正弦定理得，化简得. 在中，由正弦定理得，化简得. 故， 令， 则， 由二次函数性质可知，， 函数开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值， 即当，取最小值， 此时. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $