专题07 立体几何与空间向量（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题07 立体几何与空间向量 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．ACD 7．B 8．【答案】 【分析】 先证明平面平面，利用勾股定理得到；取的中点，连接，交于点，证明出为四棱锥外接球的球心．计算出，直接套公式求出四棱锥外接球的体积 【详解】    由题意知，，又，所以平面， 而平面，则平面平面． 由条件知，所以． 如图，取的中点，连接，交于点，则为正方形的中心，过点作平面的垂线，则点在该垂线上，所以为四棱锥外接球的球心． 由于， 所以四棱锥外接球的体积为． 故答案为： 9．【答案】 【分析】 得到四棱锥体积表达式，再利用不等式去求四棱锥体积的最大值. 【详解】 设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为， 设四棱锥的高为，则，， 当且仅当即时等号成立． 故答案为: 10．【答案】 【分析】 易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点． 【详解】 如图，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径 要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点, 连接，则 所以 此时截面圆的半径，截面面积的最小值. 故答案为： . 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．ABD 2．BCD 3．【答案】 【分析】 分别取棱的中点，连接 ，证明平面平面，则点必在线段上，即可得出答案. 【详解】 如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 考点03 空间向量的应用 1．ABD 2．BCD 3．ABD 4．【答案】（1）已知底面，，则两两垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得. 则. 设为平面的一个法向量， 则 ，即 .不妨设，可得. 又，可得. 因为平面，所以平面.     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，计算直线对应的方向向量与法向量的数量积为0即可； （2）求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角； （3）利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 易知为平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则 ， 因为，， 所以 .不妨设，可得. 因此有， 于是. 所以二面角的正弦值为. (3) 小问详解： 依题意，设，则，则，. 由已知，得， 整理得，解得，或. 所以，线段的长为或. 5．【答案】（1）① 如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ② 存在，，理由如下： 由① 知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即.     （2）.      【分析】 （1）① 用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；② 构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因为，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 6．【答案】（1）证明：过点作于点，连接， 平面平面，且平面平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面.     （2）.      【分析】 （1）过点作于点，利用面面垂直证明平面，再通过线线平行推出线面平行； （2）先证明四边形AHDE为矩形，依题意建系，写出相关点和向量的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，计算即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取G为的中点， 由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得， 又平面，且AG⊂平面， ，而AE//DH， ，而BC∩ DH=H， 故AG平面BCD，因平面AG DH， 而由（1）知DH平面，平面，则DH AH，故H与G重合. 又，平面，则AH平面BCD， 又平面，则AH//DE，又，故四边形AHDE为矩形. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因，则. 平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 7．【答案】（1） 由是正三角形，得，而，则是线段的中垂线， 即，又平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件可得，再利用线面、面面垂直的判定推理得证. （2）令，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求出球心及点坐标，再求出平面与平面的法向量，进而求出平面与平面夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令，连接，由为的中点，得， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由是正三角形，得， 由点在平面内，设，其中， 设，则 ，解得 ， 点，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 设平面的法向量为，则由 ，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 8．【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面.     （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为      【分析】 （1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 9．【答案】（1） 连接, 因为四边形是菱形，， 所以是等边三角形， 因为E是的中点，所以， 因为，所以. 因为平面，平面， 所以，又平面，平面，, 所以平面，又平面， 所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. （2）设，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面过的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求二面角公式，由平面和平面的夹角余弦值为，求得，再利用空间向量法点到平面距离公式即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面过的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则 , , 所以 ， ， 令，则，令，则， 所以平面的法向量为，平面的法向量为， 因为平面和平面的夹角余弦值为， 所以，解得， 所以，平面的法向量为， 因为， 所以点D到平面的距离. 10．【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由于，且， 故，所以为平面与平面的夹角或其补角， 又，故，则， 所以. 结合，故，则， 即，故平面平面.      （2）      【分析】 （1）取的中点为，根据二面角的定义得为所求角，利用三角形的边角关系即可求解； （2）根据（1）易知平面，从而可得平面平面，于是得到与平面所成的角为，解得，根据，均为等腰三角形，取中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 于是是在平面上的射影，即， 由，得是正三角形，则. 由于，均为等腰三角形，取中点，连接， 则，故为二面角的平面角， 由于， 故， 故，故二面角的正弦值为. 【点睛】 11．【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为 和 分别为和 的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面.     （2）45°.      【分析】 （1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点 作，垂足为点 ，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为45°. 12．【答案】（1） 因为四边形是正方形，故,又平面平面， 且平面平面 , 所以平面，平面，故, 又为的中点，，所以, 由勾股定理可得所以， 故平面，故平面, 平面,则， 又,故， 又，平面， 故平面， 平面，故平面平面；     （2）      【分析】 （1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据勾股定理求证线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以射线分别为非负轴建立空间直角坐标系，设, 则， 由（1）知是平面的一个法向量， ，设平面的法向量为， 则 ，令，则， 设平面和平面夹角为， 则， 故，即平面和平面夹角为， 13．【答案】 【分析】 取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】 由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】 如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【详解】【点晴】 本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出小球半径，由题意作出示意图.从而知道小球与圆锥能够接触的面为一个圆台的侧面和一个圆，在轴截面图中，通过圆与三角形两邻边相切求得圆台的上下底半径和母线，从而求得圆台的侧面面积，再求的圆的半径得到圆的面积，即可求得答案. 【详解】 设小球的半径为，则小球表面积，即， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图， 是这个封闭的圆锥形容器的轴截面，边长为6， ∴， ，，， 则， ∵都为等边三角形，∴， 圆台上下地面半径分别为，，母线长， ∴圆台侧面面积， 在圆锥地面，小球能够接触到的区域是一个圆，其半径， 其面积， ∴圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】 由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 5．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，利用圆的面积公式求出圆锥的底面面积，利用勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，从而得到圆锥的表面积. 【详解】 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 圆锥的底面半径为1，，圆锥的底面面积为， 高为3，，， 圆锥的侧面积为， 圆锥的表面积为. 故选：C. 6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知正方体的棱长为4，点在棱上，若正方体的一个截面经过点，，，且将正方体分成体积比为的两部分，则（     ） A. 该截面为梯形 B.  C. 点到该截面的距离为 D. 点，，，都在同一个球面上，且该球的表面积为 【答案】ACD 【分析】 首先说明与、与不重合，作出截面即可判断A，设，根据台体的体积公式求出即可判断B，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】 若与重合，则截面为三角形，又，不符合题意，所以与不重合，同理可得不与重合； 对于A：设平面与线段交于点，连接、、， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以，则，所以，所以截面为等腰梯形，故A正确； 对于B：设，则， 所以三棱台的体积， 依题意，解得或（舍去）， 所以，故B错误； 对于C：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点到该截面的距离，故C正确； 对于D：因为为等腰三角形，则，， 所以外接圆的半径， 又平面， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 不妨将正四面体的棱平移到平面内，结合图象分析可得当时，正投影是对角线长为2的正方形，此时面积最大，计算得解. 【详解】 不妨将正四面体的棱平移到平面内， 因为正四面体的对棱互相垂直，当时， 此时投影是对角线长为2的正方形如图1，正投影面积.    当与平面不平行时，此时正投影是四边形或三角形， 如图2，当正投影是四边形时，因为，易得， 此时，又， 所以；    如图3，当正投影是三角形时，此时正投影的面积，    综上，正四面体在平面上正投影的面积的最大值为2. 故选：B. 8．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先证明平面平面，利用勾股定理得到；取的中点，连接，交于点，证明出为四棱锥外接球的球心．计算出，直接套公式求出四棱锥外接球的体积 【详解】    由题意知，，又，所以平面， 而平面，则平面平面． 由条件知，所以． 如图，取的中点，连接，交于点，则为正方形的中心，过点作平面的垂线，则点在该垂线上，所以为四棱锥外接球的球心． 由于， 所以四棱锥外接球的体积为． 故答案为： 9．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知球O的半径为1，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则该四棱锥的体积最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 得到四棱锥体积表达式，再利用不等式去求四棱锥体积的最大值. 【详解】 设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为， 设四棱锥的高为，则，， 当且仅当即时等号成立． 故答案为: 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点． 【详解】 如图，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径 要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点, 连接，则 所以 此时截面圆的半径，截面面积的最小值. 故答案为： . 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 平面 B.  C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】 根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解. 【详解】 对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面，平面，故A选项正确； 对B选项，因为在正方体中，所以平面平面， ，由已知得面，面， 则，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 故选：ABD. 2．（25-26学年高三上·山东德州·期中）（多选）在正四棱柱中，分别为，的中点，则下列说法中正确的有（     ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线交于一点 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过四点的截面将正四棱柱分成两部分，体积较小的几何体体积为2 【答案】BCD 【分析】 连接，分别证得和，得到，可判定A错误；连接，，证得且，结合平面的性质，可判定B正确；由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，可判定C正确；延长交于点，得到过四点的截面即为，结合棱柱的体积公式，可判定D正确. 【详解】 对于A，连接，因为分别为的中点，可得， 在正四棱柱中，可得，所以，所以A错误； 对于B，连接和 ，因为分别为的中点， 可得，且， 又因为分别为的中点，可得，所以且， 所以和交于一点，设交点为,即，连接， 因为，且平面，所以平面， 由且可知为的中点，又为的中点， 所以，所以，即直线交于一点，所以B正确； 对于C，在正四棱柱中，可得平面， 所以是直线与平面所成角， 在直角中，可得， 所以直线与平面所成角的正切值为，所以C正确； 对于D，延长交于点，即过四点的截面即为， 根据棱柱的定义，可得截得较小的部分为一个直三棱柱， 因为，三棱柱的体积为，所以D正确. 故选：BCD. 3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若平面，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分别取棱的中点，连接 ，证明平面平面，则点必在线段上，即可得出答案. 【详解】 如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 考点03 空间向量的应用 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（     ） A.  B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为30° D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【详解】 建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】 因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为30°， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）如图，正方体的棱长为，是的中点，则（     ） A.  B. 直线与平面所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 由，，三点确定的平面将正方体分成两部分的体积之比为 【答案】BCD 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断A、B，利用等积变换法判断C，求三棱台的体积，即可判断D. 【详解】    建立如图所示空间直角坐标系， ，，， ， 对于A选项，，，， 所以与不垂直，A错误； 对于B选项，，，为平面的法向量， 设直线与平面所成角为，则， 又因为，所以，B正确； 对于C选项，三棱锥的体积可转化为三棱锥的体积， 由正方体的性质可知平面，，， 所以到直线的距离为两平行线间的距离， 所以，所以， 所以三棱锥的体积为，C正确； 对于D，取的中点，连结，，，    ，，， 所以，所以由，，三点确定的平面将正方体的截面为， 截得的几何体为三棱台， 其上下底面、均为等腰直角三角形，腰分别为、， 棱台的高， 所以， 所以， ，剩余部分体积， 又，所以D正确. 故选：BCD 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（     ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】ABD 【分析】 对A，先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时，可证平面平面，从而可证；对B，在平面内，过点作，交于，以判断点在平面内的射影在直线上，作出二面角的平面角并求出二面角的正切值，得解；对C，当三棱锥的高等于，此时三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围. 【详解】 如图1： 在未折起之前，有，， ， 由平面几何知识，易得，，所以. 所以，，. 对于A，沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图2： 当时，此时，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，， 所以平面. 又平面，所以，故A正确. 对于B，在平面内，过点作，交于， 由，可得平面，所以点在平面内的射影在直线上， 过点作得平行线交于，连接， 因为平面，所以即二面角的平面角，则， 易知四边形为矩形，所以，又， 所以，即二面角有最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当三棱锥的高等于，此时高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为异面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C错误； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为， 所以点在以为顶点，直线为轴的两个圆锥的侧面上，如图， 若点的轨迹是椭圆，所以平面要与圆锥的侧面相交，与均为翻折过程中二面角的平面角， 根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，由上面图3，可得此时棱锥的高为， 所以， 当二面角时，此时点的轨迹是圆，此时棱锥的高为1，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆或圆时，，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．        （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）已知底面，，则两两垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得. 则. 设为平面的一个法向量， 则 ，即 .不妨设，可得. 又，可得. 因为平面，所以平面.     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，计算直线对应的方向向量与法向量的数量积为0即可； （2）求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角； （3）利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 易知为平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则 ， 因为，， 所以 .不妨设，可得. 因此有， 于是. 所以二面角的正弦值为. (3) 小问详解： 依题意，设，则，则，. 由已知，得， 整理得，解得，或. 所以，线段的长为或. 5．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）① 如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ② 存在，，理由如下： 由① 知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即.     （2）.      【分析】 （1）① 用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；② 构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因为，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 6．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作于点，连接， 平面平面，且平面平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面.     （2）.      【分析】 （1）过点作于点，利用面面垂直证明平面，再通过线线平行推出线面平行； （2）先证明四边形AHDE为矩形，依题意建系，写出相关点和向量的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，计算即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 取G为的中点， 由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得， 又平面，且AG⊂平面， ，而AE//DH， ，而BC∩ DH=H， 故AG平面BCD，因平面AG DH， 而由（1）知DH平面，平面，则DH AH，故H与G重合. 又，平面，则AH平面BCD， 又平面，则AH//DE，又，故四边形AHDE为矩形. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因，则. 平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 7．（25-26学年高三上·山东日照·期中）如图，在四棱锥中，是正三角形，，. （1）求证：平面平面； （2）若点均在球的球面上且球心在平面内，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 由是正三角形，得，而，则是线段的中垂线， 即，又平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面.     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件可得，再利用线面、面面垂直的判定推理得证. （2）令，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求出球心及点坐标，再求出平面与平面的法向量，进而求出平面与平面夹角余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令，连接，由为的中点，得， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由是正三角形，得， 由点在平面内，设，其中， 设，则 ，解得 ， 点，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 设平面的法向量为，则由 ，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 8．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面.     （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为      【分析】 （1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则 ，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 9．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是的中点，底面. （1）证明：平面平面； （2）若平面和平面的夹角余弦值为，求点D到平面的距离. 【答案】（1） 连接, 因为四边形是菱形，， 所以是等边三角形， 因为E是的中点，所以， 因为，所以. 因为平面，平面， 所以，又平面，平面，, 所以平面，又平面， 所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. （2）设，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面过的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求二面角公式，由平面和平面的夹角余弦值为，求得，再利用空间向量法点到平面距离公式即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面过的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则 , , 所以 ， ， 令，则，令，则， 所以平面的法向量为，平面的法向量为， 因为平面和平面的夹角余弦值为， 所以，解得， 所以，平面的法向量为， 因为， 所以点D到平面的距离. 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）如图，在三棱锥中，，且. （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为60°，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由于，且， 故，所以为平面与平面的夹角或其补角， 又，故，则， 所以. 结合，故，则， 即，故平面平面.      （2）      【分析】 （1）取的中点为，根据二面角的定义得为所求角，利用三角形的边角关系即可求解； （2）根据（1）易知平面，从而可得平面平面，于是得到与平面所成的角为，解得，根据，均为等腰三角形，取中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 于是是在平面上的射影，即， 由，得是正三角形，则. 由于，均为等腰三角形，取中点，连接， 则，故为二面角的平面角， 由于， 故， 故，故二面角的正弦值为. 【点睛】 11．（25-26学年高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为 和 分别为和 的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面.     （2）45°.      【分析】 （1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点 作，垂足为点 ，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为45°. 12．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 【答案】（1） 因为四边形是正方形，故,又平面平面， 且平面平面 , 所以平面，平面，故, 又为的中点，，所以, 由勾股定理可得所以， 故平面，故平面, 平面,则， 又,故， 又，平面， 故平面， 平面，故平面平面；     （2）      【分析】 （1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据勾股定理求证线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以射线分别为非负轴建立空间直角坐标系，设, 则， 由（1）知是平面的一个法向量， ，设平面的法向量为， 则 ，令，则， 设平面和平面夹角为， 则， 故，即平面和平面夹角为， 13．（25-26学年高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为120°，则四面体外接球的表面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】 由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知正方体的棱长为4，点在棱上，若正方体的一个截面经过点，，，且将正方体分成体积比为的两部分，则（     ） A. 该截面为梯形 B.  C. 点到该截面的距离为 D. 点，，，都在同一个球面上，且该球的表面积为 7．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为　　　　　　． 9．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知球O的半径为1，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则该四棱锥的体积最大值为　　　　　　. 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为　　　　　　　　． 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（       ） A. 平面 B.  C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 2．（25-26学年高三上·山东德州·期中）（多选）在正四棱柱中，分别为，的中点，则下列说法中正确的有（     ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线交于一点 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过四点的截面将正四棱柱分成两部分，体积较小的几何体体积为2 3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若平面，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　. 考点03 空间向量的应用 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（     ） A.  B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为30° D. 点到平面与平面的距离和为定值 2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）如图，正方体的棱长为，是的中点，则（     ） A.  B. 直线与平面所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 由，，三点确定的平面将正方体分成两部分的体积之比为 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（     ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 4．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．        （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 5．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 6．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（25-26学年高三上·山东日照·期中）如图，在四棱锥中，是正三角形，，. （1）求证：平面平面； （2）若点均在球的球面上且球心在平面内，求平面与平面所成角的余弦值. 8．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 9．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是的中点，底面. （1）证明：平面平面； （2）若平面和平面的夹角余弦值为，求点D到平面的距离. 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）如图，在三棱锥中，，且. （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为60°，求二面角的正弦值. 11．（25-26学年高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 12．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 13．（25-26学年高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为120°，则四面体外接球的表面积为　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $