专题02 函数概念与基本初等函数（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（       ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（     ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知函数若，则　　　　　　　　　　. 4．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） （1）求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）函数在区间的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则函数的零点的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知函数，当时，，则的最大值是　　　　　　　　． 考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A.  B. 0 C. 1 D. 2 2．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 4．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（       ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 6．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（       ） A.  B.  C. 50 D.  8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知函数满足，当时，，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 10．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A.  B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 13．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A.  B.  C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 14．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（     ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 15．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 的图象关于中心对称 B. 若函数有4个零点，则 C. 函数是偶函数 D. 设函数有两个零点，则 16．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝　　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数，. （1）求a的值； （2）若函数，求的最小值，并用单调性的定义证明在区间上单调递增. 19．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值； （2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则　　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知函数的定义域为，，且对任意的，不等式和均成立，则的值为　　　　　；满足的的最小正整数为　　　　　. 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）（多选）设，下列各项中，能使得“”一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）若实数，满足，则正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 关于的不等式恒成立 5．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）若，，满足，且，则有序实数组可能是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若实数满足，则的大小关系不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（       ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若有两个零点，则 D. 若的值域为，则 9．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）设实数，函数为奇函数，则　　　　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知函数． （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是　　　　　　. 考点05 函数与方程 1．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（       ） 1 2 3 4 5 0 0.693 1.099 1.386 1.609 1 0 1 2 3 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知函数其中，且，则（       ） A.  B. 函数有2个零点 C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）函数所有零点的和等于（     ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 4．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）若方程在区间上有解，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（     ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 16 D. 8 7．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）函数与函数的定义域均为，若存在非零实数使得，在定义域内满足，则称，满足“性质”，下列说法错误的是（       ） A. 若，，则，满足“性质” B. 若，，则，满足“性质” C. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（     ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数.例如：（1，3与4互质）. （1）求，，； （2）若，证明：. 7．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知表示不超过实数的最大整数.例如：. （1）设，求的值； （2）解关于的方程：； （3）若，，，.证明：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数概念与基本初等函数 6大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（       ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】B 【分析】 根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】 A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数； B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数； C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数； D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数， 故选：B 2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（     ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【分析】 本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响. 【详解】 函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 3．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知函数若，则　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 将代入解析式，可得，将代入解析式，建立方程即可求得答案. 【详解】 由题意得， 所以， 故答案为：1 4．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） （1）求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【答案】（1） ；     （2）10万件.      【分析】 （1）根据年利润的计算公式，结合已知条件求出年利润关于年产量的函数解析式； （2）分别讨论不同区间内函数的最大值，进而得出年利润最大时的年产量. (1) 小问详解： 由题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上， ； (2) 小问详解： 当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 考点02 函数的图象 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先验证函数是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项. 【详解】 因为，所以， 所以函数是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误； 取特殊值，令，则， 根据图象可以看出D错误，C正确. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）函数在区间的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】 ， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则函数的零点的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据三角函数图象平移知识求出，所求函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，在同一直角坐标系中画出图象可得答案． 【详解】 由条件得：， 的零点个数等价于函数与直线的图象交点个数， 如图所示，可得两图象交点个数为3． 故选：C 4．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知函数，当时，，则的最大值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果. 【详解】 令，解得：；令，解得：； 图象如下图所示， 由图象可知：，，. 故答案为：. 考点03 函数的基本性质 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 利用奇函数的性质求出时解析式可得. 【详解】 由题意可得， 因为是定义域为的奇函数，若时，， 当时，，则， 因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】 由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BCD 【分析】 分别是定义在上的偶函数和奇函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】 函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，所以，A选项错误； ，故B选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，C选项正确. 令， 设，当且仅当即时，取最小值为1， 所以方程有两个不相等的实数根，则，D选项正确； 故选∶BCD． 4．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂函数及指数函数的单调性结合奇偶性判断各个选项. 【详解】 对于A：是奇函数，A选项错误； 对于B：是偶函数，在单调递增，B选项正确； 对于C：是偶函数，在单调递减，C选项错误； 对于D：是偶函数，在单调递减，D选项错误； 故选：B. 5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（       ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【分析】 中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】 对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有 ，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 6．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】 因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（       ） A.  B.  C. 50 D.  【答案】D 【分析】 根据已知条件，判断函数是周期为的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值. 【详解】 由函数为定义在的奇函数，得，. 由，得，即 所以， 故函数是周期为的周期函数. 因为，所以，， ， 所以， 所以. 故选：D. 8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式. 【详解】 设函数，由为上的奇函数，得， 则函数是上的偶函数，又， 依题意，对任意的，且，都有， 则函数在上单调递增，所以在上单调递减， 由，得， 不等式，即， 则，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 9．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知函数满足，当时，，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 通过推出周期为2，再将通过周期以及该等式转化到上，进而即可求解. 【详解】 由可知，， 联立上述两个等式得：f(x)=f(x+2)， 易知函数为周期函数，周期， 故， 而根据可知，==-， 由题知：当时，， 故= =-2，所以， 故选：D. 10．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知得到是周期为4的奇函数，再利用奇函数的性质、周期性及已知区间解析式求函数值. 【详解】 由，则， 因是上的奇函数，则， 所以，即， 所以，即是周期为4的奇函数， 由，而， 所以. 故选：B 11．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 判断出函数 的单调性，由此列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】 由题意可知当时，， 结合函数 （且）在上为单调函数， 可知当时，为单调递增函数， 当时，也必为单调递增函数， 由于在上单调递减，故在上单调递减， 此时在上单调递增， 故 ，解得， 故实数的取值范围为， 故选：B 12．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A.  B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 【答案】ACD 【分析】 由为奇函数和为偶函数得，即是周期为8的周期函数即可判断AC，作出函数在和的函数图象，利用数形结合即可判断BD. 【详解】 由为奇函数，可得，即（*）， 又为偶函数，则，即， 由（*），，即， 则，故， 所以是以8为一个周期的周期函数， 对于A，，故A正确； 对于C，， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 对于B，因方程的根的个数，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图象： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 故选：ACD. 13．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）（多选）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A.  B.  C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 【答案】BCD 【分析】 对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】 对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 14．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（     ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】A 【分析】 依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得. 【详解】 因为，， 所以，， 则，即， 又为奇函数，所以，所以， 即， 所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，，， 又，所以，，即， 所以 . 故选：A 15．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 的图象关于中心对称 B. 若函数有4个零点，则 C. 函数是偶函数 D. 设函数有两个零点，则 【答案】CD 【分析】 根据给定条件，求出函数的解析式，举例说明判断AB；构造函数利用奇偶性求解判断CD. 【详解】 函数 ，当时，，则， 因此函数 ， 对于A，，即点在函数的图象上，而点关于对称点不在的图象上，因此函数的图象关于不成中心对称，A错误； 对于B，当时，由，解得或； 当时，由，解得或， 因此当时，函数有4个零点，B错误； 对于C，令函数 ， 当时，，； 当时，，， 即，都有，因此函数是偶函数，C正确； 对于D， ，函数在R上都是增函数， 因此函数在都单调递增，显然0不是此函数的零点， 令函数 ， 当时，，； 当时，，， 即，都有， 即函数是奇函数，而，即在上有唯一零点， 在上有唯一零点，又函数与函数有相同零点， 即是函数的两个零点，由奇函数性质得，且， 因此，，D正确. 故选：CD 16．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出的一个周期为4，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，从而裂项相消法求和得到答案. 【详解】 为偶函数，故，故， 为奇函数，故，所以， 故，故的一个周期为4， 其中，，故，即， 又，同理， 当为奇数时，，当为偶数时，， 当时，， 所以. 故选：D 17．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】 因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 18．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数，. （1）求a的值； （2）若函数，求的最小值，并用单调性的定义证明在区间上单调递增. 【答案】（1）     （2） ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 证明：任取，且， 则， 因为，且在上单调递增，所以，， 所以， 所以，即， 故在区间上单调递增.      【分析】 （1）代入求值即可； （2）利用基本不等式对求最小值即可；定义法证明函数单调性，按步骤取值，作差，合并同类项化简，下结论即可证明. (1) 小问详解： 由，得， 所以a的值为. (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值； （2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）由可求得的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）分析出函数为上的奇函数且为增函数，将所求不等式变形为，可出关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）由题意知：是定义在上的奇函数，，， 即， 所以，，即对任意的恒成立，. 故：，； （2）由（1）知， 因此在上是增函数， 对任意的，恒成立， 可转化， 根据在上是奇函数可知恒成立. 恒成立，即恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 20．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】 因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即，得. 将代入， 得：, , , . 故答案为：. 21．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知函数的定义域为，，且对任意的，不等式和均成立，则的值为　　　　　；满足的的最小正整数为　　　　　. 【答案】① 5；    ② . 【分析】 第一问根据不等式的累加求分别可得及，进而可得；第二问同理由累加求和得，再由进行累加求得及，进而得，即得最小数. 【详解】 （1）由对任意的，不等式成立，分别令得， ，两式相加得，即. 又，得，即， 再与相加得，， 令，得，即.所以. （2）由，即， 所以，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 同理有，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 再由（1）可知，进而， 所以 ， 以上5式相加得， 所以，再由，得. 同理有 ， 以上5式相加得， 即，再由前可知，所以. 所以的的最小正整数为. 故答案为：5；. 考点04 指、对、幂函数 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）（多选）设，下列各项中，能使得“”一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 结合函数单调性可得A、C、D，举出反例可得B. 【详解】 对A：由函数在上单调递增，若，则，故A正确； 对B：如，，此时，但，故B错误； 对C：由函数在上单调递增，若，则，故C正确； 对D：由函数在上单调递增，若，则，故D正确； 故选：ACD. 2．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）函数的图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】 设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则 ，即可解得实数a的取值范围. 【详解】 因为函数（且）满足， 即，所以， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以 ，解得， 所以. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）若实数，满足，则正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 关于的不等式恒成立 【答案】BC 【分析】 根据指数函数的单调性，确定，利用与的大小关系判断A，利用二次函数以及对数函数的单调性判断B，利用三次函数的单调性，判断C，利用二次不等式恒成立的条件判断D. 【详解】 构造函数，为上的增函数， 因为，即，有， 对于A，，，所以，所以A错误； 对于B，构造函数，当时， 单调递减，所以， 构造函数，在上单调递增， 所以，B正确； 对于C，构造函数，为上的增函数， 所以，C正确； 对于D，若关于的不等式恒成立， 则有 成立，成立， 但当，时，， 所以不恒成立，所以D错误. 故选：BC 5．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，利用导数法得，从而有；设，利用导数法得，从而有，即可得解. 【详解】 设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 6．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）若，，满足，且，则有序实数组可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令且，应用指数、对数关系及换底公式、对数运算性质有，即可得. 【详解】 令且，则， 所以，则， 结合各选项知、、不符合，符合. 故选：C 7．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若实数满足，则的大小关系不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】 设， 作出函数的图象，如图， 结合选项，由图可知，当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，，而始终不可能. 故选：D 8．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（       ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若有两个零点，则 D. 若的值域为，则 【答案】BC 【分析】 根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】 由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 9．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 变形得到，结合的范围得到，构造，，根据函数单调性得到，又，，从而得到答案. 【详解】 ，故， 因为，所以，，所以， 故，即， 令，，在上单调递增， ，所以，即， 故，A错误，C正确； BD选项，，故，又，故，BD错误； 故选：C 10．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）设实数，函数为奇函数，则　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】 实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 11．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知函数． （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 不存在.理由如下： 假设存在实数（且），使得函数在区间上为减函数，且最大值为1， 则由题意得，即，解得. 因为（且）为减函数，对一切恒成立， 所以增函数且，即 ， 所以，则不符合，所以实数不存在.      【分析】 （1）由对数函数定义将问题转化为对一切恒成立，再结合函数的单调性即可分析求解； （2）不存在，先由函数单调性和最值求出参数a，再由函数单调性和定义求出参数符合的范围得到所求出的参数值不符合即可得解. (1) 小问详解： 设，由题意知对一切恒成立. 因为，所以在区间上为减函数， 所以只需，解得. 又，且， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】 由题意知，得，解得或， 当时，为偶函数，不符合题意； 当时，为奇函数，符合题意． 作出其图像，如下， 由图像知，当，且递减； 当，且递减． 当 ，即时， 由，得， 解得，所以； 当 ，此时； 当 ，即时，根据， 所以不成立，故； 当 时，即时，， 此时恒成立，所以； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】 由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故 即 ，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数与方程 1．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（       ） 1 2 3 4 5 0 0.693 1.099 1.386 1.609 1 0 1 2 3 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】令，由表中数据结合零点存在性定理即可得解. 【详解】令， 由表格数据可得. 由零点存在性定理可知，在区间内必有零点. 故选C. 【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知函数其中，且，则（       ） A.  B. 函数有2个零点 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】 解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）函数所有零点的和等于（     ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】 由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 4．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）若方程在区间上有解，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 易得函数在上单调递增，结合，，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】 由，则，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， ， 则函数有且仅有一个零点，且，则. 故选：C 5．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（     ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】D 【分析】 判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】 因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数 ，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 6．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 16 D. 8 【答案】D 【分析】 利用换元法结合题意求解零点个数，再利用偶函数性质排除掉其他区间的零点即可. 【详解】 令，由题意得欲求的零点个数， 则求的零点个数，即求的零点个数， 故求与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，        由图象可得共4个交点，但，故， 当时，此时求的零点个数即可， 当时，令，无解， 当时，， 令，解得（负根舍去）， 当时，， 令，解得， 当时，由偶函数性质可得的零点为和， 得到共有4个零点， 当时，此时求的零点个数即可， 当时，令，无解， 当时，， 令，无解， 当时，， 令，解得（负根舍去）， 当时，，且， 令，解得（负根舍去）， 当时，由偶函数性质可得的零点为和， 得到共有4个零点， 则当时，结合题意归纳得，无解， 由偶函数性质得当时，结合题意归纳得，无解， 则函数的零点个数为8，故D正确. 故选：D 7．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先作出的函数图像，令，则方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根，令， 即 ，解出即可. 【详解】 由题意作出的函数图像： 令，所以， 当时，方程没有解， 当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根， 令， 所以 ，解得， 所以实数取值范围是， 故选：B. 8．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 问题转化为，，的图象与直线交点的横坐标，结合函数图象即可判断. 【详解】 依题意，令，则，，， 则，，可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 又与互为反函数，函数图象关于对称且的图象一直在的图象的上方， 即与没有交点，所以一定不成立； 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图， 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：B 9．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得； （2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以， 又，所以，即恒成立， 所以； (2) 小问详解： 若点在直线上，则，又函数的图象过点， 所以，所以，所以； 所以， 因为在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的解，且， 记，其开口向上，对称轴为， 要使在上有两个不同的零点， 则 ，即 ，解得， 又，所以且， 所以且，即的取值范围为. 10．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求得函数的定义域为，再分类讨论，，时，根据的取值范围，去掉绝对值，得到分段函数的解析式，依次讨论其零点的个数，最后综合符合题意的实数的取值范围即可. 【详解】 由题意，函数的定义域为， 1°当时，， 时，，无零点；时，，有无数个零点，均不满足题意. 2°当时，当即或时，， 令，可得或， 其中，所以肯定是函数的零点， 当即时，是函数的零点；当即时，不是函数的零点. 当即时，，令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 3°当时，当即时，， 令，可得或， 其中，所以肯定不是函数的零点， 当即时，是函数的零点； 当即时，不是函数的零点. 当即或时，， 令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数仅有1个零点，不符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数无零点，不符合题意. 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点06 函数的新定义 1．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为“互补函数”．下列函数为“互补函数”的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 逐项计算定义域内是否存在，使得成立即可得. 【详解】 对A：令，则，若，则，矛盾， 故不是“互补函数”，故A错误； 对B：令，则，存在如，使其成立， 故是“互补函数”，故B正确； 对C：令，则，由， 则时，，矛盾，故不是“互补函数”，故C错误； 对D：令，则，由， 则，矛盾，故不是“互补函数”，故D错误. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 先外后内解方程，判断方程根的个数. 【详解】 由已知，令， 则， 则① 或② ； 解① 得，解② 得； 则③ 或④ ， 解③ 得或； 对于④ 由的几何意义：轴上的点到两定点的距离之差的绝对值. 而，可知④ 无解， 综上，方程的根的个数为， 故选：C. 3．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）（多选）函数与函数的定义域均为，若存在非零实数使得，在定义域内满足，则称，满足“性质”，下列说法错误的是（       ） A. 若，，则，满足“性质” B. 若，，则，满足“性质” C. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若，满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 【答案】BC 【分析】 根据所给定义求出的值，即可判断A，B，举反例说明C，转化，得到，联立方程组，求得的解析式，根据函数的零点和极值点的定义与判断方法，可判定D正确. 【详解】 对于A，若，则， 又，， 当，解得，所以，满足“性质”，故A正确； 对于B，由，则， 若，满足“性质”，则满足，解得不是定值， 即不存在非零实数使得在定义域内满足， 所以，不满足“性质”，故B错误； 对于C：若，满足“性质”，且， 所以存在非零实数，使得， 取，，则，满足条件， 但同时存在零点与极值点，故C错误； 对于D：若，满足“性质”，且， 存在非零实数，使得， 将替换为，可得， 联立方程组 ， 当时，方程组无解；当时，， 若函数存在零点，则方程有解，即有解，则满足且， 又由，令，可得，此时方程无解， 所以函数没有极值点； 反之：若函数有极值点，则方程有解，即有解， 因为且，所以，可得且， 令，可得，此时方程无解，即函数没有零点， 所以函数存在零点的充要条件为不存在极值点，故D正确. 故选：BC 4．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（     ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【分析】 根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得. 【详解】 由函数满足， 取，则， 因此， ，所以. 故选：B 5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 【答案】（1） 函数是函数，函数不是函数，理由如下： 任意，且，， ，即，满足性质① . 对任意，使得，此时， 满足 ，，即存在正数满足性质② . 函数是函数. 任意，且，， ，即，满足性质① . 对任意，使得，此时不满足性质② . 函数不是函数.     （2）.     （3） 为函数，满足② ，， 又，、、，， 又满足① ，，即， ， 又，当时，；当时，， 综上所述.      【分析】 （1）依据题干的两条性质，即单调性和周期性变形特征，分别验证函数是否满足. （2）对于给定含三角函数的函数，利用函数性质② 的等式展开化简，结合三角函数本身的性质，即可推导出参数的可能取值. （3）基于函数性质，由初始值递推后续函数值，再结合单调关系推导目标值，依据给定参数范围，确定最值取值范围，完成证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数满足性质② ， ， ，即. (3) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数.例如：（1，3与4互质）. （1）求，，； （2）若，证明：. 【答案】（1），，     （2） 因为不超过正整数，且与互质的正整数为不超过的奇数， 所以，则， 则，所以是等比数列，且， 则， 所以 .      【分析】 （1）根据欧拉函数直接求解； （2）因为不超过正整数，且与互质的正整数为不超过的奇数，所以，所以是等比数列，且，则，可利用裂项相消法求和. (1) 小问详解： 根据题意，1与2互质，所以， 与8互质，所以， 与16互质，所以； (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知表示不超过实数的最大整数.例如：. （1）设，求的值； （2）解关于的方程：； （3）若，，，.证明：. 【答案】（1）1     （2）      （3） 因为 所以， 因为，所以， 所以, 所以 ，解得，所以， 即证明， 下面先证明： ， 令则， 记 ，则， 所以在上单调递减，又， 所以存在使得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，且， 所以时，，即. 设其中， 若则，命题成立， 若则，所以， 因为，所以， 即可，又，命题成立， 综上.      【分析】 （1）根据取整的定义可得，即可展开求解， （2）根据取整的性质即可求解， （3）先根据可求解，即可得，进而利用导数证明不等式，即可求证. (1) 小问详解： 因为， 所以，故，即， 所以 (2) 小问详解： 设则， 所以， 因为， 故，解得， 所以， (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数概念与基本初等函数 考点01 函数及其表示 考点02 函数的图象 考点03 函数的基本性质 考点04 指、对、幂函数 考点05 函数与方程 考点06 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．B 2．D 3．【答案】1 【分析】 将代入解析式，可得，将代入解析式，建立方程即可求得答案. 【详解】 由题意得， 所以， 故答案为：1 4．【答案】（1） ；     （2）10万件.      【分析】 （1）根据年利润的计算公式，结合已知条件求出年利润关于年产量的函数解析式； （2）分别讨论不同区间内函数的最大值，进而得出年利润最大时的年产量. (1) 小问详解： 由题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上， ； (2) 小问详解： 当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 考点02 函数的图象 1．C 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果. 【详解】 令，解得：；令，解得：； 图象如下图所示， 由图象可知：，，. 故答案为：. 考点03 函数的基本性质 1．C 2．A 3．BCD 4．B 5．ACD 6．C 7．D 8．D 9．D 10．B 11．B 12．ACD 13．BCD 14．A 15．CD 16．D 17．【答案】 【分析】 由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】 因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 18．【答案】（1）     （2） ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 证明：任取，且， 则， 因为，且在上单调递增，所以，， 所以， 所以，即， 故在区间上单调递增.      【分析】 （1）代入求值即可； （2）利用基本不等式对求最小值即可；定义法证明函数单调性，按步骤取值，作差，合并同类项化简，下结论即可证明. (1) 小问详解： 由，得， 所以a的值为. (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）由可求得的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）分析出函数为上的奇函数且为增函数，将所求不等式变形为，可出关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）由题意知：是定义在上的奇函数，，， 即， 所以，，即对任意的恒成立，. 故：，； （2）由（1）知， 因此在上是增函数， 对任意的，恒成立， 可转化， 根据在上是奇函数可知恒成立. 恒成立，即恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 20．【答案】 【分析】 通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】 因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即，得. 将代入， 得：, , , . 故答案为：. 21．【答案】① 5；    ② . 【分析】 第一问根据不等式的累加求分别可得及，进而可得；第二问同理由累加求和得，再由进行累加求得及，进而得，即得最小数. 【详解】 （1）由对任意的，不等式成立，分别令得， ，两式相加得，即. 又，得，即， 再与相加得，， 令，得，即.所以. （2）由，即， 所以，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 同理有，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 再由（1）可知，进而， 所以 ， 以上5式相加得， 所以，再由，得. 同理有 ， 以上5式相加得， 即，再由前可知，所以. 所以的的最小正整数为. 故答案为：5；. 考点04 指、对、幂函数 1．ACD 2．B 3．C 4．BC 5．B 6．C 7．D 8．BC 9．C 10．【答案】 【分析】 利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】 实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 11．【答案】（1）     （2） 不存在.理由如下： 假设存在实数（且），使得函数在区间上为减函数，且最大值为1， 则由题意得，即，解得. 因为（且）为减函数，对一切恒成立， 所以增函数且，即 ， 所以，则不符合，所以实数不存在.      【分析】 （1）由对数函数定义将问题转化为对一切恒成立，再结合函数的单调性即可分析求解； （2）不存在，先由函数单调性和最值求出参数a，再由函数单调性和定义求出参数符合的范围得到所求出的参数值不符合即可得解. (1) 小问详解： 设，由题意知对一切恒成立. 因为，所以在区间上为减函数， 所以只需，解得. 又，且， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 略 12．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】 由题意知，得，解得或， 当时，为偶函数，不符合题意； 当时，为奇函数，符合题意． 作出其图像，如下， 由图像知，当，且递减； 当，且递减． 当 ，即时， 由，得， 解得，所以； 当 ，此时； 当 ，即时，根据， 所以不成立，故； 当 时，即时，， 此时恒成立，所以； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】 由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故 即 ，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数与方程 1．C 2．ACD 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得； （2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以， 又，所以，即恒成立， 所以； (2) 小问详解： 若点在直线上，则，又函数的图象过点， 所以，所以，所以； 所以， 因为在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的解，且， 记，其开口向上，对称轴为， 要使在上有两个不同的零点， 则 ，即 ，解得， 又，所以且， 所以且，即的取值范围为. 10．【答案】 【分析】 先求得函数的定义域为，再分类讨论，，时，根据的取值范围，去掉绝对值，得到分段函数的解析式，依次讨论其零点的个数，最后综合符合题意的实数的取值范围即可. 【详解】 由题意，函数的定义域为， 1°当时，， 时，，无零点；时，，有无数个零点，均不满足题意. 2°当时，当即或时，， 令，可得或， 其中，所以肯定是函数的零点， 当即时，是函数的零点；当即时，不是函数的零点. 当即时，，令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 3°当时，当即时，， 令，可得或， 其中，所以肯定不是函数的零点， 当即时，是函数的零点； 当即时，不是函数的零点. 当即或时，， 令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数仅有1个零点，不符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数无零点，不符合题意. 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点06 函数的新定义 1．B 2．C 3．BC 4．B 5．【答案】（1） 函数是函数，函数不是函数，理由如下： 任意，且，， ，即，满足性质① . 对任意，使得，此时， 满足 ，，即存在正数满足性质② . 函数是函数. 任意，且，， ，即，满足性质① . 对任意，使得，此时不满足性质② . 函数不是函数.     （2）.     （3） 为函数，满足② ，， 又，、、，， 又满足① ，，即， ， 又，当时，；当时，， 综上所述.      【分析】 （1）依据题干的两条性质，即单调性和周期性变形特征，分别验证函数是否满足. （2）对于给定含三角函数的函数，利用函数性质② 的等式展开化简，结合三角函数本身的性质，即可推导出参数的可能取值. （3）基于函数性质，由初始值递推后续函数值，再结合单调关系推导目标值，依据给定参数范围，确定最值取值范围，完成证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数满足性质② ， ， ，即. (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1），，     （2） 因为不超过正整数，且与互质的正整数为不超过的奇数， 所以，则， 则，所以是等比数列，且， 则， 所以 .      【分析】 （1）根据欧拉函数直接求解； （2）因为不超过正整数，且与互质的正整数为不超过的奇数，所以，所以是等比数列，且，则，可利用裂项相消法求和. (1) 小问详解： 根据题意，1与2互质，所以， 与8互质，所以， 与16互质，所以； (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1）1     （2）      （3） 因为 所以， 因为，所以， 所以, 所以 ，解得，所以， 即证明， 下面先证明： ， 令则， 记 ，则， 所以在上单调递减，又， 所以存在使得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，且， 所以时，，即. 设其中， 若则，命题成立， 若则，所以， 因为，所以， 即可，又，命题成立， 综上.      【分析】 （1）根据取整的定义可得，即可展开求解， （2）根据取整的性质即可求解， （3）先根据可求解，即可得，进而利用导数证明不等式，即可求证. (1) 小问详解： 因为， 所以，故，即， 所以 (2) 小问详解： 设则， 所以， 因为， 故，解得， 所以， (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $