专题04 平面向量与复数（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题04 平面向量与复数 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．B 14．C 15．AC 16．BC 17．A 18．A 19．ABD 20．B 21．ABD 22．【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为. 【分析】 作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果． 【详解】 解：如图    ， ， ， ∴合速度的方向与水流的方向成150°的角. 设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则， ∴小船航行速度的大小为. 【点睛】 本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。 23．【答案】135° 【分析】 根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】 设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. 24．【答案】. 【分析】 利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】 , ，解得, 故答案为：. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 25．【答案】 【分析】 根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】 是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 26．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1. 【分析】 (I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】 （Ⅰ） . （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 设，， 由， 得. 所以. 所以，，    ， 因为，. 所以，当，即时，的最大值为. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. (1) 小问详解： 设向量，. 是单位向量   ，解得， . (2) 小问详解： ，，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 28．【答案】 【分析】 首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】 如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 29．【答案】1 【分析】 由与垂直可得，进而根据平面向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】 由与垂直， 则，则， 又，向量，的夹角为， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：1. 30．【答案】①     ② 【分析】 利用平面向量的线性运算得，根据平面向量基本定理得，，由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】 由题意有： ， 所以， ， 由， 所以， 即① ， 由，所以， 即② ， 由① ② 有：， 所以， 故答案为：；. 31．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二倍角的余弦公式、正弦定理和勾股定理的逆定理化简计算即可求解； （2）设，，，由费马点定义知，根据三角形面积公式和等面积可得，进而求解； （3）建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算、坐标运算和几何意义可得，结合费马点的定义可得，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以，所以， 所以. (2) 小问详解： 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由，得， 整理得， 则. (3) 小问详解： 在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设，则， ，. 所以， 则的几何意义是点到点，，的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以的“费马点”为点， 故的最小值为. 32．【答案】 【分析】 利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求出的范围. 【详解】 函数 ，， 若，则， 由向量为平面内三个不同的单位向量，得向量两两垂直，显然不成立； 因此，不妨设 ， 则，不妨设，， 则 ，，， 则， 由，得，则， 所以. 故答案为： 33．【答案】 【分析】 先根据，求出，再根据数量积的运算律得到，求出的范围，即可得解． 【详解】 因为，，， 又，所以， 则，所以，则， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 又， 所以， 所以. 故答案为： 34．【答案】 【分析】 设，，，通过已知条件得到，从而得到点在的垂直平分线上，则，设，得到，从而得到，又，代入数值计算得解. 【详解】 设，， ， ，，，，， 点在的垂直平分线上，， ，设， ，， ，，， ，，. 故答案为：. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量的线性关系，结合三点共线即可联立方程求解， （2）根据面积公式可得，进而根据模长公式，结合基本不等式即可求解最值. (1) 小问详解： 因为为的中点，所以, 又三点共线，所以， 又，解得 (2) 小问详解： 由（1）可得， 又所以， 故, , 因为， 当且仅当时等号成立，故， 故的最小值为 考点02 复数 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．B 10．D 11．B 12．A 13．A 14．D 15．A 16．AD 17．D 18．BCD 19．A 20．B 21．【答案】 【分析】 利用复数的除法运算公式即可得出正确答案. 【详解】 ； 故答案为： 22．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意得，， 所以，则； (2) 小问详解： 设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立 所以的最小值是. 23．【答案】 【分析】 根据复数的运算规则化简计算即可. 【详解】 原式 . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设向量则（       ） A.  B.  C.  D. 与的夹角为 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知平面向量与的夹角为60°，，，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 12 4．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知单位向量，的夹角为135°，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知向量，若，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 8．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知平面向量，，且，则（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  9．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）在中，为边上的中线，为的中点，则 A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记 ，，，则 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）设向量，则（       ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（       ） A.  B. 0 C.  D.  13．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）（多选）在等边中，，，，交于点，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D.  17．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（       ） A. 为定值4 B. 为定值8 C. 最大值为4 D. 最大值为8 18．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高三上·山东日照·期中）（多选）在中，，点为以为圆心的单位圆上的动点，设的重心为，外心为，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 20．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 21．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，则（     ） A. 与不能构成一组基底 B.  C. 在上的投影向量的模为 D.  22．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小. 23．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知向量．若，则　　　　　　　　． 25．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知是的重心，，，，则　　　　　　． 26．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 27．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. （1）求向量； （2）若向量，，求在上的投影向量. 28．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则　　　　　. 30．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）中，，，，，则　　　　　　　　（用，表示），若，，则　　　　　　　　. 31．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，. （1）求角； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值. 32．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是　　　　　. 33．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知平面向量，满足，且对任意实数都成立，则的值为　　　　　　　　　　　. 35．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）在中，为的中点，为线段上一点，，. （1）求，； （2）若，的面积为，求的最小值. 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）若复数满足，则的虚部为（     ） A.  B. 1 C.  D. i 2．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）若是纯虚数，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知复数z满足，则z的虚部为（     ） A.  B.  C. 1 D.  5．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）若，则（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C. 10 D.  13．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）复数在复平面所对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）若，则（   ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（     ） A.  B.  C. 1 D.  16．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 17．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知复数，则复数在复平面内对应的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 18．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）（多选）若复数，则（     ） A.  B.  C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 19．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知复数满足为虚数单位，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）若，则复数的虚部为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）　　　　　. 22．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 23．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）=　　　　　 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量与复数 2大高频考点概览 考点01 平面向量 考点02 复数 考点01 平面向量 1．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设向量则（       ） A.  B.  C.  D. 与的夹角为 【答案】C 【分析】 利用向量模的定义、共线向量定理、向量垂直的坐标表示、向量的数量积公式逐一计算即可. 【详解】 由已知得 ，，即，则选项不正确； ,不存在一个实数使成立，则选项不正确； ，即，则选项正确； 设与的夹角为，则， ∵，∴，则选项不正确； 故选：C. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量与y轴正半轴的夹角，求出向量与y轴正半轴的夹角，进而求解 【详解】 因为向量与y轴正半轴的夹角为45°，与y轴负半轴的夹角为135°>105°，所以向量与y轴正半轴的夹角为105°-45°=60°，所以. 故选：A 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知平面向量与的夹角为60°，，，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 12 【答案】A 【分析】 根据数量积公式，求向量的模. 【详解】 . 故选：A 4．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，利用向量的数量积的计算公式，结合，列出方程，即可求解. 【详解】 由向量，是夹角为，且，为单位向量， 可得，且， 因为与垂直，可得， 即，解得. 故选：A. 5．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知单位向量，的夹角为135°，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量数量积及其运算律即可求解. 【详解】 由题意. 故选：A 6．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】 以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，得到相关点的坐标和相关向量的坐标表示，利用求解，最后结合平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，，，， 依题意，因为，即， 所以， 结合，解得， 则，，，， 因此，. 故选：C. 7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知向量，若，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】 由于， 则， 则； 故选：B 8．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知平面向量，，且，则（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】 因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 9．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）在中，为边上的中线，为的中点，则 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】 根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】 该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 10．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记 ，，，则 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先判断对角线相交后各向量夹角的余弦符号，结合线段模长的大小关系，利用向量点积公式先确定为正、,为负，再通过负数比较大小得到. 【详解】 因为，，， 所以. 即. 【点睛】 方法点睛： 平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用；利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决，列出方程组求解未知数． 11．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）设向量，则（       ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】 根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】 对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（       ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用平面向量数量积的定义可求出，进而可得出的大小，再利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值，即可得解. 【详解】 在平行四边形中，，则，， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ，所以，故向量与的夹角的余弦值为， 故选：B. 13．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】 由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 14．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，利用得到，由向量数量积公式求出答案. 【详解】 设，则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为， 因为，所以， 即，即， 所以，即 ，C正确. 故选：C 15．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）（多选）在等边中，，，，交于点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】对于A，B根据向量的线性运算判断即可；对于C，根据向量的线性运算再结合向量数量积进行计算；对于D，先证明O为BE中点，再利用向量的线性运算化简，最后进行模长计算. 【详解】 A选项：，故A正确； B选项：设，由A，B，D，三点共线可知：， 又，所以，故， 通过B，O，E三点共线可知：，故，故，则B错误； C选项：在等边中，，易知：，，，故： ，故C正确； D选项：取线段CD中点记为点M，连接EM，在中，由三角形中位线可知：且，由可知：，故， 所以与全等，故， 所以：， 故， 故D错误. 故选：AC. 16．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D.  【答案】BC 【分析】 利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可. 【详解】 对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 17．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（       ） A. 为定值4 B. 为定值8 C. 最大值为4 D. 最大值为8 【答案】A 【分析】 根据向量的加法及向量数量积的几何意义直接可得. 【详解】 如图：因为等腰直角三角形中，，所以.        设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，. 由数量积的几何意义可知，. 故选：A. 18．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 19．（25-26学年高三上·山东日照·期中）（多选）在中，，点为以为圆心的单位圆上的动点，设的重心为，外心为，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 根据题意，建立直角坐标系，不妨设，由的重心为，得到，结合选项，利用向量数量积的坐标运算法则，以及三角函数的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】 在中，，且点为以为圆心的单位圆上的动点， 建立如图所示的直角坐标系，不妨设， 对于A，因为的重心为，可得，则， 又由， 所以，所以A正确； 对于B，由， 可得 ， 当且仅当时，等号成立，所以，所以B正确； 对于C，若为直角三角形，则，即， 因为， 所以 ，所以，平方可得， 则， 又由，所以， 所以，所以C不正确； 对于D，由，可得的中点， 则， 因为点为的外心，可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以D正确. 故选：ABD. 20．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据投影向量计算公式及向量数量积运算律可得在上的投影向量为，设，由题意建立方程求解可得或，计算即可求解. 【详解】 因为，所以， 因为，， 所以，解得， 则在上的投影向量为， 设，则 ，解得 或 ， 所以或， 即在上的投影向量为或. 故选：B 21．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，则（     ） A. 与不能构成一组基底 B.  C. 在上的投影向量的模为 D.  【答案】ABD 【分析】 连接，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算C；利用向量数列积的坐标运算，即可判断D. 【详解】 连接，因为，因为， 所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 过点作于点，连接，过点作于点，连接， 由，所以， 又，所以，所以， 同理，所以，所以， 同理，所以， 所以，所以， 所以与共线，不能构成一组基底，故A正确； 过点作于点，作于点， 所以，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，故B正确； 由，所以， 所以， 所以在上的投影向量的模为，故C错误； 由， 所以，故D正确； 故选：ABD. 22．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小. 【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为. 【分析】 作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果． 【详解】 解：如图    ， ， ， ∴合速度的方向与水流的方向成150°的角. 设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则， ∴小船航行速度的大小为. 【点睛】 本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。 23．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为　　　　　　　　　　. 【答案】135° 【分析】 根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】 设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. 24．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）已知向量．若，则　　　　　　　　． 【答案】. 【分析】 利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】 , ，解得, 故答案为：. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 25．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知是的重心，，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】 是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 26．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1. 【分析】 (I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】 （Ⅰ） . （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 设，， 由， 得. 所以. 所以，，    ， 因为，. 所以，当，即时，的最大值为. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题． 27．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. （1）求向量； （2）若向量，，求在上的投影向量. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. (1) 小问详解： 设向量，. 是单位向量   ，解得， . (2) 小问详解： ，，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 28．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】 如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 29．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则　　　　　. 【答案】1 【分析】 由与垂直可得，进而根据平面向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】 由与垂直， 则，则， 又，向量，的夹角为， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：1. 30．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）中，，，，，则　　　　　　　　（用，表示），若，，则　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用平面向量的线性运算得，根据平面向量基本定理得，，由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】 由题意有： ， 所以， ， 由， 所以， 即① ， 由，所以， 即② ， 由① ② 有：， 所以， 故答案为：；. 31．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，. （1）求角； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二倍角的余弦公式、正弦定理和勾股定理的逆定理化简计算即可求解； （2）设，，，由费马点定义知，根据三角形面积公式和等面积可得，进而求解； （3）建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算、坐标运算和几何意义可得，结合费马点的定义可得，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以，所以， 所以. (2) 小问详解： 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由，得， 整理得， 则. (3) 小问详解： 在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设，则， ，. 所以， 则的几何意义是点到点，，的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以的“费马点”为点， 故的最小值为. 32．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求出的范围. 【详解】 函数 ，， 若，则， 由向量为平面内三个不同的单位向量，得向量两两垂直，显然不成立； 因此，不妨设 ， 则，不妨设，， 则 ，，， 则， 由，得，则， 所以. 故答案为： 33．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据，求出，再根据数量积的运算律得到，求出的范围，即可得解． 【详解】 因为，，， 又，所以， 则，所以，则， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 又， 所以， 所以. 故答案为： 34．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知平面向量，满足，且对任意实数都成立，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，，，通过已知条件得到，从而得到点在的垂直平分线上，则，设，得到，从而得到，又，代入数值计算得解. 【详解】 设，， ， ，，，，， 点在的垂直平分线上，， ，设， ，， ，，， ，，. 故答案为：. 35．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）在中，为的中点，为线段上一点，，. （1）求，； （2）若，的面积为，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量的线性关系，结合三点共线即可联立方程求解， （2）根据面积公式可得，进而根据模长公式，结合基本不等式即可求解最值. (1) 小问详解： 因为为的中点，所以, 又三点共线，所以， 又，解得 (2) 小问详解： 由（1）可得， 又所以， 故, , 因为， 当且仅当时等号成立，故， 故的最小值为 考点02 复数 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）若复数满足，则的虚部为（     ） A.  B. 1 C.  D. i 【答案】B 【分析】 先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】 因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 2．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用复数除法求解即得. 【详解】 由，得. 故选：B 3．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）若是纯虚数，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 化简复数z，然后根据实部为0可得. 【详解】 因为是纯虚数， 所以，得. 故选：B 4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知复数z满足，则z的虚部为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 首先，再根据复数的模和除法运算即可求解. 【详解】 由条件可知， 所以的虚部为1. 故选：C 5．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复数乘法、除法运算法则，化简整理，即可得答案. 【详解】 由题意，所以， 整理得. 故选：A 6．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用复数的运算法则运算即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A 7．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 根据复数乘法运算和共轭复数的定义可求得，根据对应点的坐标可得结果. 【详解】 ，， 在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 8．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】 由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以 . 故选：D 9．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 借助复数运算法则及模长公式计算即可得. 【详解】 ， 则. 故选：B. 10．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据复数的运算法则和模的概念即可计算． 【详解】 由，得 ， 则， 故选：D 11．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】 因为， 所以的虚部为. 故选：B 12．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C. 10 D.  【答案】A 【分析】 结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】 由，则. 故选：A 13．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）复数在复平面所对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 先通过复数除法法则化简复数，得其代数形式，再根据复数的几何意义确定对应点的坐标，最后判断该点所在象限. 【详解】 根据题意，， 在复平面上的对应点为，位于第一象限. 故选：A 14．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）若，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 由题意可得 ：，且， 据此有. 本题选择D选项. 15．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 先求出和，再利用完全平方公式求解. 【详解】 . 故选：A. 16．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】AD 【分析】 通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确. 【详解】 对于A，设，，则， ，即 ，，A正确； 对于B，令，，则，此时，B错误； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，则， ，即 ，则； 若，则成立，此时； 若，，由知：；由知：；此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，，此时； 综上所述：若，则或，D正确. 故选：AD. 17．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知复数，则复数在复平面内对应的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 根复数的定义求出其共轭复数，再计算确定其复平面内对应的点的坐标. 【详解】 已知，，，对应复平面内坐标点. 故选：D 18．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）（多选）若复数，则（     ） A.  B.  C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】 根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】 ， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 19．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知复数满足为虚数单位，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】 由复数满足，可得， 则. 故选：A. 20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）若，则复数的虚部为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据复数的除法运算即得. 【详解】 ，， 化简得，又，， 复数的虚部为. 故选：. 21．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）　　　　　. 【答案】 【分析】 利用复数的除法运算公式即可得出正确答案. 【详解】 ； 故答案为： 22．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意得，， 所以，则； (2) 小问详解： 设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立 所以的最小值是. 23．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）=　　　　　 【答案】 【分析】 根据复数的运算规则化简计算即可. 【详解】 原式 . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $